第26章 概率初步（单元自测）数学新教材沪科版九年级下册

第26章 概率初步 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．天气预报称，明天全市是晴天的概率为99%，下列说法中正确的是（ ） A．明天全市将有99%的地方是晴天 B．明天全市将有99%的时间会是晴天 C．明天全市是晴天的可能性较大 D．明天全市一定会是晴天 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的意义，根据概率意义的理解逐项判断即可． 【解析】因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，所以A不符合题意； 因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市不一定的时间是晴天，所以B不符合题意； 因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，晴天的可能性较大，所以C符合题意； 因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天,不一定全市一定晴天，所以D不符合题意． 故选C． 2．下列说法中正确的是（ ） A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 B．天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半的时间在下雪 C．彩票中奖的机会是，买张一定会中奖 D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件 【答案】A 【分析】本题考查随机事件、概率的意义，掌握随机事件和概率的意义是正确判断的前提． 根据随机事件和概率的意义依次判断即可． 【解析】A. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近，说法正确； B. 天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半可能下雪，原说法错误； C. 彩票中奖的机会是，买张不一定会中奖，原说法错误； D. “从一个只有红球的袋子里摸出白球”是不可能事件，原说法错误； 故选A． 3．小红、小明都学会了运用“豆包”与“”人工智能软件辅助学习．若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，可通过列举法列出所有等可能的结果，再找出两人选不同软件的结果数，根据概率公式计算即可． 【解析】设“豆包”为软件，“”为软件， 列举两人选择软件所有等可能的结果为：，共种， ∵其中两人选择不同软件的结果有种， ∴所求概率．故选C． 4．下列说法正确的是（ ） A．打开电视机，中央台正在播放“神舟十八号太空巡游”的新闻是不可能事件 B．掷一个矿泉水瓶盖时，背面朝上的概率为0.5 C．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本放回后，再随机取一本，两次取的书不一样的概率是 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，概率的意义，画树状图求概率，根据事件的分类，概率的意义，画树状图求概率，逐项分析判断，即可求解． 【解析】A. 打开电视机，中央台正在播放“神舟十八号太空巡游”的新闻是是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； B. 掷一个矿泉水瓶盖时，矿泉水瓶盖结构不对称，正反面概率不均等，背面朝上的概率不一定为，故该选项不正确，不符合题意； C. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，故该选项正确，符合题意； D. 画树状图如图，记《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》分别为， 共有16种等可能结果，两次取的书不一样的有12种 ∴从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本放回后，再随机取一本，两次取的书不一样的概率是，故该选项不正确，不符合题意； 故选C． 5．一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值即为事件发生的概率，先根据白球频率求出总球数，再减去白球个数即可得到红球个数． 【解析】∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右， ∴估计摸到白球的概率为， 设盒子中球的总个数为， 可得， 解得， ∴盒中红球个数为（个）．故选B． 6．一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（氯化钠）的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过列表得到所有等可能结果，再找出能组成的结果数，代入公式计算即可． 【解析】将四个小球分别记为Na，H，O，Cl，列表可得所有等可能结果： 由表可知，共有种等可能的结果，其中，摸出两个小球能组成的结果有种， ∴．故选A． 7．斗兽棋是一种传统棋类，双方各有八枚棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，甲手中还剩有的棋子为狮、虎、狼、猫，乙手中还剩有的棋子为象、豹、狗、鼠，若双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则甲获胜的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【解析】画树状图如下： 共有种等可能出现的结果，其中甲获胜的结果有种， ∴甲获胜的概率为， 故选D． 8．在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（ ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在左右，估计摸到白球的概率为，设袋中白球的个数为x，通过列方程进而求出白球个数即可． 【解析】设袋中白球的个数为x，根据题意，得： ， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以口袋中白球可能有20个， 故选B． 9．在一个不透明的口袋中，放置4个红球，2个白球和n个黄球，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记下颜色后再放回，统计黄球出现的频率如图所示，则n的值可能是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．先根据图得到黄球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式表示出，求解即可． 【解析】由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在附近 解得 经检验，是分式方程的解且符合题意， 故选B． 10．在不透明的袋子里装有颜色不同的个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中白球有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设袋中白球有个，根据概率公式列方程求解即可． 【解析】设袋中白球有个，则总球数为个， 经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在， ，解得， 经检验是原方程的解， 估计袋中白球有个．故选A． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内掷点，通过大量的重复试验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，得出该不规则图案（恐龙）的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．用频率和概率之间的关系解答即可． 【解析】点落在图案部分的频率稳定在左右， 此不规则图案的面积大约为， 故答案为． 12．现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是________． 【答案】 【分析】先列举出随机抽取两张卡片所有等可能的结果. 再找出其中满足较大数能被较小数整除的结果个数. 最后根据概率公式计算即可． 【解析】根据题意，从写有，，的三张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，共种等可能的结果， 其中较大数能被较小数整除的结果有：，，共种， 根据概率公式，可得所求概率为．故答案为$\frac{2}{3}$． 13．如图，是等边三角形，分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径作，，，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．现随机向该曲边三角形内掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为________．（取3） 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的计算、等边三角形的性质以及扇形面积公式．根据几何概率公式，针尖落在内的概率等于的面积与曲边三角形总面积的比值．设等边三角形边长为，分别计算的面积和曲边三角形的面积，其中曲边三角形面积可看作一个的面积加上三个弓形的面积，最后代入计算比值并进行分母有理化即可解答． 【解析】如图，过点作于点， 设等边三角形边长为， 是等边三角形， ，， ， ， 在中由勾股定理得， ， 分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径作，，， 扇形的半径为 ，圆心角为， ， ， 曲边三角形的总面积， 取3， ， 针尖落在区域内的概率， 故答案为． 14．小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是________．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将________．（填“增加”“减小”或“不变”） 【答案】（或0.5） 不变 【分析】本题考查的是统计与概率，正确找出可能出现的结果数是解题的关键． 甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片时，找出所有等可能的结果数以及成绩为负数的结果数，再利用概率公式可得该场游戏小江获胜的概率；在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变时，找出等可能得结果数以及乘积为负数结果数，再利用概率公式可得此时小江获胜的概率，再作比较即可． 【解析】共有4种等可能得结果，分别为：（正数，负数）、（负数，正数）、（正数，正数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（负数，正数）共2种，所以该场游戏小江获胜的概率是； 乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，共有6种等可能的结果，分别为：（正数，正数）、（正数，负数）、（正数，负数）、（负数，正数）（负数，负数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（正数，负数），（负数，正数），共三种，所以该场小江获胜的概率是，所以小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将不变． 故答案为；不变 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 10 分，共 90 分） 15．（10分）小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． （1）小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； （2）小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【答案】（1） （2）不公平， 画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种， 故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏规则对两人不公平． 【分析】本题考查了求频率，画树状图求概率，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数，即可求解； （2）画出树状图或列表可知共有种情况，分别算出两个人获胜的概率，如果相等则说明游戏公平，不相等，说明不公平． 【解析】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是， 故摸出的小球上的数字是的频率是． 故答案为． （2）略 16．（10分）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【解析】（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 17．（10分）小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，C．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张． （1）第一次就摸到A是________事件；（填“随机”，“必然”或“不可能”） （2）如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1）随机 （2） 不公平，理由如下： 根据题意，画树状图如下： 一共有9种等可能性，其中两次相同的有3种等可能性，不同的有6种等可能性． 故（小明胜），（小亮胜），两种情形概率不相等， 故这样的游戏规则是不公平的． 【分析】本题考查了事件的分类，树状图法求概率，游戏公平性，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据事件分类，解答即可． （2）根据画树状图法，求概率，比较概率大小，判断游戏是否公平． 【解析】（1）解：根据题意，得第一次抽到A是一种随机事件， 故答案为随机． （2）略 18．（10分）陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． （1）若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是________； （2）青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图，得到共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种，再根据概率公式求解即可． 【解析】（1）解：∵该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”， ∴选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是； （2）解：画树状图，如图 共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种， ∴两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率为． 19．（10分）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． （1）求小红以五折价格买到笔袋的概率； （2）小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）同意小明的说法， 理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为， ∵对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性， ∴可以估计，若买很多很多该物件，以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为， 设买件该物件，若选择2方式，可估计总花费为：（元）， 若选择1方式，总花费为：， ∵， ∴选择2方式不如1方式划算， ∴同意小明的说法． 【分析】（1）画出树状图，利用概率公式即可求解； （2）设买件该物件，分别求出选择2方式和选择1方式的总花费，比较后即可得到结论． 【解析】（1）解：依题意可列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， ∴两次摸出的球同色的概率， ∴小红以五折价格买到笔袋的概率为． （2）略 20．（10分）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】（1）0.3 （2） 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可． 【解析】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为0.3； （2）解：画树状图得， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果， ∴两次摸出的小球都是红球的概率为． 21．（10分）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是________； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1） （2） 解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【解析】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为； （2）略 22．（10分）某校课外学习小组做换球试验，一只不透明袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外部相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 144 186 260 668 1064 1332 摸到白球的频率 0.720 0.620 0.650 0.668 0.665 0.666 （1）该学习小组发现，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.01） ，由此估出红球有 个； （2）学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个，他们决定在（1）中的小球中选出2个白球和1个红球放入一只不透明袋子中，由小明从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课.请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率. 【答案】（1）； （2） 【分析】本题考查列表法与树状图法、近似数和有效数字、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由表格可知，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在附近摆动，可知这个常数是；设红球有个，根据概率公式列出比例方程，解方程，即可求解． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】（1）解：由表格可知，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在附近摆动， 这个常数是． 设红球有个， ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 估出红球有个． 故答案为；． （2）解：根据题意列表如下： 白 白 红 白 （白，白） （白，白） （白，红） 白 （白，白） （白，白） （白，红） 红 （红，白） （红，白） （红，红） 共有种等可能的结果，其中两次都是白球的结果有种， ∴小明上烹饪课的概率为． 23．（10分）不透明的袋中有个大小相同的小球，其中个为白色，个为红色，每次从袋中摸个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表中部分数据． 摸球次数 出现红色的成功率 出球红色的成功率 （1）将数据表补充完整； （2）画出折线图； （3）观察上面的图表可以发现：随着实验次数的增大，出现红色小球的机会是多少？ 【答案】（1） （2） 折线如图所示： （3）出现红色小球的频率逐渐稳定到 【分析】（1）先根据图表进行计算，求出成功率即可； （2）根据（1）的数据，画出折线图即可； （3）利用折线图再估计出现红色小球的机会即可． 【解析】（1）解： ； ； ； ； 摸球次数 出现红色的成功率 出球红色的成功率 （2）略   （3）随着实验次数的增大，出现红色小球的频率逐渐稳定到左右． 【点睛】此题主要考查了模拟实验，画出图象，就可以轻松的观察出红色球出现得概率进而得出大量实验的概率接近于频率． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 概率初步 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．天气预报称，明天全市是晴天的概率为99%，下列说法中正确的是（ ） A．明天全市将有99%的地方是晴天 B．明天全市将有99%的时间会是晴天 C．明天全市是晴天的可能性较大 D．明天全市一定会是晴天 2．下列说法中正确的是（ ） A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 B．天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半的时间在下雪 C．彩票中奖的机会是，买张一定会中奖 D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件 3．小红、小明都学会了运用“豆包”与“”人工智能软件辅助学习．若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为（ ） A．1 B． C． D． 4．下列说法正确的是（ ） A．打开电视机，中央台正在播放“神舟十八号太空巡游”的新闻是不可能事件 B．掷一个矿泉水瓶盖时，背面朝上的概率为0.5 C．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本放回后，再随机取一本，两次取的书不一样的概率是 5．一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（氯化钠）的概率是（ ） A． B． C． D． 7．斗兽棋是一种传统棋类，双方各有八枚棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，甲手中还剩有的棋子为狮、虎、狼、猫，乙手中还剩有的棋子为象、豹、狗、鼠，若双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则甲获胜的概率为（ ） A． B． C． D． 8．在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（ ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 9．在一个不透明的口袋中，放置4个红球，2个白球和n个黄球，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记下颜色后再放回，统计黄球出现的频率如图所示，则n的值可能是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．在不透明的袋子里装有颜色不同的个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中白球有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内掷点，通过大量的重复试验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，得出该不规则图案（恐龙）的面积为________． 12．现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是________． 13．如图，是等边三角形，分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径作，，，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．现随机向该曲边三角形内掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为________．（取3） 14．小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是________．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将________．（填“增加”“减小”或“不变”） 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 10 分，共 90 分） 15．（10分）小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． （1）小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； （2）小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 16．（10分）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 17．（10分）小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，C．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张． （1）第一次就摸到A是________事件；（填“随机”，“必然”或“不可能”） （2）如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 18．（10分）陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． （1）若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是________； （2）青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 19．（10分）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． （1）求小红以五折价格买到笔袋的概率； （2）小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 20．（10分）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 21．（10分）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是________； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 22．（10分）某校课外学习小组做换球试验，一只不透明袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外部相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 144 186 260 668 1064 1332 摸到白球的频率 0.720 0.620 0.650 0.668 0.665 0.666 （1）该学习小组发现，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.01） ，由此估出红球有 个； （2）学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个，他们决定在（1）中的小球中选出2个白球和1个红球放入一只不透明袋子中，由小明从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课.请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率. 23．（10分）不透明的袋中有个大小相同的小球，其中个为白色，个为红色，每次从袋中摸个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表中部分数据． 摸球次数 出现红色的成功率 出球红色的成功率 （1）将数据表补充完整； （2）画出折线图； （3）观察上面的图表可以发现：随着实验次数的增大，出现红色小球的机会是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $