四川省成都市成华区某校2025-2026学年高二上学期阶段性考试（一）数学试题

2025-2026学年度（上）阶段性考试（一）数学解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C C C B C BC ACD 题号 11 答案 BC 1．C 【详解】依题意，应抽取的一年级学生的人数为.故选：C 2．A 【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94， 因为，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即分． 3．A 【详解】组数据中，都不含的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989； 故三只豚鼠都没被感染的概率为：.故选：. 4．C 【详解】对A、B、D,都可能推出l,所以不正确；对C，根据两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，所以正确.故选C. 5．C 【详解】因为，， ，所以向量，，均与向量，共面，ABD均不合题意；假设， 则，无解，所以与向量，不共面，C符合题意.故选：C 6．C 【详解】由，，则，解得， ，，，.故选：C. 7．B 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件， 该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是.故选：B 8．C 【分析】取的中点M，连接，取的中点N，连接，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体的外接球，然后由向量的运算可得，从而可求得结果. 【详解】取的中点M，连接， 则，则，即， 故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球. 由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3， 即动点P的轨迹为正方体的外接球. 取的中点N，连接， 则 . 由题可知，，则，， 则. 所以的最小值为， 故选：C 9．BC 【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误； 对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确. 对C，因为，且，所以四点共面,故C正确. 对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.故选：BC. 10．ACD 【分析】先计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，即可判断A，B，再根据独立事件的乘法公式判断C，根据对立事件的意义可判断D. 【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”， 为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则，A正确； ，故B错误； 而，故甲与丁相互独立，即C正确； 因两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选：ACD. 11．BC 【分析】根据等体积公式即可求解A，根据锥体的体积公式可得，即可根据向量的表示求解B，根据向量的线性运算，结合垂直关系即可求解CD. 【详解】当时时，,故， 故在棱上，由于平面，因此,故A错误， 根据，，，可得在四边形内以及边界运动， 取的中点为，则到平面的距离为, , 故，（为点到直线的距离），结合可知， 当时， 由于,, , 若，则，则，故存在两个点P，使得，C正确， 由于四边形为正方形，则,要使平面，只需要，故, ,进而， 故，则，故D错误， 故选：BC 12. 【详解】因为，，所以， ，故向量在向量上的投影向量为 ，故答案为： 13．/0.5 【详解】由题意得，随机任取“两行”共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，所以取出的“两行”相生的概率,故答案为： 14. 【详解】，， 所以，，，∴， ， ，∴，∴， ∴. 15．(1)， (2) 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果. 【详解】（1），……2分 ，…4分 所以 ……6分 （2）设为异面直线与所成的角， ……10分 ，所以异面直线与所成的角 ……13分 16．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得,进而可证平面,即得结果； （2）只需证明即可，在上取点使得,再通过平行四边形性质进行证明即可. 【详解】 （1）因为长方体,所以平面,…2分 因为长方体,所以四边形为正方形…4分 因为平面,因此平面,……6分 因为平面,所以；……7分 （2）在上取点使得,连, 因为,所以 ……9分 所以四边形为平行四边形， ……11分 因为所以四边形为平行四边形，所以四点共面，……13分 ，所以四点共面，因此在平面内……15分 通过空间向量或者建系思想证明也可. 17．（1） ； （2）. 【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值； （2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果. 【详解】（1）依题，……4分 解得 ……6分 （2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为， 获得本选修课学分分数不低于4分为事件，……7分 则；； ……13分 故 ……15分 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键. 18．(1)； (2)众数为75，中位数为75，平均数为74； (3)平均数为62，方差为37. 【分析】（1）根据频率和为1求得； （2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，得，解得……2分 （2）由，得样本成绩的众数为75，……4分 成绩落在[40,70)内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在[70,80)内，由，得样本成绩的中位数为75，……7分 由 得样本成绩的平均数为74……10分 （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，（求出各自占比也可）……11分 所以，……13分 总方差为……17分（列出算式给两分） 19．(1)2 (2) (3)10 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长； （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其大小，结合二面角 与二面角互补可得结论； （3）过点作，证明平面，过点作交于点，证明，结合条件可求. 【详解】（1）因为底面为矩形， 所以，， 因为底面，底面， 所以， 又，平面，所以平面，……2分 又平面，所以，因为， 所以为直线与所成的角，即， 设，则，， 在中，……4分（列出正弦式子给两分） 又，所以，解得或（舍去）， 所以；……5分 （2）在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，……7分（能证平面可得两分） 因为为的中点，所以，， 所以，……9分 设二面角的平面角为，则， 所以，即二面角的余弦值为；…10分 （3）依题意，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面，……12分 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，……14分 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以 ……17分 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）阶段性考试（一） 高2024级 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1．我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（  ） A．52 B．48 C．36 D．24 2．学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（  ） A．88分 B．84分 C．85分 D．90分 3．在一个实验中，某种豚鼠被感染病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（  ） A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75 4．若是两条不相同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 6．向量，，，且，，则（  ） A． B． C． D． 7．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（  ） A． B． C． D． 8．正方体的棱长为2，是空间内的动点，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3个小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（  ） A．若，则向量，的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（  ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（  ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当三棱锥的体积为定值时， C．当时，有且仅有两个点，使得 D．当平面时，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 13．我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是 14．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点． (1)（6分）用，，表示向量，并求的模长； (2)（7分）求与所成角的余弦值． 16.（15分）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，． 证明：（1）（7分）当时，； （2）（8分）点在平面内． 17.（15分）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2025年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且. （1）（6分）求与的值； （2）（9分）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 18.（17分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.    (1)（2分）求频率分布直方图中的值； (2)（8分）求样本成绩的众数，中位数和平均数； (3)（7分）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 19.（17分）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. (1)（5分）求的长； (2)（5分）若为的中点，求二面角的余弦值； (3)（7分）若为上一点，且满足，求. 高二数学试题 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $