第六单元 因数与倍数（2、5、3的倍数的特征认识及应用）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学五年级上册（新教材）

第六单元 因数与倍数（2、5、3的倍数的特征认识及应用）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、2的倍数的特征与奇偶性 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 　　- 判断2的倍数只需要看个位，和十位、百位等其他数位无关。 2. 偶数与奇数 　　- 偶数：是2的倍数的数叫做偶数。0也是偶数，最小的偶数是0。 　　- 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。 　　- 自然数按是不是2的倍数，可以分为奇数和偶数两类；所有自然数不是奇数就是偶数。 　　- 特征：偶数个位是0、2、4、6、8；奇数个位是1、3、5、7、9。 二、5的倍数的特征 个位上是0或5的数，都是5的倍数。 - 判断5的倍数也只看个位，个位是0或5就满足条件。 三、同时是2和5的倍数的特征 个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数（也就是10的倍数）。 - 只有个位是0这一种情况，能同时满足2和5的倍数特征。 四、3的倍数的特征 一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 - 重要区别：判断3的倍数不能只看个位，必须把所有数位上的数字相加，看总和是不是3的倍数。 - 个位上是3、6、9的数，不一定是3的倍数（例如13、26、29都不是3的倍数）。 五、同时是2、3、5的倍数的特征 个位上是0，且各位上数字的和是3的倍数，这个数就同时是2、3、5的倍数（也就是30的倍数）。 - 最小的同时是2、3、5的倍数的数是30。 六、常见易错点 1. 3的倍数只看个位：误以为个位是3、6、9的数就是3的倍数，正确方法是看各位数字之和。 2. 0不是偶数：0能被2整除，0是偶数，也是最小的偶数。 3. 同时是2和5的倍数个位可以是5：错误，必须个位是0才能同时满足。 4. 数字和算错：计算各位数字和时漏加某一位，导致判断错误。 5. 混淆特征：把3的倍数特征和2、5的倍数特征记混，都去看个位。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：2、5倍数个位速判法 【解题思路】 判断2、5的倍数，只看个位数字，无需计算其他数位，一秒快速判断。 【操作步骤】 第一步：锁定个位数字； 第二步：个位是0、2、4、6、8 → 2的倍数（偶数）； 第三步：个位是0、5 → 5的倍数； 第四步：个位是0 → 既是2的倍数又是5的倍数。 【易错提升】 ● 易错点：混淆2和5的倍数个位特征。 　　→ 规避技巧：记口诀"2看偶，5看05，同是0"。 方法点拨2：3倍数求和验证法 【解题思路】 判断3的倍数，把各位数字相加求和，再看和是不是3的倍数。 【操作步骤】 第一步：把这个数每个数位上的数字依次相加； 第二步：算出数字总和； 第三步：总和是3的倍数，原数就是3的倍数；总和不是，原数就不是。 【易错提升】 ● 易错点：漏加某一位数字，或者加法计算错误。 　　→ 规避技巧：加完再验算一遍，确保数字和计算正确。 方法点拨3：多重特征综合判定法 【解题思路】 判断同时满足多个倍数特征，先看最容易判断的个位特征，再验证3的倍数特征，分步筛选。 【操作步骤】 第一步：先看个位，筛选出满足2、5倍数特征的数； 第二步：计算剩下数的各位数字和，筛选出3的倍数； 第三步：同时满足所有特征，才是符合要求的数。 【易错提升】 ● 易错点：只满足一个特征就判定全部符合。 　　→ 规避技巧：逐个特征核对，全部符合才确认。 【第三部分】考点讲练 考点一：2、5的倍数特征与奇数偶数 考查重点：掌握2、5的倍数特征，能正确区分奇数和偶数。 【典例精讲】 题目：在12、25、40、63、78、100、37、99这些数中： 哪些是2的倍数？哪些是5的倍数？哪些是偶数？哪些是奇数？ 【变式训练】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）个位是0的数，既是2的倍数又是5的倍数。（　） （2）最小的偶数是2。（　） （3）所有的自然数不是奇数就是偶数。（　） 考点二：3的倍数的特征与判断 考查重点：掌握3的倍数特征，能正确判断一个数是不是3的倍数。 【典例精讲】 题目：下面的数中，哪些是3的倍数？ 15、23、42、111、315、500 【变式训练】 题目：在□里填一个数字，使每个数都是3的倍数。 （1）2□　（2）□5　（3）1□2 考点三：同时是2、3、5的倍数的特征 考查重点：掌握同时满足多个倍数特征的判断方法，能找出符合条件的数。 【典例精讲】 题目：在30、45、60、90、105、120这些数中，哪些同时是2、3、5的倍数？ 【变式训练】 题目：一个两位数，同时是2和5的倍数，十位与个位数字之和是3，这个两位数是多少？ 考点四：倍数特征的实际应用 考查重点：能运用倍数特征解决分组、排队、分配等实际问题。 【典例精讲】 题目：学校组织广播操比赛，参赛人数在20到50之间。如果每排站2人正好站完，每排站3人也正好站完，每排站5人也正好站完。参加比赛的一共有多少人？ 【变式训练】 题目：有一堆苹果，3个3个地数正好数完，5个5个地数也正好数完。这堆苹果不到40个，最多有多少个？ 【第四部分】专项提升练习 1．一个三位数，既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最小是( )。 2．下面的数中，5的倍数有_____________，2的倍数有_____________。3的倍数有_____________。既是2的倍数，又是5的倍数的有_____________。 3．一个两位数4，如果它同时是2和3的倍数，那么里填________；如果它同时是2和5的倍数，那么里填________。 4．三位数□4□，同时是3、5倍数有____个；同时是2、3、5倍数，百位填_______。 5．一个三位数□2□，如果它是2和5的倍数，这个数最小是( )；如果它既是2和5的倍数，同时又是3的倍数，这个数最大是( )。 6．从0、3、4、9这四个数字中选出三个，组成一个同时是2、3、5倍数的三位数，这个三位数最大是( )。 7．古稀：七十岁。方爷爷已过古稀之年，未到80岁，且他的年龄既是2的倍数又有因数3。方爷爷的年龄最大是( )岁。 8．在四位数12□0的□里填1个数字，使它同时是2、3、5的倍数，最多有( )种填法。 9．一个两位数，既是2和5的倍数，又有因数3，这个数最小是( )，最大是( )。 10．既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )，既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。 11．从0，3，4，5四个数字中，选三个组成同时含因数2和3的最小三位数是( )；组成一个同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 12．滨湾小学五年级科技小组的130名学生到深圳科技馆参观，他们分组体验地震逃生演习，如果每组2人，能正好分完吗？每组3人呢？每组5人呢？为什么？请分别说明理由。 13．王叔叔给自己的手机设置了一个四位数锁屏密码“5□7□”，已知这个四位数既有因数2，又是3和5的倍数。王叔叔的手机锁屏密码有几种可能？请你列举出来。（请写出思考过程） 14．有以下四张数字卡牌，任意抽两张组成一个两位数。是3的倍数的有哪些数？同时是2和3的倍数的有哪些数？同时是3和5的倍数的有哪些数？（写出全部可能） 15．歌唱团分组，无论是2人一组，3人一组，还是5人一组，都正好分完。如果歌唱团的总人数在50~70之间，那么歌唱团有多少人？ 16．星星小学准备45∽75名学生参加全区合唱比赛，且男、女生人数相等。老师将所有队员进行了分组，既可以分成3组，也可以分成5组，都正好分完。参加合唱比赛的队员有多少名？ 17．从下面的4张数字卡片中任选几张按要求组数。 (1)同时是3和5的倍数的三位数有哪些？（写出2个即可） (2)同时是2，3，5的倍数的两位数是哪个？ 18．一个四位数2a7b（a和b分别表示百位和个位上的不同的数字），已知这个数同时是2，3，5的倍数，这个四位数可能是多少？ 19．有一个三位数，能同时是2和3的倍数，而且三个数位上的数字都是互不相同的质数，这个三位数可能是多少？ 20．有三路公交车从同一站点同时出发。1路车每2分发车一辆，3路车每3分发车一辆，6路车每5分发车一辆，这三路公交车至少再过多少分会同时发车？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数（2、5、3的倍数的特征认识及应用）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、2的倍数的特征与奇偶性 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 　　- 判断2的倍数只需要看个位，和十位、百位等其他数位无关。 2. 偶数与奇数 　　- 偶数：是2的倍数的数叫做偶数。0也是偶数，最小的偶数是0。 　　- 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。 　　- 自然数按是不是2的倍数，可以分为奇数和偶数两类；所有自然数不是奇数就是偶数。 　　- 特征：偶数个位是0、2、4、6、8；奇数个位是1、3、5、7、9。 二、5的倍数的特征 个位上是0或5的数，都是5的倍数。 - 判断5的倍数也只看个位，个位是0或5就满足条件。 三、同时是2和5的倍数的特征 个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数（也就是10的倍数）。 - 只有个位是0这一种情况，能同时满足2和5的倍数特征。 四、3的倍数的特征 一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 - 重要区别：判断3的倍数不能只看个位，必须把所有数位上的数字相加，看总和是不是3的倍数。 - 个位上是3、6、9的数，不一定是3的倍数（例如13、26、29都不是3的倍数）。 五、同时是2、3、5的倍数的特征 个位上是0，且各位上数字的和是3的倍数，这个数就同时是2、3、5的倍数（也就是30的倍数）。 - 最小的同时是2、3、5的倍数的数是30。 六、常见易错点 1. 3的倍数只看个位：误以为个位是3、6、9的数就是3的倍数，正确方法是看各位数字之和。 2. 0不是偶数：0能被2整除，0是偶数，也是最小的偶数。 3. 同时是2和5的倍数个位可以是5：错误，必须个位是0才能同时满足。 4. 数字和算错：计算各位数字和时漏加某一位，导致判断错误。 5. 混淆特征：把3的倍数特征和2、5的倍数特征记混，都去看个位。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：2、5倍数个位速判法 【解题思路】 判断2、5的倍数，只看个位数字，无需计算其他数位，一秒快速判断。 【操作步骤】 第一步：锁定个位数字； 第二步：个位是0、2、4、6、8 → 2的倍数（偶数）； 第三步：个位是0、5 → 5的倍数； 第四步：个位是0 → 既是2的倍数又是5的倍数。 【易错提升】 ● 易错点：混淆2和5的倍数个位特征。 　　→ 规避技巧：记口诀"2看偶，5看05，同是0"。 方法点拨2：3倍数求和验证法 【解题思路】 判断3的倍数，把各位数字相加求和，再看和是不是3的倍数。 【操作步骤】 第一步：把这个数每个数位上的数字依次相加； 第二步：算出数字总和； 第三步：总和是3的倍数，原数就是3的倍数；总和不是，原数就不是。 【易错提升】 ● 易错点：漏加某一位数字，或者加法计算错误。 　　→ 规避技巧：加完再验算一遍，确保数字和计算正确。 方法点拨3：多重特征综合判定法 【解题思路】 判断同时满足多个倍数特征，先看最容易判断的个位特征，再验证3的倍数特征，分步筛选。 【操作步骤】 第一步：先看个位，筛选出满足2、5倍数特征的数； 第二步：计算剩下数的各位数字和，筛选出3的倍数； 第三步：同时满足所有特征，才是符合要求的数。 【易错提升】 ● 易错点：只满足一个特征就判定全部符合。 　　→ 规避技巧：逐个特征核对，全部符合才确认。 【第三部分】考点讲练 考点一：2、5的倍数特征与奇数偶数 考查重点：掌握2、5的倍数特征，能正确区分奇数和偶数。 【典例精讲】 题目：在12、25、40、63、78、100、37、99这些数中： 哪些是2的倍数？哪些是5的倍数？哪些是偶数？哪些是奇数？ 【分析】 根据2、5的倍数特征看个位数字；偶数就是2的倍数，奇数就是不是2的倍数的数。 【详解】 2的倍数（个位0、2、4、6、8）：12、40、78、100 5的倍数（个位0、5）：25、40、100 偶数（是2的倍数）：12、40、78、100 奇数（不是2的倍数）：25、63、37、99 【答案】 2的倍数：12、40、78、100； 5的倍数：25、40、100； 偶数：12、40、78、100； 奇数：25、63、37、99。 【变式训练】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）个位是0的数，既是2的倍数又是5的倍数。（　） （2）最小的偶数是2。（　） （3）所有的自然数不是奇数就是偶数。（　） 【分析】 根据2、5倍数特征和奇数偶数的定义逐一判断。 【详解】 （1）√。个位是0，同时满足2的倍数和5的倍数的特征。 （2）×。0也是偶数，最小的偶数是0，不是2。 （3）√。自然数按奇偶性分类只有两类，不是奇数就是偶数。 【答案】（1）√；（2）×；（3）√ 考点二：3的倍数的特征与判断 考查重点：掌握3的倍数特征，能正确判断一个数是不是3的倍数。 【典例精讲】 题目：下面的数中，哪些是3的倍数？ 15、23、42、111、315、500 【分析】 把每个数各位上的数字相加，看和是不是3的倍数，是则原数是3的倍数。 【详解】 15：，6是3的倍数 → 15是3的倍数 23：，5不是3的倍数 → 23不是3的倍数 42：，6是3的倍数 → 42是3的倍数 111：，3是3的倍数 → 111是3的倍数 315：，9是3的倍数 → 315是3的倍数 500：，5不是3的倍数 → 500不是3的倍数 答：3的倍数有15、42、111、315。 【答案】15、42、111、315 【变式训练】 题目：在□里填一个数字，使每个数都是3的倍数。 （1）2□　（2）□5　（3）1□2 【分析】 各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，找出所有符合条件的数字。 【详解】 （1）的和是3的倍数 ，，，所以□可以填1、4、7。 （2）的和是3的倍数 ，，，所以□可以填1、4、7。 （3）的和是3的倍数 ，，，，所以□可以填0、3、6、9。 【答案】（1）1、4、7；（2）1、4、7；（3）0、3、6、9 考点三：同时是2、3、5的倍数的特征 考查重点：掌握同时满足多个倍数特征的判断方法，能找出符合条件的数。 【典例精讲】 题目：在30、45、60、90、105、120这些数中，哪些同时是2、3、5的倍数？ 【分析】 同时是2、3、5的倍数，需要满足两个条件：①个位是0（满足2和5的倍数）；②各位数字和是3的倍数。先按个位筛选，再验证3的倍数。 【详解】 第一步：个位是0的数：30、60、90、120（45、105个位是5，不是2的倍数，排除） 第二步：验证3的倍数： 30：，是3的倍数 → 满足 60：，是3的倍数 → 满足 90：，是3的倍数 → 满足 120：，是3的倍数 → 满足 答：同时是2、3、5的倍数的有30、60、90、120。 【答案】30、60、90、120 【变式训练】 题目：一个两位数，同时是2和5的倍数，十位与个位数字之和是3，这个两位数是多少？ 【分析】 同时是2和5的倍数，个位一定是0；再根据数字和求出十位数字。 【详解】 同时是2和5的倍数 → 个位数字是0 十位数字： 所以这个两位数是30。 验证：30个位是0，是2和5的倍数；，符合数字和条件。 【答案】30 考点四：倍数特征的实际应用 考查重点：能运用倍数特征解决分组、排队、分配等实际问题。 【典例精讲】 题目：学校组织广播操比赛，参赛人数在20到50之间。如果每排站2人正好站完，每排站3人也正好站完，每排站5人也正好站完。参加比赛的一共有多少人？ 【分析】 每排2、3、5人都正好站完，说明总人数同时是2、3、5的倍数，也就是30的倍数；找出20到50之间30的倍数即可。 【详解】 同时是2、5的倍数 → 个位是0 各位数字和是3的倍数 → 是3的倍数 满足条件的数是30、60、90…… 在20到50之间的只有30。 答：参加比赛的一共有30人。 【答案】30人 【变式训练】 题目：有一堆苹果，3个3个地数正好数完，5个5个地数也正好数完。这堆苹果不到40个，最多有多少个？ 【分析】 3个3个、5个5个都正好数完，说明苹果总数同时是3和5的倍数，也就是15的倍数；找出不到40的最大的15的倍数。 【详解】 同时是3和5的倍数，也就是15的倍数：15、30、45…… 不到40个，最大的是30。 答：最多有30个。 【答案】30个 【第四部分】专项提升练习 1．一个三位数，既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最小是( )。 【答案】 120 【分析】因为这个数既是2的倍数，又有因数5（即5的倍数）。2的倍数个位上是0、2、4、6、8，5的倍数个位上是0或5，所以同时是2和5的倍数，个位上只能是0。这个数是三位数，要使它最小，百位上应取最小的非零数字，即1。该数还是3的倍数，3的倍数特征是各位上的数字之和是3的倍数，百位和个位上的数字和为0＋1＝1，3的最小倍数是3，因此十位上的数字就是3－1＝2，因此这个数最小是120。 【详解】根据分析：一个三位数，既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最小是120。 2．下面的数中，5的倍数有_____________，2的倍数有_____________。3的倍数有_____________。既是2的倍数，又是5的倍数的有_____________。 【答案】 45，75，80，95 28，80，34 45，75 80 【分析】找5的倍数：因为个位是0或5的整数是5的倍数； 找2的倍数：因为个位是0、2、4、6、8的整数是2的倍数； 找3的倍数：因为一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 找既是2又是5的倍数：因为既是2的倍数又是5的倍数的数个位一定是0。 【详解】5的倍数有45，75，80，95。 2的倍数有28，80，34。 2＋8＝10不是3的倍数； 4＋5＝9是3的倍数； 5＋3＝8不是3的倍数； 8＋0＝8不是3的倍数； 7＋5＝12是3的倍数； 3＋4＝7不是3的倍数； 8＋9＝17不是3的倍数； 9＋5＝14不是3的倍数。 故3的倍数有45，75。 既是2的倍数，又是5的倍数的有80。 3．一个两位数4，如果它同时是2和3的倍数，那么里填________；如果它同时是2和5的倍数，那么里填________。 【答案】 2或8 0 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；要想同时是2、3的倍数，这个数的个位一定是偶数，即可在0、2、4、6、8中筛选，且各位上数的和一定是3的倍数。要想同时是2、5的倍数，这个数的个位一定是0。 【详解】4＋2＝6、4＋8＝12，6和12都是3的倍数，所以方框里可以填2或8。 如果它同时是2和5的倍数，那么里填0。 4．三位数□4□，同时是3、5倍数有____个；同时是2、3、5倍数，百位填_______。 【答案】 6 2、5、8 【分析】因为5的倍数个位只能是0或5，所以分个位为0、个位为5两种情况讨论。 3的倍数要求各位数字之和是3的倍数，所以结合已知的十位数字4，计算百位可取的数字范围并统计个数。 同时是2和5的倍数的数个位只能是0，所以先确定个位为0，再根据3的倍数特征确定百位的可取值。 【详解】个位是0时，这个数的百位＋4＋0的和得是3的倍数，百位是1~9的数字，满足条件的百位有2、5、8，对应数是240、540、840； 个位是5时，百位＋4＋5的和得是3的倍数，满足条件的百位有3、6、9，对应数是345、645、945。加起来一共6个符合要求的数。 同时是2和5的倍数，个位只能是0，此时要求百位＋4＋0的和是3的倍数，百位可以填2、5、8。 三位数□4□，同时是3、5倍数有6个；同时是2、3、5倍数，百位填2、5、8。 5．一个三位数□2□，如果它是2和5的倍数，这个数最小是( )；如果它既是2和5的倍数，同时又是3的倍数，这个数最大是( )。 【答案】 120 720 【分析】因为同时是和的倍数的数个位必须是，所以先确定这个三位数的个位数字，如果要让三位数最小，那么百位最小是，结合已经确定的个位和已知的十位数字，即可得到对应数。 先结合和的倍数特征确定个位是，再根据的倍数特征：各位数字之和是的倍数，确定百位可填的最大数字，结合已知十位数字得到最大的数。 【详解】百位尽可能取最小非数字，百位填，个位为 一个三位数，如果它是和的倍数，这个数最小是。 同时是、、的倍数：个位是 的倍数：各位数字之和是的倍数。 ，不是的倍数 ，不是的倍数 ，是的倍数 所以百位是 如果它既是和的倍数，同时又是的倍数，这个数最大是 6．从0、3、4、9这四个数字中选出三个，组成一个同时是2、3、5倍数的三位数，这个三位数最大是( )。 【答案】930 【分析】同时是2和5的倍数，个位数字必须是0；是3的倍数，各个数位上的数字之和必须是3的倍数。要使组成的三位数最大，应将较大的数字放在较高的数位上。 【详解】要使组成的三位数最大，应将最大的数字放在百位，次大的数字放在十位，最小的数字放在个位。所以，这个三位数最大是930。 7．古稀：七十岁。方爷爷已过古稀之年，未到80岁，且他的年龄既是2的倍数又有因数3。方爷爷的年龄最大是( )岁。 【答案】 【分析】年龄的取值范围是大于且小于的整数。其次根据他的年龄是“的倍数”和“有因数”，个位上是、、、、的数是的倍数；各位上数的和是的倍数的数是的倍数；可知该年龄数同时是和的倍数，即该数是的倍数。最后在确定的范围内寻找最大的符合条件的数即可。 【详解】因为方爷爷的年龄范围是岁至岁， 因为年龄是的倍数，根据的倍数的特征，所以爷爷的年龄可能是、、、岁； 因为年龄有因数，根据的倍数的特征，所以爷爷的年龄可能是、岁； 要求方爷爷的年龄最大，所以方爷爷的年龄最大是岁。 答：方爷爷的年龄最大是岁。 8．在四位数12□0的□里填1个数字，使它同时是2、3、5的倍数，最多有( )种填法。 【答案】4 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】这个四位数的个位是0，它是2和5的倍数，且1＋2＋0＝3，只要填的数满足这个四位数是3的倍数即可。 □里填0，3，6，9时，这个四位数是2、3、5的倍数，最多有4种填法。 9．一个两位数，既是2和5的倍数，又有因数3，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 30 90 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数，所以同时是2和5的倍数的数个位上是0；有因数3，说明这个数是3的倍数，即各位数字之和是3的倍数。据此逐一分析。 【详解】个位是0的两位数有10、20、30、40、50、60、70、80、90。 其中30、60、90既是2和5的倍数，又有因数3，所以这个数最小是30，最大是90。 10．既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )，既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。 【答案】 102 120 【分析】的倍数的特征：个位上是、、、、的数是的倍数。的倍数的特征：个位上是或的数是的倍数。的倍数的特征：各个数位上的数字之和是的倍数。 【详解】既是又是的倍数的最小三位数， 从最小三位数开始验证： ：，1不能被3整除，不符合题意； ：个位是奇数，不能被2整除，不符合题意； ：个位是偶数（能被2整除），，能被整除，符合题意； 2和5的倍数个位必为0，从个位为0的最小三位数开始验证： ：，不能被整除，不符合题意； ：，不能被整除，不符合题意； ：，能被整除，符合题意。 既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是，既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是。 11．从0，3，4，5四个数字中，选三个组成同时含因数2和3的最小三位数是( )；组成一个同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 354 540 【分析】同时含因数2和3，就是这个数既是2的倍数，又是3的倍数；既要个位是偶数，又要各位上数字的和是3的倍数。要组成同时是2，3，5的倍数的数，个位必须是0，且各位上数字的和是3的倍数，再按最大三位数的要求安排百位和十位。 【详解】选3，4，5时，3＋4＋5＝7＋5＝12，12是3的倍数；个位是4时，组成的数是2的倍数。用3，4，5组成的三位数中，最小且个位是偶数的是354。 选0，4，5时，0＋4＋5＝4＋5＝9，9是3的倍数；个位是0时，这个数同时是2和5的倍数。要组成最大的三位数，百位填5，十位填4，个位填0，得到540。 所以同时含因数2和3的最小三位数是354；同时是2，3，5的倍数的最大三位数是540。 12．滨湾小学五年级科技小组的130名学生到深圳科技馆参观，他们分组体验地震逃生演习，如果每组2人，能正好分完吗？每组3人呢？每组5人呢？为什么？请分别说明理由。 【答案】能；130是2的倍数；不能；130不能被3整除；能；130是5的倍数。 【分析】判断130能否分别被2、3、5整除，若能整除则可以正好分完，反之则不能。 2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，据此判断130是否满足该特征。 3的倍数的特征：各数位上数字之和是3的倍数的数是3的倍数，先计算130各数位数字之和，再判断其是否为3的倍数。 5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数，据此判断130是否满足该特征。 【详解】130个位数字为0，既是2的倍数，又是5的倍数； 1＋3＋0＝4，4不是3的倍数，130不能被3整除。 答：每组2人，能正好分完，因为130是2的倍数；每组3人，不能分完，因为130不能被3整除；每组5人，也能正好分完，因为130是5的倍数。 13．王叔叔给自己的手机设置了一个四位数锁屏密码“5□7□”，已知这个四位数既有因数2，又是3和5的倍数。王叔叔的手机锁屏密码有几种可能？请你列举出来。（请写出思考过程） 【答案】同时是2和5的倍数，个位必须是0，密码变成5□70。 是3的倍数，需要各位数字和能被3整除：5＋7＋0＝12，12是3的倍数，所以中间填的数也要是3的倍数（0、3、6、9）。 对应密码：5070、5370、5670、5970，共4种。 所以有4种可能，分别是5070、5370、5670、5970。 【分析】2的倍数个位是偶数，5的倍数个位是0或5，3的倍数所有数位数字之和能被3整除；结合特征先确定末尾方框只能填0，再把中间方框0到9全部列举，逐个计算四位数各位数字之和，筛选出和可以被3整除的数字，得出全部符合条件的密码。 【详解】同时是2、5的倍数，末尾方框只能填0，数字形式为5□70。 5＋7＋0＝12，12是3的倍数，所以中间方框里的数字加上12的和也要能被3整除。 中间方框依次取0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，分别验算： 填0：5＋0＋7＋0＝12，12÷3＝4，符合； 填1：5＋1＋7＋0＝13，13不能被3整除，排除； 填2：5＋2＋7＋0＝14，14不能被3整除，排除； 填3：5＋3＋7＋0＝15，15÷3＝5，符合； 填4：5＋4＋7＋0＝16，16不能被3整除，排除； 填5：5＋5＋7＋0＝17，17不能被3整除，排除； 填6：5＋6＋7＋0＝18，18÷3＝6，符合； 填7：5＋7＋7＋0＝19，19不能被3整除，排除； 填8：5＋8＋7＋0＝20，20不能被3整除，排除； 填9：5＋9＋7＋0＝21，21÷3＝7，符合； 符合条件的密码：5070、5370、5670、5970，共4种。 答：王叔叔的手机锁屏密码有4种可能，分别是5070、5370、5670、5970。 14．有以下四张数字卡牌，任意抽两张组成一个两位数。是3的倍数的有哪些数？同时是2和3的倍数的有哪些数？同时是3和5的倍数的有哪些数？（写出全部可能） 【答案】3的倍数：57，60，75。 同时是2和3的倍数：60。 同时是3和5的倍数：60，75。 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位是0或5。 【详解】首先列出用0、5、6、7任意抽两张组成的所有两位数（0不能在十位）：50、56、57、60、65、67、70、75、76。 （1）3的倍数：计算各个数位上的数字之和，判断是否是3的倍数。 50：5＋0＝5，5不是3的倍数； 56：5＋6＝11，11不是3的倍数； 57：5＋7＝12，12是3的倍数； 60：6＋0＝6，6是3的倍数； 65：6＋5＝11，不是3的倍数； 67：6＋7＝13，不是3的倍数； 70：7＋0＝7，不是3的倍数； 75：7＋5＝12，是3的倍数； 76：7＋6＝13，不是3的倍数。 所以是3的倍数的数有：57、60、75。 （2）同时是2和3的倍数的数：既要满足2的倍数特征（个位是0、2、4、6、8），又要满足3的倍数特征（各个数位上的数字之和是3的倍数）。 从3的倍数中筛选，57：个位是7，不是2的倍数；60：个位是0，是2的倍数；75：个位是5，不是2的倍数。 所以同时是2和3的倍数的数有：60。 （3）同时是3和5的倍数的数 既要满足5的倍数特征（个位是0、5），又要满足3的倍数特征（各个数位上的数字之和是3的倍数）： 从3的倍数中筛选，57：个位是7，不是5的倍数；60：个位是0，是5的倍数；75：个位是5，是5的倍数。 所以同时是3和5的倍数的数有：60、75。 答：是3的倍数的数有57、60、75；同时是2和3的倍数的数有60；同时是3和5的倍数的数有60、75。 15．歌唱团分组，无论是2人一组，3人一组，还是5人一组，都正好分完。如果歌唱团的总人数在50~70之间，那么歌唱团有多少人？ 【答案】60人 【分析】由“正好分完”可知总人数是2、3、5的公倍数，先求出三个数的最小公倍数，符合条件的数是30的倍数，再筛选出50~70之间符合条件的数。 【详解】2×3×5 ＝6×5 ＝30 30×2＝60 30×3＝90 50＜60＜70，符合。 90＞70，不符合。 因此歌唱团有60人。 答：那么歌唱团有60人。 16．星星小学准备45∽75名学生参加全区合唱比赛，且男、女生人数相等。老师将所有队员进行了分组，既可以分成3组，也可以分成5组，都正好分完。参加合唱比赛的队员有多少名？ 【答案】 60名 【分析】先根据能分成组、组都正好分完，确定总人数是和的公倍数，再结合人数范围和男女生人数相等的条件，可得总人数是的倍数，筛选出正确结果。 【详解】因为总人数能同时分成组和组且正好分完， 所以总人数是和的公倍数， 和的最小公倍数为：， 之间的倍数：，，， 符合人数范围的数有、、。 因为男、女生人数相等，所以总人数是的倍数， 和不是的倍数，不符合要求，只有满足所有条件。 答：参加合唱比赛的队员有名。 17．从下面的4张数字卡片中任选几张按要求组数。 (1)同时是3和5的倍数的三位数有哪些？（写出2个即可） (2)同时是2，3，5的倍数的两位数是哪个？ 【答案】(1)570，750（答案不唯一） (2)60 【分析】（1）3的倍数的特征：各位上的数字之和是3的倍数，5的倍数的特征：个位上的数字是0或5。同时是3和5的倍数的三位数，个位上是0或5，且三个数位上的数字之和是3的倍数。满足以上条件即可。 （2）2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8，同时是2，3，5的倍数的两位数，个位上是0，且十位和个位上的数字之和是3的倍数。 【详解】（1）根据分析，这样的三位数可以是570、750。 答：同时是3和5的倍数的三位数有570、750。（答案不唯一） （2）同时是2，3，5的倍数的两位数，个位上是0，那么十位上的数字只能是3的倍数，5、6、7中只有6是3的倍数，所以这个两位数是60。 答：同时是2，3，5的倍数的两位数是60。 18．一个四位数2a7b（a和b分别表示百位和个位上的不同的数字），已知这个数同时是2，3，5的倍数，这个四位数可能是多少？ 【答案】这个四位数可能是2370，2670，2970。 【分析】要确定四位数2a7b的可能值，需根据同时是2、3、5的倍数的特征来分析。同时是2和5的倍数的特征：个位数字是0，所以先确定。是3的倍数的特征：各位数字之和是3的倍数。此时数为2a70，计算各位数字之和为，所以要是3的倍数，进而确定a的可能值。 【详解】因为这个数同时是2和5的倍数，所以个位数字。 各位数字之和为。因为这个数是3的倍数，所以是3的倍数。9本身是3的倍数，所以a是3的倍数，a是百位上的数字，所以a可以取0、3、6、9。 当时，四位数是2070（因为题目要求a和b不相同，所以排除这种情况）； 当时，四位数是2370； 当时，四位数是2670； 当时，四位数是2970。 综上，这个四位数可能是2370、2670、2970。 19．有一个三位数，能同时是2和3的倍数，而且三个数位上的数字都是互不相同的质数，这个三位数可能是多少？ 【答案】372 【分析】既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【详解】能同时是2和3的倍数，个位上的数字是0、2、4、6、8，质数有2； 10以内的质数有：2、3、5、7，2如果在个位，百位和十位能选择的数是3和7。 答：这个三位数可能是372或732。 20．有三路公交车从同一站点同时出发。1路车每2分发车一辆，3路车每3分发车一辆，6路车每5分发车一辆，这三路公交车至少再过多少分会同时发车？ 【答案】30分 【分析】分析题目，要使三路公交车同时发车则时间必须同时是2、3、5的倍数，据此分别列举出2，3，5的倍数；再找出同时是2、3、5的倍数的最小数即可解答。 【详解】2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34…… 3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36…… 5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35…… 同时是2、3、5的倍数的最小数是：30 答：这三路公交车至少再过30分会同时发车。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $