2026-2027学年浙教版九年级数学上册 专题复习：面积比值的问题

2026-2027年浙教版九年级第一学期专题专题复习：面积比值的问题 【思维导图】 【知识梳理】 一、核心基础原理 基础比例规律 等高图形：面积比 = 对应底边长之比 等底图形：面积比 = 对应高之比 底和高均不同：面积比 = （底1×高1）:（底2×高2） 相似图形性质 相似比为k时，面积比 = k² 对应线段（高、中线、角平分线）比 = 相似比 二、经典几何比例模型 等高模型‌：所有面积比例问题的基础，核心是找公共高，直接将面积比转化为底边比 鸟头模型‌：共角三角形的面积比，等于对应角两夹边的乘积之比 蝴蝶模型‌：利用四边形对角线分割出的四个三角形，建立面积与线段的比例关联，梯形场景下有专属比例规律 燕尾模型‌：三角形内一点与三顶点连线，形成的三个小三角形面积比对应底边线段比 沙漏/金字塔模型‌：平行线构造的相似三角形，直接套用面积比等于相似比平方的结论 三、通用解题方法 直接计算法：先算出两个图形的具体面积，再化简得到比值 等积转化法：通过“拉窗帘”等积变形，将不规则图形转化为规则图形，简化比例推导 辅助线构造法：补全图形、连接关键点，构造出上述经典比例模型 份数赋值法：将最小面积设为1份，根据比例关系推导所有部分的份数，快速得到最终比值 一阶学习（基础训练） 1.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：CE＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则＝（　　） A. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：25 【答案】A 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到DEAB，DC=BA，得到△DEF∽△BAF， 得到，，从而得到，整理即可． 【详解】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以DEAB，DC=BA， 所以△DEF∽△BAF， 所以，， 所以， 所以==4：10：25， 故选A． 2.如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，推出，设，，则，，，证明，得出，证明，得出，推出，，从而得出，，求出得到，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 故选：C． 二阶学习（提升训练） 1.如图，在矩形中，点P是边上一动点，连接，作于点H，作于点E，作直线于点F，交于点G．已知：，． （1）若点E，F分别为的中点时，记矩形的面积为，矩形的面积为，则的值为________； （2）在点P的运动过程中，若，矩形与矩形相似，则n的值为________． 【答案】 ①. ②. 2或4 【解析】 【分析】（1）根据线段中点的定义可得，，由勾股定理可得；证明，得到，则；证明，可得，则，，再根据矩形面积公式求解即可； （2）分点F在上和点F在的延长线上两种情况，证明得到，证明，，再根据相似多边形的性质得到或，据此讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵点E，F分别为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，AD=BC， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）当点F在上时，∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴，即 ∵矩形与矩形相似， ∴或， 当时，则， ∴，即， ∴； 当时，则， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，； 当点F在延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴，即 ∵矩形与矩形相似， ∴或， 当时，则， ∴，即， ∴； 当时，则， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，或； 综上所述，或 故答案为：2或4． 2.如图，在中，在上，．    (1)求证：∽； (2)若，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明∽及∽是解题的关键． （1）由，，得，，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）设，可推出和，进而求得与的关系，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∽； （2）设， ∵， ∴，， ∴， ∴∽，∽， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 3.如图，在直角坐标系中，各顶点的坐标为，，． （1）以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为2的位似图形△． （2）顶点的坐标为 　　，△与的面积之比为 　　． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求； （2）顶点的坐标为，△与的面积之比为， 故答案为：，． 三阶学习（培优训练） 1.如图，内接于半径为5的，连接并延长交于点，交于点，过点作，交的延长线于点，． （1）求证：． （2）当时，求长； （3）当时，设的面积为，的面积为，求的值．（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，以及平行线的性质得出角相等，再利用两角对应相等的两个三角形相似证得结论； （2）连接构造直角三角形，再过B作，根据，可得，，，，证明，可得，根据，解得，在中，根据勾股定理得，求得，在中，，根据，解得，在中，利用勾股定理求解即可； （3）过点M作出的高，再由，得出线段间的比例关系，从而可得出结果. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 小问2详解】 解：连接，作交于F， ∵半径为5， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由图可知为直径，，得， ，解得， 在中，，则， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，； 【小问3详解】 当，即， ， ， ∵， ∴， ∴. 过M作，（以为直径）， 可知， ∴， ∴． 2.如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答； （2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答； （3）①过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答； ②连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答． 【解析】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 四边形与关于所在直线成轴对称， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 设设，则， ， ， 四边形为矩形， ， 点为矩形的对称中心， ， ， 在中，， 可得方程， 解得（此时，故舍去0）， ；    （3）解：①证明：过点作于，连接， 点为矩形的对称中心， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ；    ②如图，连接， 由题意可得, 点为矩形的对称中心， ， 同理可得， 由（1）知， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由①可得， 解得， ， ， ．    3.如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），在的右侧作正方形．过点作，交的延长线于点．连接，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当点是的中点时，若，求的长； (3)点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2) (3)不变， 【分析】（1）由正方形的性质得出，，推出，证明得，即可说明结论； （2）根据勾股定理求出，证明得，代入数据计算即可； （3）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，根据四边形是矩形，推出，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）∵点是的中点时，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）的值不变． 如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴． 4.【教材原题】如图①，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，图中的相似三角形是 　 　，它们的相似比为 　 　； 【改编】将图①中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转到如图②所示的位置，连接BD、CE．求证：△ABD∽△ACE； 【应用】如图③，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，点D在边BC上，连接CE，则△ACE与△ABD的面积比为 　 　． 【分析】【教材原题】根据平行线的性质可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，即可得出△ADE∽△ABC，再求出对应边的比，即可得出相似比； 【改编】根据△ADE∽△ABC得出∠BAC＝∠DAE，，进而得出∠BAD＝∠CAE，，即可求证； 【应用】根据∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°可得△ABC∽△ADE，则，进而得出△ABD∽△ACE，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【解答】【教材原题】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC； ∵AD＝3，DB＝2， ∴AB＝AD+DB＝5， ∴相似比为． 故答案为：△ADE∽△ABC，； 【改编】证明：∵△ADE∽△ABC， ∴∠BAC＝∠DAE，． ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE，． ∴△ABD∽△ACE． 【应用】解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°， ∴△ABC∽△ADE， ∴，则， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE， ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°， ∴． ∴． 故答案为：． 5.已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，以AD为对角线作正方形AEDF，DE交AB于点M，DF交AC于点N，连接EF，EF分别交AB、AD、AC于点G、点O、点H． （1）求证：EG＝HF； （2）当∠BAC＝60°时，求的值； （3）设k，△AEH和四边形EDNH的面积分别为S1和S2，求的最大值． 【分析】（1）根据正方形的性质得到OE＝OF，EF⊥AD，根据平行线的性质得到∠AGH＝∠B，∠AHG＝∠C，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，求得∠AGH＝∠AHG，于是得到结论； （2）当∠BAC＝60°时，△ABC为正三角形．设OH＝a，则OA＝OE＝OFa，求得EH＝（1）a，HF＝（1）a，根据相似三角形的性质得到，，得到CD＝2a，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）设EH＝2m，则FH＝2km求得OAEF＝（k+1）m，得到S1＝（k+1）m2，于是得到结论． 【解答】解：（1）在正方形AEDF中，∵OE＝OF，EF⊥AD， ∵AD⊥BC， ∴EF∥BC， ∴∠AGH＝∠B，∠AHG＝∠C， 而AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠AGH＝∠AHG， ∴AG＝AH， ∴OG＝OH， ∴OE﹣OG＝OF﹣OH， ∴EG＝FH； （2）当∠BAC＝60°时，△ABC为正三角形． ∵AD⊥EF ∴∠OAH＝30° ∴， 设OH＝a，则OA＝OE＝OFa， ∴EH＝（1）a，HF＝（1）a， ∵AE∥FN， ∴△AEH∽△NFH， ∴， ∵EF∥BC， ∴△AOH∽△ADC， ∴， ∴CD＝2a， ∵△HNF∽△CND， ∴， ∴； （3）设EH＝2m，则FH＝2km OAEF＝（k+1）m， ∴S1＝（k+1）m2， 由（2）得，△AEH∽△NFH， ∴S△HNF＝k2S1＝k2（k+1）m2， 而S△EDF＝OA2＝（k+1）2m2， ∴S2＝S△EDF ﹣S△HNF ＝（k+1）2m2 ﹣k2（k+1）m2＝（﹣k2+k+1）（k+1）m2， ∴k2+k+1， ∴当k时，的最大值为． 6.正方形ABCD的边长为1，连接BD，过点C作BD的平行线CE，BE与CD相交于点F，过点D作DH⊥BE． （1）求△BDE的面积； （2）当∠CBE＝15°时，求BE的长； （3）在（2）条件下，若△EFC的面积记为S1，△DFH的面积记为S2，△DBF的面积记为S3，△BFC的面积记为S4，，请用k的代数式表示的值． 【分析】（1）根据CE∥BD，得△BDE和△BDC 等底等高，S△BDE＝S△BDC 即可得出结果； （2）过点C作CM⊥BD于点M，过点E作EN⊥BD于点N，先证明四边形CMNE是 矩形，得CM＝NE，再根据等腰直角三角 形的性质与含30°角的直角三角形的性质，证明BD＝BE即可得出结果； （3）先证明HF＝HE，得S△DHF＝S△DHE＝S2，再根据CE∥BD，得△CEF∽△DBF，再根据相似三角形的性质，得到 ，即可得出结果． 【解答】解：（1）在正方形ABCD中，CE∥BD， ∴BC＝CD＝1，∠BCD＝90°， ∴△BDE和△BDC等底等高， ∴S△BDE＝S△BDCBC•CD1×1， ∴△BDE 的面积为； （2）过点C作CM⊥BD于点M，过点E作EN⊥BD于点N， ∴∠CMN＝∠ENM＝90°， ∵CE∥BD，CE⊥CM， 即∠CMN＝∠ENM＝∠MCE＝90°， 故四边形CMNE是矩形， ∴CM＝NE， 在正方形ABCD中，BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，△BCD是等腰直角三角形，，，∠CBD＝45°， 当∠CBE＝15°时，∠DBE＝∠CBD﹣∠CBE＝45°﹣15°＝30°， 在△EBN中，， ∴BE＝2EN＝2CM； （3）由（2）中结论BD＝BE，∠DBE＝30°，∠BDC＝45°， ∴， ∵∠DFE＝∠BDF+∠DBF＝45°+30°＝75°， ∴∠DFE＝∠DEF， ∴DE＝DF， ∵DH⊥BE， ∴HF＝HE， ∴S△DHF＝S△DHE＝S2， S△DEF＝2S2， ∵， ∴CF＝kCD＝k（CF+DF）， ∴， ∵CE∥BD， ∴△CEF∽△DBF， ∴， 由（1）中结论 S△BDE＝S△BDC， ∴S3+S4＝S3+2S2， ∴S4＝2S2， 即 ， ∴•． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC，D是BC边上一点，连接AD，CD＝1，AD＝BD，点E，F分别在AD，BD上，且EF∥AB连接CE． （1）求AB的长； （2）如图1，若5DE﹣5AE＝3，过点F作FG∥DA，交AB于点G，求的值； （3）如图2，若，过点F作FH⊥CE，垂足为H，求HF的长． 【分析】（1）根据勾股定理及等腰三角形的性质可得答案； （2）连接AF，∵EF∥AB，FG∥DA，根据平行四边形的判定与性质及面积比可得答案； （3）利用相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质可得CF＝3，过点E作EM⊥AC，垂足为M，再由勾股定理及等腰三角形的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴△ACD是直角三角形， ∴AD3， ∵AD＝BD， ∴BD＝3， ∴BC＝4， ∴AB2； （2）如图： ∵5DE﹣5AE＝3，DE+AE＝3， ∴5DE﹣5AE＝AE+DE， ∴4DE＝6AE， ∴， 连接AF，∵EF∥AB，FG∥DA， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∴S△AEF＝S△FCA， ∵， ∴； （3）如图， ∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠DAB，∠DFE＝∠DBA， ∴△DEF∽△DAB， ∴， ∵，DA＝3，AB＝2， ∴， ∴DE＝2， ∴AE＝1， ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF， ∴DF＝2， ∴CF＝3， 过点E作EM⊥AC，垂足为M， ∴sin∠MAE＝sin∠CAD， ∴， ∴ME， ∴AM， ∴CM， ∵CE， ∵S△CEFCF•CM2， ∴S△CEF2， ∵CE， ∴HF． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027年浙教版九年级第一学期专题专题复习： 面积比值的问题 【思维导图】 辅助线构模型 等积转化简化 解题技巧 赋值份数法 等高一面积比=底之比 等底一面积比=高之比 面积比值问题 基础规律 相似→面积比-相似比？ 等高模型 核心模型 湖蝶/燕尾/鸟头模型 沙漏相似模型 【知识梳理】 一、核心基础原理 基础比例规律 等高图形：面积比=对应底边长之比 等底图形：面积比=对应高之比 底和高均不同：面积比=（底1×高1）：（底2×高2） 相似图形性质 相似比为k时，面积比=k2 对应线段（高、中线、角平分线）比=相似比 二、经典几何比例模型 等高模型：所有面积比例问题的基础，核心是找公共高，直接将面积比转化为底边比 鸟头模型：共角三角形的面积比，等于对应角两夹边的乘积之比 蝴蝶模型：利用四边形对角线分割出的四个三角形，建立面积与线段的比例关联，梯形场 景下有专属比例规律 燕尾模型：三角形内一点与三顶点连线，形成的三个小三角形面积比对应底边线段比 沙漏/金字塔模型：平行线构造的相似三角形，直接套用面积比等于相似比平方的结论 三、通用解题方法 直接计算法：先算出两个图形的具体面积，再化简得到比值 等积转化法：通过“拉窗帘”等积变形，将不规则图形转化为规则图形，简化比例推导 辅助线构造法：补全图形、连接关键点，构造出上述经典比例模型 份数赋值法：将最小面积设为1份，根据比例关系推导所有部分的份数，快速得到最终比 值 一阶学习（基础训练） 1.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE:CE-2:3,连接AE、BE、BD,且 AE、BD交于点F,则SADEF:SA4e:Saar=（) D A.4:10:25 B.4:9:25 C.2:3:5 D.2:5: 25 2.如图，在口ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD,BC,DC延长线于点F,G, S2 E,记△ADF与△CEG的面积分别为S1,S2,若AB:AD=2:3,则S,的值是( D S 1 4 A.4 B.3 c.18 D.9 二阶学习（提升训练) 1.如图，在矩形ABCD中，点P是边BC上一动点，连接DP,作AH⊥DP于点H,作 AE BF =m =n BE⊥AH于点E,作CF⊥直线BE于点F,交DP于点G.已知：EH,FE D E H G B a)若点E,F分别为4H,BE的中点时，记矩形EFGH的面积为S,矩形ABCD的 S 面积为S2,则S2的值为 (2)在点P的运动过程中，若m=2,矩形ABCD与矩形EFGH相似，则n的值为 2.如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC,DF∥AB D (1)求证：△AED∽△DFC: D-1AC S DFC (2)若 3 ,则S四边形BEDF的值为 3.如图，在直角坐标系中，△4BC各顶点的坐标为A(-1,),B(2,3),C(0,3). (1)以坐标原点O为位似中心，在x轴上方作与△4BC的位似比为2的位似图形△AB'C'. (2)顶点A的坐标为，△AB'C'与△4BC的面积之比为一· 3 2 6 4 3 3 4 三阶学习（培优训练） 1.如图， △ABD ⊙0 BD M⊙O,C 内接于半径为5的，连接并延长交 于点“，交 于点， 过点A作AE∥BD,交CD的延长线于点E,AB=AM A E B M (1)求证：△ABM∽△ECA, (2)当CM=4OM时，求AD长： S (3)当CM=k,OM时，设△MCD的面积为S,△ADE的面积为S2,求S2的值.（用 含k的代数式表示). 4 2如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4,AD=8,点E为AD边上一点 (0<AE<3 ,连接E0并延长，交BC于点F,四边形4BFE与4BFE关于EF所在直线成 轴对称，线段B'F交AD边于点G. E G G H D A D B B B 图1 图1备用图 图2 (1)求证：GE=GF: (2)当AE=2DG时，求AE的长： (3)令AE=a,DG=b ①求证： (4-a)(4-b)=4 5 ②如图2，连接B,OD,分别交D,BF于点H,K记四边形 OKGH S 的面积为， S △DGK的面积为S.当a=1时，求S2的值. 3如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在边BC上（与点B,C不重合）， 在AC的右侧作正方形ADEF,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G.连接FB,交 DE于点O G E D R (1)判断四边形CBFG的形状，并说明理由： (2)当点D是BC的中点时，若AC=2,求FQ的长： 3)点D在运动过程中， S.FAB:S四边形CBFG 的值是否发生改变？若改变，请说明理由：若不变， 6 请求 S。F4B:S边形CFG的值. 4.【教材原题】如图①，在△ABC中，DE∥BC,且AD=3,DB=2,图中的相似三角形 是 一，它们的相似比为 ； 【改编】将图①中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转到如图②所示的位置，连接 BD、CE.求证：△ABD∽△ACE: 【应用】如图③，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE= 30°，点D在边BC上，连接CE,则△ACE与△ABD的面积比为 D B B B D 图① 图② 图③ 个 5.已知在△ABC中，AB=AC,AD LBC,垂足为点D,以AD为对角线作正方形AEDF, DE交AB于点M,DF交AC于点N,连接EF,EF分别交AB、AD、AC于点G、点O、 点H. (1)求证：EG=HF: (2)当∠BAC=60时，求 AH 的值； NC (3)设HF_k,△AEH和四边形EDH的面积分别为S1和S2,求S2的最大值 HE S1 E F G OH M N D C 6.正方形ABCD的边长为I,连接BD,过点C作BD的平行线CE,BE与CD相交于点F, 过点D作DH⊥BE (1)求△BDE的面积； (2)当∠CBE=15时，求BE的长； (3)在(2)条件下，若△EFC的面积记为S,△DFH的面积记为S,△DBF的面积 9 记为S,△BFC的面积记为S4,CF=k:请用k的代数式表示S,S,的值， CD S3S4 D E 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2V2,D是BC边上一点，连接AD,CD=1, AD=BD,点E,F分别在AD,BD上，且EF∥AB连接CE (1)求AB的长； (2)如图1，若5DE-5AE=3,过点F作FG∥DA,交AB于点G,求S四边形的值： SA兰LU 10 《3)如图2，若EF=46,过点作阴LC以，垂足为H,求m的长. 3 E E G B B 图1 图2 11