精品解析：湖南衡阳市第八中学2026届高三下学期高考适应性练习卷（五）数学试题

衡阳市八中2026年高考适应性练习卷（五） 数学 请注意：本卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合是长方体，是正方体，是正四棱柱，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则（ ） A. ，， B. ， C. p是真命题 D. p是假命题 3. 某校组织1000名学生参加机器人知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．现用比例分配的分层随机抽样在内共抽取了学生50人，则在内抽取的学生人数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 4. 函数，的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 5. 一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，这个数列的公比等于（ ） A. B. C. D. 6. 有6名研究员进入A、B、C三个实验舱，则恰有4名研究员在A舱的条件下甲和乙在A舱的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，M是的中点．则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（有些时候，选择比努力更重要！） 9. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 函数的对称中心为 C. ，使得与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形 D. ，总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切 11. 若两圆，有公共点，当m变化时，与圆，都相切的圆的圆心可能在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 一条直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设i为虚数单位，则______． 13. 若直线是曲线的切线，则___________． 14. 已知数列的前n项和为，且满足，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，点D在边上且． （1）求； （2）若，的面积为，求线段的长． 16. 如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱，上的动点（不与端点重合），且． （1）证明：平面； （2）已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是．求直线与平面所成角的正弦值． 17. 近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： 若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，表示 年1月份，表示年6月份，…），计算得，， ． （1）由最小二乘法建立y关于t的线性回归方程； （2）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在年4月发布了1款标准化测试得分为分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由； （3）现从该区域年已经发布的大模型中随机抽取3款，假设各款模型类型相互独立，根据年大模型的分布情况，用频率估计概率，求抽取的3款大模型中恰有2款是多模态模型的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 18. 已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为． （1）求C的方程； （2），设点P，Q均在C上，且满足． （i）若，证明：；（ii）若直线的斜率为2，求t的值． 19. 设函数（，且，）． （1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项； （2）设是的导函数，证明：，； （3）是否存在，使得恒成立？若存在，证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中2026年高考适应性练习卷（五） 数学 请注意：本卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合是长方体，是正方体，是正四棱柱，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方体、正方体、正四棱柱以及子集、交集、并集、补集的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】正四棱柱是“底面是正方形的直棱柱”，也即是“底面是正方形的长方体”， 所以，，A选项正确，B选项错误. 正方体是“棱长都相等的长方体”，所以，C选项错误. 由于是的真子集，所以，D选项错误. 2. 已知命题，，则（ ） A. ，， B. ， C. p是真命题 D. p是假命题 【答案】C 【解析】 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：若命题，， 则，，故选项AB错误； 当时，，所以命题，，是真命题. 3. 某校组织1000名学生参加机器人知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．现用比例分配的分层随机抽样在内共抽取了学生50人，则在内抽取的学生人数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，成绩在区间的人数为，在的人数为， 按照分层随机抽样在内共抽取了学生50人，故抽样比为， 所以在内抽取的学生人数为. 4. 函数，的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系及基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为， 所以 ， 又，， 所以当且仅当，即时等号成立． 5. 一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，这个数列的公比等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前项和的性质求解. 【详解】设该等比数列前项和为，公比为， 由于该等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50， 可知，， ， 所以，， 即，. 6. 有6名研究员进入A、B、C三个实验舱，则恰有4名研究员在A舱的条件下甲和乙在A舱的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出“恰有4名研究员在A舱”及“恰有4名研究员在A舱且甲和乙在A舱”的概率后，再借助条件概率公式计算即可得. 【详解】设事件表示“恰有4名研究员在A舱”，事件表示“甲和乙在A舱”， 则，， 则. 故选：A. 7. 已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 8. 在三棱锥中，，，M是的中点．则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥置于长方体中，再建立空间直角坐标系，列出方程即可求解外接球的半径，进而求得表面积． 【详解】如图，将三棱锥置于长方体中，设长，宽，高分别为， 由， 如图，建立空间直角坐标系，则， 设三棱锥的外接球球心为， 则可得， 所以三棱锥的外接球的表面积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（有些时候，选择比努力更重要！） 9. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性判断A；利用对数函数的单调性与换底公式判断B；利用中间值“1”和指、对数函数的单调性判断C;利用诱导公式与同角三角函数关系，及三角函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 函数的对称中心为 C. ，使得与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形 D. ，总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的正负判断A；根据函数的对称性判断B；根据函数的性质判断C；根据导数的几何意义判断D. 【详解】因为，所以， 当时，在上恒成立，即在上单调递增，故A正确； 因为， 所以的对称中心为，故B正确； 由B项可知，函数的对称中心为且也关于对称， 假设与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形， 即与曲线有四个交点，即， 即除去0以外还有四个解，即，所以， 设和与曲线的交点分别为A，C，B，D， 所以，即，无解，假设不成立，故C错误； 设两直线与曲线的切点分别为，， 则，即，所以， ，总存在，使得上式成立， 即，总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点是C的判断，解答时要注意结合对称性，采用假设得出矛盾的方法求解. 11. 若两圆，有公共点，当m变化时，与圆，都相切的圆的圆心可能在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 一条直线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线、椭圆的定义，结合圆的位置关系分析可得. 【详解】由得， 易知圆心，半径， 圆的圆心，半径. 因为圆，有公共点，则， 解得，则， 设动圆的圆心为，半径为， 若圆与圆，都外切，则， 当时，由双曲线定义可知，此时圆心在双曲线的一支，B正确； 当时，圆心在轴上（不含线段）， 若圆与圆外切，与圆内切，则， 当时，由椭圆定义可知，圆心在椭圆上，A正确； 当时，圆心在线段上， 综上，圆心在轴上（不含点，），D正确； 由上述分析可知，动圆圆心只能在椭圆、双曲线和轴上，不可能在抛物线上，C错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设i为虚数单位，则______． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 若直线是曲线的切线，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】通过令曲线导数等于切线斜率求出切点横坐标，再代入曲线和直线方程即可求解. 【详解】设切点为，，则， 由题意得，即，解得， 将其代入到，则，即切点为， 将其代入到，即，解得. 14. 已知数列的前n项和为，且满足，，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】讨论是奇数或偶数，结合递推式确定，讨论是奇数或偶数，结合递推式确定，并判断数列的周期性，进而求解． 【详解】当是奇数时，，解得，舍去， 当是偶数时，，解得； 当是奇数时，，解得， 的项依次是，即是周期为3的周期数列， ； 当是偶数时，，解得， 的项依次是， 即是首项为8，从第二项起是周期为3的周期数列， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，点D在边上且． （1）求； （2）若，的面积为，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，利用辅助角公式化简，结合三角形内角范围即可求解； （2）根据三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，可得， 又，所以，所以，即． 因为，所以，所以，可得． 【小问2详解】 因为的面积为，， 由（1）知，所以，得， 由余弦定理，可得，所以，所以， 由于，所以， 则在直角中，，可得． 16. 如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱，上的动点（不与端点重合），且． （1）证明：平面； （2）已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）在正方形中，由，得， ，则，， 因此，由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又，，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证； （2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，，得， 解得，则，显然直线，，两两垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设（），则，， ，， 由点到直线的距离是，得，则， 而，解得，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，为锐角， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： 若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，表示 年1月份，表示年6月份，…），计算得，， ． （1）由最小二乘法建立y关于t的线性回归方程； （2）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在年4月发布了1款标准化测试得分为分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由； （3）现从该区域年已经发布的大模型中随机抽取3款，假设各款模型类型相互独立，根据年大模型的分布情况，用频率估计概率，求抽取的3款大模型中恰有2款是多模态模型的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 【答案】（1） （2）已知年4月，则，计算多模态模型的预测值和残差， ，残差为：， ， 再计算语言模型的预测值和残差，，残差为：， ，， 根据Q值越小的大模型发生的可能性越大，所以该款大模型更有可能是语言模型 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意提取6个自变量，计算均值，用变形公式算出离均差平方和，代入公式求出，再用截距公式计算，写出回归直线方程； （2）分别用两个回归式算预测值，求残差，计算并对比值判断模型类型； （3）用频率估算概率，用二项分布公式计算概率． 【小问1详解】 ，，， 表示年1月份，表示年6月份， ，，，， ，， ，根据， y关于t的线性回归方程为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由年的数据可知，随机抽取了款大模型，其中多模态模型有6款，用频率估计概率， 多模态模型的频率为， 该区域发布的大模型是多模态模型的概率为， 设抽取的3款大模型中多模态模型有X款，则， 故． 18. 已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为． （1）求C的方程； （2），设点P，Q均在C上，且满足． （i）若，证明：；（ii）若直线的斜率为2，求t的值． 【答案】（1） （2）（i）证明：设，，则， 化简得，所以． 同理，由，可得， 所以；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和实轴长列方程组求解即可； （2）（i）设，代入数量积化简即可得证； （ii）设直线方程，分别与圆、双曲线方程联立，得到两个关于的二次方程，利用两方程同解，系数成比例求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得，，所以C的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可得点P，Q均在圆上． 设直线的方程为． 由得① 由得②， 且， 方程①②的解均为点P，Q的横坐标，所以， 解得，，满足，，所以t的值为 19. 设函数（，且，）． （1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项； （2）设是的导函数，证明：，； （3）是否存在，使得恒成立？若存在，证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 因， 而，故只需对和进行比较， 令（），有，由，得， 因为当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处有极小值1．故当时，， 从而有，亦即，故有恒成立， 所以，原不等式成立． （3）对，且有 ， ， 而， ， 所以， 又因（，3，4，…，m），故，因此， 即存在，使得恒成立． 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数可求得展开式中系数最大的项； （2）通过构建函数，利用函数单调性即可证明； （3）利用二项展开式，结合放缩法证明对应不等式，进而求出满足条件的的值. 【小问1详解】 当时，展开式中二项式系数最大的项是第5项，这项是 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $