统计案例：独立性检验问题、线性回归问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦独立性检验与线性回归两大统计核心问题，通过真实情境案例构建从基础计算到综合应用的知识逻辑链，强化数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |独立性检验问题|3例+3变式|列联表完善、卡方计算、独立性判断，结合概率分布|从2×2列联表构建到卡方统计量推导，延伸至实际问题的关联性分析，培养数学思维的逻辑性| |线性回归问题|3例+3变式|相关系数计算、回归方程建立、预测与拟合效果比较|从变量相关性判断到回归模型构建，实现数据规律的数学表达，体现数学语言描述现实的精准性|

2027届高三数学一轮复习专项训练 统计案例：独立性检验问题、线性回归问题专项训练 考点目录 独立性检验问题 线性回归问题 考点一 独立性检验问题 例1．（2026·广东深圳·模拟预测）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量．原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化．为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关； (2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为，求的数学期望． 附，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 例2．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下列联表： 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 100 非老年人 64 合计 60 180 (1)请完善上述列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 例3．（26-27高三上·辽宁·开学考试）为了解某校学生参加篮球运动的情况，采用按性别按比例分配的分层随机抽样的方法进行调查．已知该校共有学生6000人，其中男生3600人，从全校学生中抽取了一个容量为的样本，得到学生一天中参加篮球运动的时间统计数据如下： 超过1小时 不超过1小时 男 180 120 女 100 (1)求m，n； (2)分析是否有95%的把握认为该校学生一天中参加篮球运动的时间是否超过1小时与性别有关？附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 变式1．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）某动力电池企业研究低温预处理工艺对电芯循环寿命达标情况的影响，随机抽取400块同型号电芯开展对照检测试验，整理试验数据得到如下列联表： 循环达标 循环不达标 合计 经过低温预处理 100 100 200 未经过低温预处理 120 80 200 合计 220 180 400 (1)依据小概率值的独立性检验，能否推断电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关？ (2)实验室检测设备存在识别误差：一块实际循环达标的电芯，设备检测后判定为不达标的概率为0.2；一块实际循环不达标的电芯，设备检测后判定为达标的概率为0.2.现从全部400块试验电芯中随机抽取1块，求该电芯被设备判定为循环达标的概率； (3)按照分层随机抽样的方法从未经过低温预处理的电芯中选出5块，再从5块中选2块进行复检.设随机变量为抽到的循环不达标的电芯数量，求的分布列与数学期望. 附：参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 变式2．（26-27高三上·湖北·开学考试）某社区准备开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为调查不同年龄段的人对此项活动的态度，在该社区随机抽取了300人，统计结果如下： 50岁以下 50岁及以上 合计 支持态度的人数 160 60 220 不支持态度的人数 50 30 80 合计 210 90 300 (1)根据小概率值的独立性检验，判断所持态度与年龄是否在50岁以下是否有关联； (2)以频率估计概率，若在该社区所有年龄在50岁及以上的人中随机抽取4人，记4人中持支持态度的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 变式3．（26-27高三上·云南·开学考试）为研究储能行业技术人员使用储能仿真软件的情况与方案自主优化能力是否有关联，随机调查了100名储能企业技术人员，得到如下列联表（单位：人）． 仿真软件使用情况 自主优化能力 合计 强 一般 经常使用 22 不经常使用 16 合计 44 (1)将列联表补充完整并依据小概率值的独立性检验，分析储能技术人员使用储能仿真软件的情况是否与自主优化能力有关． (2)一名新入职储能技术员此前未使用储能仿真软件，计划开始学习使用．他在第天使用储能仿真软件开展工作的概率为，每天是否使用相互独立．设这名技术员前3天中使用储能仿真软件的天数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 考点二 线性回归问题 例1．（25-26高三上·河北·期中）在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． (1)求第1轮试验成功的概率； (2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； (3)记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 例2．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）某科技公司致力于具身机器人的研发工作，并设立了研发奖励基金．该公司近几年奖励基金设立情况如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 基金金额（亿元） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该公司2026年设立的研发奖励基金金额． 参考公式：．参考数值：． 例3．（26-27高三上·浙江·开学考试）某商店在2026年上半年前5个月的销售额如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 销售额（万元） 8.2 12.9 17 21.5 25.4 (1)求销售额（万元）关于月份的一元线性回归方程； (2)若用非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.56，根据残差平方和的大小，判断该非线性回归模型与（1）中的线性回归模型哪一个拟合效果更好，请说明理由. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，，. 变式1．（26-27高三上·福建福州·开学考试）福州一中学生联合会试卖一款文创纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)已知两个变量线性相关，请建立关于的经验回归方程； (2)若希望把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为多少？（保留整数） 参考公式：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，． 变式2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）某公司布局未来，积极投资 AI 产业，该公司近 5 年的投资额 y(单位:万元)与年份x如下表所示: x 2022 2023 2024 2025 2026 y 160 190 200 220 230 (1)计算近 5 年投资额的下四分位数与第 60 百分位数； (2)设 t=x-2024 ，用 y=bt+a 模拟 y 与t的关系，求出线性回归方程，并推测该公司在哪一年投资额首次超过 286 万元. 附:经验回归方程 中，最小二乘估计公式为.  . 变式3．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）肺结节良恶性辅助诊断AI系统DeepFAN可通过影像识别辅助医生判断结节是否为恶性．某医院回顾性抽取枚经病理确诊的肺结节进行系统判读测试，其中实际为恶性枚、实际为良性枚；其中系统正确识别恶性枚、正确识别良性枚，其余识别错误． (1)从枚结节中随机抽取枚，已知该结节被系统判读为“恶性”，求它实际为恶性的概率； (2)为评估系统上线后医生在AI辅助下诊断准确率的提升趋势，统计了上线后前个月医生的平均诊断准确率（%）与月份的数据： 1 2 3 4 5 6 90 91 93 93 95 96 求关于的经验回归方程，并据此预测第8个月的平均诊断准确率来判断是否全院推广DeepFAN系统；（若预测值超过，则建议全院推广） (3)研究团队进一步让名低年资医生在“无AI辅助”与“有AI辅助”两种情形下，各自独立判读枚结节，得到判断正确情况如下： 判断正确 判断错误 合计 无AI辅助 150 50 200 有AI辅助 180 20 200 合计 330 70 400 计算统计量，并判断：能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关？ （参考数据：①，，，，，； ②，） 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 统计案例：独立性检验问题、线性回归问题专项训练 考点目录 独立性检验问题 线性回归问题 考点一 独立性检验问题 例1．（2026·广东深圳·模拟预测）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量．原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化．为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关； (2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为，求的数学期望． 附，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)依据小概率值的独立性检验，认为产品质量与生产线有关 (2) 【分析】（1）给出零假设：产品的质量与生产线无关，再计算，结合参考数据，即可判断； （2）根据列联表中数据，计算总体优等品的概率；结合服从二项分布，写出对应取值的概率，以及的数学期望即可． 【详解】（1）零假设：产品的质量与生产线无关； ， 根据的独立性检验，拒绝零假设，并认为产品的质量与生产线有关； （2）甲生产线优等品概率：，乙生产线优等品概率：； 混合产品中，甲乙数量比为，故甲产品占比，乙产品占比； 故总体优等品概率为：； 由题可知：， ，， ，， 故的分布列如下所示： 的数学期望． 例2．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下列联表： 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 100 非老年人 64 合计 60 180 (1)请完善上述列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 56 100 非老年人 16 64 80 合计 60 120 180 老年人患白内障的概率为，非老年人患白内障的概率为. (2)认为患白内障与年龄有关. 【分析】（1）根据题意补全列联表，进而求概率即可. （2）提出零假设，根据公式求出卡方，进一步比较判断即可. 【详解】（1）列联表为 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 56 100 非老年人 16 64 80 合计 60 120 180 估计老年人患白内障的概率为， 非老年人患白内障的概率为. （2）零假设为：患白内障与年龄无关. ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为患白内障与年龄有关. 例3．（26-27高三上·辽宁·开学考试）为了解某校学生参加篮球运动的情况，采用按性别按比例分配的分层随机抽样的方法进行调查．已知该校共有学生6000人，其中男生3600人，从全校学生中抽取了一个容量为的样本，得到学生一天中参加篮球运动的时间统计数据如下： 超过1小时 不超过1小时 男 180 120 女 100 (1)求m，n； (2)分析是否有95%的把握认为该校学生一天中参加篮球运动的时间是否超过1小时与性别有关？附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有95%的把握认为该校学生一天中参加篮球运动的时间是否超过1小时与性别有关. 【详解】（1）全校共6000人，男生3600人，则女生人数：6000-3600=2400， 分层随机抽样，抽样比男女相同，样本里男生总数：180+120=300， 抽样比：， 抽取女生样本总量：，女生样本：， 样本总容量：. （2）零假设为:  该校学生一天中参加篮球运动的时间是否超过1小时与性别无关, 整理列联表： 超过1小时 不超过1小时 合计 男 180 120 300 女 100 100 200 合计 280 220 500 卡方公式： 其中 ， ， 根据小概率值的独立性检验， 我们推断不成立，认为该校学生一天中参加篮球运动的时间是否超过1小时与性别有关. 变式1．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）某动力电池企业研究低温预处理工艺对电芯循环寿命达标情况的影响，随机抽取400块同型号电芯开展对照检测试验，整理试验数据得到如下列联表： 循环达标 循环不达标 合计 经过低温预处理 100 100 200 未经过低温预处理 120 80 200 合计 220 180 400 (1)依据小概率值的独立性检验，能否推断电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关？ (2)实验室检测设备存在识别误差：一块实际循环达标的电芯，设备检测后判定为不达标的概率为0.2；一块实际循环不达标的电芯，设备检测后判定为达标的概率为0.2.现从全部400块试验电芯中随机抽取1块，求该电芯被设备判定为循环达标的概率； (3)按照分层随机抽样的方法从未经过低温预处理的电芯中选出5块，再从5块中选2块进行复检.设随机变量为抽到的循环不达标的电芯数量，求的分布列与数学期望. 附：参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能 (2)0.53 (3) 0 1 2 期望为 【分析】（1）根据表中数据计算出，再根据临界值分析判断即可; （2）利用全概率公式计算即可； （3）随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的公式求分布列，再利用期望定义求期望即可. 【详解】（1）零假设为：电芯循环是否达标与是否进行低温预处理无关. 由列联表，      根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关. （2）设事件为“实际循环达标的电芯”，事件为“实际循环不达标的电芯”， 事件为“被判定循环达标”. 所以该电芯被设备判定为循环达标的概率为0.53. （3）由题意可知的所有可能取值0，1，2. 可得 所以的分布列为：      0 1 2 故. 变式2．（26-27高三上·湖北·开学考试）某社区准备开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为调查不同年龄段的人对此项活动的态度，在该社区随机抽取了300人，统计结果如下： 50岁以下 50岁及以上 合计 支持态度的人数 160 60 220 不支持态度的人数 50 30 80 合计 210 90 300 (1)根据小概率值的独立性检验，判断所持态度与年龄是否在50岁以下是否有关联； (2)以频率估计概率，若在该社区所有年龄在50岁及以上的人中随机抽取4人，记4人中持支持态度的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为所持态度与年龄是否在50岁以下无关联． (2) X 0 1 2 3 4 P 【详解】【小题1】零假设：所持态度与年龄是否在50岁以下无关联． 根据列联表中的数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为所持态度与年龄是否在50岁以下无关联． 【小题2】在50岁及以上的人群中持支持态度的频率为， 所以估计该社区50岁及以上的人群中持支持态度的概率为， 由题意知， 所以，， ，， ． 其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以（或）． 变式3．（26-27高三上·云南·开学考试）为研究储能行业技术人员使用储能仿真软件的情况与方案自主优化能力是否有关联，随机调查了100名储能企业技术人员，得到如下列联表（单位：人）． 仿真软件使用情况 自主优化能力 合计 强 一般 经常使用 22 不经常使用 16 合计 44 (1)将列联表补充完整并依据小概率值的独立性检验，分析储能技术人员使用储能仿真软件的情况是否与自主优化能力有关． (2)一名新入职储能技术员此前未使用储能仿真软件，计划开始学习使用．他在第天使用储能仿真软件开展工作的概率为，每天是否使用相互独立．设这名技术员前3天中使用储能仿真软件的天数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 【答案】(1) 仿真软件使用情况 自主优化能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 认为储能技术人员使用储能仿真软件的情况与自主优化能力有关联 (2) 的分布列如下所示， 0 1 2 3 的数学期望为 【分析】（1）利用部分与整体的关系列联表，再利用与进行独立性检验即可. （2）利用独立事件的乘法公式计算的分布列，再利用随机变量均值的定义求出即可. 【详解】（1）完整的列联表如下． 仿真软件使用情况 自主优化能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 零假设为：储能技术人员使用储能仿真软件的情况与自主优化能力无关． 由列联表中的数据，计算得 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为储能技术人员使用储能仿真软件的情况与自主优化能力有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． （2）由题意，的可能取值为0，1，2，3． 因为新员工第1天、第2天、第3天使用储能仿真软件开展工作的概率分别为， 所以， ， 故的分布列如下表． 0 1 2 3 所以的数学期望. 考点二 线性回归问题 例1．（25-26高三上·河北·期中）在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． (1)求第1轮试验成功的概率； (2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； (3)记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 【答案】(1) (2)，0.782． (3) 依题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为， 则，发生有两种可能， 第一种可能为直接摸出白球，概率为， 第二种可能为摸出黑球后再摸出白球， 概率为， 所以， 则， 因此. 【分析】（1）分两种成功情况分别计算概率后相加； （2）利用最小二乘公式求回归方程参数； （3）通过分析失败概率乘积构造递推关系，结合代数变形证明不等式. 【详解】（1）第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球， 摸出红球，即试验成功的概率为． 摸出黑球且试验成功的概率为， 所以第1轮试验成功的概率为． （2）， 所以，则所求经验回归方程为． 当试验轮数足够大，即足够大时，接近于0，则接近于0.782， 故预测成功志愿者的比例为0.782． （3）略 例2．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）某科技公司致力于具身机器人的研发工作，并设立了研发奖励基金．该公司近几年奖励基金设立情况如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 基金金额（亿元） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该公司2026年设立的研发奖励基金金额． 参考公式：．参考数值：． 【答案】(1)相关系数； (2)线性回归方程为，预测2026年研发奖励基金金额为2.18亿元． 【详解】（1）由题意，， 则，， 则． 故与的相关系数为． （2）由（1）， 则， 故关于的线性回归方程为， 令，则， 故该公司2026年设立的研发奖励基金金额为亿元． 例3．（26-27高三上·浙江·开学考试）某商店在2026年上半年前5个月的销售额如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 销售额（万元） 8.2 12.9 17 21.5 25.4 (1)求销售额（万元）关于月份的一元线性回归方程； (2)若用非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.56，根据残差平方和的大小，判断该非线性回归模型与（1）中的线性回归模型哪一个拟合效果更好，请说明理由. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，，. 【答案】(1) (2)记（1）中线性回归方程的残差平方和为， 则， 因为，所以（1）中所求的线性经验回归方程拟合效果更好. 【分析】（1）利用题目所给数据和公式代入求得回归方程；（2）计算线性回归方程的残差平方和，并与非线性回归模型的进行比较，残差平方和小的拟合效果好 【详解】（1）， ， ， 故销售额关于月份的回归直线方程为 （2）略 变式1．（26-27高三上·福建福州·开学考试）福州一中学生联合会试卖一款文创纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)已知两个变量线性相关，请建立关于的经验回归方程； (2)若希望把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为多少？（保留整数） 参考公式：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1) (2)10元 【分析】（1）用最小二乘法公式求出回归系数，得到线性回归方程； （2）将销量代入回归方程，求出定价的预测值. 【详解】（1）由题可知：， ； 计算得，， 所以，， 所以关于的经验回归方程为． （2）当时，． 所以若把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为10元 变式2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）某公司布局未来，积极投资 AI 产业，该公司近 5 年的投资额 y(单位:万元)与年份x如下表所示: x 2022 2023 2024 2025 2026 y 160 190 200 220 230 (1)计算近 5 年投资额的下四分位数与第 60 百分位数； (2)设 t=x-2024 ，用 y=bt+a 模拟 y 与t的关系，求出线性回归方程，并推测该公司在哪一年投资额首次超过 286 万元. 附:经验回归方程 中，最小二乘估计公式为.  . 【答案】(1)下四分位数为190万元，第60百分位数为210万元； (2)线性回归方程为，推测2030年投资额首次超过286万元。 【详解】（1）先将投资额数据从小到大排序为：160,190,200,220,230，总样本量 下四分位对应第25百分位数，计算位置索引：不是整数， 向上取得位置为2，因此下四分位数为第2项数据190；第60百分位数的位置索引： 是整数，因此第60百分位数为第3项和第4项数据的平均值： （2）由可得对应的取值为计算得： 计算回归系数 ， 因此线性回归方程为. 令代入得： 取最小正整数，对应 即推测2030年投资额首次超过286万元. 变式3．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）肺结节良恶性辅助诊断AI系统DeepFAN可通过影像识别辅助医生判断结节是否为恶性．某医院回顾性抽取枚经病理确诊的肺结节进行系统判读测试，其中实际为恶性枚、实际为良性枚；其中系统正确识别恶性枚、正确识别良性枚，其余识别错误． (1)从枚结节中随机抽取枚，已知该结节被系统判读为“恶性”，求它实际为恶性的概率； (2)为评估系统上线后医生在AI辅助下诊断准确率的提升趋势，统计了上线后前个月医生的平均诊断准确率（%）与月份的数据： 1 2 3 4 5 6 90 91 93 93 95 96 求关于的经验回归方程，并据此预测第8个月的平均诊断准确率来判断是否全院推广DeepFAN系统；（若预测值超过，则建议全院推广） (3)研究团队进一步让名低年资医生在“无AI辅助”与“有AI辅助”两种情形下，各自独立判读枚结节，得到判断正确情况如下： 判断正确 判断错误 合计 无AI辅助 150 50 200 有AI辅助 180 20 200 合计 330 70 400 计算统计量，并判断：能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关？ （参考数据：①，，，，，； ②，） 【答案】(1) (2)，建议全院推广DeepFAN系统 (3)，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关 【分析】（1）根据题意，列出表格，再利用条件概率公式计算即可； （2）根据题意，利用公式得到经验回归方程，然后代入即可求解； （3）根据公式计算统计量，再对比结果即可判断. 【详解】（1）根据题意，列出如下表格： 实际恶性 实际良性 合计 识别为恶性 识别为良性 合计 记事件“抽中结节被系统识别为恶性”，事件“抽中结节实际为恶性”， 所求为条件概率． （2）由题意得，，，， 故经验回归方程为， 当时，（）． 因为，所以建议全院推广DeepFAN系统． （3）零假设为：“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”无关， 由列联表，，，，，， ， 因为， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关． 2 学科网（北京）股份有限公司 $