精品解析：湖南省常德市第一中学2026届高三下学期第五次月考数学试题

常德市一中2026届高三第五次月水平考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题四个选项中只有一项符合要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：B. 2. 数据的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出平均数，代入方差公式，即可得答案. 【详解】由题意， 则 故选：B. 3. 已知正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及对数函数的性质判断即可. 【详解】若，则， 从而， 因此“”是“”的充分条件； 若， 化简得， 即或， 即或者， 因此“”是“”的不必要条件. 故选：A. 4. 展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求含项的系数. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为， 令，得，故含项的系数为. 故选：B. 5. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设公比为，利用等比数列的性质得到，再结合基本不等式求出公比，然后利用等比数列的性质可得. 【详解】设公比为， 所以， 当且仅当，即3时取等号，此时. 故选：B. 6. 设点，若在圆上存在点N，使得，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当M确定时，易知直线MN与圆O相切时，最大，若在圆上存在点N，使得，即令相切时，即可，，代入M点坐标，求得m的范围. 【详解】当M确定时，易知直线MN与圆O相切时，最大， 若在圆上存在点N，使得，即令相切时，即可， 则， 即，解得 故选：A 7. 已知函数的图象如图所示，图象与x轴的交点为，与y轴的交点为N，最高点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意的周期可得，由图象与x轴的交点为可得 ，从而，所以与轴的交点，由解得. 【详解】若的周期为，由题意有，所以，所以， 图象与x轴的交点为，则，因为，所以，即，所以与轴的交点， 由，则，解得或 (舍)． 故选：B. 8. 在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助线面垂直的判定定理与性质定理可得、、两两垂直，即以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线分别为三段半径为，圆心角为的弧，借助弧长公式计算即可得. 【详解】取中点，连接、，则有，， 又，、平面，故平面， 又平面，故，又， ，、平面，故平面， 又、平面，故，， 由正三棱锥的性质可得、、两两垂直， 故，即以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为： ，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为. 故选：C. 二．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设，利用复数的运算结合共轭复数逐一验证即可求解. 【详解】设，由， 所以，， 所以，故A正确； 由，，所以不一定成立，故B错误； 由，，所以，故C正确； 由，， 所以不一定成立，故D错误. 10. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，则（ ） A. 若点的坐标为，则 B. 直线恒过定点 C. 点的轨迹方程为 D. 的面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求出，由垂直关系得到，与抛物线方程联立，得到两根之积，求出；B选项，设，联立抛物线方程，得到两根之积，由得到，得到，得到所过定点；C选项，由得到点的轨迹；D选项，由B选项基础上求出，得到面积的最小值. 【详解】对于选项，， ∵， ，联立，消去， 有，记，则， 由，得， ，故A正确； 对于B：可设，联立，消去，有， 则，由得， ， 过定点，故B不正确； C选项，∵， 在以为直径的圆：上运动（原点除外），故C正确； D选项，由B选项可知，过定点， ， ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 11. 牛顿迭代法是求函数零点近似值的一种方法，它的原理是利用曲线一系列切线与轴交点的横坐标来逼近函数的零点.已知，设，为的两个零点（<），令，在点处作函数的切线，设切线与轴的交点为，继续在点处作函数的切线，切线与轴的交点为，……如此重复，得到一系列切线，它们与轴的交点的横坐标形成数列，易得（），设（），的前项和为，则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. 是单调递增数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由导数的几何意义求得切线方程，结合数列的单调性和不等式的性质，等比数列的定义和通项公式、求和公式，对选项进行一一判断可得结论. 【详解】由，设，为的两个零点（<），令，可得，．又，则在处的切线为： ， 由题意，经过点，即，即，所以，故A错误； 又，而，故， 则 ，当且仅当即时“”成立，又，则，则，…，所以恒成立，B正确； 又 ，由可得，所以为单调递增数列，C正确； 因为，为的两个零点，所以， 则， 由韦达定理可得，则， 同理可得，所以， 则为公比为2等比数列，所以，故D正确， 故选：BCD． 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，且，则为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，求得，进而求得. 【详解】. 因，故，即， 化简得，解得. 则. 故答案为： 13. 若函数 是偶函数，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，列出方程，求出参数即可. 【详解】因为，所以函数定义域为， 当函数 是偶函数时，， 即，化简得， 化简得， 即，即. 故答案为：. 14. 已知A，B，C是双曲线（，）上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线定义，作出辅助线构造矩形，利用勾股定理求解即可. 【详解】 设双曲线的左焦点为E，连接AE，CE，BE， 由题意知，，， ∴四边形AEBF为矩形，令，， ∵，， ∴在中，，将代入可得， ∴，， ∴在中，，即，可得． 故答案为：. 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在四边形中，，． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，再由，在中，由余弦定理即可得出答案； （2）设，和中，由余弦定理可得，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 在中，根据余弦定理可得， 因为，所以，所以， 在中，，根据余弦定理可得， 所以； 【小问2详解】 设，在中，根据余弦定理可得 ， 由，得，所以， 在中，，根据余弦定理可得， 所以，解得或（舍去）， 则． 16. 已知椭圆的右焦点为，离心率为． （1）求的标准方程； （2）过点作一条斜率不为0的直线交于两点，为坐标原点，若，求弦长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由离心率及参数关系求得椭圆参数值，即可求解； （2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理及斜率的两点式列方程求参数，再用弦长公式求. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，，所以，解得， 所以，故的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知，结合题意，设直线， 联立，可得，整理有， 令，显然，则，， 所以， 由，可得， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 综上，. 17. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个白球，个黄球，从中随机地摸个球作为样本，用表示样本中黄球的个数，表示样本中黄球的比例. （1）若有放回摸球，求的分布列及数学期望； （2）（i）分别就有放回摸球和不放回摸球，求与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过的概率； （ii）比较（i）中所求概率的大小，说明其实际含义. 【答案】（1）的分布列如下表所示： ，；（2）（i）有放回摸球时，所求概率为，不放回摸球时，所求概率为；（ii），所以，在误差不超过的限制下，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，采用不放回估计的结果更可靠些..【解析】 【分析】（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值； （2）（i）样本中黄球的比例为，由题意，可得出的可能取值有、，分别计算出对应的概率，再求和，即可得解； （ii）根据（i）中两个概率的大小关系可得出结论. 【详解】（1）因为有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验的结果是独立的， 由题意可知，，则的所有可能取值有、、、、， ，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 随机变量的数学期望为； （2）（i）样本中黄球的比例为，由题意，解得，即取、， 有放回摸球时，概率， 不放回摸球时，概率； （ii）由（i）可知，， 所以，在误差不超过的限制下，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，采用不放回估计的结果更可靠些. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点在线段上（与不重合）． （1）若平面平面，证明：平面; （2）当面积最小时，求二面角的正弦值； （3）在（2）的条件下，若，是线段的等分点，分别过在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应截面面积为，证明： （参考公式：）， 【答案】（1）底面为正方形，则 ， 又因为平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面，平面平面 ，所以 ， 又因为 平面，平面，所以平面. （2） （3）由（2）知，， ， 由题意不妨设是距离点P的由近及远的个等分点，第个等分为，截面为， 则，所以， 即， . 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理可证明； （2）利用线面垂直的判定先证 平面 ，当面积取得最小值时，即最小，计算出， 的长度，根据相似比即可确定 值，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角； （3）根据（2）可知，这些截面都是相似直角梯形，利用相似可得到第个截面的面积，再根据求和公式求和即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，设直线交于点 ，连接， 底面为正方形， ，平面平面 ， 平面平面，所以 平面 ， 又 平面 ，所以， 在中，，，， 所以，即， 又，所以 ， 又 ，，平面 ，平面 ， 平面 ，，又，所以， 故当最小时，即时，面积取得最小值， ，，，时，， ，， 所以，即的面积最小时， 以 为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，得， 令，得， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 则二面角的正弦值为； 【小问3详解】 略 19. 已知函数，的最大值为． 求实数b的值； 当时，讨论函数的单调性； 当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ;(2) 时，在单调增；时, 在单调递减，在单调递增；时,同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在. 【解析】 【详解】分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当时， 取得极大值，也是最大值， 由，可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果. 详解：(1) 由题意得， 令，解得， 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减. 所以当时， 取得极大值，也是最大值， 所以，解得. （2）的定义域为. ①即,则，故在单调增 ②若,而,故,则当时，; 当及时， 故在单调递减，在单调递增． ③若,即,同理在单调递减，在单调递增 （3）由（1）知， 所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增， 所以恒成立， 所以函数在区间内单调递增. 假设存在区间，使得函数在区间上的值域是， 则， 问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根， 即方程在区间内是否存在两个不相等的实根， 令， ，则， 设， ，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增， 故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根. 综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是. 点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常德市一中2026届高三第五次月水平考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题四个选项中只有一项符合要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 数据的方差为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 6. 设点，若在圆上存在点N，使得，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象如图所示，图象与x轴的交点为，与y轴的交点为N，最高点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ） A. B. C. D. 二．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，则（ ） A. 若点的坐标为，则 B. 直线恒过定点 C. 点的轨迹方程为 D. 的面积的最小值为 11. 牛顿迭代法是求函数零点近似值的一种方法，它的原理是利用曲线一系列切线与轴交点的横坐标来逼近函数的零点.已知，设，为的两个零点（<），令，在点处作函数的切线，设切线与轴的交点为，继续在点处作函数的切线，切线与轴的交点为，……如此重复，得到一系列切线，它们与轴的交点的横坐标形成数列，易得（），设（），的前项和为，则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. 是单调递增数列 D. 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，且，则为_______． 13. 若函数 是偶函数，则 _____. 14. 已知A，B，C是双曲线（，）上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为_____________． 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在四边形中，，． （1）若，求； （2）若，求． 16. 已知椭圆的右焦点为，离心率为． （1）求的标准方程； （2）过点作一条斜率不为0的直线交于两点，为坐标原点，若，求弦长． 17. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个白球，个黄球，从中随机地摸个球作为样本，用表示样本中黄球的个数，表示样本中黄球的比例. （1）若有放回摸球，求的分布列及数学期望； （2）（i）分别就有放回摸球和不放回摸球，求与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过的概率； （ii）比较（i）中所求概率的大小，说明其实际含义. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点在线段上（与不重合）． （1）若平面平面，证明：平面; （2）当面积最小时，求二面角的正弦值； （3）在（2）的条件下，若，是线段的等分点，分别过在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应截面面积为，证明： （参考公式：）， 19. 已知函数，的最大值为． 求实数b的值； 当时，讨论函数的单调性； 当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $