精品解析：河南南阳市第一中学校2026-2027学年高一上学期九月月考数学试卷

南阳一中2029届高一九月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合内的元素个数为2，则（ ） A. 0或1 B. 1或2 C. 0或4 D. 1或8 2. 若集合内的元素个数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 高一2班共有28名同学参加学校运动会，其中参加集体项目、田径、球类比赛的同学分别有15人、8人、14人．同时参加集体项目和田径比赛的有3人，同时参加集体项目和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有（ ）人 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 4. 设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 5. 使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 8. 已知实数，满足，设的所有可能值构成的集合为，则（ ） A. 为单元素集 B. 为有限集，但不是单元素集 C. 为无限集，且有下界 D. 为无限集，且无下界 二、多选题 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. “至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B. 命题“，”的否定是“，” C. “，”是真命题 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 11. 对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知，则的最小值为______． 13. 已知，，若，则实数的取值集合是_______． 14. 设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点．设，则的最大面积是_______，此时的值为_______． 四、解答题（） 15. 完成下列证明： （1）已知，，都是正数，求证：； （2）已知，，．求证：． 16. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 17. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 19. 已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：； （1）当时，设，，写出，并计算； （2）若集合满足，且，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论； （3）若，且，任取，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中2029届高一九月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合内的元素个数为2，则（ ） A. 0或1 B. 1或2 C. 0或4 D. 1或8 【答案】C 【解析】 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 2. 若集合内的元素个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，不符合题意； 若，则， 所以集合中的元素为、、、、， 故集合中的元素个数为，解得，符合题意. 综上所述，. 3. 高一2班共有28名同学参加学校运动会，其中参加集体项目、田径、球类比赛的同学分别有15人、8人、14人．同时参加集体项目和田径比赛的有3人，同时参加集体项目和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有（ ）人 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】设集合，集合， 集合， 由题意得，，，，， ，，， 由三集合的容斥公式得， ， 即， 解得，， 又因为，即只参加集体项目比赛的同学有9人， 所以，即同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有12人. 4. 设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义结合选项逐项判断. 【详解】对于选项A，当时，满足，但命题不成立； 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，A错误； 对于选项C，D，当时，满足，，但命题不成立. 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，C错误； 不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，D错误； 对于选项B，当时，若，都小于等于，则，与矛盾， 所以由可推出命题“，中至少有一个数大于”成立， 若命题“，中至少有一个数大于”成立， 例如，此时，此时不成立， 故由命题“，中至少有一个数大于”成立不能推出， 所以是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件. 5. 使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题是假命题可得命题是真命题，从而可得，再根据包含关系可得. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题，所以. 所以的一个必要不充分条件. 故选：A 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 7. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 8. 已知实数，满足，设的所有可能值构成的集合为，则（ ） A. 为单元素集 B. 为有限集，但不是单元素集 C. 为无限集，且有下界 D. 为无限集，且无下界 【答案】D 【解析】 【分析】利用立方和因式分解公式拆分条件，分两类讨论，得到可取全体实数，判断集合的性质. 【详解】因为，， 所以令，原式：，所以或， 当，则，因为，所以； 当，得，得，所以，所以，则， 综上，． 二、多选题 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. “至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B. 命题“，”的否定是“，” C. “，”是真命题 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】使用全称量词命题，命题的否定，充分条件与必要条件的判断方法求解. 【详解】“至少有一个x，使成立”是特称量词命题，A选项错误； 命题“，”的否定是“，”，B选项正确； 当时，，，，C选项错误； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、B；利用二次函数的性质可判断C、D． 【详解】对于A，由于，当且仅当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故D正确． 11. 对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 13. 已知，，若，则实数的取值集合是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的性质以及交集的含义计算即可. 【详解】根据题意，当时，，解得，此时符合题意； 当时，； 当时，，此时符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，或，要使得， 则由于抛物线开口向上，经过定点，所以为了满足题意， 对称轴，解得，所以其解集为； 综上，实数的取值集合是. 14. 设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点．设，则的最大面积是_______，此时的值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先确定折叠后的三角形关系，然后利用勾股定理求解，然后计算的面积. 【详解】如图，由矩形的周长为，， 可知，设，则. 因为， 所以，所以. 在中，由勾股定理得，即， 解得，所以. 所以的面积为. 易知. 当且仅当时，的面积最大，面积的最大值为. 四、解答题（） 15. 完成下列证明： （1）已知，，都是正数，求证：； （2）已知，，．求证：． 【答案】（1） ，当且仅当“”时取“=”； （2）因为，，所以，当且仅当时取等号，解得； 于是得，所以成立． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【小问1详解】 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . 【小问2详解】 ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 17. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 18. 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【答案】（1）不能；理由：由题意该车匀速行驶，则可得时间为， 所需总电量为， 因为kW·h， 当且仅当km/h时取等号， 因为出发前汽车电池存量为kW·h，所以不能到达地. （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得出所需总电量为，再结合基本不等式即可求解； 设行驶时间为，充电时间为，总时间，结合题意可得，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设行驶时间为，充电时间为，总时间， 则可得，即，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以最少时间为. 19. 已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：； （1）当时，设，，写出，并计算； （2）若集合满足，且，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论； （3）若，且，任取，求的值. 【答案】（1）， （2）最大值是4．理由如下： 此时或． 若还有第5个元素，则必有和和和之一出现， 其对应的，不符合题意． （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据定义，结合反证法进行求解即可； （3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可． 【小问1详解】 当时，设，， 则，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，， 所以，，，2，3，， 从而， 又， 当 时，； 当时，， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $