2026-2027学年人教版九年级数学上册期中质检自测试题卷（01）（范围：25.1-28.1）

九年级期中质检数学自测试题卷（01） 说明：1.范围：上册第二十五章至第二十八章（28.1图形的旋转） 2.满分:120分;时间:120分钟。 3.请将答案写在答题卡上。 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项) 1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 5．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 7．如图，在小正方形组成的网格中，图②是由图①经过旋转变换得到的，其旋转中心是点______（填“”或“”或“”）． 8．若一个直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为______________． 9．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛场，则参加小组赛的球队有________支． 10．如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为________. 11．如图，已知菱形的顶点，，在二次函数的图象上，点在轴正半轴上．且轴，则菱形的边长为________． 12．如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．    三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知二次函数的图象与x轴交于． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求自变量x的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的抛物线上找出点E，使． （2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F． 15．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为2，求另一个根和k的值． 16．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出反比例函数值不小于一次函数值时自变量的取值范围． 17．电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加 (1)当时，求与之间的关系式； (2)电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在中，，为上一点，且满足．现将绕点逆时针旋转至，使得点落在上．若为的角平分线，则 (1)证明：四边形为菱形； (2)若的长为，则求的长． 19．在2023年“十一”小长假期间，白鹿洞书院接待游客达7万人次，预计在2025年“十一”小长假期间，接待游客10.08万人次．在白鹿洞书院附近，一家特色小面店希望在“十一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元． (1)求出2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护白鹿洞书院形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入－总成本－其他各种费用） 20．已知抛物线：（，是常数）经过点． (1)若抛物线的对称轴为直线，求，的值． (2)若抛物线还经过另一点，且， ①求的取值范围； ②抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．的最小值为，线段长为，记，求关于的函数解析式，并求的最小值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 22．综合与实践 如图，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量    (1)依据实验得出与的对应点，请你在本题图中画出函数图像，并求出函数解析式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图像．过图像的左右两端M，N分别作轴的垂线，过图像的最高点和最低点分别作轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形． ①若，，则矩形的面积是_____； ②若，矩形的垂直高度，则矩形的水平宽度p的取值范围是_____； ③若矩形为正方形且边长为3，求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 九年级期中质检数学自测试题卷（01） （参考答案及解析） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A A C C B 1．D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的顶点坐标为． 3．A 【分析】需求一元二次方程两根之和，利用根与系数的关系可直接计算，无需解方程求根． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得． 4．C 【分析】代入验证A，由的符号判断B、D，结合对称性判断C． 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴ B错误； ∵ 反比例函数的图象关于原点对称， ∴ C正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小， ∴ D错误． 5．C 【分析】根据旋转角求得，再根据计算的度数． 【详解】解：绕点按逆时针方向旋转得到， ． ， ． 6．B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点问题，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有②③⑤； 故选：B． 7． 【详解】解：根据两组对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心，可知图②经过旋转变换得到图①的旋转中心是． 8． 【分析】设直角三角形的两条直角边为方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理计算斜边长． 【详解】解：设直角三角形两条直角边的长分别为，，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴． 9． 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴，即参加小组赛的球队有支． 10． 【分析】根据反比例函数的几何意义得，，根据矩形面积为列方程即可解出的值. 【详解】解：如图， 记与轴相交于， ∵矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上， ∴，，， ∵矩形面积为，， ∴，解得：（舍），， ∴的值为. 11． 【分析】设与y轴交于点E，证明是等边三角形，求出，设，，利用勾股定理和含角直角三角形的性质表示出，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，设与y轴交于点E ∵四边形是菱形 ∴， ∵轴 ∴轴 ∵菱形的顶点，在二次函数的图象上 ∴点B和点C关于y轴对称 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴设， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵菱形的顶点在二次函数的图象上 ∴ 解得（舍去）， ∴ ∴菱形的边长为． 12．或或 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 13．(1)； (2)当时，自变量的值为或6 【分析】此题考查了二次函数与轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将与坐标代入二次函数解析式求出与的值，即可确定出二次函数解析式； （2）把代入解析式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：将，代入解析式得： ， 解得：，． 则抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， 当时，自变量的值为或6． 14．（1）如图1，延长BA交抛物线于点E，点E即为所求； （2）如图2，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【分析】（1）延长BA交抛物线于点E，则A、E两点的纵坐标相等，根据抛物线的对称性即可解答； （2）由（1）知AE∥CD、AC=DE知四边形ACDE是等腰梯形，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【详解】略 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、等腰梯形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握抛物线、等腰梯形及等腰三角形的轴对称性是解答本题的关键． 15．(1) 证明： ， ， ， 即， 不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)另一个根为，k的值为 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，即，由此可证出：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； 将代入原方程，可得出，解之可得出k的值，得到方程，再用因式分解法求解另一个根，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；将代入原方程，求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：将代入原方程得：， 解得：， 原方程为， 解得 方程的另一个根为，k的值为 16．(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，一次函数图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先将两点代入一次函数解析式，求出坐标，再将或坐标代入反比例函数解析式即可求出． （2）在第一象限内，根据图象直接写出即可． 【详解】（1）解：把，两点分别代入得 ，， 解得，， 点坐标为，点坐标为， 把代入， 求得， 反比例函数解析式为； （2）在第一象限内，根据图象反比例函数值不小于一次函数值时自变量的取值范围为：或 17．(1)时， (2)时，电阻不超过 【分析】（1）根据题意先求出，设关系为 ，将代入求m； （2）将代入关系式中求y，再利用温度每上升，电阻增加，得出图像上点的坐标，再求出函数关系即可，将代入函数关系式求出x的值． 【详解】（1）解：由题意：, 解得，， 函数过，两点， 设， 过点， ． 当时，y与x的关系式为：； （2）过点， 温度每上升，电阻增加 过点， ， 解得：， 与x的关系式为：， ，当时，， ，当时，， 答：温度x取值范围是：． 18．(1)证明：， ， 由旋转可知，， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明结论成立； （2）根据平行线的性质可知，根据角之间的关系可以求出，根据含角的直角三角形的性质可以求出，利用勾股定理可以求出，设，则，利用勾股定理可以得到关于的方程，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ， 由旋转可知． 19．(1) (2)18元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x，利用2025年“十一”小长假期间游客人次2023年“十一”小长假期间游客人次（年平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每碗售价定为y元，则平均每天可销售碗，利用净利润总收入总成本其它各种费用，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）解：设2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为． （2）解：∵每提高0.5元少卖4碗， ∴每提高1元少卖8碗， 设每碗售价定为y元，则平均每天可销售碗， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元． 20．(1)，； (2)①； ②（），的最小值为． 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式与点A在抛物线上的条件，联立方程求解b和c； （2）①由A、B纵坐标相同得两点关于对称轴对称，结合对称轴公式建立b与m的关系，根据m的范围推导b的范围； ②利用轴对称性质将转化为，结合最短路径结论得的最小值为的长度，结合长度得到W的解析式，再通过二次函数配方求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得． ∵抛物线经过点， ∴代入解析式得， 即． 将代入， 得． （2）解：①∵抛物线经过和， ∴两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． 又∵抛物线对称轴为直线， ∴， 即． ∵， ∴， 即． ②∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，得， 即． 将代入抛物线解析式得， 即． 结合①中，得， ∴． ∵点P在抛物线的对称轴上，点A是点B关于对称轴的对称点， ∴， 即． ∵对称轴为直线，且， ∴，且， 即点B、C均在对称轴右侧，两点在同侧． ∴， 即最小值． 由勾股定理得， ∴． ∵、纵坐标相同， ∴线段的长度． ∴，其中． 将配方得． ∵二次函数开口向上，对称轴为直线，且在内， ∴当时，取得最小值，最小值为． 21．(1)， (2) (3)明明在此次考试中得到满分，理由如下： 把代入，得， 解得，（不合题意，舍去）， 即实心球从起点到落地点的水平距离为米， ∵， ∴明明在此次考试中得到满分． 【分析】（）根据图表解答即可； （）由（）可知抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）把代入函数解析式求出的值，进而与满分成绩比较即可． 【详解】（1）解：由表可知：时，，   ∴明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，   ∵当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为直线，   ∵抛物线开口向下， ∴当时，实心球在空中取得最大高度，   又∵当时，，   ∴实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（）知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）略 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像，根据图像可得y是关于x的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离为，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点连线，函数图像如图所示， 由图象可得y与x之间是反比例函数关系， 设， 当时，， ，即， ； （2）解：当时，代入得，， 解得， 当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是. （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离为， ，， 解得：． 在移动前托盘B中的砝码质量为. 23．(1)抛物线的函数表达式为，它的顶点坐标为． (2)①36；②；③点的坐标为或． 【分析】（1）将点和分别代入，即可求抛物线的函数表达式，再将抛物线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标． （2）①已知，，确定图像的垂直高度与水平宽度，相乘可得矩形的面积； ②已知，矩形的垂直高度，结合抛物线对称性确定点横坐标的取值范围，即可得到水平宽度的取值范围; ③根据题意设，则，然后，再分四种情况：第一种情况：当，即时，第二种情况：当，即时，第三种情况：当，即时，第四种情况：当时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可． 【详解】（1）解：将点和分别代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为， ， 它的顶点坐标为． （2）解：①：如图1所示， 时， ， 故图像的最低点为， 到最高点之间的距离为： ， 所以矩形一边的长为9， 另一边的长度： ， 所以，矩形的面积： ． ②：如图2所示， ，矩形的垂直高度， 点M关于对称的点，横坐标的值为4， 所以要保证矩形的垂直高度，则，点N的横坐标不能大于4， 同时，点N又要在对称轴的右侧， 所以矩形的水平宽度p的取值最小值为，最大值为， 故范围是． ③：根据题意设，则， 第一种情况：当，即时， ， （舍去）； 第二种情况：当，即时， ， 或（舍去）， 当时，， ； 第三种情况：当，即时， ， 或（舍去）， 当时，， ； 第四种情况：当时，， （舍去）； 综上，点的坐标为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $