2026-2027学年人教版九年级上册期中模拟数学试题

绝密★启用前 2026-2027学年度九年级第一学期期中模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.关于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ) A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 与轴有两个交点 D. 与轴无交点 3.现定义一种运算，例如若，则的值(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4.如图，将绕点逆时针旋转得到若， 则的度数为(    ) A. B. C. D. 5. 如图，点、、、在上，，点是弧的中点， 则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理经调查发现每件售价元时，日销售量为件，当每件电子产品每下降元时，日销售量会增加件已知每售出件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共元，设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，则与之间的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 7.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.已知，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A. B. C. D. 9.已知抛物线，若点都在该抛物线上，则、、的大小关系是(    ) A. B. C. D. 10.如图，某小区规划在长米，宽米的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，一条与平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为平方米，问小路宽为多少米设小路的宽为米，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 11.如图，在等边中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，过点作的垂线，垂足为点设点的运动时间为秒，的面积为当，，三点共线时，不妨设，则能够反映与之间的函数关系的图象大致是(    ) A. B. C. D. 12.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 13.已知，则点关于原点的对称点在第         象限． 14.将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是         ． 15.已知方程的两根分别为，，则         ． 16.抛物线的图象如图所示某同学根据图象信息写出下面四个结论：；；当时，；当时，其中正确的结论是         只填序号 17.如图，，，是上的三个点，，，则的度数为          ． 18.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为，则的值为          ． 19.石磨是古代劳动人民的食品加工工具如图，石磨的磨盘可以看作圆的一部分，图是一个石磨磨盘的示意图，是上一点，经过圆心，且弦，垂足为已知，，则这个石磨磨盘的最大宽度的直径为        ． 20.如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为        ． （第17题图） （第18题图） （第19题图） （第20题图） 三、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 用适当的方法解下列方程： ； ． 22.本小题分 如图，三个顶点的坐标分别为，，． 请画出关于原点对称的并写出点的坐标； 请画出绕点顺时针旋转后的； 在旋转到的过程中，点经过的路径长度为______． 23.本小题分 某商店购进一批成本为每件元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示  求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；  若商店按单价不低于成本价，且不高于元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润元最大？最大利润是多少？ 24.本小题分 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，月份到月份销售量的月增长率相同． 求该品牌头盔销售量的月增长率； 若此种头盔的进价为元个，商家经过调查统计，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 25.本小题分 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． 求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围； 出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； 若想要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于米，已知点到的距离为米，是否符合要求？ 26.本小题分 【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间单位：、运动速度单位：、滑行距离单位：的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 任务二：数据分析 观察分析发现，小球运动速度单位：与小球运动时间单位：满足关系式小球滑行距离单位：与运动时间单位：满足关系式 填空：        ，        ，        任务三：问题解决 当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离 当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，问小球会不会撞上小车？并说明原因 27.本小题分 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在点左侧，点的坐标，点的坐标． 求抛物线的解析式； 是抛物线的对称轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； 是直线下方抛物线上一动点不与点，重合，过点作轴的垂线与轴、分别交于点，是否存在这样的点，使四边形的面积最大？若存在，求此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 28.本小题分 阅读下面材料： 小辉遇到这样一个问题：如图，在中，，，点，在边上， 若，，求的长。 小辉发现，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接如图，由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证≌，得解，可求得即的长． 请回答：在图中，的度数是          的长为           参考小辉思考问题的方法，解决问题： 如图，在四边形中，，，分别是边，上的点，且猜想线段，，之间的数量关系并说明理由． 参考答案 1.【答案】  【解析】解：、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， 故选：． 根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可． 本题考查了轴对称图形与中心对称图形，熟知在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：二次函数， 该函数图象的对称轴为直线，故选项A错误，不符合题意； 顶点坐标为，故选项B错误，不符合题意； 当时，，即该函数图象与轴一个交点，故选项C错误，不符合题意； 当时，方程二次函数无解，故选项D正确，符合题意； 故选：． 根据抛物线解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， 或． 故选：． 按照新定义，展开原式，得到方程，解方程即可得到结果． 本题考查了新定义，涉及到解方程的应用，正确理解新定义是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转， ，， ， ， 故选：． 由旋转的性质可得，由，根据即可求解． 本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 5.【答案】  【解析】解：连接， 点是的中点， ， 由圆周角定理得，， 故选：． 根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，再根据圆周角定理解答． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元， 则每件盈利元，每天可销售件， 根据题意得：， 故选：． 根据每件利润实际售价成本价，销售量原销售量因价格下降而增加的数量，总利润每件利润销售数量，即可得出与之间的函数解析式． 本题考查根据实际问题列二次函数关系式，理解题意找到题目蕴含的等量关系是解题的关键． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理解答即可． 【解答】 解：四边形是的内接四边形， ， 由圆周角定理得，， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：，是方程的两个实数根， ，， ， 故选：． 根据根的意义和根与系数的关系求出，，再整体代入求解． 本题考查了根与系数的关系，理解根的意义和根与系数的关系是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， 故选：． 由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点与对称轴的距离大小关系求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，明确抛物线开口向下时离对称轴越近最大是解题的关键． 10.【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设小路的宽为米，根据草坪的面积为平方米，列出方程即可． 【详解】解：设小路的宽为米，根据题意得： ， 故选：． 11.【答案】  【解析】解：根据题意可知，当点运动到点时，，即时，的面积发生变化，由此可排除选项； 当点在上，即时，如图， 由点的运动可知，， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， 由此可排除，； 当点在上，即时，如图， 由点的运动可知，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， 故选：． 根据点的运动可知，当点运动到点时，用时，由此可排除选项；当点在上，即时，由点的运动可知，，，，所以，由此可排除和选项，当点在上，即时，经过验证，选项正确． 本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， ， ， 故选：． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案． 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 13.【答案】四  【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为． ， ，， 点在第四象限． 故答案为：四． 点关于原点的对称点的坐标为由题意可得，，即可得点在第四象限． 本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：抛物线， 将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线，即． 此时抛物线顶点坐标是． 故答案为：． 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 15.【答案】  【解析】解：是方程的根， ， ． ，是方程的两根， ， ． 故答案为：． 由是方程的根，可得出，进而可得出，利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论． 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出及是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：由题意，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，． 又抛物线为直线， ． ，故正确． ， ，故错误． 由题意，结合图象，当时，，故正确． 由题意，当时，的值最大．此时，， 而当时，，其中， ， ，故正确． 故答案为：． 依据题意，由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，分别观察，，时的函数值，进而对所得结论进行判断即可． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 17.【答案】  【解析】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 首先根据的度数求得的度数，然后求得的度数，即可得解． 本题考查了等腰三角形的性质，难度不大． 18.【答案】  【解析】解：连接，    轴，  ，  ，  ，  反比例函数在第二象限，  ，  故答案为：． 连接，根据平行线间的距离相等得出，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得 本题考查了反比例函数系数的几何意义，明确的面积的面积是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：经过圆心，且于点， ，， ， ， ，且， ， ， ， 解得， 的直径为， 这个石磨磨盘的最大宽度为， 故答案为： 由于点，得，，而，且，则，由勾股定理得，求得，则的直径为，于是得到问题的答案． 此题重点考查垂径定理、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解：为旋转中心， ，， 点在和的线段垂直平分线上， 如图，连接，分别作和的线段垂直平分线，且交于点，则点即为旋转中心， 由图可知点坐标为， 故答案为：． 连接，分别作和的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即可． 本题考查旋转的性质，垂直平分线的性质和判定，理解两线段垂直平分线的交点即为旋转中心是解答本题的关键． 21.【答案】解：， ， 或， ，； ， ． 或． ，．  【解析】利用因式分解法求解即可； 利用因式分解法求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 22.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标； 如图，即为所求；     【解析】解：如图，即为所求，点的坐标； 如图，即为所求； 点经过的路径长度 故答案为： 利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； 利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； 利用弧长公式求解． 本题考查作图旋转变换，弧长公式等知识，解题关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式． 23.【答案】解：设与销售单价之间的函数关系式为：， 将点、代入一次函数表达式得： ， 解得：， 故函数的表达式为：； 由题意得：， ，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 故销售单价定为元时，该商店每天的利润最大，最大利润元．  【解析】将点、代入一次函数表达式，即可求解；  由题意得，即可求解． 此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润得出函数关系式是解题关键． 24.【答案】【小题】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得 解得，不合题意，舍去 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小题】 解：设该品牌头盔每个售价为元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为元．   【解析】  本题主要考查了一元二次方程的实际应用， 设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔月份销售个，月份销售个列出方程求解即可；   设该品牌头盔每个售价为元，根据利润售价进价销售量列出方程求解即可． 25.【答案】【小题】 解：米，， 点的坐标是， 设双曲线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 段滑梯所在的双曲线的解析式是； 【小题】 解：出口点距离水面的距离为米， 设点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 点，之间的水平距离为； 【小题】 解：点到的距离为米，则点的横坐标是， 设点的坐标是， 把代入， 可得：， 符合要求．   【解析】  本题考查反比例函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求反比例函数的关系式． 由米，，可知点的坐标是，利用待定系数法求出段滑梯所在的双曲线的解析式；   设点的坐标是，代入中的解析式求出的值，用点横坐标减去点横坐标即为，之间的水平距离；   设点的坐标是，把点的坐标代入中的解析式求出值，根据值判断是否符合要求． 26.【答案】【小题】 【小题】 由，当时，， 解得． 把代入， 得 【小题】 小球不会撞上小车，理由： 小球滑行距离，小车行驶距离． 若小球能撞上小车， 则， 整理得， ， 方程无解， 故小球不会撞上小车   【解析】解：当时，； 把，，代入得， 解得：， 则； 时，，时，， ， 解得， 则， 故答案为：； 由，当时，， 解得． 把代入， 得； 小球不会撞上小车，理由： 小球滑行距离，小车行驶距离． 若小球能撞上小车， 则， 整理得， ， 方程无解， 故小球不会撞上小车． 对于，可根据表格中两组与的值代入方程，利用待定系数法求出和；对于，同样根据表格中两组与的值代入方程，用待定系数法求出和． 先根据求出小球停下来时的时间，再将该时间代入求出滑行距离． 分别表示出小球滑行距离和小车行驶距离，根据小球不能撞上小车的条件列出方程判断有无解即可． 本题考查一次函数和二次函数的待定系数法求解析式，以及利用函数和方程解决实际问题，解题关键在于熟练运用待定系数法准确求出函数解析式，再根据实际问题的条件建立方程或不等式求解． 27.【答案】解：点，在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； 由得：抛物线的对称轴是直线，点， 设点， ，，， 若，即， 解得； 若，即， 解得． 综上所述，的坐标为或或或． 存在这样的点，使四边形的面积最大． 理由：设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于， 设点，则． 是直线下方抛物线上一动点， ． ． ， 当时，最大，最大值为． ． 此时点  【解析】把点，代入抛物线得，解方程组即可得到结论； 由得抛物线的对称轴是直线，点，设点，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论； 设直线的解析式为，由，在这条直线上，得到，求得直线的解析式为，过点作轴交于，设点，则根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 28.【答案】解：；； 如图，， ， 在中，因为，， ， ， 故答案为：；； 猜想：． 理由如下：如图，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，得到， ，，，， ， ，即点，，在同一条直线上， ，， ， ， ， 在和中， ≌， ， ， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $