精品解析：甘肃张掖市民乐县第一中学2025-2026学年高二下学期6月质量检测数学试卷

民乐县第一中学2025~2026学年第二学期6月质量检测 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. 14 C. 28 D. 56 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 6. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 7. 如图，在三棱锥中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有两个零点 C. 恒成立 D. 恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 13. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________. 14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下列联表： 男大学生 女大学生 合计 关注原创音乐剧 250 300 550 不关注原创音乐剧 250 200 450 合计 500 500 1000 （1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率. （2）试根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求a的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）证明：． 19. 企业的产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表： 产品尺寸 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件.一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品.. （1）判断生产线是否正常工作，并说明理由； （2）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民乐县第一中学2025~2026学年第二学期6月质量检测 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. 14 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的概念，可得结果. 【详解】由平均变化率定义得. 故选：C. 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选:B 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数公式求出，进而可以求出结果. 【详解】. . 故选:D. 4. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法列出事件，包含的基本事件，再由条件概率的概率公式计算可得； 【详解】解：依题意包括的基本事件为{正，正}、{正，反}，包括的基本事件为{正，反}，∴， 故选：A． 5. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解 【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率， 表示任取5个球中，有1个黑球的概率 表示任取5个球中，没有黑球的概率 所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率． 故选：B． 6. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 【答案】A 【解析】 【分析】先由x、y的平均值和代入方程，求得，从而得到，再将代入并加上残差0.6即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 则. 故选：A. 7. 如图，在三棱锥中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 8. 已知函数有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，将问题转化为在上存在变号零点，再分和两种情况讨论即可. 【详解】易知， 因函数有极值点，则在上存在变号零点， 若对称轴，即，则在上单调递增， 则，不符合题意； 若对称轴，即，则，即，得， 则实数的取值范围为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用数学期望以及方差的运算性质，求解即可. 【详解】，． 故选：AD． 10. 已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，，设，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有两个零点 C. 恒成立 D. 恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】求函数的导函数，设，利用导数研究的单调性，最值，判断C，再确定的极值判断A，利用证明由此判断BD. 【详解】函数的定义域为， ， 设，则， 当时，，函数，即在上单调递减， 当时，，函数，即在上单调递增， 又，所以C错误； 又，所以存在，使得，又， 所以当，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极大值，当时，函数取极小值， 所以函数有两个极值点，故A正确； 设，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又， 所以当时，，当且仅当时取等号， 所以当时，，当且仅当时取等号， 所以函数只有一个零点，恒成立，B错误；D正确； 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 【答案】 【解析】 【分析】借助相关系数的性质计算即可得. 【详解】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强， 且， 所以H组数据的线性相关性最强. 故答案为：. 13. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称求出点的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可. 【详解】因为点A与点C关于x轴对称，所以点的坐标为， 又因为点B的坐标为，所以． 故答案为：. 14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及全概率公式列出方程求解. 【详解】由，得；由，得，而， 由，得， 即，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下列联表： 男大学生 女大学生 合计 关注原创音乐剧 250 300 550 不关注原创音乐剧 250 200 450 合计 500 500 1000 （1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率. （2）试根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）有关联，理由如下： 零假设为：是否关注原创音乐剧与性别无关联. 根据列表中的数据，经计算得到， 当时，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为是否关注原创音乐剧与性别有关联. 【解析】 【分析】（1）直接计算概率即可. （2）计算，对比数据得到答案. 【小问1详解】 从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，这人是女大学生的概率为. 【小问2详解】 略. 16. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求a的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，的单调递增区间为和. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，由题意可知，即可解得的值，然后利用和，求出的单调区间. （2）由条件可得在区间上恒成立，得在区间上恒成立，结合二次函数，可得答案. 【小问1详解】 ， ，解得，则， ， 令，解得或，令，解得， 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为和. 【小问2详解】 ， 因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 因为恒大于，所以在区间上恒成立， 设， 当时，得在区间上不恒成立，所以不满足题意， 当时，由于函数的对称轴，所以要在区间上恒成立， 只需不等式组无解， 或解得， 当时，函数的对称轴， 要在区间上恒成立， 则只需，无解， 综上，实数的求值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得逆定理及线面垂直判定定理证明平面，再结合菱形的对角线性质及线面垂直判定定理证明平面，再利用线面垂直性质定理即可证明结论； （2）先根据题意建立合适的空间直角坐标系，再求分别得平面与平面的法向量，再结合夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 连接， 在菱形中，，，所以， 在中，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． 【小问2详解】 记，连接， 由点是棱的中点，且点是的中点，所以， 又由（1）知平面，所以平面， 则以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 因为是的中点，且， 所以， 所以， 又， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 由图可知平面与平面所成角为锐角， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，以及，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）当时，分析函数的单调性，分析可得，即可得出，于是得出，即为，综合可得出结论. 【小问1详解】 解：的定义域是，， 当时，在时恒成立，此时，函数的增区间为； 当时，令，得，令，得， 此时，函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 证明：当时，， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，，即，则， 所以，，即， 综上可得． 19. 企业的产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表： 产品尺寸 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件.一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品.. （1）判断生产线是否正常工作，并说明理由； （2）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差. 【答案】（1）生产线没有正常工作；理由见解析 （2）期望是（元）；方差是. 【解析】 【分析】（1）由产品尺寸服从正态分布，得到正常产品尺寸范围，从而计算出实际次品数和生产线正常工作的次品数的上限，继而可判断生产线是否正常工作. （2）随机从生产线上取3件产品复检为独立重复试验，这3件产品中次品件数服从二项分布，可算出其期望和方差，则可算出3件产品检测费的期望和方差. 【小问1详解】 产品尺寸服从正态分布， ，且正常产品尺寸范围为. 生产线正常工作，次品不能多于（件）， 而实际上，超出正常范围以外的零件数为20，故生产线没有正常工作； 【小问2详解】 尺寸在以外的就是次品，故次品率为. 记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布， ， 则， 所以的数学期望是（元）， 方差是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $