4.5 相似三角形的性质题型专练2026-2027学年浙教版九年级数学上册

浙教版（2024）九年级上册 4.5 相似三角形的性质 题型专练 【题型1】三角形重心 【典例】有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（　　） A．三角形三条中线的交点处 B．三角形三条角平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条边的垂直平分线的交点处 【举一反三1】三角形的重心是（　　） A．三角形三边上高线的交点 B．三角形三边上垂直平分线的交点 C．三角形三边上角平分线的交点 D．三角形三边上中线的交点 【举一反三2】三角形三条__________ （填写“高”、“中线”或“角平分线”）的交点叫做三角形的重心． 【举一反三3】重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则__________ . 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (1)画出关于y轴对称的（点A与点对应），直接写出点的坐标； (2)仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，在如图中画出的重心D，不写画法，保留作图痕迹． 【题型2】相似三角形对应线段的比等于相似比 【典例】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长比为 （      ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF的高的比为(　　) A．1∶3 B．1∶9 C．1∶18 D．1∶81 【举一反三2】如图，已知AD为∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E.如果，那么等于 （      ）  A． B． C． D． 【举一反三3】如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为__________． 【举一反三4】如图，在中，，点是边的中点，过点作的垂线，交的延长线于点.若，，则__________ ，线段的长为__________ . 【举一反三5】△ABC∽△A′B′C，顶点A、B、C分别与A′、B′、C′对应，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长度． 【举一反三6】如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB，AE，CD于点G，F，H，求GF∶FH的值. 【题型3】相似三角形的面积比等于相似比的平方 【典例】如图所示，△ABC∽△DEF，其相似比为k，则一次函数y＝kx－2k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是(　　) A．0.5 B．4 C．2 D．1 【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为__________． 【举一反三2】已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，则△ABC与△DEF的面积之比为__________． 【举一反三3】如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE＝2，BC＝5，S△ABC＝20，求S△ADE． 【举一反三4】如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2. （1）DE与AB的长度之比是多少？ （2）已知Rt△ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，求Rt△DEF的周长与面积． 【题型4】相似三角形的性质与判定的综合（移题） 【典例】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在对角线BD上，且BE＝6，连接AE并延长交DC于点F，则CF等于（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三1】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝ __________ ． 【举一反三2】如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 __________ ． 【举一反三3】如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8． （1）求证：△EOB∽△ABC； （2）求反比例函数的解析式． 【举一反三4】如图，在▱ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC．过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）当四边形BCEF是正方形时，DF＝  ，说明理由； （3）当＝    时，四边形BCEF是菱形，说明理由． 浙教版（2024）九年级上册 4.5 相似三角形的性质 题型专练（参考答案） 【题型1】三角形重心 【典例】有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（　　） A．三角形三条中线的交点处 B．三角形三条角平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【解析】三角形的重心是三角形三条中线的交点处. 故选：A． 【举一反三1】三角形的重心是（　　） A．三角形三边上高线的交点 B．三角形三边上垂直平分线的交点 C．三角形三边上角平分线的交点 D．三角形三边上中线的交点 【答案】D 【解析】三角形的重心是三角形三边中线的交点． 故选：D． 【举一反三2】三角形三条__________ （填写“高”、“中线”或“角平分线”）的交点叫做三角形的重心． 【答案】中线 【举一反三3】重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则__________ . 【答案】 【解析】∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (1)画出关于y轴对称的（点A与点对应），直接写出点的坐标； (2)仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，在如图中画出的重心D，不写画法，保留作图痕迹． 【答案】(1)如图所示；； (2)如图所示，点D即为所求． 【题型2】相似三角形对应线段的比等于相似比 【典例】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长比为 （      ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 【答案】B 【解析】∵两个相似三角形相似比是1∶3，且其周长的比等于相似比，∴其周长比为1∶3. 【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF的高的比为(　　) A．1∶3 B．1∶9 C．1∶18 D．1∶81 【答案】B 【解析】∵△ABC与△DEF的周长之比为1∶9，∴两三角形的相似比为1∶9， ∴△ABC与△DEF对应的高的比1∶9. 故选：B. 【举一反三2】如图，已知AD为∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E.如果，那么等于 （      ）  A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠DAE. 又∵AB∥DE，∴∠BAD＝∠ADE，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝ED. 又∵，设AE＝2a(a>0)，则EC＝3a， ∴ED＝2a，AC＝5a. ∵△DCE∽△BCA，∴，即. ∴AB＝.∴. 【举一反三3】如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为__________． 【答案】1∶4 【解析】∵两个相似三角形的周长的比为1∶4，∴两个相似三角形的相似比为1∶4，∴周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1∶4. 【举一反三4】如图，在中，，点是边的中点，过点作的垂线，交的延长线于点.若，，则__________ ，线段的长为__________ . 【答案】. ； . 【解析】过点作， ， 是的中点， ， 在中， ， \therefore S_{\triangle A B C} = \dfrac{1}{2} B C \mathrm{} A D = 6 0， 过点作， ， ， ， 又是边的中点， ， ， ， ， ， ， ，即， . 故答案为：，. 【举一反三5】△ABC∽△A′B′C，顶点A、B、C分别与A′、B′、C′对应，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长度． 【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C，它们的周长分别为60 cm和72 cm，∴两三角形相似之比为：60：72＝5：6， ∵AB＝15 cm，∴＝，∴A′B′＝18（cm）， ∵B′C′＝24 cm，∴A′C′＝72﹣18﹣24＝30（cm），∴＝＝， 解得：BC＝20（cm），AC＝25（cm）， 答：BC、AC、A′B′、A′C′的长度分别为：20 cm，25 cm，18 cm，30 cm． 【举一反三6】如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB，AE，CD于点G，F，H，求GF∶FH的值. 【答案】解　如图，分别延长AE，DC交于点K， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB∥CK， ∴△ABE∽△KCE， ∴， ∵E为边BC的中点， ∴BE＝CE，AE＝EK. ∵GH平分AE， ∴EK＝AE＝2AF，FK＝3AF. ∵AG∥HK， ∴△AGF∽△KHF， ∴. 【题型3】相似三角形的面积比等于相似比的平方 【典例】如图所示，△ABC∽△DEF，其相似比为k，则一次函数y＝kx－2k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是(　　) A．0.5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【解析】∵△ABC∽△DEF，其相似比为k，∴k＝＝＝＝＝， ∵一次函数y＝kx－2k的图象与两坐标轴的交点分别为(2，0)，(0，－2k)， ∴一次函数y＝kx－2k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是×2×2k＝2k＝1. 故选：D. 【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为__________． 【答案】9∶4 【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，∴△ABC与△DEF的相似比是3∶2， ∴△ABC与△DEF的面积之比为9∶4. 【举一反三2】已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，则△ABC与△DEF的面积之比为__________． 【答案】1∶9 【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，∴△ABC与△DEF的周长比为1∶3， ∴△ABC与△DEF的相似比为1∶3，∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶9. 【举一反三3】如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE＝2，BC＝5，S△ABC＝20，求S△ADE． 【答案】解：∵△ADE∽△ABC，∴S△ABC：S△ADE＝（）2，∴20：S△ADE＝， 解得S△ADE＝． 【举一反三4】如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2. （1）DE与AB的长度之比是多少？ （2）已知Rt△ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，求Rt△DEF的周长与面积． 【答案】解：（1）由相似变换可得DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3. （2）∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF∶S△ABC＝4∶9， ∵Rt△ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，∴△DEF的周长为8 cm，S△DEF＝83 cm2. 【题型4】相似三角形的性质与判定的综合（移题） 【典例】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在对角线BD上，且BE＝6，连接AE并延长交DC于点F，则CF等于（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°， 又AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∴BD＝＝10， ∵BE＝6，∴DE＝10﹣6＝4， ∵AB∥CD，∴＝，即＝，解得DF＝4，则CF＝CD﹣DF＝6﹣4＝2. 故选：A． 【举一反三1】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝ __________ ． 【答案】 【解析】过O点作OM∥AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OM是△ABD的中位线， ∴AM＝BM＝AB＝，OM＝BC＝4， ∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴＝，∴＝，∴AF＝． 【举一反三2】如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 __________ ． 【答案】-8 【解析】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D． 设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m． ∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°． ∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC． ∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA．∴， ∵OB＝2OA，∴BD＝2m，OD＝2n． ∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴mn＝2． ∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴B点的坐标是（﹣2n，2m），∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣8． 【举一反三3】如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8． （1）求证：△EOB∽△ABC； （2）求反比例函数的解析式． 【答案】解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，点D为斜边AC的中点，∴BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO， 又∠EOB＝∠ABC＝90°，∴△EOB∽△ABC. （2）∵△EOB∽△ABC，∴＝， ∵△BCE的面积为8，∴BC•OE＝8， ∵＝，∴BC•OE＝16，∴AB•OB•＝BC•OE，∴k＝AB•BO＝BC•OE＝16， 则反比例函数的解析式为：y＝． 【举一反三4】如图，在▱ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC．过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）当四边形BCEF是正方形时，DF＝  ，说明理由； （3）当＝    时，四边形BCEF是菱形，说明理由． 【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴EF∥BC． ∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形． （2）当四边形BCEF是正方形时，DF＝1． 理由如下：当四边形BCEF是正方形时，BF＝BC＝4，∠FBC＝∠AFB＝90°． ∴AF＝＝＝3． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4．∴DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1． ∴当四边形BCEF是正方形时，DF＝1． （3）当＝时，四边形BCEF是菱形． 理由如下：当四边形BCEF是菱形时，BF＝BC＝4． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB． ∴＝，即＝＝． ∴当＝时，四边形BCEF是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $