精品解析：四川乐山乐外立志达高级中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

乐外立志达高中2028届数学月考 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线l1的倾斜角,直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 A. - B. C. - D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得L2的倾斜角等于30°+90°＝120°，从而得到L2的斜率为 tan120°，运算求得结果． 【详解】如图：直线L1的倾斜角α1＝30°，直线L1⊥L2，则L2的倾斜角等于30°+90°＝120°， ∴L2的斜率为 tan120°＝﹣tan60°， 故选C． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 2. 已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意有：向量在向量上的投影向量是： ， 故选：A. 6. 已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解. 【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为， 当时，直线的方程为，满足题意； 当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上， 且斜率，即，解得． 综上可得，的取值范围为． 故选：C 法二：方程化为点斜式为， 所以不论为何值，直线都过定点， 作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示， 因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即， 所以的取值范围为． 故选：C 7. 如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底表示后可求的值. 【详解】由正三棱柱可得，， 而， 故 . 故选：A. 8. 如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，设P坐标，根据可得出轨迹方程，再根据轨迹方程即可求解. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，， ，， ∵，∴， ∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面， ∴，又， 由图可知当点P在E处取得最大值， 所以面积的最大值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 异面直线、的夹角余弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；利用线线角的向量求法计算判断D. 【详解】由，，得不共线，因此直线与平面不垂直，A错误； 由，，得，即，直线，B正确； 由，，得，即，则，C错误； 由，，得， 因此异面直线、的夹角余弦值为，D正确. 故选：BD 10. 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是 A. B. C. 1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解 【详解】 当直线过点B时，设直线的倾斜角为，则 当直线过点A时，设直线的倾斜角为，则 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：或 故选：ACD 【点睛】本题考查了过定点的直线与线段相交的直线的取值范围问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于中档题 11. 如图，正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，点分别在正方形对角线上移动，且和的长度保持相等．记，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的长为 B. 当时，三棱锥的体积是 C. 当的长最小时，直线与平面所成角的余弦值为 D. 不存在，使得直线与所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图建系，求得各点坐标，根据条件，可得M、N点坐标，即可得表达式，代入，即可判断A的正误；当时，可得M到平面ABEF的距离及N到AF的距离，利用等体积转化法，结合体积公式即可判断B的正误；根据二次函数的性质，可得的长最小时，分别求出与平面的法向量坐标，根据线面角的向量求法，结合同角三角函数的关系，可判断C的正误；根据异面直线的向量求法，可得与所成角的余弦值的表达式，结合条件，可得关于的二次方程，利用其判别式，可判断D的正误. 【详解】由题意，以B为原点，BA，BE，BC为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 设，则， 由，得， 则，即， 由 ，同理可得， 所以. 选项A：当时， ，故A正确； 选项B：当时，M到平面ABEF的距离为， 因为，所以N到AF的距离为， 所以， 所以三棱锥的体积，故B正确； 选项C：因为， 所以当时，有最小值，且为， 此时，则， 因为平面在面内，所以即为平面的法向量， 设MN与平面所成角为，， 则， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为，故C错误； 选项D：， 设直线与所成角为，， 则， 由，得，则， 整理得，判别式， 所以方程无实数根，即不存在，使得直线与所成角的正弦值为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两直线的交点坐标，根据两直线垂直，斜率的关系，可求出所求直线的斜率，代入公式，即可得答案. 【详解】联立，解得，即交点坐标为， 直线变形为，斜率为， 所以所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，整理得. 故答案为： 13. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间点到直线的距离计算方法求得正确答案. 【详解】因为，， 所以点P到直线的距离为. 故答案为： 14. 在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据空间数量积公式结合二次函数计算求出最值. 【详解】如图，分别以方向为轴建立空间直角坐标系可得： ， ， 设平面的法向量，则，得， 令，即. 由于直线与平面平行，则，得：， 即：. ， ， 可知，由于，当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 15. 已知向量，． （1）求与的夹角； （2）若与互相垂直，求实数t的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的坐标，再利用空间向量夹角的坐标表示求解. （2）求出与的坐标，再利用空间向量垂直关系的坐标表示列式求解. 【小问1详解】 由，得， 则，，， 因此，而， 则，所以与的夹角为. 【小问2详解】 依题意，，，由与互相垂直， 得，即， 所以. 16. 已知直线：与直线：，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由可得，进而检验求解即可； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出的值，从而可得点的坐标，然后再分直线的截距为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得或， 当时，：，：，即， 此时，满足题意； 当时，：，即，：， 此时重合，不满足题意. 综上所述，. 【小问2详解】 因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即； 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． （1）求三棱锥的体积． （2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理得到平面，所以三棱锥的高为，再利用锥体体积公式求解即可. （2）由线面垂直的判定定理得到平面，所以为与平面所成角，再在直角三角形中求BD与平面ANMD所成角的余弦值. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面； 因为，N为PB中点，所以, 所以， 因此. 【小问2详解】 因为M，N分别为PC，PB中点，所以，又，则， 所以平面，又平面，所以； 由（1）知，， 又平面，所以平面， 所以是在平面内的射影，为与平面所成角. 因为平面，平面，所以， 故，即， 又因为且，所以，所以， 所以与平面所成角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. （1）取的中点，求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）取的中点，连接，则，，结合， 所以四边形为矩形，所以， 以为原点，所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 的中点为，， 取中点为，则，则，， 所以，故，又平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系，求出相关点的坐标，根据空间向量的运算以及线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据空间角的向量求法，即可求解； （3）假设在线段上，存在一点M，使得平面与平面的夹角为，根据面面角的向量求法，可通过计算判断，求出M的坐标，再根据线面角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ， ， ， 故直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在，且，时，平面与平面重合，不符合题意， ,则点为，所以， 设平面的法向量是，则， 令，则， 又是平面的一个法向量， 令， 解得或（舍去），则． 即在线段上，存在一点，使得平面与平面的夹角为， 此时平面的一个法向量可取，， 设与平面所成的角为， 则， 由知，，即与平面所成角的大小为. 19. 在直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，直线的法向量为；推广，在空间三维直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，平面的法向量为.已知，平面. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）已知点在平面内，直线与平面所成角的正弦值为，求点到点距离的最小值及此时的坐标. 【答案】（1）； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据材料结合已知条件可求出点到面的距离； （2）求出平面的法向量，进而计算得线面角； （3）小问利用向量共线定理结合条件求出点的坐标，根据分析，发现动点的轨迹是圆，再次利用向量共线定理得到三点共线，由此易得距离最小值及点的坐标. 【小问1详解】 由题知； 【小问2详解】 由题意，易知点在平面内，，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，故， 直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 过点作平面的垂线，垂足为，设，有， 存在唯一实数，使得，又， 则，， 又在平面内， ，解得， ， 由（1）知，， 又由题知，根据勾股定理可得， 点落在以为球心，为半径的球面与平面所截的圆上，即点落在以为圆心，为半径的圆上. 由（2）可知，点在以上圆上， 又∵点， ∴，，三点共线， ， 此时点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐外立志达高中2028届数学月考 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线l1的倾斜角,直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 A. - B. C. - D. 2. 已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（  ） A. B. C. D. 6. 已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 异面直线、的夹角余弦值为 10. 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是 A. B. C. 1 D. 11. 如图，正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，点分别在正方形对角线上移动，且和的长度保持相等．记，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的长为 B. 当时，三棱锥的体积是 C. 当的长最小时，直线与平面所成角的余弦值为 D. 不存在，使得直线与所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 13. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为________． 14. 在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 15. 已知向量，． （1）求与的夹角； （2）若与互相垂直，求实数t的值． 16. 已知直线：与直线：，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． （1）求三棱锥的体积． （2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. （1）取的中点，求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由． 19. 在直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，直线的法向量为；推广，在空间三维直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，平面的法向量为.已知，平面. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）已知点在平面内，直线与平面所成角的正弦值为，求点到点距离的最小值及此时的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $