精品解析：甘肃兰州西北中学2024-2025学年高二第二学期第一次月考数学试题

兰州西北中学2024-2025高二第二学期第一次月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 抛物线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率. 【详解】令，得，得 故选：D 2. 已知函数，则在上的平均变化率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均变化率的定义求解. 【详解】解：在上的平均变化率为： ， 故选：A 3. 函数的极大值为（ ） A. B. 0 C. e D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令，，可求得极大值. 【详解】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值． 故选：D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导得，从而可求解. 【详解】由题意得，所以.故A正确. 故选：A. 5. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入法求得，以及利用导数的四则运算法则求得进一步求得即可得解. 【详解】由题意知，， ∴曲线在处的切线的斜率为， ∴曲线在处的切线方程为，且. 故选：C． 6. 已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C. 函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D. 函数的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断. 【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增， 又a<b<c，所以，故A不正确． 因为，，且当时，；当c<x<e时，； 当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确． 故选：C． 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得，所以函数的单调递增区间是. 故选：B 8. 函数的图象为曲线C，斜率为k的直线l经过点，则“”是“l是C的切线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出曲线C过点的切线的斜率，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】设直线l与曲线C相切的切点为，由，求导得， 则，直线l的方程为， 而直线l经过点，因此，解得或，则或， 显然点在曲线C上，曲线C在点处切线的斜率，切线方程为， 因此经过点且斜率的直线l是曲线C的一条切线， 所以“”是“l是C的切线”的充分不必要条件. 故选：A 二、多选题 9. 已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断各选项. 【详解】对于AB，由图可知，，所以，A错B对； 对于CD，由图可知，，所以C错D对. 故选：BD 10. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以A正确， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C错误， 对于D，因为，所以D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极值点为 B. 的最小值为 C. 有两个零点 D. 直线是曲线的一条切线 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数与函数的极值（最值）的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断C；利用导数的几何意义求得在处的切线方程，从而得以判断. 【详解】因为，所以， 令，得；令，得； 所以在上单调递减；在上单调递增； 所以在处取得唯一极小值，也是的最小值， 所以的极值点为，，故A错误，B正确； 因为，结合在上的单调性，可知是在上的唯一零点； 当时，恒成立，故恒成立，所以在上没有零点； 综上：只有一个零点，故C错误； 因为，， 所以在处的切线方程为，即，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12. 若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标. 【详解】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是． 故答案为： 13. 函数在点处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】， 则， 所以函数在点处的切线方程为， 即. 故答案为：. 14. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为_______. 【答案】 【解析】 【详解】由题设，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 15. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导数，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，列方程求解即可. 【详解】由可得， 令为函数在上的“拉格朗日中值点”， 则，解得. 故答案为： 四、解答题 16. 已知函数． （1）求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率； （2）求函数f（x）的单调区间与极值； 【答案】（1）1 （2）的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为. 【解析】 【分析】（1）求导，求出即为切线斜率；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值. 【小问1详解】 因为，所以，因此曲线y = f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1； 【小问2详解】 令，解得：x = 0或2． x 0 2 － 0 + 0 － ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以 f（x）在，内是减函数，在内是增函数． 因此函数f（x）在x = 0处取得极小值f（0），且f（0）= 0，函数f（x）在x = 2处取得极大值，且f（2）=； 综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为. 17. 已知函数. （1）当 时，求曲线在点处的切线方程; （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何性质求解即可. （2）首先将题意转化为恒成立，再设.利用导数求出其最大值即可得到答案. 【小问1详解】 当 时，，，即切点， ，则， 所以切线，即. 【小问2详解】 恒成立，所以恒成立，即恒成立. 设，， 所以，，为增函数， ，，为减函数， 所以，即. 故实数的取值范围. 18. 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/时)的函数解析式可以表示为．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】千米/时；升 【解析】 【分析】首先当速度为千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，，再利用导数求函数的最值即可得到答案. 【详解】当速度为千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 设耗油量为升， 依题意得， ． 令，得. 因为时，，是减函数； 时，，是增函数， 所以当时，取得最小值， 所以汽车以千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数最值得实际应用，理解题意为解题的关键，属于中档题. 19. 已知函数. （1）当时，研究的单调性； （2）若在其定义域上有且仅有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，判断导数的正负得解； （2）求导，分和两种情况讨论，判断单调性和极值及函数值的取值情况得解. 【小问1详解】 当时，， 则， 故在上单调递增. 【小问2详解】 ， 当时，，即在上单调递增，不合题意； 当时，令，得， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ， 又当时，；当时，， 故当且仅当时，恰有两个零点，即故， 即的取值范围为. 20. 已知函数． （1）讨论在上的零点个数； （2）当时，若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上无零点；当时，在上存在一个零点． （2） 【解析】 【分析】（1）令，得到，，构造函数，求导得到其单调性，结合，得到时，在上无零点；当时，在上存在一个零点； （2）求导得到的单调性，求出，故，构造，，求导得到单调性，结合，求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 由可得，，， 即，， 令，易知． ∴在上恒成立，故在上单调递增． 又，∴当时，． 故当时，在上无零点；当时，在上存在一个零点． 【小问2详解】 由得， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 若存在，使得成立， 只需成立，即不等式成立． 令，，则， 显然在上恒成立， 故在上单调递增，又， ∴， 故实数a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州西北中学2024-2025高二第二学期第一次月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 抛物线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知函数，则在上的平均变化率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 函数的极大值为（ ） A. B. 0 C. e D. 1 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C. 函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D. 函数的最小值为 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象为曲线C，斜率为k的直线l经过点，则“”是“l是C的切线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题 9. 已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极值点为 B. 的最小值为 C. 有两个零点 D. 直线是曲线的一条切线 三、填空题 12. 若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是________． 13. 函数在点处的切线方程为____________． 14. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为_______. 15. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为__________． 四、解答题 16. 已知函数． （1）求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率； （2）求函数f（x）的单调区间与极值； 17. 已知函数. （1）当 时，求曲线在点处的切线方程; （2）若恒成立，求实数的取值范围. 18. 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/时)的函数解析式可以表示为．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 19. 已知函数. （1）当时，研究的单调性； （2）若在其定义域上有且仅有两个零点，求的取值范围. 20. 已知函数． （1）讨论在上的零点个数； （2）当时，若存在，使得，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $