第六单元 因数与倍数（公因数和公倍数）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学五年级上册（新教材）

第六单元 因数与倍数（公因数和公倍数）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、公因数与最大公因数 1. 定义 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 　　- 示例：12的因数有1、2、3、4、6、12；16的因数有1、2、4、8、16。 　　　12和16公有的因数是1、2、4，其中最大的是4，所以4就是12和16的最大公因数。 2. 表示方法：通常用符号表示两个数的最大公因数，例如。 3. 基本特点 　　- 公因数的个数是有限的，最小的公因数一定是1； 　　- 最大公因数不会超过两个数中较小的那个数。 二、公倍数与最小公倍数 1. 定义 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 　　- 示例：4的倍数有4、8、12、16、20、24……；6的倍数有6、12、18、24……。 　　　4和6公有的倍数有12、24……，其中最小的是12，所以12就是4和6的最小公倍数。 2. 表示方法：通常用符号表示两个数的最小公倍数，例如。 3. 基本特点 　　- 公倍数的个数是无限的，没有最大的公倍数； 　　- 最小公倍数不会小于两个数中较大的那个数。 三、互质数 公因数只有1的两个数，叫做互质数。 - 常见的互质情况： 　1. 两个不同的质数一定互质，如3和7； 　2. 相邻的两个自然数一定互质，如8和9； 　3. 1和任何非0自然数都互质，如1和10； 　4. 两个合数也可能互质，如8和15。 - 注意：互质数不是指两个数都是质数，而是指它们的公因数只有1。 四、两种特殊关系的快速规律 1. 倍数关系 当两个数成倍数关系时： - 最大公因数是其中较小的数； - 最小公倍数是其中较大的数。 　　- 示例：6和12，12是6的倍数，所以，。 2. 互质关系 当两个数互质时： - 最大公因数是1； - 最小公倍数是两个数的乘积。 　　- 示例：5和7互质，所以，。 五、常见易错点 1. 概念混淆：把最大公因数和最小公倍数搞反，或者误以为公倍数有最大的。 2. 互质误解：认为互质数必须都是质数，实际上两个合数也可以互质（如8和9）。 3. 规律记反：倍数关系时，误以为最大公因数是大数、最小公倍数是小数。 4. 遗漏1：找公因数时经常漏掉公因数1。 5. 应用错判：解决实际问题时，分不清是求最大公因数还是求最小公倍数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：列举法找最大公因数 【解题思路】 分别列出两个数的所有因数，从中找出公有的因数，再确定最大的那个。 【操作步骤】 第一步：成对列举出两个数各自的所有因数； 第二步：圈出两个数都有的因数（公因数）； 第三步：公因数中最大的数就是最大公因数。 【易错提升】 ● 易错点：找因数时漏掉1或数本身，导致公因数找不全。 　　→ 规避技巧：找因数从1开始成对写，最后检查首尾。 方法点拨2：列举法找最小公倍数 【解题思路】 分别列出两个数的部分倍数，从中找出公有的倍数，再确定最小的那个。 【操作步骤】 第一步：从小到大依次写出两个数的倍数（各写5-8个）； 第二步：圈出两个数都有的倍数（公倍数）； 第三步：公倍数中最小的数就是最小公倍数。 【易错提升】 ● 易错点：倍数写得太少，找不到公有的倍数。 　　→ 规避技巧：先写出较大数的倍数，再从中找较小数的倍数。 方法点拨3：特殊关系速判法 【解题思路】 先判断两个数是不是倍数关系或互质关系，是的话直接用结论，不用一一列举。 【操作步骤】 第一步：观察两数，大数÷小数没有余数 → 倍数关系； 第二步：公因数只有1 → 互质关系； 第三步：对应规律直接写出最大公因数和最小公倍数。 【易错提升】 ● 易错点：看到大数是偶数就认为是倍数关系。 　　→ 规避技巧：用大数除以小数，能整除才是倍数关系。 【第三部分】考点讲练 考点一：公因数与最大公因数的认识与找法 考查重点：理解公因数和最大公因数的意义，能用列举法正确找出两个数的公因数和最大公因数。 【典例精讲】 题目：找出12和18的所有公因数，以及它们的最大公因数。 【变式训练】 题目：找出24和36的最大公因数。 考点二：公倍数与最小公倍数的认识与找法 考查重点：理解公倍数和最小公倍数的意义，能用列举法正确找出两个数的公倍数和最小公倍数。 【典例精讲】 题目：找出6和8的公倍数（写出3个），以及它们的最小公倍数。 【变式训练】 题目：找出4和10的最小公倍数。 考点三：特殊关系的最大公因数与最小公倍数 考查重点：掌握倍数关系、互质关系的快速规律，能直接写出对应结果。 【典例精讲】 题目：直接写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）7和14　（2）5和9 【变式训练】 题目：直接写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）8和24　（2）10和11 考点四：公因数与公倍数的实际应用 考查重点：能结合实际情境，判断是求最大公因数还是最小公倍数，并解决问题。 【典例精讲】 题目：有两根彩带，分别长12分米和18分米。现在要把它们截成同样长的小段，且没有剩余。每小段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 【变式训练】 题目：用长6厘米、宽4厘米的长方形纸片拼正方形，正方形的边长最小是多少厘米？至少需要多少张这样的纸片？ 【第四部分】专项提升练习 1．学生参加某项比赛，平均每组6人余1人，平均每组8人也余1人，则参赛的学生最少____人。 2．两个整数和为90，最小公倍数为385，则这两个数的最大公因数是____。 3．唯一的偶素数和最小的合数的最小公倍数是____。 4．自然数390，369，425被某自然数（且大于1）除时余数相同，那么2014被这个自然数除的余数是__________。 5．红星茶社有一款名优瑞草魁绿茶，如果6盒装一箱少1盒，8盒装一箱多7盒，这批瑞草魁绿茶至少( )盒。 6．如果A＝2×5×7，B＝2×3×5。那么A和B的最大公因数是____________，最小公倍数是___________。 7．求下列各组数的最大公因数。 14和98        48和108           56，84和210 8．求下面各组数的最小公倍数。 （1）12和10    （2）9和15    （3）42和7    （4）11和17 9．用短除法求下面每组数的最大公因数。 66和24         39和52         48和56 10．求出下面每组数的最小公倍数和最大公因数，把过程写下来。 5和10    24和36 11．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和11        36和54        16和48 12．求下面各组数的最大公因数。 4和13        18和27        20和50 13．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和24                     13和91 28和42                      7和9 14．求下面各组数最大公因数和最小公倍数。 18和24    8和9    45和20 16和18    20和40    13和52 15．运动会团体操表演过程中，要求在队伍变换成12行，15行，18行时，队形都为长方形，问参加团体操表演最少需要有多少人？ 16．茶叶盒内需用一块黄色正方形绸缎作为装饰。一块长2米、宽1.6米的长方形绸缎，现将它裁剪成大小相等的正方形，且没有剩余，最少可以裁成多少块这样的正方形绸缎？此时正方形面积是多少平方分米？ 17．暑假期间，乐乐准备用一张长84厘米、宽60厘米的长方形彩色卡纸裁成同样大的正方形且没有剩余，想要剪出边长最大的正方形，一共能裁剪出多少个这样大的正方形？ 18．有两根彩带，长度分别是96厘米和60厘米，现在要把它们截成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以截成多少根？ 19．学校买来了一批跳绳，数量在90到100之间。如果将这些跳绳平均分给8个班，正好分完；如果平均分给6个班，也正好分完。学校一共买了多少根跳绳？ 20．学校进行“六一”彩排活动，某班的学生人数在40人到50人之间，如果6人站一队或者4人站一队都正好站完，这个班有多少个学生？ 21．西双湖农场有一块长105米、宽75米的长方形菜地，计划分成若干个同样大小的正方形种植区域（边长为整米数），且区域之间无空隙。正方形种植区域的边长最大是多少米？至少能划分成多少个这样的种植区域？ 22．AI编程社团要用长36厘米、宽24厘米的长方形木板制作正方形编程模块，要求裁出的正方形大小相同且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形？ 23．五年级同学进行军体拳展示，每个班的学生人数都不超过40人，其中五（1）班同学排成方阵时，正好可以排成5行或7行。这个班共有多少人？ 24．学校买来两根长绳，一根长32米，另一根长48米。现在需要把这两根长绳截成同样长的短绳且没有剩余。每根短绳最长是多少米？一共可以截成几根？ 25．有一张长方形纸，长36厘米，宽24厘米。如果要剪成若干个相同大小的正方形而没有剩余，剪成的小正方形的边长最大是多少？一共可以剪成多少个这样的小正方形？ 26．社团活动时，王老师要求同学们将一块长为75厘米，宽为60厘米的长方形大卡纸，裁成若干个同样大小的小正方形备用，小正方形的边长是整厘米数，大卡纸不能有任何剩余。请问：能裁出的小正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁成多少块这样的小正方形？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数（公因数和公倍数）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、公因数与最大公因数 1. 定义 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 　　- 示例：12的因数有1、2、3、4、6、12；16的因数有1、2、4、8、16。 　　　12和16公有的因数是1、2、4，其中最大的是4，所以4就是12和16的最大公因数。 2. 表示方法：通常用符号表示两个数的最大公因数，例如。 3. 基本特点 　　- 公因数的个数是有限的，最小的公因数一定是1； 　　- 最大公因数不会超过两个数中较小的那个数。 二、公倍数与最小公倍数 1. 定义 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 　　- 示例：4的倍数有4、8、12、16、20、24……；6的倍数有6、12、18、24……。 　　　4和6公有的倍数有12、24……，其中最小的是12，所以12就是4和6的最小公倍数。 2. 表示方法：通常用符号表示两个数的最小公倍数，例如。 3. 基本特点 　　- 公倍数的个数是无限的，没有最大的公倍数； 　　- 最小公倍数不会小于两个数中较大的那个数。 三、互质数 公因数只有1的两个数，叫做互质数。 - 常见的互质情况： 　1. 两个不同的质数一定互质，如3和7； 　2. 相邻的两个自然数一定互质，如8和9； 　3. 1和任何非0自然数都互质，如1和10； 　4. 两个合数也可能互质，如8和15。 - 注意：互质数不是指两个数都是质数，而是指它们的公因数只有1。 四、两种特殊关系的快速规律 1. 倍数关系 当两个数成倍数关系时： - 最大公因数是其中较小的数； - 最小公倍数是其中较大的数。 　　- 示例：6和12，12是6的倍数，所以，。 2. 互质关系 当两个数互质时： - 最大公因数是1； - 最小公倍数是两个数的乘积。 　　- 示例：5和7互质，所以，。 五、常见易错点 1. 概念混淆：把最大公因数和最小公倍数搞反，或者误以为公倍数有最大的。 2. 互质误解：认为互质数必须都是质数，实际上两个合数也可以互质（如8和9）。 3. 规律记反：倍数关系时，误以为最大公因数是大数、最小公倍数是小数。 4. 遗漏1：找公因数时经常漏掉公因数1。 5. 应用错判：解决实际问题时，分不清是求最大公因数还是求最小公倍数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：列举法找最大公因数 【解题思路】 分别列出两个数的所有因数，从中找出公有的因数，再确定最大的那个。 【操作步骤】 第一步：成对列举出两个数各自的所有因数； 第二步：圈出两个数都有的因数（公因数）； 第三步：公因数中最大的数就是最大公因数。 【易错提升】 ● 易错点：找因数时漏掉1或数本身，导致公因数找不全。 　　→ 规避技巧：找因数从1开始成对写，最后检查首尾。 方法点拨2：列举法找最小公倍数 【解题思路】 分别列出两个数的部分倍数，从中找出公有的倍数，再确定最小的那个。 【操作步骤】 第一步：从小到大依次写出两个数的倍数（各写5-8个）； 第二步：圈出两个数都有的倍数（公倍数）； 第三步：公倍数中最小的数就是最小公倍数。 【易错提升】 ● 易错点：倍数写得太少，找不到公有的倍数。 　　→ 规避技巧：先写出较大数的倍数，再从中找较小数的倍数。 方法点拨3：特殊关系速判法 【解题思路】 先判断两个数是不是倍数关系或互质关系，是的话直接用结论，不用一一列举。 【操作步骤】 第一步：观察两数，大数÷小数没有余数 → 倍数关系； 第二步：公因数只有1 → 互质关系； 第三步：对应规律直接写出最大公因数和最小公倍数。 【易错提升】 ● 易错点：看到大数是偶数就认为是倍数关系。 　　→ 规避技巧：用大数除以小数，能整除才是倍数关系。 【第三部分】考点讲练 考点一：公因数与最大公因数的认识与找法 考查重点：理解公因数和最大公因数的意义，能用列举法正确找出两个数的公因数和最大公因数。 【典例精讲】 题目：找出12和18的所有公因数，以及它们的最大公因数。 【分析】 先分别找出12和18的所有因数，再从中找出公有的因数，其中最大的就是最大公因数。 【详解】 12的因数：1、2、3、4、6、12 18的因数：1、2、3、6、9、18 公有的因数：1、2、3、6 其中最大的是6。 答：12和18的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6，即。 【答案】公因数：1、2、3、6；最大公因数：6 【变式训练】 题目：找出24和36的最大公因数。 【分析】 分别列举两个数的因数，找出公因数后确定最大的一个。 【详解】 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24 36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 公因数：1、2、3、4、6、12 最大公因数是12。 答：24和36的最大公因数是12。 【答案】12 考点二：公倍数与最小公倍数的认识与找法 考查重点：理解公倍数和最小公倍数的意义，能用列举法正确找出两个数的公倍数和最小公倍数。 【典例精讲】 题目：找出6和8的公倍数（写出3个），以及它们的最小公倍数。 【分析】 分别列举6和8的倍数，找出公有的倍数，其中最小的就是最小公倍数。 【详解】 6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48…… 8的倍数：8、16、24、32、40、48…… 公有的倍数：24、48、72…… 其中最小的是24。 答：6和8的公倍数有24、48、72（答案不唯一），最小公倍数是24，即。 【答案】公倍数：24、48、72（示例）；最小公倍数：24 【变式训练】 题目：找出4和10的最小公倍数。 【分析】 列举两个数的倍数，找到第一个公有的倍数就是最小公倍数。 【详解】 4的倍数：4、8、12、16、20、24…… 10的倍数：10、20、30…… 第一个公有的倍数是20。 答：4和10的最小公倍数是20。 【答案】20 考点三：特殊关系的最大公因数与最小公倍数 考查重点：掌握倍数关系、互质关系的快速规律，能直接写出对应结果。 【典例精讲】 题目：直接写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）7和14　（2）5和9 【分析】 先判断每组数的关系：第一组14是7的倍数，属于倍数关系；第二组5和9公因数只有1，属于互质关系，再对应规律直接写出结果。 【详解】 （1）14是7的倍数（倍数关系） 最大公因数是较小数：7 最小公倍数是较大数：14 （2）5和9互质（互质关系） 最大公因数是1 最小公倍数是两数乘积： 【答案】 （1）最大公因数7，最小公倍数14； （2）最大公因数1，最小公倍数45。 【变式训练】 题目：直接写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）8和24　（2）10和11 【分析】 先判断关系：第一组24是8的倍数，倍数关系；第二组10和11相邻，互质关系。 【详解】 （1）倍数关系 最大公因数：8 最小公倍数：24 （2）互质关系 最大公因数：1 最小公倍数： 【答案】 （1）最大公因数8，最小公倍数24； （2）最大公因数1，最小公倍数110。 考点四：公因数与公倍数的实际应用 考查重点：能结合实际情境，判断是求最大公因数还是最小公倍数，并解决问题。 【典例精讲】 题目：有两根彩带，分别长12分米和18分米。现在要把它们截成同样长的小段，且没有剩余。每小段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 【分析】 截成同样长且没有剩余，说明每段长度是12和18的公因数；求最长是多少，就是求最大公因数。算出最大公因数后，再分别算段数相加。 【详解】 每小段最长长度：就是12和18的最大公因数。 12和18的最大公因数是6，所以每小段最长6分米。 段数：（段） 答：每小段最长是6分米，一共可以截成5段。 【答案】6分米；5段 【变式训练】 题目：用长6厘米、宽4厘米的长方形纸片拼正方形，正方形的边长最小是多少厘米？至少需要多少张这样的纸片？ 【分析】 拼成正方形，说明正方形边长既是6的倍数，又是4的倍数；求边长最小是多少，就是求最小公倍数。算出最小公倍数后，再算长和宽方向各需要几张，相乘得总张数。 【详解】 正方形最小边长：就是6和4的最小公倍数。 6和4的最小公倍数是12，所以边长最小是12厘米。 长方向：（张） 宽方向：（张） 总张数：（张） 答：正方形的边长最小是12厘米，至少需要6张纸片。 【答案】12厘米；6张 【第四部分】专项提升练习 1．学生参加某项比赛，平均每组6人余1人，平均每组8人也余1人，则参赛的学生最少____人。 【答案】25 【分析】平均每组6人余1人，平均每组8人也余1人，据此可知参赛总人数去掉多出来的1人之后，剩下的人数刚好能被6和8分别整除，也就是剩下的人数是6和8的公倍数。要求最少的参赛人数，先计算出6和8的最小公倍数，再加上之前余下的1人即可。 计算最小公倍数时，要先对两个数分解质因数，再用公有的质因数和各自独有的质因数相乘得到结果。 【详解】6＝3×2 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数：3×2×2×2＝24 24＋1＝25（人） 即参赛的学生最少25人。 2．两个整数和为90，最小公倍数为385，则这两个数的最大公因数是____。 【答案】5 【分析】先把最小公倍数385分解质因数5×7×11，1×385＝385，5×77＝385，35×11＝385，7×55＝385；即385的因数有1、5、7、11、35、55、77、385。因为两个整数和为90，最小公倍数为385，那么这两个整数一定是385的因数，因此从385的因数里选，且满足和为90的两数即可。全部公有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数；据此求出这两个整数的最大公因数即可。 【详解】385＝5×7×11 因为1×385＝385，5×77＝385，35×11＝385，7×55＝385 所以385的因数有1、5、7、11、35、55、77、385。 又因为35＋55＝90 所以这两个整数位35和55。 35＝5×7 55＝5×11 35和55的最大公因数为：5； 即两个整数和为90，最小公倍数为385，则这两个数的最大公因数是5。 3．唯一的偶素数和最小的合数的最小公倍数是____。 【答案】4 【分析】先确定唯一的偶素数是什么，因为素数中只有2是偶数，所以可以得到第一个数。 再确定最小的合数是什么，因为合数是大于1且除了1和自身还有其他因数的数，所以可以得到第二个数。 最后计算两个数的最小公倍数，如果两个数存在倍数关系，那么可以直接根据倍数关系的最小公倍数规则得出结果。 【详解】唯一的偶素数是2，，最小的合数是4，4是2的倍数，那么它们的最小公倍数是4。 4．自然数390，369，425被某自然数（且大于1）除时余数相同，那么2014被这个自然数除的余数是__________。 【答案】5 【分析】根据余数的性质，若几个自然数被同一个自然数除得的余数相同，则这几个自然数两两之差能被这个自然数整除。先求出已知三个数两两的差，再找出这些差的大于1的公因数以确定除数，最后计算2014除以该除数的余数。 【详解】因为390，369，425被某自然数除时余数相同，所以这个自然数能整除它们两两的差。 计算差值：、。 求21和35的公因数： 21 的因数有1，3，7，21。 35 的因数有1，5，7，35。 21 和 35 的公因数是1和7。 因为题目要求该自然数大于 1，所以这个自然数是7。 验证第三个差：，，能整除，符合题意。 计算2014除以7的余数： 所以 2014 被这个自然数除的余数是5。 5．红星茶社有一款名优瑞草魁绿茶，如果6盒装一箱少1盒，8盒装一箱多7盒，这批瑞草魁绿茶至少( )盒。 【答案】23 【分析】6盒装一箱少1盒，说明总盒数加1后刚好能被6整除，8盒装一箱多7盒，说明总盒数加1后刚好能被8整除，即先求出6和8的最小公倍数，然后减1即可。 【详解】 6和8的最小公倍数：2×3×4＝24 24－1＝23（盒） 即红星茶社有一款名优瑞草魁绿茶，如果6盒装一箱少1盒，8盒装一箱多7盒，这批瑞草魁绿茶至少23盒。 6．如果A＝2×5×7，B＝2×3×5。那么A和B的最大公因数是____________，最小公倍数是___________。 【答案】 10 210 【分析】当两个数已经写成质因数乘积的形式时，最大公因数等于它们所有公有质因数的乘积，最小公倍数等于它们公有质因数与各自独有质因数的乘积。 【详解】A和B的最大公因数是：，最小公倍数是：。 7．求下列各组数的最大公因数。 14和98        48和108           56，84和210 【答案】14；12；14 【分析】求最大公因数时，若两数成倍数关系，最大公因数是较小数；一般情况用短除法，将公有的质因数从小到大依次作为除数去除各数，直到商只有公因数1，所有除数的乘积就是最大公因数。 【详解】14和98：因为，98是14的倍数，所以14和98的最大公因数是14。 48和108： 48和108的最大公因数是12。 56、84和210： 56、84和210的最大公因数是14。 8．求下面各组数的最小公倍数。 （1）12和10    （2）9和15    （3）42和7    （4）11和17 【答案】（1）60；（2）45；（3）42；（4）187 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的质因数与每个数独有的质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最小公倍数是两数的乘积。当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数是较大数。 【详解】（1）12＝2×2×3 10＝2×5 12和10的最小公倍数是2×2×3×5＝60； （2）9＝3×3 15＝3×5 9和15的最小公倍数是3×3×5＝45； （3）42和7是倍数关系，所以42和7的最小公倍数是42； （4）11和17是互质数，所以11和17的最小公倍数是11×17＝187。 9．用短除法求下面每组数的最大公因数。 66和24         39和52         48和56 【答案】6；13；8 【分析】用短除法求两个数的最大公因数时，从两个数公有的最小质因数除起，一直除下去，直到除得的两个商互质为止；然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。 【详解】 所以，66和24的最大公因数是：2×3＝6； 所以，39和52的最大公因数是：13； 所以，48和56的最大公因数是：2×2×2＝8。 10．求出下面每组数的最小公倍数和最大公因数，把过程写下来。 5和10    24和36 【答案】 5和10最大公因数是5，最小公倍数是10； 24和36最大公因数是12，最小公倍数是72。 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，一般采用分解质因数的方法。如果两个数成倍数关系，较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数；如果是一般关系，公有质因数的乘积是最大公因数，公有质因数与各自独有质因数的乘积是最小公倍数。 【详解】10÷5＝2，10是5的倍数，5是10的因数。 所以，5和10最大公因数是5，最小公倍数是10。 分解质因数：24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3 2×2×3＝12，2×2×2×3×3＝72 所以，24和36最大公因数是12，最小公倍数是72。 11．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和11        36和54        16和48 【答案】 和 ：最大公因数 ，最小公倍数 ； 和 ：最大公因数 ，最小公倍数 ； 和 ：最大公因数 ，最小公倍数 。 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】5和11是互质数：两个互质的数（只有1这一个共同因数），最大公因数直接是1，最小公倍数是两个数的乘积，也就是5×11＝55。 36和54是普通的有多个公因数的数：先把两个数分解为质数相乘的形式： ， 最大公因数：； 最小公倍数： 16和48是倍数关系：48是16的3倍，当两个数有倍数关系时，最大公因数是其中较小的数16，最小公倍数是其中较大的数48。 12．求下面各组数的最大公因数。 4和13        18和27        20和50 【答案】1；9；10 【解析】对每一组的两个数分别分解质因数，两个数的最大公因数是这两个数公共的质因数的乘积。 【详解】4和13互质，4和13的最大公因数是1； ，； 18和27的最大公因数是； ，； 20和50的最大公因数是。 13．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和24                     13和91 28和42                      7和9 【答案】36和24的最大公因数是12，最小公倍数是72；13和91的最大公因数是13，最小公倍数是91； 28和42的最大公因数是14，最小公倍数是84；7和9的最大公因数是1，最小公倍数是63 【分析】短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。 把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数。 【详解】，2×2×3＝12；2×2×2×3×3＝72 36和24的最大公因数是12，最小公倍数是72。 91÷13＝7，13和91的最大公因数是13，最小公倍数是91。 ，2×7＝14，2×2×3×7＝84 28和42的最大公因数是14，最小公倍数是84。 7×9＝63，7和9的最大公因数是1，最小公倍数是63。 14．求下面各组数最大公因数和最小公倍数。 18和24    8和9    45和20 16和18    20和40    13和52 【答案】6、72；1、72；5、180； 2、144；20、40；13、52 【解析】略 15．运动会团体操表演过程中，要求在队伍变换成12行，15行，18行时，队形都为长方形，问参加团体操表演最少需要有多少人？ 【答案】180人 【分析】根据题意可知，总人数需同时是12、15、18的倍数，求最少人数就是求这三个数的最小公倍数。先把12、15、18分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，据此解答。 【详解】12＝2×2×3 15＝3×5 18＝2×3×3 12、15、18的最小公倍数：2×2×3×3×5＝180 即总人数至少有180人。 答：参加团体操表演最少需要有180人。 16．茶叶盒内需用一块黄色正方形绸缎作为装饰。一块长2米、宽1.6米的长方形绸缎，现将它裁剪成大小相等的正方形，且没有剩余，最少可以裁成多少块这样的正方形绸缎？此时正方形面积是多少平方分米？ 【答案】 20块；16平方分米 【分析】要使裁剪的正方形块数最少且没有剩余，正方形的边长应是长方形长和宽的最大公因数。先统一单位为分米，再求长和宽的最大公因数得到正方形边长，再用长方形的长和宽分别除以正方形的边长，然后相乘即可得到可以裁成的正方形块数。再根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据求解。 【详解】2米＝2×10＝20分米 1.6米＝1.6×10＝16分米 的因数有：、、、、、 的因数有：、、、、 和的最大公因数是，即正方形边长为分米。 长可裁剪的块数：（块） 宽可裁剪的块数：（块） 总块数：（块） 正方形面积：（平方分米） 答：最少可以裁成块这样的正方形绸缎，此时正方形的面积是平方分米。 17．暑假期间，乐乐准备用一张长84厘米、宽60厘米的长方形彩色卡纸裁成同样大的正方形且没有剩余，想要剪出边长最大的正方形，一共能裁剪出多少个这样大的正方形？ 【答案】35个 【分析】如果要裁成同样大的正方形且无剩余、边长最大，那么正方形的边长应为长方形长和宽的最大公因数。先求出84和60的最大公因数，再分别计算长、宽上面裁剪正方形边长的数量，最后相乘得到裁剪正方形的总数量。 【详解】84＝2×2×3×7 60＝2×2×3×5 84和60的最大公因数是2×2×3＝12。 （84÷12）×（60÷12） ＝7×5 ＝35（个） 答：一共能裁剪出35个这样大的正方形。 18．有两根彩带，长度分别是96厘米和60厘米，现在要把它们截成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以截成多少根？ 【答案】12厘米；13根 【分析】截成同样长且无剩余的短彩带，其长度是96和60的公因数，求最长长度就是求这两个数的最大公因数，两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数。再分别计算两根彩带可截的段数，相加得到总段数。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 60＝2×2×3×5 96和60的最大公因数是2×2×3＝12；每根短彩带最长是12厘米。 96÷12＋60÷12 ＝8＋5 ＝13（根） 答：每根短彩带最长是12厘米，一共可以截成13根。 19．学校买来了一批跳绳，数量在90到100之间。如果将这些跳绳平均分给8个班，正好分完；如果平均分给6个班，也正好分完。学校一共买了多少根跳绳？ 【答案】 96根 【分析】跳绳数量平均分给8个班或6个班都正好分完，说明跳绳数量是8和6的公倍数，找出90到100之间的8和6的公倍数，就是跳绳的总数量。 【详解】，； 6和8的最小公倍数是：； 24的倍数：、、、、、 因为 ，所以符合条件的数是96。 答：学校一共买了96根跳绳。 20．学校进行“六一”彩排活动，某班的学生人数在40人到50人之间，如果6人站一队或者4人站一队都正好站完，这个班有多少个学生？ 【答案】48个 【分析】学生人数是6和4的公倍数，需找出40到50之间符合条件的数，先求两数的最小公倍数，再找范围内的倍数即可。 求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积。 【详解】6和4的最小公倍数： （个） 48在40到50之间，符合题意。 答：这个班有48个学生。 21．西双湖农场有一块长105米、宽75米的长方形菜地，计划分成若干个同样大小的正方形种植区域（边长为整米数），且区域之间无空隙。正方形种植区域的边长最大是多少米？至少能划分成多少个这样的种植区域？ 【答案】15米；35个 【分析】根据题意可知，正方形的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求正方形地的边长最大是多少，就是求长和宽的最大公因数。求出正方形的边长后，用长方形的长和宽分别除以正方形的边长，得到长和宽方向上各能划分出的个数，再将这两个数相乘，即可得到一共可以划分出的正方形总个数。 【详解】 105和75的最大公因数是： （个） 答：正方形种植区域的边长最大是15米；至少能划分成35个这样的种植区域。 22．AI编程社团要用长36厘米、宽24厘米的长方形木板制作正方形编程模块，要求裁出的正方形大小相同且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形？ 【答案】12厘米；6个 【分析】要裁出无剩余的最大正方形，正方形边长是长方形长和宽的最大公因数；分别用长和宽除以正方形边长，得到长和宽方向分别能裁的个数，两个数相乘就是总个数。 【详解】36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是2×2×3＝12 （36÷12）×（24÷12） ＝3×2 ＝6（个） 答：正方形的边长最大是12厘米，可以裁出6个这样的正方形。 23．五年级同学进行军体拳展示，每个班的学生人数都不超过40人，其中五（1）班同学排成方阵时，正好可以排成5行或7行。这个班共有多少人？ 【答案】人 【分析】（）因为排成每行人数相等的队列时，总人数是行数的倍数，所以如果能排成行的方阵，那么总人数是的倍数；如果能排成行的方阵，那么总人数是的倍数。 （）因为总人数同时是和的倍数，所以需要先求出和的公倍数。 （）再结合班级人数不超过人的限制条件，从公倍数中筛选出符合要求的数值。 【详解】因为排成行或行都正好没有剩余，所以班级人数是和的公倍数。和的最小公倍数是： 因为，符合每班人数不超过人的要求，所以这个班共有人。 答：这个班共有人。 24．学校买来两根长绳，一根长32米，另一根长48米。现在需要把这两根长绳截成同样长的短绳且没有剩余。每根短绳最长是多少米？一共可以截成几根？ 【答案】16米；5根 【分析】截成同样长的短绳且没有剩余，说明短绳长度是32和48的公因数；求每根短绳的最长长度，就是求32和48的最大公因数。再分别计算两根长绳能截成的段数，相加得到总段数。 【详解】32＝2×2×2×2×2 48＝2×2×2×2×3 32和48的最大公因数是：2×2×2×2＝16 32÷16＝2（根）    48÷16＝3（根） 2＋3＝5（根） 答：每根短绳最长是16米；一共可以截成5根。 25．有一张长方形纸，长36厘米，宽24厘米。如果要剪成若干个相同大小的正方形而没有剩余，剪成的小正方形的边长最大是多少？一共可以剪成多少个这样的小正方形？ 【答案】剪成的小正方形的边长最大是12厘米，一共可以剪成6个这样的小正方形。 【分析】要剪成若干个相同大小的正方形且没有剩余，小正方形的最大边长是长和宽的最大公因数；先用分解质因数法求出最大公因数，即小正方形的最大边长，再用长、宽分别除以最大边长，最后将得到的两个数相乘即可求出总个数。 【详解】36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数为2×2×3＝12 （36÷12）×（24÷12） ＝3×2 ＝6（个） 答：剪成的小正方形的边长最大是12厘米，一共可以剪成6个这样的小正方形。 26．社团活动时，王老师要求同学们将一块长为75厘米，宽为60厘米的长方形大卡纸，裁成若干个同样大小的小正方形备用，小正方形的边长是整厘米数，大卡纸不能有任何剩余。请问：能裁出的小正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁成多少块这样的小正方形？ 【答案】 15厘米；20块 【分析】根据题意，小正方形的边长既是75的因数，又是60的因数，即小正方形的边长是75和60的公因数，要使长方形卡纸无剩余且裁出的小正方形边长最大，小正方形的边长应为75和60的最大公因数；求出小正方形最大边长后，分别计算长÷小正方形最大边长可得长方向可裁的块数，宽÷小正方形最大边长可得宽方向可裁的块数，最后相乘得到总块数。 【详解】分解质因数得：75＝3×5×5，60＝2×2×3×5 75和60的最大公因数是：3×5＝15 即小正方形最大边长是15厘米。 （75÷15）×（60÷15） ＝5×4 ＝20（块） 答：能裁出的小正方形的边长最大是15厘米，一共可以裁成20块这样的小正方形。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $