重庆市南开中学2026-2027学年度高一上学期数学周练试题(10.18)

重庆南开中学高2029级高一（上)周练2026.10.18 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 给出的选项中，只有一项符合题目要求) 1.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 () A所有不能被2整除的数都是偶数B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数D.存在一个能被2整除的数不是偶数 27≥0等是2✉-)≥3的 () A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.给定的下列四个式子中，能确定y是x的函数的是 Ax2+y2=1 B.x-1+√y2-1=0 C.y=√c-2十√1-x D.√c-1+√y-1=1 4.已知函数f(x)的定义域和值域都是[0,1]，则函数f(√c+1)的定义域和值域分别为 () A.[1,√2]和[-1,0]B[1,√2]和[0,1]C.[-1,0]和[-1,0]D.[-1,0]和[0,1] 5.若不等式a2-x-c>0的解集为 {女-1<<}，则函数f)=c--a的图象 可以为 () 谢.立丹的 &已知正实数a,6满起日+号=6，则a+1(6+0)的最小值是 () A8 B.16 C.32 D.36 7.实数c1,x2是关于c的一元二次方程x2-（m+1)x+2m-1=0的两个不等实根，且 1十1<1，则实数m的取值范围是 () C1 A(分刂 B.(-00,1)U(2,+∞) c(-0,2)U5,+0) D.(-∞，1)U(5,+∞) 8.设0<b<1+a,若关于x的不等式（ac)2<(x-b)2的解中恰好有四个整数.则实数 a的取值范围是 () A-3<a<-1 B.1<a<2 C.2<a<3 D.4<a<6 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求) 9.以下各组函数中，表示同一函数的有 ()》 Ay=y= B.y=（√m+2)2与y=x+2(x≥-2) Cf(x)=√m,g(c)=mD.f(x)=VEVx+1,g(x)=√2+x 2x-3,c≥1 10. 设函数f(x)= 1->3,0<<1,若f)=1,则的值可以是 A B.3 C.2 D.1 11.已知a,b,c∈R,且a2+b2+c2=3,以下说法正确的是 () Aa,b,c中至少有一个不大于1 B.ab+bc+ca≤3 C.(ac+bc)max=2 D.若a+b+c=0,则c≤√2 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案 填写在答题卡相对应位置上 12.若函数f(x)=√mx2-2x+1的定义域为R,则实数m的取值范围是 13.对一个集合A,若存在两个非空集合A1·A2满足A1∩A2=乃且A1UA=A,则称 集合{A1,A}为A的一个“划分集”，若集合A有4个元素，则其不同的“划分集” 其有个， 14已知正数a,6,c满足a-c=3(e-b),则。b+a千7石的最小值为 四、解答题：（本大题共77分，解答应写出文字说明.证明过程 或演算步骤) 15.请完成下列求函数解析式问题 (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2+17,求函数f(x)的表达式： (2)已知f(x)-2f)=3x+2,求f()· 16.求下列关于x的不等式或不等式组的解集： ()（+2)3-++业≤0； 02-4 x>3x-2 (2) e-i≤2x+1 17. 已知集合A={付子1≥1，B=(dam-3a+1z+3≥0}. (2)设命题p:xEA；命题q:x∈B,若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取 值范围. 18.现用一条长度为8的绳子围成多边形 (1)若围成一个矩形，求矩形面积的最大值； (2)若围成一个直角三角形，求直角边之和的最大值： (3)若围成一个四边形，且该四边形的对角线相互垂直，求四边形的面积最大值 19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c. (1)证明：ac<0是方程f(x)=0有两个异号实根的充要条件： (2)若f(x)<0的解集为(-2，-1)，9(x)=x+4,对于1∈[1,4，总3x2∈[-4,2]， 使得f(x1)-c1-2a≥g(c)成立，求实数a的取值范围： (3)若对任意x∈R,不等式f()≥2m+b恒成立，求，2 的最大值 4(a2+c) 重庆南开中学高2029级高一（上)周练答案2026.10.18 1-;DADD CRCB.AB10.ACA2.1. 6正实数a,6满足台+8=66=日+号≥2√品， a a 即a5≥1，当且仅当=号时，即a=弓，b=3时取等号， 专+号=6，∴b+9a=6ab,d(a+1)6+9)=9a+b+ab+9=7ab+9≥7+9=l6 a 7.方程x2-(m+1)x十2m-1=0的根为c1,x2,可得m1+c2=m+1,c1x=2m-1, 由△=(m+1)2-4(2m-1)>0,得m>5或m<1, 由1+1=+2=m+1<1,得m+1-2m+1<0 1 2 12 2m-1 2m-1 即m-22m-1>0,解得m>2或m<2 综上，实数m的取值范围是(-0，)U(5,+0). 8.关于x的不等式(ax)P<(c-b)2即(a2-1)x2+2bx-b<0,:0<b<1+a, [(a+1)x-b]·[(a-1)x+b]<0的解集中的整数恰有4个，∴.a>1, 不等式的解集为巴。产<4<。<1，所以解集里的整数是3,2,1,0四个 ≤a<33<a产≤4，a-3<6≤a-4 b<1+a,∴.3a-3<1+a,∴.a<2,综上，1<a<2. 11.对于A,若a,b,c均大于1，那么a2+b2+c2>3,矛盾，所以a,b,c中至少有一个不大于1， A正确. 对于B,b十bc+c0≤6+bc+ca=3,当且仅当a=b=c=1时，等号成立，B 2 2 2 正确. 对于C,3=a2++e2≥2Va27c+2V67c=5(c+e. 所以ac+e≤32，当且仅当a=6=号e-呈.即a=6=9,e=9时，等号成立， 2 4 2 C错误. 对于D,c2=(-b-aP=b+a2+2ab≤2(b+a2), ∴.c2≤2(3-c2),.3c2≤6，即-√2≤c≤√2，则c≤√2，D正确. 13.集合A共有n个元素，它的子集共有2m个 要把A分成两个非空子集A1、A且A1UA2=A,只需确定A1即可. 要求A1、A都非空，故A1既不能是财也不能是A,这样的A1共有2”一2个. 又因为划分集是集合{A1,A},把A1与A互换得到的是同一个划分集，所以上述每一种分法都 被 重复计算了2次.故不同的划分集共有2”，2=学-1-1个 2 14.解：由题a+3b=4c,即2(a+b)+(a+7b)=3(a+3b)=12c, 令m=a+b,n=a+7b,则2m+n=12c, 原式=（分+号2m*+州·。=b3++贺）≥2招2=子+号 12 6 ,当且仅当 n2m 时取等 2m+n=12c 15.解：(1)设f(c)=x+b,(k≠0)，因为3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 故可得3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b]=2x+17, 整理得kx+5k+b=2x+17,故可得k=2,b=7,故f(x)=2x+7; (2由f-21)=3+20,得f)-2对=2+22 由①2可得，f)=“-是-2e≠0) 16.解：(1)原不等式台 (x+2)(x-3)(c-2)(x2+c+1)≥0 x2-4≠0 ∴.x∈（-∞，-2)U(-2,2)U[3,+∞). x≤0 0<x<1 x≥1 1x>3ax-2 (2) a-1号+1 -w>3x-2或x>3m-2 或/r>3x-2 1-≤分+11-≤+1 2 -1+1 ∴.x∈[0,1) 1解：血子≥1，祠0<+1≤2.解得-1<a≤1，则A=(-1,小，当a=-2时， aw-(3a+1z+3≥0变为2x-5m-3≤0，解得-号≤如≤3，则B=[-3]A1B=( -1,3]. (2)若命题p是命题q的充分不必要条件，即AB, 当0<a<号时，有是>3，解z-3)a-1)≥0得≤3或≥日，即B- (-0.3]U[日+n)小，满足AB 当a=日时，B=R,满足题意 当号<a≤1时，有1≤日<3，解（红-3a-)≥0得a≤日或≥3，即B=(-m,)U [3,十∞)，满足题 当a>1时，有<1<3，可得B=(-∞，)U[3,+∞)，又A=(-1,1],不满足A=B; 当a=0时，B={x|-x+3≥0}=(-∞，3]，又A=(-1,1],满足题意； 当a<0时，不等式ax2-(3a+1)x+3≥0变为(c-3)(a-1)≥0，且1<3， a 所以解(x-3)a-)≥0得。≤u≤3，即B=[是3]， 要使得AB,则1≤-1，解得-1≤a<0; a. 综上，满足题意的实数a的取值范围为[-1,1]. 18.解：)设矩形的长、宽分别为×，则+y=4(e>0,>0,面积S=≤（之-， 当且仅当x=y=2时取等号，故矩形面积的最大值为4. (2)设直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c,则a+b+c=8且c=√a2+b. 由(a+b)≤2(a+b)得a+b≤√2Wa+b=√2c,即c≥a+b √2 所以8=a+6+c≥e+)+控-1-空)a+).解得a+5≤8g=8g-2. 1+ 2 当且仅当a=b时取等号，故两直角边之和的最大值为16-82. (3)设四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，交点为O, 记A0=m、0C=n、B0=P、0D=g,则四边形面积为S=子m+n)p+g到. 由(m+pP≤2(m2+p)得AB=√m2+p≥m+2,同理BC≥n+2、CD≥nt9、D4 √2 V2 2 ≥n+g √2 四式相加得8=AB+BC+CD+DA≥2m+m)+2(p+g=V2[(m+m+(p+g】. 即mtw+ptg)≤w.所以s=号m*mp+g≤m+m生p+o丁s专× 2 2 (42)2 二4， 4 当且仅当m=n=p=q=√2，此时四边形为正方形时取等号，故四边形面积的最大值为4. 19.解：(1)证明：必要性：aw2+bc+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根， 设两根为，，则△=b2-e>0且e=合<09ac<0, 充分性：由ac<0,可得△=b2-4ac>0,.方程ax2+bx十c=0有两个不相等的实数根， 设为，，则=合，由ac<0知<0，即两根异号， ∴.方程ax2+bx十c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正一负两实根， 综上，ac<0是方程f(x)=0有两个异号实根的充要条件. a>0 _b=-3 a (2)解：由f(c)<0的解集为(-2，-1)，则 b二-3 ,得 a>0 1b=3a ,故f)=a(x+3x+2), 0 =2 a 令h()=f(m)-1-2a=axi+(3a-1)m1,x1∈[1,41，且g(m)=+4,∈[-4,2]， 要使1∈[1,4，总x2∈[-4,2]，使得f(c1)-c1-2a≥g()成立， “只需()血≥gc)am=0,而h()的对称轴为=13a 2a @当22≤1，即a≥号时，只需)=如-1≥0，即a≥士 ②气<24，即引<a<片，只需A1产氵=1a≥0，即a0,不 4a 符合条件，③当1a2≥4，即a≤贵时，月需（闺=2a-40,即a≥号，不符合条 2a 件， 综上，a≥}，即a的取值范国是[上，+∞： 4 (3)整理得ax2+(b-2a)x+c-b≥0恒成立，显然a≠0， a>0 六{△=b-2a-he-b≤0则0≤6≤ae-a, b2 ≤ae-a2=8-1 4a+e≤a+e1+( 令t=e-1,0≤b2≤4a(c-a),.c≥a>0→t≥0， 若6=0时，此时6。≤ae=心-8-L =0, 4a2+c9a2+c21+(8 b2 t 1 ≤ 1=2-1 若>0时，4a+可<1+t++是+2≤22+22 当且仅当t=√2时，即c=(1+√2)a时，上式取得等号， 综上o同 的最大值为2-1。 2