第六单元 比例尺（易错专项讲义）数学苏教版六年级上册（新教材）

第六单元 比例尺易错专项讲义 易错题型01 图形的放大和缩小的认识及面积变化 易错题型02 作图形放大或缩小后的图形 易错题型03 比例尺的意义 易错题型04 图上距离和实际距离的换算 易错题型05 比例尺的应用 易错题型01 图形的放大和缩小的认识及面积变化 1、同时满足「图形相似属性合规、缩放比例逻辑完全匹配边长对应关系」推导得到的结果，才是本单元认可的图形放大和缩小的合规结果，脱离“各边按相同比例缩放”核心前提、随意拼接边长数值得到的不符合相似图形定义的结果，不能作为有效运算依据。 2、按指定比例放大图形时，要严格依托“新边长=原边长×放大比的前项÷后项”的规则运算，不能直接把比例的数值直接加到原边长上，混淆“按比例缩放”和“边长加固定数值”的逻辑，得到形状发生畸变的错误图形。 3、按指定比例缩小图形时，要严格依托“新边长=原边长×缩小比的后项÷前项”的规则运算，不能错误套用放大图形的计算逻辑，得到边长反而比原图更长的完全偏离正确值的结果。 4、计算缩放后图形的周长变化时，要严格依托“周长变化倍数和边长缩放倍数完全一致”的规则运算，不能错误把周长变化倍数当成边长缩放倍数的平方，得到完全偏离正确值的周长结果。 5、反向核验计算结果的合理性时，将算出的缩放后边长反向和原边长做比值，得到的比例数值必须和题目给定的缩放比例完全匹配，不能出现反向推导后比例和原始条件不一致的逻辑矛盾。 6、计算缩放后图形的面积变化时，要严格依托“面积变化倍数是边长缩放倍数的平方”的规则运算，不能直接把边长的缩放倍数直接当成面积的变化倍数，得到面积变化虚高或虚低的错误结果。 7、标注缩放后图形的最终结果时，必须明确标注对应的缩放比例和长度单位，不能出现比例前后项写反、单位错配的问题，避免出现缩放结果的指代完全失真的情况。 8、对比不同图形按同一比例缩放后的面积关系时，要严格依托各自的原面积分别计算缩放后的新面积，不能直接把原图形的面积差直接套用缩放倍数，得到不符合相似图形面积变化规律的错误结果。 【题型精讲1】把一个长方形按3∶1放大，放大后图形的面积是原来的（    ）。 A．3倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍 【答案】D 【分析】把长方形按放大，长和宽都扩大到原来的3倍，长方形面积等于长乘宽，因此面积扩大的倍数是长、宽扩大倍数的乘积。 【解答】 放大后图形的面积是原来的9倍。 【易错巩固1】把一个长5厘米，宽3厘米的长方形按2∶1放大，得到的图形的面积是（    ）平方厘米。 A．15 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】长方形按放大，即长和宽都扩大到原来的2倍，先求出放大后的长、宽，再用长方形面积公式计算即可。 【解答】（厘米） （厘米） （平方厘米） 【易错巩固2】将如图方格图中的青蛙按照的比放大，放大后的图形正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】看原来青蛙的高是2，宽是3，青蛙按照的比放大，那么放大后高和身体的宽都要扩大到原来的2倍。 【解答】A．高放大的倍数不对，宽不变，不符合题意。 B．高没有变，宽放大的倍数不对，不符合题意。 C．高是原来的2倍，宽不变，不符合题意。 D．高和宽都放大到原来的2倍，符合题意。 【易错巩固3】把一个底5cm、高4cm的三角形按2∶1放大后，得到的图形的面积是（ ）。 【答案】/40平方厘米 【分析】三角形面积＝底×高÷2，原三角形的底是5cm、高是4cm，面积用5×4÷2计算。按2∶1放大后，底和高各扩大到原来的2倍，所以面积扩大到2×2＝4倍；用原面积×4求放大后的面积。 【解答】 （cm²） 原三角形的面积是10cm²。 （cm²） 所以放大后图形的面积是40cm²。 【易错巩固4】下图是一张上蔡县“蔡明园”的风景明信片，它的长与宽的比是（ ）∶（ ），如果把这张明信片放大，又要使风景图保持原样不失真，长增加32厘米，宽应该（ ）。 ∶ 【答案】4 3 增加24厘米或扩大3倍 【分析】因为要求长与宽的比，所以直接用长的数值比宽的数值，再根据比的前项和后项同时乘或者除以同一个数比不变即可化简为最简整数比。 因为放大后图形不失真，所以放大前后长和宽的比值不变，先计算长增加后的总长度，得到长扩大的倍数，因为宽也要扩大相同的倍数，所以用原宽乘该倍数得到新的宽，再计算宽的变化量。 【解答】16∶12＝（16÷4）∶（12÷4）＝4∶3 （16＋32）÷16 ＝48÷16 ＝3 3×12－12 ＝36－12 ＝24（厘米） 即它的长与宽的比是4∶3，如果把这张明信片放大，又要使风景图保持原样不失真，长增加32厘米，宽应该增加24厘米或扩大3倍。 【易错巩固5】王叔叔计划在空地上开辟一块半径是5米的圆形菜地，但想了想这菜地有点小，于是他把菜地按放大，这块菜地原来的面积是（ ）平方米，放大后的菜地面积是（ ）平方米。（取3.14） 【答案】78.5 1256 【分析】按放大，即半径扩大到原来的4倍，再根据分别算出面积即可。 【解答】原来的面积： （平方米） 放大后： 半径：（米） 面积： （平方米） 易错题型02 作图形放大或缩小后的图形 1、同时满足「图形相似属性合规、各边缩放比例完全统一」推导得到的结果，才是本单元认可的绘制放大或缩小后图形的合规结果，脱离“所有边按同一比例同步缩放”核心前提、随意拼接边长格数得到的形状畸变图形，不能作为有效作图依据。 2、绘制按指定比例放大的图形时，要严格依托“原图形每条边的格数×放大比的前项÷后项”算出新边长格数，不能直接把比例数值加到原边长上，混淆“按比例放大”和“边长加固定数值”的逻辑，得到形状变形的错误图形。 3、绘制按指定比例缩小的图形时，要严格依托“原图形每条边的格数×缩小比的后项÷前项”算出新边长格数，不能错误套用放大图形的计算逻辑，得到边长反而比原图更长的完全偏离正确值的结果。 4、绘制多边形缩放后的图形时，要严格依托“先算出所有顶点缩放后的对应新坐标，再依次连线”的步骤运算，不能只单独缩放某几条边就直接连线，得到各边比例不统一的错误图形。 5、反向核验作图结果的合理性时，将新图形的每条边长反向和原图形对应边长做比值，得到的比例数值必须和题目给定的缩放比例完全匹配，不能出现反向推导后比例和原始条件不一致的逻辑矛盾。 6、绘制带斜边的三角形、梯形等图形的缩放图时，要先算出所有直角边、高的缩放后格数，再连接斜边，不能直接凭视觉观感拉长斜边，得到斜边比例和直边比例不统一的错误图形。 7、标注缩放后图形的最终结果时，必须明确标注新图形的顶点对应标识（如A'、B'）和对应的缩放比例，不能出现顶点标识漏标、比例前后项写反的问题，避免出现作图结果指代完全失真的情况。 8、在方格纸上绘制非整格边长的缩放图形时，要严格按计算出的小数格数精准定位顶点，不能直接四舍五入凑成整格，得到边长比例和指定比例偏差过大的错误图形。 9、绘制组合图形的缩放图时，要把组成组合图形的所有基础多边形的每条边都按同一比例同步缩放，不能只缩放其中一部分子图形，得到整体形状完全走样的错误图形。 【题型精讲2】下面每个小方格的边长表示1厘米，请你画出一个周长是18厘米的长方形，使得长与宽的比是2∶1，并画出其各边放大到原来的2倍后的图形。 【答案】 【分析】（1）长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此用周长除以2求出长与宽的和，再用长与宽的和除以长与宽比的份数和，求出一份的长度，接着分别乘长、宽对应的份数，求出长与宽的值，据此画出长方形； （2）图形放大的比例为2∶1，即放大后的边长是原边长的2倍。先根据（1）计算出的长方形的长、宽的长度，求出放大后的长方形的长与宽的长度，保持长方形的形状不变，以放大后的长和宽画出长方形即可。 【解答】（1）18÷2＝9（厘米） 9÷（2＋1） ＝9÷3 ＝3（厘米） 长：3×2＝6（厘米） 宽：3×1＝3（厘米） 画出长为6厘米（6格），宽为3厘米（3格）的长方形即可。图略。 （2）放大的长：6×2＝12（厘米） 放大的宽：3×2＝6（厘米） 画出长为12厘米（12格），宽为6厘米（6格）的长方形即可。图略。 【易错巩固1】先把三角形按3∶1放大，得到三角形，再将三角形按1∶2缩小，得到三角形C。 【答案】 【分析】3∶1放大的意思是新图形每条边的长度变成原图形的3倍，原来三角形的底是4格，高是2格，放大后底为4×3＝12格，高为2×3＝6格，据此画出B；1∶2缩小的意思是新图形每条边的长度变成之前图形的，缩小后三角形的底为12÷2＝6格，高为6÷2＝3格，据此画出C。 【解答】略 【易错巩固2】画出三角形AOB绕O点逆时针方向旋转90°后的图形；再将旋转后的图形按2∶1放大画在方格中。 【答案】 【分析】以点O为旋转中心，将OA、OB逆时针旋转90°，连接端点画出旋转后的三角形。 先数出旋转后三角形的底和高，再把底与高分别乘2，画出放大后的图形。 【解答】放大后的底：3×2＝6 放大后的高：2×2＝4 图略 【易错巩固3】按要求画图形并填空，将三角形按1∶2缩小。 缩小前后的面积比是（    ）。 【答案】；4∶1 【分析】把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。三角形面积＝底×高÷2，两数相除又叫两个数的比，写出缩小前后的面积比，化简即可。 【解答】缩小后的直角边分别是：2×＝1（格）、4×＝2（格） 画图略。 （2×4÷2）∶（1×2÷2）＝4∶1 缩小前后的面积比是4∶1。 【易错巩固4】下面每个小方格的边长表示1厘米。 （1）画一个周长是12厘米的长方形，长和宽的比是2∶1。 （2）按2∶1的比画出第（1）题所画长方形放大后的图形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）先根据长方形周长公式，用周长÷2求出长与宽的和；再根据长和宽的比是2∶1，求出总份数，用长与宽的和除以总份数得到每份的长度；接着用每份的长度分别乘长、宽对应的份数，求出长和宽的具体长度，再按长度在方格中画出长方形。 （2）按2∶1放大，把原长方形的长和宽分别乘2，求出放大后的长和宽；再按放大后的长度在方格中画出长方形。 【解答】（1）12÷2＝6（厘米） 6÷（2＋1） ＝6÷3 ＝2（厘米） 长：2×2＝4（厘米） 宽：2×1＝2（厘米） 如下图。 （2）放大后的长：4×2＝8（厘米） 放大后的宽：2×2＝4（厘米） 画图如下： 【易错巩固5】按要求画图。 （1）按1∶3的比画出下面方格图中长方形缩小后的图形。 （2）按2∶1的比画出下面方格图中梯形放大后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）长方形按1∶3缩小，即原来长方形的长、宽都除以3，即是缩小后长方形的长和宽，据此画出缩小后的长方形。 （2）梯形按2∶1放大，即原来梯形的上底、下底和高都乘2，即是放大后梯形的上底、下底和高，据此画出放大后的梯形。 【解答】（1）缩小后长方形的长是：6÷3＝2 缩小后长方形的宽是：3÷3＝1 画一个长为2、宽为1的长方形，如下图。 （2）放大后梯形的上底是：1×2＝2 放大后梯形的下底是：3×2＝6 放大后梯形的高是：2×2＝4 画一个上底为2、下底为6、高为4的梯形，如下图。 易错题型03 比例尺的意义 1、同时满足「图实对应属性合规、比例逻辑完全匹配比例尺定义」推导得到的结果，才是本单元认可的比例尺意义的合规结果，脱离“图上距离与实际距离的比”核心前提、随意拼接两个距离数值得到的不符合比例尺定义的结果，不能作为有效运算依据。 2、解读数值比例尺时，要严格依托“比例尺前项对应图上距离、后项对应实际距离”的规则运算，不能直接把比例尺的前后项数值颠倒，混淆图上距离和实际距离的对应逻辑，得到完全偏离正确值的换算结果。 3、解读线段比例尺时，要严格依托“线段上标注的1段长度对应实际距离数值”的规则运算，不能错误把线段的总长度直接当成1段的对应距离，得到完全偏离正确值的换算结果。 4、计算比例尺时，要严格依托“图上距离和实际距离先统一成相同长度单位，再化简成前项或后项为1的最简整数比”的规则运算，不能不统一单位直接做比，得到单位不匹配的错误比例尺结果。 5、反向核验比例尺结果的合理性时，将算出的比例尺反向代入，用图上距离除以比例尺推导实际距离，得到的实际距离数值必须和题目给定的原始条件完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 6、标注比例尺的最终结果时，必须明确保证比例尺是一个不带单位的最简整数比，不能在比例尺的数值后额外添加长度单位，避免出现比例尺的意义完全失真的问题，导致度量结果的指代完全错误。 7、对比同一幅地图上不同地点的比例尺时，要严格依托整幅地图的统一比例尺判定，不能不同地点分别自定义比例尺，得到同一幅图出现多个不同比例尺的错误结果。 【题型精讲3】一幅图纸的比例尺是，表示图上距离是实际距离的（    ）。 A． B．40 C．40倍 D．20 【答案】C 【分析】比例尺是图上距离与实际距离的比，用前项除以后项即可。 【解答】40∶1＝40÷1＝40 图上距离是实际距离的40倍。 【易错巩固1】一个精密电子零件长4mm，在一张图纸上量得它的长是16cm，这张图纸的比例尺是（    ）。 A．40∶1 B．1∶40 C．4∶1 【答案】A 【分析】先统一单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，写出图上距离与实际距离的比，化简即可。 【解答】16cm＝160mm 160∶4＝（160÷4）∶（4÷4）＝40∶1 这张图纸的比例尺是40∶1。 【易错巩固2】小安和小平分别将学校的同一个花坛画了下来，如图，如果小安（左）是按1∶a的比例尺画的，那么小平（右）是按（    ）的比例尺画的。 A．1∶a B．1∶2a C． D．1： 【答案】C 【分析】比例尺等于图上距离与实际距离的比；从左图可知小安的图上距离是，比例尺是，实际距离可以用图上距离除以比例尺，即； 从右图可知小平的图上距离是，用图上距离除以实际距离即可。 【解答】实际距离：（） 比例尺： 即小平（右）是按的比例尺画的。 【易错巩固3】在比例尺是的图纸上，甲、乙两个圆的半径比是，那么甲、乙两个圆实际半径的比是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据图上距离∶实际距离＝1∶200，实际距离＝200×图上距离，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘同一个不为0的数，比值不变，两个圆的图上半径同时乘200，比值不变，据此解答。 【解答】（2×200）∶（5×200） ＝400∶1000 ＝（400÷200）∶（1000÷200） ＝2∶5 【易错巩固4】与千米大小相同的比例尺是（    ）。 A．1∶2000000 B． C．1∶60000 D．1∶6000000 【答案】A 【分析】根据线段比例尺的意义可知，图上1厘米相当于实际距离20千米，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1千米＝100000厘米”，把线段比例尺改写成数值比例尺。 【解答】1厘米∶20千米 ＝1厘米∶（20×100000）厘米 ＝1∶2000000 【易错巩固5】把一块长200m、宽150m的草坪平面图画在作业本上，下面比例尺最合适的是（    ）。 A．1∶500 B．1∶1000 C．1∶5000 D．1∶10000 【答案】C 【分析】先根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出图上距离；再根据作业本的长度确定是否合适。 【解答】200米＝20000厘米 150米＝15000厘米 A．20000×＝40（厘米） 15000×＝30（厘米） 图上距离偏大，不符合； B．20000×＝20（厘米） 15000×＝15（厘米） 图上距离偏大，不符合； C．20000×＝4（厘米） 15000×＝3（厘米） 图上距离合适，符合； D．20000×＝2（厘米） 15000×＝1.5（厘米） 图上距离偏小，不符合； 所以比例尺最合适的是1∶5000。 故答案为：C 易错题型04 图上距离和实际距离的换算 1、同时满足「单位换算属性合规、换算逻辑完全匹配比例尺对应关系」推导得到的结果，才是本单元认可的图上距离和实际距离换算的合规结果，脱离“比例尺定义”核心前提、随意拼接两个距离数值得到的不符合比例逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、已知比例尺和实际距离求图上距离时，要严格依托“图上距离=实际距离×比例尺”的规则运算，不能直接用实际距离除以比例尺，混淆图上距离的换算逻辑，得到完全偏离正确值的结果。 3、已知比例尺和图上距离求实际距离时，要严格依托“实际距离=图上距离÷比例尺”的规则运算，不能错误直接用图上距离乘比例尺，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、用线段比例尺做换算时，要严格依托“图上1厘米对应标注的实际距离数值”的规则运算，不能错误把线段的总长度直接当成单段的对应距离，得到完全偏离正确值的换算结果。 5、反向核验换算结果的合理性时，将算出的图上距离和实际距离反向做比值，得到的比例尺数值必须和题目给定的原始比例尺完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 6、换算前必须先把图上距离和实际距离的单位统一成相同的长度单位再运算，不能不统一单位直接代入公式计算，得到单位不匹配的错误换算结果。 7、标注换算的最终结果时，必须明确标注对应的长度单位，不能出现只写数值漏写单位、单位错配的问题，避免出现距离度量结果的指代完全失真的情况。 8、用列比例式的方法做换算时，要严格保证比例式的前后项对应关系完全匹配比例尺定义，不能把图上距离和实际距离的位置写反，得到比例关系完全颠倒的错误结果。 9、结合地图测量做换算时，要先精准量出两点之间的图上距离再代入公式计算，不能直接凭视觉观感估算图上距离，得到和实际测量结果偏差过大的错误换算结果。 10、结合放大比例尺做精密零件类实际场景换算时，要严格遵循放大比例尺的前后项对应关系运算，不能直接套用普通缩小地图的换算逻辑，得到零件实际尺寸完全错误的运算结论。 【题型精讲4】实验楼底面长60米，宽15米。如果以1∶1500的比例尺，在纸上画出实验楼底面的示意图，长应画________厘米。 【答案】4 【分析】首先统一单位，因为实际长度单位是米，所求图上长度单位是厘米，所以需要将实际长度的单位换算为厘米。 明确比例尺的定义：比例尺＝图上距离∶实际距离，如果已知比例尺和实际距离，可根据关系式：图上距离＝实际距离×比例尺，代入对应数值计算即可。 【解答】1米＝100厘米 60米＝6000厘米 （厘米） 【易错巩固1】在一幅地图上，线段比例尺，改写成数字比例尺是（ ），如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是3.5厘米，甲、乙两地的实际距离是（ ）。 【答案】1∶2000000/ 70千米/70km 【分析】线段比例尺的意思是图上1厘米相当于实际距离20千米，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1千米＝100000厘米”，将线段比例尺改写成数值比例尺。 已知甲、乙两地的图上距离是3.5厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出甲、乙两地的实际距离。 【解答】改写成数字比例尺是： 1厘米∶20千米 ＝1厘米∶（20×100000）厘米 ＝1∶2000000 甲、乙两地的实际距离是： 3.5÷ ＝3.5×2000000 ＝7000000（厘米） 7000000厘米＝70千米 【易错巩固2】为助力乡村振兴，某地绘制乡村旅游景点地图，比例尺是1∶400000，表示图上1厘米相当于实际距离（ ）千米。如果景点中两个村庄的实际距离为12千米，在地图上两个村庄的距离应是（ ）厘米。 【答案】4 3 【分析】根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”可知，比例尺1∶400000的含义； 已知两个村庄的实际距离为12千米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出两个村庄的图上距离。 【解答】400000厘米＝4千米 比例尺是1∶400000，表示图上1厘米相当于实际距离4千米。 12千米＝1200000厘米 1200000×＝3（厘米） 【易错巩固3】在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是7.5厘米，两个城市之间的实际距离是（ ）千米。如果在另一幅地图上量得两地的距离是2.4厘米，那么这幅地图的比例尺是（ ）（用线段比例尺表示）。 【答案】10500 【分析】比例尺表示图上1厘米代表实际140000000厘米。根据实际距离＝图上距离÷比例尺，把图上距离7.5厘米代入计算，求出实际距离，再把单位厘米换算成千米；已知实际距离不变，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出第二幅地图的数值比例尺，再转化成线段比例尺。 【解答】实际距离：7.5÷ ＝7.5×140000000 ＝1050000000（厘米） 1050000000厘米＝10500千米 比例尺：2.4∶1050000000 ＝（2.4÷2.4）∶（1050000000÷2.4） ＝1∶437500000 数值比例尺1∶437500000，表示图上1厘米代表实际437500000厘米，也就是4375千米。 线段比例尺： 【易错巩固4】一块长方形草坪的长是40米，宽是25米，把它画在比例尺是1∶1000的图纸上，那么长方形草坪的图上面积是（ ）平方厘米。 【答案】10 【分析】先统一长度单位，因为比例尺对应的实际长度单位和图上长度单位需要统一，所以将草坪实际的长、宽从米换算为厘米。 根据比例尺公式“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别计算出草坪长和宽的图上长度。 利用长方形面积公式，将计算得到的图上长和宽代入，求出图上面积。 【解答】 ， （厘米） （厘米） （平方厘米） 【易错巩固5】山东曲阜孔庙藏有一幅孔子讲学图临摹品，孔子作为“万世师表”，其讲学场景体现了因材施教的教育思想，该临摹品的比例尺是1∶50，图上孔子的身高是3.6cm，这幅临摹品的实际人物身高是（ ）m。 【答案】 【分析】比例尺＝图上身高∶实际身高，1m＝100cm，据此求解即可。 【解答】3.6×50＝180（cm） 180÷100＝1.8（m） 易错题型05 比例尺的应用 1、同时满足「图实对应属性合规、场景换算逻辑完全匹配比例尺定义」推导得到的结果，才是本单元认可的比例尺应用的合规结果，脱离“图上距离与实际距离的统一比例”核心前提、随意拼接场景数值得到的不符合实际逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、解决地图上两地实际距离计算类应用题时，要严格依托“先精准测量图上距离，再代入比例尺公式换算实际距离”的步骤运算，不能直接凭地图上的标注文字跳过测量步骤硬套公式，得到完全偏离实际的错误结果。 3、解决根据实际尺寸绘制平面图类应用题时，要严格依托“先统一单位，再代入比例尺算出图上距离，最后精准定位描点连线”的步骤运算，不能错误直接用实际尺寸数值直接当作图上距离画图，得到完全不符合比例尺要求的错误平面图。 4、解决“已知实际距离和图上距离求自定义比例尺”类应用题时，要严格依托“统一单位后化简成前项或后项为1的最简整数比”的规则运算，不能保留非最简的复杂比例，得到不符合比例尺书写规范的错误结果。 5、反向核验应用结果的合理性时，将算出的实际距离反向代入比例尺公式推导图上距离，得到的图上距离数值必须和题目测量或给定的原始条件完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 6、解决行程类比例尺结合应用题时，要先通过比例尺算出实际路程，再代入行程公式计算时间或速度，不能直接用图上距离代入行程公式运算，得到单位和逻辑完全错配的错误结果。 7、标注比例尺应用题的最终结果时，必须明确标注对应场景的实际单位，不能出现图上距离的厘米单位直接当作实际距离的千米单位、单位错配的问题，避免出现实际距离的指代完全失真的情况。 8、解决精密零件图纸类放大比例尺应用题时，要严格遵循放大比例尺“前项大于后项”的定义运算，不能直接套用普通地图缩小比例尺的换算逻辑，得到零件实际尺寸完全不符合常识的错误结果。 9、解决组合场景的比例尺应用问题时，要全程使用同一幅图的统一比例尺完成所有换算，不能中途随意更换比例尺数值，得到同一平面图内不同地点比例不统一的错误结果。 10、结合比例尺解决区域规划类实际场景问题时，要严格先确认场景内所有建筑、道路的尺寸都对应同一个比例尺标准，不能脱离统一比例的前提直接在图上标注实际尺寸，得到和实际场景完全不符的规划结论。 【题型精讲5】随着全国统一大市场建设稳步推进，在一幅比例尺是1∶6000000的全国物流运输路线图上，量得甲、乙两个物流枢纽城市的图上距离是10厘米。一辆货车以每小时80千米的速度从甲城开往乙城，需要多长时间才能到达？ 【答案】7.5小时 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲乙两城的实际距离，将单位换算为千米后，再利用路程除以速度得到行驶时间。 【解答】10÷＝（厘米） 60000000厘米＝600（千米） （小时） 答：需要7.5小时才能到达。 【易错巩固1】石家庄复兴大街，原新元高速公路（石家庄北收费站至石家庄南收费站段），总长度35.4千米，2021年10月20日更名复兴大街。此路段仍属于新元高速组成部分。复兴大街将连接畅通石家庄市23条城市道路，成为新的城市中轴线，构筑成外通内畅、转换高效、区间融合的城市路网新格局。一幅石家庄地图的比例尺是1∶200000，则在这幅地图上复兴大街的总长度是多少厘米？ 【答案】17.7厘米 【分析】先根据1千米＝100000厘米把35.4千米换算成厘米，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出画在图上的长度。 【解答】35.4千米＝3540000厘米 3540000×＝17.7（厘米） 答：在这幅地图上复兴大街的总长度是17.7厘米。 【易错巩固2】如图是用1∶2000的比例尺画出的某建筑占地平面图。这个建筑的实际占地面积是多少平方米？ 【答案】 平方米 【分析】实际距离图上距离比例尺。据此求出实际的长和宽，再根据长方形的面积长宽计算占地面积。（平方米平方厘米） 【解答】 （厘米） （厘米） （平方厘米） 平方厘米平方米 答：这个建筑的实际占地面积是平方米。 【易错巩固3】在比例尺是1∶5000000的地图上，量得A、B两地间的距离是4.5厘米，甲、乙两车同时从两地出发相向而行，2.5小时相遇，已知甲、乙两车的速度比是5∶4，则甲、乙的速度各是每小时多少千米？ 【答案】甲车的速度是每小时50千米，乙车的速度是每小时40千米。 【分析】先根据图上距离和比例尺求出A、B两地的实际距离，换算成千米单位；再用总路程除以相遇时间得到两车的速度和；最后按照的速度比，将速度和按比例分配，分别求出甲、乙两车的速度。 【解答】（厘米） 1千米＝100000厘米 厘米千米 （千米/小时） （千米/小时） （千米/小时） 答：甲车的速度是每小时50千米，乙车的速度是每小时40千米。 【易错巩固4】“千年运河，万物通济，隋唐盛世，国运繁华。”作为专业性主题运河博物馆，洛阳隋唐大运河文化博物馆吸引了无数游客。张叔叔一家想在暑假期间开车去参观，他在一幅地图的左下角看到该地图的比例尺是，量得地图上从家到洛阳的距离是3.6厘米。已知张叔叔的汽车每行驶100千米耗油7.2升。按这个耗油量，他出发前油箱里还有30升油，请你通过计算说明去的途中还需要加油吗。（用比例解题） 【答案】不需要 【分析】根据比例尺可知，图上1厘米的距离表示实际距离100千米，据此用100乘3.6即可求出张叔叔从家到洛阳的实际距离。根据题意，耗油量÷汽车行驶的路程＝每千米的耗油量（一定），即耗油量和汽车行驶的路程的商一定，则耗油量和汽车行驶的路程成正比例关系。设张叔叔开车去洛阳的路上耗油x升，根据比例关系可列出比例：，解出比例求出张叔叔从家到洛阳需要多少升汽油，据此判断中途是否需要加油。 【解答】（千米） 解：设张叔叔开车去洛阳的路上耗油x升，根据耗油量÷汽车行驶的路程＝每千米的耗油量列比例： ，去的途中不需要加油 答：去的途中不需要加油。 【易错巩固5】两幅不同的地图，第一幅的比例尺是1∶300000，量得甲、乙两地在这幅地图上的图上距离是1.8厘米，在第二幅的图上距离2.7厘米。请根据以上信息，完成下面各题。 （1）算出甲乙两地实际距离。 （2）计算第二幅地图的比例尺。 （3）如果哥哥想从甲地到乙地参加活动，请结合题目中的信息，还有你周围的实际交通情况，为哥哥推荐比较合适的出行方式，并说明理由。 ①步行约60米/分；②骑共享单车约200米/分；③开私家车约900米/分。 【答案】（1）千米 （2） （3）推荐骑共享单车，理由：用时适中，既锻炼身体又环保。（答案不唯一） 【分析】（1）根据比例尺＝图上距离∶实际距离，可得实际距离＝图上距离÷比例尺。1千米＝1000米＝100000厘米，据此把数据代入计算即可。 （2）第二幅图的比例尺＝第二幅图的图上距离∶实际距离。 （3）根据时间＝路程÷速度，求出步行、骑共享单车、开私家车分别需要的时间，结合实际情况推荐合适的出行方式。 【解答】（1） （厘米） 厘米千米 答：甲乙两地实际距离是千米。 （2） ＝（2.7÷2.7）∶（540000÷2.7） 答：第二幅地图的比例尺是。 （3）千米米 （分） （分） （分） ，开私家车用时最短，骑共享单车时间也适中。 答：推荐骑共享单车，理由：用时适中，既锻炼身体又环保。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 比例尺易错专项讲义 易错题型01 图形的放大和缩小的认识及面积变化 易错题型02 作图形放大或缩小后的图形 易错题型03 比例尺的意义 易错题型04 图上距离和实际距离的换算 易错题型05 比例尺的应用 易错题型01 图形的放大和缩小的认识及面积变化 1、同时满足「图形相似属性合规、缩放比例逻辑完全匹配边长对应关系」推导得到的结果，才是本单元认可的图形放大和缩小的合规结果，脱离“各边按相同比例缩放”核心前提、随意拼接边长数值得到的不符合相似图形定义的结果，不能作为有效运算依据。 2、按指定比例放大图形时，要严格依托“新边长=原边长×放大比的前项÷后项”的规则运算，不能直接把比例的数值直接加到原边长上，混淆“按比例缩放”和“边长加固定数值”的逻辑，得到形状发生畸变的错误图形。 3、按指定比例缩小图形时，要严格依托“新边长=原边长×缩小比的后项÷前项”的规则运算，不能错误套用放大图形的计算逻辑，得到边长反而比原图更长的完全偏离正确值的结果。 4、计算缩放后图形的周长变化时，要严格依托“周长变化倍数和边长缩放倍数完全一致”的规则运算，不能错误把周长变化倍数当成边长缩放倍数的平方，得到完全偏离正确值的周长结果。 5、反向核验计算结果的合理性时，将算出的缩放后边长反向和原边长做比值，得到的比例数值必须和题目给定的缩放比例完全匹配，不能出现反向推导后比例和原始条件不一致的逻辑矛盾。 6、计算缩放后图形的面积变化时，要严格依托“面积变化倍数是边长缩放倍数的平方”的规则运算，不能直接把边长的缩放倍数直接当成面积的变化倍数，得到面积变化虚高或虚低的错误结果。 7、标注缩放后图形的最终结果时，必须明确标注对应的缩放比例和长度单位，不能出现比例前后项写反、单位错配的问题，避免出现缩放结果的指代完全失真的情况。 8、对比不同图形按同一比例缩放后的面积关系时，要严格依托各自的原面积分别计算缩放后的新面积，不能直接把原图形的面积差直接套用缩放倍数，得到不符合相似图形面积变化规律的错误结果。 【题型精讲1】把一个长方形按3∶1放大，放大后图形的面积是原来的（    ）。 A．3倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍 【易错巩固1】把一个长5厘米，宽3厘米的长方形按2∶1放大，得到的图形的面积是（    ）平方厘米。 A．15 B．30 C．60 D．120 【易错巩固2】将如图方格图中的青蛙按照的比放大，放大后的图形正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固3】把一个底5cm、高4cm的三角形按2∶1放大后，得到的图形的面积是（ ）。 【易错巩固4】下图是一张上蔡县“蔡明园”的风景明信片，它的长与宽的比是（ ）∶（ ），如果把这张明信片放大，又要使风景图保持原样不失真，长增加32厘米，宽应该（ ）。 ∶ 【易错巩固5】王叔叔计划在空地上开辟一块半径是5米的圆形菜地，但想了想这菜地有点小，于是他把菜地按放大，这块菜地原来的面积是（ ）平方米，放大后的菜地面积是（ ）平方米。（取3.14） 易错题型02 作图形放大或缩小后的图形 1、同时满足「图形相似属性合规、各边缩放比例完全统一」推导得到的结果，才是本单元认可的绘制放大或缩小后图形的合规结果，脱离“所有边按同一比例同步缩放”核心前提、随意拼接边长格数得到的形状畸变图形，不能作为有效作图依据。 2、绘制按指定比例放大的图形时，要严格依托“原图形每条边的格数×放大比的前项÷后项”算出新边长格数，不能直接把比例数值加到原边长上，混淆“按比例放大”和“边长加固定数值”的逻辑，得到形状变形的错误图形。 3、绘制按指定比例缩小的图形时，要严格依托“原图形每条边的格数×缩小比的后项÷前项”算出新边长格数，不能错误套用放大图形的计算逻辑，得到边长反而比原图更长的完全偏离正确值的结果。 4、绘制多边形缩放后的图形时，要严格依托“先算出所有顶点缩放后的对应新坐标，再依次连线”的步骤运算，不能只单独缩放某几条边就直接连线，得到各边比例不统一的错误图形。 5、反向核验作图结果的合理性时，将新图形的每条边长反向和原图形对应边长做比值，得到的比例数值必须和题目给定的缩放比例完全匹配，不能出现反向推导后比例和原始条件不一致的逻辑矛盾。 6、绘制带斜边的三角形、梯形等图形的缩放图时，要先算出所有直角边、高的缩放后格数，再连接斜边，不能直接凭视觉观感拉长斜边，得到斜边比例和直边比例不统一的错误图形。 7、标注缩放后图形的最终结果时，必须明确标注新图形的顶点对应标识（如A'、B'）和对应的缩放比例，不能出现顶点标识漏标、比例前后项写反的问题，避免出现作图结果指代完全失真的情况。 8、在方格纸上绘制非整格边长的缩放图形时，要严格按计算出的小数格数精准定位顶点，不能直接四舍五入凑成整格，得到边长比例和指定比例偏差过大的错误图形。 9、绘制组合图形的缩放图时，要把组成组合图形的所有基础多边形的每条边都按同一比例同步缩放，不能只缩放其中一部分子图形，得到整体形状完全走样的错误图形。 【题型精讲2】下面每个小方格的边长表示1厘米，请你画出一个周长是18厘米的长方形，使得长与宽的比是2∶1，并画出其各边放大到原来的2倍后的图形。 【易错巩固1】先把三角形按3∶1放大，得到三角形，再将三角形按1∶2缩小，得到三角形C。 【易错巩固2】画出三角形AOB绕O点逆时针方向旋转90°后的图形；再将旋转后的图形按2∶1放大画在方格中。 【易错巩固3】按要求画图形并填空，将三角形按1∶2缩小。 缩小前后的面积比是（    ）。 【易错巩固4】下面每个小方格的边长表示1厘米。 （1）画一个周长是12厘米的长方形，长和宽的比是2∶1。 （2）按2∶1的比画出第（1）题所画长方形放大后的图形。 【易错巩固5】按要求画图。 （1）按1∶3的比画出下面方格图中长方形缩小后的图形。 （2）按2∶1的比画出下面方格图中梯形放大后的图形。 易错题型03 比例尺的意义 1、同时满足「图实对应属性合规、比例逻辑完全匹配比例尺定义」推导得到的结果，才是本单元认可的比例尺意义的合规结果，脱离“图上距离与实际距离的比”核心前提、随意拼接两个距离数值得到的不符合比例尺定义的结果，不能作为有效运算依据。 2、解读数值比例尺时，要严格依托“比例尺前项对应图上距离、后项对应实际距离”的规则运算，不能直接把比例尺的前后项数值颠倒，混淆图上距离和实际距离的对应逻辑，得到完全偏离正确值的换算结果。 3、解读线段比例尺时，要严格依托“线段上标注的1段长度对应实际距离数值”的规则运算，不能错误把线段的总长度直接当成1段的对应距离，得到完全偏离正确值的换算结果。 4、计算比例尺时，要严格依托“图上距离和实际距离先统一成相同长度单位，再化简成前项或后项为1的最简整数比”的规则运算，不能不统一单位直接做比，得到单位不匹配的错误比例尺结果。 5、反向核验比例尺结果的合理性时，将算出的比例尺反向代入，用图上距离除以比例尺推导实际距离，得到的实际距离数值必须和题目给定的原始条件完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 6、标注比例尺的最终结果时，必须明确保证比例尺是一个不带单位的最简整数比，不能在比例尺的数值后额外添加长度单位，避免出现比例尺的意义完全失真的问题，导致度量结果的指代完全错误。 7、对比同一幅地图上不同地点的比例尺时，要严格依托整幅地图的统一比例尺判定，不能不同地点分别自定义比例尺，得到同一幅图出现多个不同比例尺的错误结果。 【题型精讲3】一幅图纸的比例尺是，表示图上距离是实际距离的（    ）。 A． B．40 C．40倍 D．20 【易错巩固1】一个精密电子零件长4mm，在一张图纸上量得它的长是16cm，这张图纸的比例尺是（    ）。 A．40∶1 B．1∶40 C．4∶1 【易错巩固2】小安和小平分别将学校的同一个花坛画了下来，如图，如果小安（左）是按1∶a的比例尺画的，那么小平（右）是按（    ）的比例尺画的。 A．1∶a B．1∶2a C． D．1： 【易错巩固3】在比例尺是的图纸上，甲、乙两个圆的半径比是，那么甲、乙两个圆实际半径的比是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 【易错巩固4】与千米大小相同的比例尺是（    ）。 A．1∶2000000 B． C．1∶60000 D．1∶6000000 【易错巩固5】把一块长200m、宽150m的草坪平面图画在作业本上，下面比例尺最合适的是（    ）。 A．1∶500 B．1∶1000 C．1∶5000 D．1∶10000 易错题型04 图上距离和实际距离的换算 1、同时满足「单位换算属性合规、换算逻辑完全匹配比例尺对应关系」推导得到的结果，才是本单元认可的图上距离和实际距离换算的合规结果，脱离“比例尺定义”核心前提、随意拼接两个距离数值得到的不符合比例逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、已知比例尺和实际距离求图上距离时，要严格依托“图上距离=实际距离×比例尺”的规则运算，不能直接用实际距离除以比例尺，混淆图上距离的换算逻辑，得到完全偏离正确值的结果。 3、已知比例尺和图上距离求实际距离时，要严格依托“实际距离=图上距离÷比例尺”的规则运算，不能错误直接用图上距离乘比例尺，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、用线段比例尺做换算时，要严格依托“图上1厘米对应标注的实际距离数值”的规则运算，不能错误把线段的总长度直接当成单段的对应距离，得到完全偏离正确值的换算结果。 5、反向核验换算结果的合理性时，将算出的图上距离和实际距离反向做比值，得到的比例尺数值必须和题目给定的原始比例尺完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 6、换算前必须先把图上距离和实际距离的单位统一成相同的长度单位再运算，不能不统一单位直接代入公式计算，得到单位不匹配的错误换算结果。 7、标注换算的最终结果时，必须明确标注对应的长度单位，不能出现只写数值漏写单位、单位错配的问题，避免出现距离度量结果的指代完全失真的情况。 8、用列比例式的方法做换算时，要严格保证比例式的前后项对应关系完全匹配比例尺定义，不能把图上距离和实际距离的位置写反，得到比例关系完全颠倒的错误结果。 9、结合地图测量做换算时，要先精准量出两点之间的图上距离再代入公式计算，不能直接凭视觉观感估算图上距离，得到和实际测量结果偏差过大的错误换算结果。 10、结合放大比例尺做精密零件类实际场景换算时，要严格遵循放大比例尺的前后项对应关系运算，不能直接套用普通缩小地图的换算逻辑，得到零件实际尺寸完全错误的运算结论。 【题型精讲4】实验楼底面长60米，宽15米。如果以1∶1500的比例尺，在纸上画出实验楼底面的示意图，长应画________厘米。 【易错巩固1】在一幅地图上，线段比例尺，改写成数字比例尺是（ ），如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是3.5厘米，甲、乙两地的实际距离是（ ）。 【易错巩固2】为助力乡村振兴，某地绘制乡村旅游景点地图，比例尺是1∶400000，表示图上1厘米相当于实际距离（ ）千米。如果景点中两个村庄的实际距离为12千米，在地图上两个村庄的距离应是（ ）厘米。 【易错巩固3】在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是7.5厘米，两个城市之间的实际距离是（ ）千米。如果在另一幅地图上量得两地的距离是2.4厘米，那么这幅地图的比例尺是（ ）（用线段比例尺表示）。 【易错巩固4】一块长方形草坪的长是40米，宽是25米，把它画在比例尺是1∶1000的图纸上，那么长方形草坪的图上面积是（ ）平方厘米。 【易错巩固5】山东曲阜孔庙藏有一幅孔子讲学图临摹品，孔子作为“万世师表”，其讲学场景体现了因材施教的教育思想，该临摹品的比例尺是1∶50，图上孔子的身高是3.6cm，这幅临摹品的实际人物身高是（ ）m。 易错题型05 比例尺的应用 1、同时满足「图实对应属性合规、场景换算逻辑完全匹配比例尺定义」推导得到的结果，才是本单元认可的比例尺应用的合规结果，脱离“图上距离与实际距离的统一比例”核心前提、随意拼接场景数值得到的不符合实际逻辑的结果，不能作为有效运算依据。 2、解决地图上两地实际距离计算类应用题时，要严格依托“先精准测量图上距离，再代入比例尺公式换算实际距离”的步骤运算，不能直接凭地图上的标注文字跳过测量步骤硬套公式，得到完全偏离实际的错误结果。 3、解决根据实际尺寸绘制平面图类应用题时，要严格依托“先统一单位，再代入比例尺算出图上距离，最后精准定位描点连线”的步骤运算，不能错误直接用实际尺寸数值直接当作图上距离画图，得到完全不符合比例尺要求的错误平面图。 4、解决“已知实际距离和图上距离求自定义比例尺”类应用题时，要严格依托“统一单位后化简成前项或后项为1的最简整数比”的规则运算，不能保留非最简的复杂比例，得到不符合比例尺书写规范的错误结果。 5、反向核验应用结果的合理性时，将算出的实际距离反向代入比例尺公式推导图上距离，得到的图上距离数值必须和题目测量或给定的原始条件完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 6、解决行程类比例尺结合应用题时，要先通过比例尺算出实际路程，再代入行程公式计算时间或速度，不能直接用图上距离代入行程公式运算，得到单位和逻辑完全错配的错误结果。 7、标注比例尺应用题的最终结果时，必须明确标注对应场景的实际单位，不能出现图上距离的厘米单位直接当作实际距离的千米单位、单位错配的问题，避免出现实际距离的指代完全失真的情况。 8、解决精密零件图纸类放大比例尺应用题时，要严格遵循放大比例尺“前项大于后项”的定义运算，不能直接套用普通地图缩小比例尺的换算逻辑，得到零件实际尺寸完全不符合常识的错误结果。 9、解决组合场景的比例尺应用问题时，要全程使用同一幅图的统一比例尺完成所有换算，不能中途随意更换比例尺数值，得到同一平面图内不同地点比例不统一的错误结果。 10、结合比例尺解决区域规划类实际场景问题时，要严格先确认场景内所有建筑、道路的尺寸都对应同一个比例尺标准，不能脱离统一比例的前提直接在图上标注实际尺寸，得到和实际场景完全不符的规划结论。 【题型精讲5】随着全国统一大市场建设稳步推进，在一幅比例尺是1∶6000000的全国物流运输路线图上，量得甲、乙两个物流枢纽城市的图上距离是10厘米。一辆货车以每小时80千米的速度从甲城开往乙城，需要多长时间才能到达？ 【易错巩固1】石家庄复兴大街，原新元高速公路（石家庄北收费站至石家庄南收费站段），总长度35.4千米，2021年10月20日更名复兴大街。此路段仍属于新元高速组成部分。复兴大街将连接畅通石家庄市23条城市道路，成为新的城市中轴线，构筑成外通内畅、转换高效、区间融合的城市路网新格局。一幅石家庄地图的比例尺是1∶200000，则在这幅地图上复兴大街的总长度是多少厘米？ 【易错巩固2】如图是用1∶2000的比例尺画出的某建筑占地平面图。这个建筑的实际占地面积是多少平方米？ 【易错巩固3】在比例尺是1∶5000000的地图上，量得A、B两地间的距离是4.5厘米，甲、乙两车同时从两地出发相向而行，2.5小时相遇，已知甲、乙两车的速度比是5∶4，则甲、乙的速度各是每小时多少千米？ 【易错巩固4】“千年运河，万物通济，隋唐盛世，国运繁华。”作为专业性主题运河博物馆，洛阳隋唐大运河文化博物馆吸引了无数游客。张叔叔一家想在暑假期间开车去参观，他在一幅地图的左下角看到该地图的比例尺是，量得地图上从家到洛阳的距离是3.6厘米。已知张叔叔的汽车每行驶100千米耗油7.2升。按这个耗油量，他出发前油箱里还有30升油，请你通过计算说明去的途中还需要加油吗。（用比例解题） 【易错巩固5】两幅不同的地图，第一幅的比例尺是1∶300000，量得甲、乙两地在这幅地图上的图上距离是1.8厘米，在第二幅的图上距离2.7厘米。请根据以上信息，完成下面各题。 （1）算出甲乙两地实际距离。 （2）计算第二幅地图的比例尺。 （3）如果哥哥想从甲地到乙地参加活动，请结合题目中的信息，还有你周围的实际交通情况，为哥哥推荐比较合适的出行方式，并说明理由。 ①步行约60米/分；②骑共享单车约200米/分；③开私家车约900米/分。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $