河南省南阳市第一中学2026-2027学年高一上学期第二次月考数学试卷

南阳一中高一2026年秋期第二次月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 2．设集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，且 ，不等式 恒成立，则正实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．设函数 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知定义在 上的偶函数 ，若对于任意不等实数 都满足 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．已知 的值域为 ，则 的最小值为（　　） A．0 B．2 C． D．1 8．设 ，若 是 的最小值，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分，选对部分得部分分，选错或者多选无分） 9．下列说法不正确的有（　　） A．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 B．函数 在定义域上是增函数 C．函数 的图象关于点 成中心对称 D．若 且 ，则 10．若关于 的不等式 的解集为 ，则下列选项正确的是（　　） A． B．不等式 的解集为 C． D．函数 在 上单调递增 11．我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数 的二元函数 ，则以下说法正确的是（　　） A． B．对任意的 ， C．若对任意实数 ，，则实数 的取值范围是 D．若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为______． 13．设 ，则 的最小值为______． 14．已知函数 ，若对于任意的 ，且 ，都有 成立，则实数 的取值范围是______． 四、解答题 15．（13分）设集合 ，． (1)若 ，求实数 的值； (2)若集合 中有两个元素 ，，求 ．（用 表示） 16．（15分）已知函数 ，． (1) 恒成立，求实数 的取值范围； (2)解不等式 ． 17．（15分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ． (1)确定函数 的解析式； (2)解不等式 ． 18．（17分）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为 20 元，年销售 8 万件． (1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 元．公司拟投入 万元作为技改费用，投入 万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 19．（17分）已知定义在 上的函数 满足：对 ，都有 ，且当 时，． (1)判断函数 的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数 在 上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 南阳一中高一2026年秋期第二次月考数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中高一2026年秋期第二次月考数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C C B D A D A AB ACD BC 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项通分，把分式不等式化为一元二次不等式，注意分母不为零． 【解答】由 得 ，即 ，等价于 且 ，解得 ，故解集为 ． 2．设集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别列举两个集合中的整点，比较两集合的关系． 【解答】由 且 ，逐一列举得 中元素为 ，共 13 个； 由 且 列举，得到同样的 13 个整点，故 ，所以 ． 3．已知 ，且 ，不等式 恒成立，则正实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】前两项通分后令 ，把恒成立问题转化为 的最大值问题． 【解答】已知 且 ，对前两项通分化简 ， 因此原不等式等价于 ， 令 ，由基本不等式得 ，当且仅当 时取等号，故 ， 原问题转化为对所有 ，不等式 恒成立， 将不等式变形为 ，因为 ，所以 ， 要使不等式恒成立，只需 大于等于右侧函数 在 上的最大值， 而 是开口向下的二次函数，对称轴为 ， 因此当 时， 取得最大值 ，故 ． 4．设函数 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用换元法，令 解出 ，再代入原式． 【解答】令 ，则 ，且 ，所以 ， 故 ． 5．已知定义在 上的偶函数 ，若对于任意不等实数 都满足 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由单调性定义判断 在 上递增，再由偶函数把不等式化为 ． 【解答】因为对于任意不等实数 都满足 ，故 在区间 上单调递增． 因为 是定义在 上的偶函数，则 ， 所以不等式 ， 又 ，，由 在区间 上单调递增， 则 ，即 ，解得 或 ， 所以不等式 的解集为 ． 6．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分母配成 ，把 写成倒数形式，再用基本不等式． 【解答】由题意得 ，当 时，； 当 即 时， ， （当 时等号成立），． 7．已知 的值域为 ，则 的最小值为（　　） A．0 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】值域为 需两段函数的值域之并为 ，按 、、 分类讨论． 【解答】因为 的值域为 ， 当 时 ，显然值域不为 ，故舍去； 当 时函数 单调递减，即 ， 又 ，函数 的值域不为 ，故舍去； 所以 ， 此时当 时 ，函数单调递增， 又函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 时 ， 当 时，只需满足 ，解得 ， 当 时，只需满足 ，解得 ， 综上可得 ，即 的最小值为 1． 8．设 ，若 是 的最小值，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 是最小值，需 段的最小值为 ，且 段的值不小于 ． 【解答】由题意，函数 ，若 是 的最小值，可得 ， 对称轴为 ，若 是 的最小值，则 ，即得 ，可得 ， 当 时，可得 ，，当且仅当 时等号成立， 要使得函数的最小值为 ，则 ，解得 ，综上可得实数 的取值范围为 ． 9．下列说法不正确的有（　　） A．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 B．函数 在定义域上是增函数 C．函数 的图象关于点 成中心对称 D．若 且 ，则 【答案】AB 【分析】逐项判断：A 看定义域对应关系；B 注意单调区间不能合并；C 检验对称中心；D 作差因式分解． 【解答】A．若 的定义域为 ，则 中 ，即 ，定义域为 ，A 不正确； B． 在 和 上分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性，B 不正确； C．，其图象由 的图象向左平移 2 个单位、向上平移 1 个单位得到，关于点 成中心对称，C 正确； D．，因为 且 ，所以 ，即 ，D 正确． 10．若关于 的不等式 的解集为 ，则下列选项正确的是（　　） A． B．不等式 的解集为 C． D．函数 在 上单调递增 【答案】ACD 【分析】由解集端点得方程两根且 ，用韦达定理把 用 表示后逐项判断． 【解答】由关于 的不等式 的解集为 ， 得 和 是关于 的方程 的两个实数根，且 ， 所以 ，得 ．所以 A 正确； 不等式 等价于 ， 即 ，，解得 或 ． 所以不等式 的解集为 ，所以 B 不正确； 因为 ，所以 C 正确； 函数 ，因为 ， 所以函数 在 上单调递增．所以 D 正确． 11．我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数 的二元函数 ，则以下说法正确的是（　　） A． B．对任意的 ， C．若对任意实数 ，，则实数 的取值范围是 D．若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是 【答案】BC 【分析】按“二元函数”的定义代入，把各选项转化为一元函数的最值或恒成立问题． 【解答】A 选项，，，故 ，A 错误； B 选项，对任意的 ，有 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，B 正确； C 选项， 恒成立， 故 ，需满足 ，解得 ， 则实数 的取值范围是 ，C 正确； D 选项，由题意得 在 上有解， 在 上有解，故 在 上有解， 其中 在 上单调递增，故 ，所以 ，解得 ， 实数 的取值范围是 ，D 错误． 12．已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为______． 【答案】 【分析】把 都化成区间，由“ 是 的充分不必要条件”得区间的真包含关系． 【解答】，即 ；，即 ，． 因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的真子集， 则 ，解得 ，故实数 的取值范围为 ． 13．设 ，则 的最小值为______． 【答案】6 【分析】把 拆成 ，两组分别用基本不等式，注意等号条件． 【解答】 ， 当且仅当 取等号，即 取等号， 所以 的最小值为 6． 14．已知函数 ，若对于任意的 ，且 ，都有 成立，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【分析】把条件变形为 在 上单调递增，再分段研究二次、三次函数的单调性与端点值． 【解答】，， ，，， ，， ， 设 ，，，， ， 在 上是单调递增函数， ， ， 在 上是单调递增函数， ，，． 15．（13分）设集合 ，． (1)若 ，求实数 的值； (2)若集合 中有两个元素 ，，求 ．（用 表示） 【答案】（1） 或 ；（2） 【分析】(1)由 解出 ，再代回检验 ；(2)由判别式得 ，用韦达定理求 ． 【解答】(1)． 由 得 ，代入得 ，即 ， 解得 或 ． 检验： 时，； 时，．均有 ，符合题意． (2) 有两个元素，则 ，得 ． 由韦达定理得 ， 所以 ， 故 ． 16．（15分）已知函数 ，． (1) 恒成立，求实数 的取值范围； (2)解不等式 ． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】(1)化为 恒成立，分 与 讨论；(2)因式分解得 ，按 的取值分类讨论． 【解答】(1)由 恒成立得 ，整理得 ， 当 时，则 恒成立，符合题意； 当 时，则需 ，即 ，因此 ， 综上，实数 的取值范围为 ． (2)不等式 即 ，因式分解得 ． 分类讨论：当 时，，解集为 ； 当 时，原不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 ； 当 时，，解集为 ； 当 时，，解集为 ． 综上所述：当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ． 17．（15分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ． (1)确定函数 的解析式； (2)解不等式 ． 【答案】（1），定义域 ；（2） 【分析】(1)由奇函数 求 ，再由 求 ；(2)先用定义证明单调递增，再用奇偶性把不等式化为 ． 【解答】(1)因为 是定义在 上的奇函数，且 ， 所以 ，即 ，解得 ，此时 ， 又因为 ，代入得 ，即 ，解得 ，所以 ， 经检验，分母 恒成立，且 ，符合题意， 故函数 的解析式为 ，定义域为 ． (2)任取 且 ，则 ， 因为 且 ，所以 ，，且分母大于 0， 所以 ，即 ，故 在 上单调递增． 不等式 等价于 ， 因为 为奇函数，所以 ，即 ， 又因为 在 上单调递增，所以 ， 解得 ， 所以不等式的解集为 ． 18．（17分）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为 20 元，年销售 8 万件． (1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 元．公司拟投入 万元作为技改费用，投入 万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 【答案】（1）每件定价最多为 40 元；（2）销售量至少 10.2 万件，此时每件定价 30 元 【分析】(1)列出销售收入关于定价 的不等式；(2)把“收入不低于原收入与总投入之和”转化为 关于 的不等式有解，再用基本不等式求最值． 【解答】(1)设每件定价为 元，依题意得 ， 整理得 ，解得 ． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元． (2)依题意知，当 时，不等式 有解， 等价于当 时， 有解， 由于 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ． 所以当该商品改革后的销售量 至少达到 10.2 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元． 19．（17分）已知定义在 上的函数 满足：对 ，都有 ，且当 时，． (1)判断函数 的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数 在 上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在 上单调递减，证明见解析；（3） 【分析】(1)赋值 求 ，再取 用定义证明；(2)用单调性定义把差化为 ，判断其符号；(3)用奇偶性与单调性脱去 ，注意定义域限制． 【解答】(1)函数 是奇函数． 证明：令 ，则 ，解得 ， 令 ，则 ，令 ，则 ． 为定义在 上的奇函数． (2)函数 在 上单调递减． 证明：，设 ，则 ， ， ，，． 又 ，， 又当 时，，由 (1) 知 为定义在 上的奇函数． 则当 时，，， ，即 ，即 ， 在 上单调递减． (3)因为 ， 由 (1) 知 为定义在 上的奇函数， 则 ， 的定义域为 且在 上是单调递减的， ，解得 ， 不等式的解集为 ． 南阳一中高一2026年秋期第二次月考数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $