2026年浙江省杭州数学中考复习专题：面积比值问题研究

2026年浙江省杭州中考复习专题：面积比值问题 1.如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA,OB,OC,OD,若 OA'OB'OC'OD'1 =二，则四边形A'B'CD'的面积与四边形ABCD的面积比为 OA OB OC OD 4 () D D B A.1:2 B.1:4 c.1:8 D.1:16 2.如图，在△ABC中，ZC=RtL,分别以△ABC的三边为边向外构造正方形ABDE、 BCGF、ACHM,分别记正方形BCGF、△ACE的面积为S、S,若∠ACE=30°， 则 S, 的值为(). H G M C B 0 A.8-4V5 82 4 C.2-5 D.2+V3 3我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”.如图是由四个全等的直角 三角形（△ABE,△DAH,△DCG,△BCF)拼接而成，直线EG与AD,BC分别交于 点M,N,己知AM:MD=1:4,则正方形ABCD与正方形EFGH的面积比为() M D H B A.曾 B.号 c. D.子 4.如图，已知正方形ABCD的边长为a,延长BA,BC,使AF=CE=b,以BE为边长在正 方形ABCD外围作正方形BFGE,以点E为圆心，EG为半径画弧交BE的延长线于点H, 连接DH,交GE于点M,延长AD交GE于点K,交圆弧于点J,连接G,记△GK的面 积为S,阴影部分的面积为S.当F,D,H三点共线时， 的值为( S G A D E M B C E H A B时 C.2v5 D25 5 7 19 5.如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB 交BC于点F,连结BE,EF,若AC2+DE2=AE2,则△BEF与△DCF的面积比为( ) B D A1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5 6.如图，点O是口ABCD对角线AC的中点，沿过点O的直线MN将口ABCD折叠，使点A, B分别落在A,B处，NB交CD于点E,AB交AD于点F,若点E是CD的中点，且 怨=号，则△AM0与四边形MOCD的面积比为 2 M D B C 7.如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD.连结DG并延 长，交BC于点I,若DH=2EH,正方形ABCD和正方形EFGH的面积分别记为 5,52,则 的值为一 BI 的值为一 IC A D H G B 8.如图，在菱形ABCD中，分别过点A,C作AE∥CF,过点B,D作BG∥DH,交点分别 为E,F,G,H.若G为AE的中点，∠AEH=∠ABC=60°，则四边形GEHF与四边 形ABCD的面积之比为 A D H 9.如图，己知正方形ABCD与正方形AEFG,M,N分别是AB,CD的中点，当点F落在 MN上时，点G恰好在ED上.记正方形AEFG的面积为m,正方形ABCD的面积为n,则 = N D F M 10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=12,点P是DC上一点，且DP=5,点E,F 分别是AD,BC上的动点，连接EF,AP,始终满足EF⊥AP,连接AF,PF,PE,记四 边形AEPF的面积为S,记△ABF的面积为S,记△FCP的面积为S3,记△EDP的面积 S 为S,则S,+S,+5. E S4 S2 S3 I1.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D,P分别是AB,BC上的点，过5，D,P三点 作圆，与射线CD交于点E,AC=3,BC=5,AD=1 D B 备用图 1、若点E在CD的延长线上，求证：△CDP∽△CBE 2、当P点在射线CB上运动，且BE与△ADC三边中的一边垂直，求DP 3、记△BDE、△BDP的面积分别为S,S:,若DE=DC,求S,:S,的值 12.如图1，在正方形纸片ABCD中，点E是AD的中点.将△ABE沿BE折叠，使点A落 在点F处，连结DF· 图1 图2 图3 (1)求证：∠BEF=∠DFE· (2)如图2，延长DF交BC于点G,求 DE 的值 DG (3)如图3，将△CDG沿DG折叠，此时点C的对应点H恰好落在BE上.若记△BEF和 S △DGH重叠部分的面积为S,正方形ABCD的面积为S2,求 S, 的值 5 13.如图1，⊙O为△ABC外接圆，点D、E分别为AB、AC中点，连结AD、AE、 DE,DE分别与AB、AC交于点F、G.已知AF=4· G MX G 0 (图1) (图2) (1)求证：AF=AG. (2)如图2，连结CD交AB于点M,连结BE交CD于点N,连结BD、CE.若 ∠BAC=60°，求证：△NEC是等边三角形. 35 (3)在(2)的基础上，若tan∠DAF= 7 ①求DN的长； ② S CBE S四边形4DBE 14.如图1，AB是半圆O的直径，点C,D是半圆O上的点，且AC∥OD,连结BC交 OD于点E. D B 0 B 0 B 图1 图2 图3 (1)求证：OD⊥BC. 2)如图2，连结CD,AD,BD,若Sin乙ABC,求△ACD与△OBD的面积之比 (3)如图3，连结BD,作CP∥BD交AB于点P,连结PD·求证：BD=BO·BP. 7 2026年浙江省杭州中考复习专题：面积比值问题 1.如图，点O为四边形内的一点，连结，若，则四边形的面积与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，得出两四边形的相似比是解题关键．利用位似图形的定义得出四边形与四边形的位似比为，进而得出面积比，即可得出四边形的面积与四边形的面积比． 【详解】解：∵， ∴四边形与四边形的位似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 故选：D． 2.如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形、、，分别记正方形、的面积为、，若，则 的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，令正方形、的边长分别为、，由正方形的性质易证，再根据表示出，进而得出，再利用锐角三角函数，得出，代入比值计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，令正方形、的边长分别为、， 正方形、、， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D 3.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”．如图是由四个全等的直角三角形（△ABE，△DAH，△DCG，△BCF）拼接而成，直线EG与AD，BC分别交于点M，N，已知AM：MD＝1：4，则正方形ABCD与正方形EFGH的面积比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点M作MK⊥AH于K， ∵AM：MD＝1：4， ∴， ∵MK⊥AH，DH⊥AH， ∴MK∥DH（垂直于同一直线的两条直线互相平行）， ∴△AMK∽△ADH， ∴， 设MK＝a，DH＝5a，则AE＝DH＝5a， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠GEH＝∠AEM＝45°（正方形的对角线平分一个内角）， ∴△EMK是等腰直角三角形， ∴MK＝EK＝a， ∴AK＝5a﹣a＝4a， ∴， ∴AH＝20a， ∴EH＝AH﹣AE＝20a﹣5a＝15a， 在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°， ∴AD2＝AH2+DH2， ∴AD2＝（20a）2+（5a）2＝425a2， ∴． 故选：B． 4.如图，已知正方形ABCD的边长为a，延长BA，BC，使AF＝CE＝b，以BE为边长在正方形ABCD外围作正方形BFGE，以点E为圆心，EG为半径画弧交BE的延长线于点H，连接DH，交GE于点M，延长AD交GE于点K，交圆弧于点J，连接GJ，记△GKJ的面积为S1，阴影部分的面积为S2． 当F，D，H三点共线时，的值为（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 D 5.如图，在中，D为线段上一点，点E在的延长线上，过点D作交于点F，连结，若，则与的面积比为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的性质是解题的关键． 如图1，分别过点D，E作的垂线，垂足为G，H，则，设．证明，则，由，可得，由，可得，整理得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图1，分别过点D，E作的垂线，垂足为G，H，则， 设． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，整理得， ∴． 故选：A． 6.如图，点O是▱ABCD对角线AC的中点，沿过点O的直线MN将▱ABCD折叠，使点A，B分别落在A'，B'处，NB'交CD于点E，A'B'交AD于点F，若点E是CD的中点，且，则△AMO与四边形MOCD的面积比为 　 　 ． 【解答】解：连接OF，OE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵点E是CD的中点，点O是AC的中点， ∴OE∥AD∥NC，， ∴△COE∽△CAD， ∴， 由平行四边形是中心对称图形可得OM＝ON，AM＝NC， 由折叠性质得∠FMO＝∠BNO＝∠ONE， ∵OE∥AD， ∴∠NOE＝∠OMF， ∴△ONE≌△OMF， ∴MF＝NE，， ∵AM＝NC，， ∴， 则， ∴△AMO与四边形MOCD的面积比为， 故答案为：． 7.如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结并延长，交于点，若，正方形和正方形的面积分别记为，则的值为______；的值为______． 【答案】 ①. 13 ②. ## 8.如图，在菱形ABCD中，分别过点A，C作AE∥CF，过点B，D作BG∥DH，交点分别为E，F，G，H．若G为AE的中点，∠AEH＝∠ABC＝60°，则四边形GEHF与四边形ABCD的面积之比为 　 　 ． 【解答】解：将△BFC绕点B逆时针旋转60°至△BKA，如图1所示， 则△BFK为等边三角形，∠BFK＝60°． ∵AE∥CF，BG∥DH， ∴四边形EHFG为▱EHFG． ∴∠GFH＝∠AEH＝60°， ∴∠GFH＝∠BFK＝60°， ∵B、F、G三点共线， ∴K、F、C三点共线． ∵∠BFC＝∠BKA＝120°，∠BKF＝60°， ∴∠AKH＝60°＝∠GFH， ∴AK∥GF，从而可得四边形AKFG为▱AKFG． 故AG＝KF＝BF＝BK，设BF＝x， ∵AG＝GE， ∴KF＝FH＝BF＝AG＝GE＝x，AE＝2x． ∵∠DAE+∠BAE＝120°，∠BAE+∠ABG＝120°， ∴∠DAE＝∠ABG， 同理可证∠ABG＝∠FCB， 故∠DAE＝∠FCB， 又∵∠AED＝∠CFB＝120°， 在△AED和△CFB中， ， ∴△AED≌△CFB（AAS）． 故AE＝CF＝AK＝2x， 又∵KH＝2x＝AK， 故△AKH为等边三角形，从而△AEH也为等边三角形． 连接GH，则GH为AE上的高， ∴GH， 故四边形GEHF的面积＝GE•GH． 作AN⊥BC于点N，CM⊥BG于点M，如图2所示， ∵∠GFC＝60°，CF＝2x， ∴FM＝x，BM＝BF+FM＝x+x＝2x，CM， 故BC， ∴BNBC， 故AN， ∴四边形ABCD的面积＝BC•AN， ∴四边形GEHF与四边形ABCD的面积之比为：． 故答案为：． 9.如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG，M，N分别是AB，CD的中点，当点F落在MN上时，点G恰好在ED上．记正方形AEFG的面积为m，正方形ABCD的面积为n，则 　 　 ． 【解答】解：连接AF，DF，过点G作直线PQ⊥AD于点P，交MN于点Q，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，点M，N是AB，CD的中点， ∴AB＝AD＝CD，DN＝AM，AD＝2DN，AB∥CD，∠ADC＝∠DAB＝90°， ∴四边形ADNM是矩形， ∴MN∥CD， ∵PQ⊥AD， ∴PQ⊥MN， ∴∠GPA＝∠FQG＝∠DAB＝90°， ∴四边形AMQP和四边形PDNQ都是矩形， ∴DN＝PQ，NQ＝DP， ∵四边形AEFG是正方形， ∴AG＝GF，∠AGF＝90°，DE是AF的垂直平分线， ∴FD＝AD， ∵∠GAP+∠AGP＝90°，∠FGQ＝∠AGP＝90°， ∴∠GAP＝∠FGQ， 在△GAP和△FGQ中， ， ∴△GAP≌△FGQ（AAS）， ∴设PG＝QF＝a，AP＝GQ＝b，则a＞0，b＞0， ∴PQ＝DN＝a+b， ∴FD＝AD＝2DN＝2a+2b，NQ＝DP＝AD﹣AP＝2a+2b﹣b＝2a+b， ∴NF＝NQ+QF＝2a+b+a＝3a+b， 在Rt△FDN中，由勾股定理得：FD2＝DN2+NF2， ∴（2a+2b）2＝（a+b）2+（3a+b）2， 整理得：b2＝3a2， ∵a＞0，b＞0， ∴b， ∴AD＝2a+2b， 正方形ABCD的面积n＝AD2， 在Rt△AGP中，由勾股定理得：AG2＝PG2+AP2＝a2+b2＝4a2， ∴正方形AEFG的面积m＝AG2＝4a2， ∴． 故答案为：． 10.如图，在矩形中，，，点P是DC上一点，且，点E，F分别是上的动点，连接，始终满足．连接，记四边形的面积为，记的面积为，记的面积为，记的面积为，则__________． 【正确答案】 11.如图，在中，，，分别是，上的点，过，，三点作圆，与射线交于点，，， 1、若点在的延长线上，求证： 2、当点在射线上运动，且与三边中的一边垂直，求 3、记、的面积分别为，，若，求的值 【正确答案】 1、见解析 2、或或 3、 12.如图1，在正方形纸片中，点E是的中点．将沿折叠，使点A落在点F处，连结． （1）求证：． （2）如图2，延长交于点G，求的值． （3）如图3，将沿折叠，此时点C的对应点H恰好落在上．若记和重叠部分的面积为，正方形的面积为，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由折叠可得，再证明可得，再根据平行线性质即可得到； （2）设，则正方形长为，再证，然后根据相似三角形对应边成比例计算出的长度，由、，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，然后代入计算即可； （3）先证可得，故，进而得到四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，故，从而可知四边形是平行四边形，又根据折叠可知，所以四边形是矩形，设，则，再根据平行线等分线段成比例定理，计算出，进而计算出，最后求比即可． 【小问1详解】 解：如图：连接， 根据折叠可知：， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即.， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设，则正方形长为， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设与于点M，与于点N， 由(2)可知四边形平行四边形， ∴， ∵E是中点，， ∴G是中点， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由折叠可知： ， ∴四边形是矩形， 设，则， 由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13.如图，为外接圆，点、分别为、中点，连结、、，分别与、交于点、．已知． （1）求证：． （2）如图2，连结交于点，连结交于点，连结、．若，求证：是等边三角形． （3）在（2）的基础上，若， ①求DN的长； ②求． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）①，②． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由分别为 、中点，，由圆周角定理可得，进而得到即可求证； （2）过点作于点，先证明，得到，即可求证； （3）①过点作于点，由三角函数得到，再证明，根据勾股定理可得，再由即可求解； ②由可得设则，即可求解． 小问1详解】 证明：如图： ∵分别为 、中点， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵分别为 、中点， ， ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 【小问3详解】 解：∵， ∴为等边三角形， 过点作于点，如图： ∵， ∴ ∴ ∴， 由（1）知，，， ∴， ∴即 ∴， ， ； ，， ∴为等边三角形， 又∵ 为等边三角形， ∴， ∴ ， 设则， ， ， ， ∴． 14.如图，是半圆的直径，点是半圆上的点，且，连结交于点． （1）求证：． （2）如图，连结，若，求与的面积之比． （3）如图，连结，作交于点，连结．求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（）由是半圆的直径得，再根据平行线的性质可得，即可求证； （）由可得，由可得，由根据平行线之间距离相等可得，即可得到； （）连接，先证明点四点共圆，得到，进而可得，又由，可得，即得到，即可求证． 【小问1详解】 证明：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $