5.1认识二次函数（分层作业，7大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 5.1 认识二次函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据实际问题识别函数关系 题型02 根据实际问题列二次函数关系式 题型03 二次函数的定义及识别 题型04 与二次函数的系数有关的计算 题型05 利用二次函数表达式求变量的值 B组 能力进阶 题型 认识二次函数·综合应用 C组 思维拔高 题型 由图形规律列二次函数关系式 根据实际问题识别函数关系题型01 1．（25-26九年级上·天津·月考）下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为 ，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 3．如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 4．如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 5．如图1，在等边三角形中，D是边的中点，动点M从点B出发沿边匀速运动到点A．同时动点N从点A出发，以相同的速度先沿边运动到某一点，再从该点沿直线运动到终点D．设点M运动的路程为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示．当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 6．个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 7．已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 8．设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 根据实际问题列二次函数关系式题型02 1．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级·月考）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 4．寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·青海·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 6．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 7．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 8．综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 二次函数的定义及识别题型03 1．下列函数表达式中，关于的二次函数是（     ） A． B． C． D． 2．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确 3．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数          B．二次项系数是﹣10         C．一次项是100       D．常数项是20000 4．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·新疆·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 6．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． (1)； (2)； (3)． 7．举出一个生活中有关二次函数的例子． 8．下列各式中，哪些一定是y关于x的二次函数？哪些一定不是y关于x的二次函数？对于有可能是y关于x的二次函数的，请补充条件使它一定是y关于x的二次函数． ①； ②； ③； ④（k为常数）． 与二次函数的系数有关的计算题型04 1．函数y=xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（25-26九年级上·安徽六安·月考）若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 3．如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是______． 4．如果二次函数的图象经过原点，那么的值等于________． 5．（25-26九年级上·期末）已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 6．（25-26九年级上·河南信阳·月考）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 7．（24-25九年级上·新疆·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 利用二次函数表达式求变量的值题型05 1．下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 3．（25-26九年级上·期末）已知点，都在二次函数的图象上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 4．某数学兴趣小组研究二次函数的图像时发现:无论如何变化，该图像总经过一个定点，这个定点的坐标是________. 5．已知二次函数，当时，求函数的值． 6．（24-25九年级上·吉林长春·月考）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 7．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？ 8．用的篱笆围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边长为，矩形的面积为（墙足够长）． (1)写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，矩形的面积为多少? 认识二次函数·综合应用题型 1．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期中）若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第__________象限． 3．写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数： (1)直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式； (2)写出圆的面积S与半径x的函数关系式； (3)写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式； (4)写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式． 4．已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． (1)分别写出S与x，V与x之间的关系式； (2)对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 5．物体的动能E（单位：J）与它的质量m（单位：）、运动速度v（单位：）之间的关系可以用公式表示．一辆小轿车的质量为，行驶速度为．设该车行驶速度增加时，它的动能增加． (1)写出y与x之间的关系式； (2)当该车行驶速度分别增加时，它的动能各增加多少？ 6．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）(1)计算：． (2)若是关于的二次函数，求的值． 7．（25-26九年级上·山东青岛·月考）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 由图形规律列二次函数关系式题型 1．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______． 2．按要求解答问题： (1)上面每一个图形中各有多少个小圆圈？ (2)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，用m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n之间的关系是什么？ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.1 认识二次函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据实际问题识别函数关系 题型02 根据实际问题列二次函数关系式 题型03 二次函数的定义及识别 题型04 与二次函数的系数有关的计算 题型05 利用二次函数表达式求变量的值 B组 能力进阶 题型 认识二次函数·综合应用 C组 思维拔高 题型 由图形规律列二次函数关系式 根据实际问题识别函数关系题型01 1．（25-26九年级上·天津·月考）下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中），逐一分析各选项变量间的关系式，判断是否为二次函数即可． 【详解】解：A．正方形的周长与边长的关系为，是一次函数，不符合题意； B．正方形的面积与边长的关系为，符合二次函数形式，符合题意； C．三角形的高一定时，面积与底边的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； D．速度一定时，路程与时间的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为 ，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判断． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ， ∴y与x满足一次函数的关系，S与x满足二次函数的关系，故A正确． 故选：A． 3．如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】B 【分析】过梯子中点O作地面于点D．由题意易证，即得出．由O为中点，，，即可推出，即．即可选择． 【详解】如图，过梯子中点O作地面于点D． ∴， 又∵， ∴， ∴， 根据题意O为中点，，． ∴，整理得：． 故y与x的函数关系为一次函数关系． 故选B． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质以及一次函数的实际应用．作出辅助线构成相似三角形是解答本题的关键． 4．如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 【答案】A 【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出、的长度，再结合阴影部分的面积等于以的长的正方形的面积之差可得，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 则阴影部分的面积为， 即：，为一次函数， 故选：A． 5．如图1，在等边三角形中，D是边的中点，动点M从点B出发沿边匀速运动到点A．同时动点N从点A出发，以相同的速度先沿边运动到某一点，再从该点沿直线运动到终点D．设点M运动的路程为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示．当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题图可知，当点M在边上，点N在边上时，y是关于x的二次函数，对应题图2中点O到点P的函数图象；点N从边上某点运动到点D的过程中，y是关于x的一次函数，从而可得点N是沿平行于的直线运动到点D的，故可判断点N先运动到边的中点E，再从点E运动到点D，再结合图计算即可得出结果． 【详解】解：由题图可知，当点M在边上，点N在边上时，的底和高都在变化，y是关于x的二次函数，对应题图2中点O到点P的函数图象； ∵点N从边上某点运动到点D的过程中，y是关于x的一次函数，的边在变化， ∴上的高是不变的，即此时点N是沿平行于的直线运动到点D， 不妨设交于点， ∴， ∵D是边的中点，即， ∴，即是的中点， ∴点N先运动到边的中点E，再从点E运动到点D，如图所示． 由题图2可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵D是边的中点，是的中点， ∴， 当时，，此时点N运动到的中点， ∴． 作于点，则， ∴， ∴，此时点和点重合， ∴，即的高为， 此时． 6．个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 【答案】 是 【分析】个人每人与其余人握手，每次握手被计算了2次，除以2得到总握手次数，再根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：∵个人参加聚会，每个人需要和除自身外的个人握手， ∴计算得到未去重的总握手次数为， ∵与握手和与握手是同一次握手，每次握手被计算了2次， ∴实际总握手次数， 整理得，符合二次函数的定义，因此它是二次函数． 7．已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【答案】(1)， (2)是关于的二次函数 【分析】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解题关键． （1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 ，； （2）解：依题意，是关于的二次函数． 8．设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【答案】(1)、、 (2)关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． （1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【详解】（1）解： 圆柱的底面半径为，底面周长为， ； 又圆柱的高为，底面半径为，圆柱的体积为， ． 设圆柱的高为，底面周长为，圆柱的体积为， ． 综上所述，关于、关于、关于的函数关系式分别是：、、． （2）解：根据二次函数的定义知，关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 根据实际问题列二次函数关系式题型02 1．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 2．（25-26九年级·月考）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 3．（25-26九年级上·云南·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 4．寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】握手（无向）：只算1次，总次数根据互发信息（有向）问题：A发B、B发A是2次，无需除以2，得出结论． 【详解】解：名同学每人给人发信息，总次数． 5．（25-26九年级上·青海·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 6．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 7．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）由且，得四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可； （）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， 根据题意得：，，则， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形， 即，解得：； （2）解：，，，，， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ． 即 【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8．综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）②；（3）；（4）且 【分析】（）结合图形找出点的位置即可求解； （）根据点位置的分布即可判断； （）利用勾股定理及线段垂直平分线的性质解答即可求解； （）结合图形性质，根据正方形的性质解答即可． 【详解】解：（）当为时，线段的垂直平分线为直线，过点垂直于轴的垂线即为轴， ∴点的坐标为； 当为时，如图所示，点的坐标为， 故答案为：，； （）由对称性可知，当为时，如图所示，点的坐标为， ∴由点的位置变化可猜想为我们学过的二次函数， 故答案为：； （）由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴； （）如图，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 又由（）可知当为时，点的坐标为，点三点共线构成不了三角形， ∴， 综上，要使为钝角三角形，的取值范围为且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的图象，线段垂直平分线的性质，正方形的性质等，理解题意是解题的关键． 二次函数的定义及识别题型03 1．下列函数表达式中，关于的二次函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数定义，依次判断每个选项是否满足整式且二次项系数不为的条件． 【详解】解：选项A、B中的表达式均未说明二次项系数，不符合二次函数要求； 选项C中符合二次函数的要求； 选项D中含分式，不是整式，不符合要求． 2．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】设y1＝k1x，y2＝k2x2，根据y＝y1﹣y2得到y＝k1x﹣k2x2，由此得到答案． 【详解】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2， 则y＝k1x﹣k2x2， 所以y是关于x的二次函数， 故选：C． 【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键． 3．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数          B．二次项系数是﹣10         C．一次项是100       D．常数项是20000 【答案】C 【分析】先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可. 【详解】∵y=（500﹣10x）（40+x） =-10x2+100x+20000， ∴y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000， ∴A、B、D正确，C错误. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可. 4．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：A、当m＝1时，(m－1)2＝0，函数y＝(m－1)2x2不是二次函数； B、当m＝－1时，(m＋1)2＝0，函数y＝(m＋1)2x2不是二次函数； C、无论m取何值，m2＋1≠0，所以函数y＝(m2＋1)x2一定是二次函数； D、当m＝1或－1时，m2－1＝0，函数y＝(m2－1)x2不是二次函数． 故选C． 点睛：判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 5．（25-26九年级上·新疆·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 6．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是二次函数， (2)是二次函数， (3)不是二次函数 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义，一般形式，是解题的关键．形如（a、b、c是常数，）的函数，称为二次函数． （1）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，写出各项系数； （2）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，写出各项系数； （3）化成一般形式，是一次函数，不是二次函数． 【详解】（1）解：∵， ∴是二次函数，． （2）解：∵， ∴是二次函数，． （3）解：∵， ∴不是二次函数． 7．举出一个生活中有关二次函数的例子． 【答案】见解析 【分析】利用篮球出手后它的高度与运行时间之间的关系． 【详解】解：篮球运动员在篮下投篮，篮球出手后它的高度与运行时间之间是二次函数关系． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的函数称为二次函数，其中是自变量，是函数． 8．下列各式中，哪些一定是y关于x的二次函数？哪些一定不是y关于x的二次函数？对于有可能是y关于x的二次函数的，请补充条件使它一定是y关于x的二次函数． ①； ②； ③； ④（k为常数）． 【答案】一定是y关于x的二次函数的是①④；一定不是y关于x的二次函数的是②；有可能是y关于x的二次函数的是③，当，a，b，c为常数时，③一定是y关于x的二次函数． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 根据二次函数的定义去进行解答即可． 【详解】解：由题意可知： ①根据二次函数的定义可知是二次函数； ②将函数展开合并，得，所以一定不是二次函数； ③当，，为常数且时，函数才是二次函数； ④由二次函数的定义可知是二次函数； 综上所述，一定是关于的二次函数的是①④；一定不是关于的二次函数的是②；有可能是关于的二次函数的是③，当，为常数时，③一定是关于的二次函数． 与二次函数的系数有关的计算题型04 1．函数y=xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】直接根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵函数y=xm+1是关于x的二次函数 ∴m+1=2，即m=1． 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是二次项的系数不能为0、次数为2的特征是解答本题的关键． 2．（25-26九年级上·安徽六安·月考）若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义、根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得， 故选：C． 3．如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 4．如果二次函数的图象经过原点，那么的值等于________． 【答案】1 【分析】将点（0，0）代入二次函数解析式，列出关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意，知 点（0，0）在二次函数的图象上， ∴0＝m－1， 解得，m＝1； 故答案是：1． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标与其解析式的关系．解答该题需知：二次函数图象上的点的坐标，都满足该二次函数的解析式． 5．（25-26九年级上·期末）已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 6．（25-26九年级上·河南信阳·月考）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)； (2)且 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【详解】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且 7．（24-25九年级上·新疆·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】 解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】略 利用二次函数表达式求变量的值题型05 1．下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可． 【详解】A． ，选项错误，不符合题意； B． ，选项正确，符合题意； C． ，选项错误，不符合题意； D． ，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证． 2．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·期末）已知点，都在二次函数的图象上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 【详解】解：对于二次函数， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 4．某数学兴趣小组研究二次函数的图像时发现:无论如何变化，该图像总经过一个定点，这个定点的坐标是________. 【答案】(1,1) 【分析】根据题意，图象要过定点，那么只需要想办法去掉解析式中的m即可，故可令x=1，可得出答案. 【详解】解：令x=1，则y=1-m+m=1 ∴图象一定过点(1,1) 故答案是：(1,1) 【点睛】本题主要考查二次函数过定点问题，正确分析是解题的关键. 5．已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 6．（24-25九年级上·吉林长春·月考）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 7．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？ 【答案】（1）；（2），， 【分析】（1）根据圆的面积公式可得，再整理即可． （2）分别把，，2代入可得的值． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，解题的关键是掌握圆的面积公式． 8．用的篱笆围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边长为，矩形的面积为（墙足够长）． (1)写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，矩形的面积为多少? 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）篱笆只围三边，垂直墙的两边长度都是，平行于墙的边长为；矩形面积长宽，由此列出二次函数，再根据边长大于0求自变量范围； （2）直接代入第一问解析式求值． 【详解】（1）解：垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 矩形面积：， 又矩形边长必须大于0， ， 解得：， 函数解析式：，自变量取值范围． （2）解：把代入解析式： ， 当时，矩形面积为． 认识二次函数·综合应用题型 1．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中，，且，可得；再由平行线的性质得出，即，进而证明，最后根据三角形的面积公式，求出与之间的函数关系式． 【详解】解：如图所示， ∵中，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期中）若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第__________象限． 【答案】一 【分析】本题考查了根据二次函数的定义求参数，根据二次函数的定义，指数部分必须为2且系数不为零，解出k的值，再代入一次函数解析式，分析其图像所经过的象限． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ∴一次函数为， ∵， ， 图像经过第二、第三和第四象限，不经过第一象限， 故答案为：一． 3．写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数： (1)直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式； (2)写出圆的面积S与半径x的函数关系式； (3)写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式； (4)写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式． 【答案】(1)，S是x的二次函数； (2)，S是x的二次函数； (3)，y是x的二次函数； (4)，C是r的一次函数． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据两直角边之间的关系可得出另一条直角边为，利用三角形的面积计算公式，即可找出S与x之间的函数关系式， （2）根据圆面积的公式即可得出函数解析式， （3）由正方形面积的计算方法可得出函数解析式， （4）由圆的周长的计算方法可得出函数解析式，由此即可判断函数类型． 【详解】（1）解：由三角形的面积计算方法可得：， S是x的二次函数； （2）由圆面积的计算方法可得：， S是x的二次函数； （3）由正方形面积的计算方法可得：， y是x的二次函数； （4）由圆的周长的计算方法可得：， C是r的一次函数． 4．已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． (1)分别写出S与x，V与x之间的关系式； (2)对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 【答案】(1) (2)S和V都是关于x的二次函数 【分析】（1）直接利用长方体的表面积和体积公式分别求解即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ； （2）解：根据二次函数的定义，可知 是S关于x的二次函数， 是V关于x的二次函数， 即S和V都是关于x的二次函数． 5．物体的动能E（单位：J）与它的质量m（单位：）、运动速度v（单位：）之间的关系可以用公式表示．一辆小轿车的质量为，行驶速度为．设该车行驶速度增加时，它的动能增加． (1)写出y与x之间的关系式； (2)当该车行驶速度分别增加时，它的动能各增加多少？ 【答案】(1)（） (2)速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加． 【分析】（1）根据增加的动能等于速度增加后的动能减去原来的动能列函数关系式即可； （2）把，，分别代入（1）中的函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：设该车行驶速度增加时，它的动能增加， ∴（）． （2）解：当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加． 6．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）(1)计算：． (2)若是关于的二次函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算以及二次函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用二次根式的运算乘法法则进行计算，最后化为最简二次根式，进行加减计算即可； （2）根据二次函数的定义，由求出的取值，结合，得出k最终的取值． 【详解】（1）解：原式 （2）解：∵是关于的二次函数 ∴，且， 由，解出或； 由，解得； 综上，满足要求的的取值为． 7．（25-26九年级上·山东青岛·月考）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解并取符合题意的x的值即可； （2）根据每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 由图形规律列二次函数关系式题型 1．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______． 【答案】 【分析】图（1）中只有一层，有个正方体，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有个，图（3）中有三层，在图（2）的基础上增加了一层，第三层有，依此类推出第n层正方体的个数，即可推出当有n层时总的正方体个数． 【详解】解：经分析，可知：第一层的正方体个数为， 第二层的正方体个数为， 第三层的正方体个数为， …… 第n层的个数为：， 第n个叠放的图形中，小正方体木块总数为： ， 即． 2．按要求解答问题： (1)上面每一个图形中各有多少个小圆圈？ (2)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，用m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n之间的关系是什么？ 【答案】(1)上面每一个图形中各有1，3，6，10，15个小圆圈 (2) 【分析】（1）根据图形求解即可； （2）根据题意表示出，然后利用倒序相加法求解即可． 【详解】（1）解：第一个图形有1个小圆圈，第二个图形有个小圆圈， 第三个图形有个小圆圈， 第四个图形有个小圆圈， 第五个图形有个小圆圈； （2）解：根据题意得，， ∴， 两式相加得，， ∴ ∴． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $