第六章 概率的进一步认识（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第六章 概率的进一步认识·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B D A B B D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．/度 15．不公平 16． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：∵甲从A、B、C、D四个入口中随机选择一个，共有4种等可能的结果，其中选B入口的结果有1种， ∴甲选B入口开展志愿服务活动的概率为；.........2分 （2）解：根据题意画树状图如下： .........4分 由图可以看出一共有16种结果，它们出现的可能性相等，其中甲、乙两人选同一入口开展志愿服务活动的结果有4种， ∴ 甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率为．.........6分 18． 【详解】（1）解：由题意可得，甲小组讨论的主题是A．嫦娥探月，这件事可能发生也可能不发生，因此为随机事件；.........2分 （2）解：由题意可列表如下： A B C D A B C D .........4分 由表可知总共有种等可能的情况，该班的乙小组和丙小组讨论的主题是C．北斗组网和D．神舟飞天有种等可能的情况，因此概率．.........6分 19． 【详解】（1）解：由题意可列表如下， A B C A B C 由表可知，所有可能出现的结果共有6种．.........3分 （2）解：由列表可知，共有6种等可能的结果， 小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的结果有4种， 分别是，，，． ∴小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的概率．.........6分 20． 【详解】（1）解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为．.........2分 (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下：            甲                     乙 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种． ∴P（甲胜），P（乙胜）． ∵（或）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．........6分 21． 【详解】（1）解：， 即随着摸球次数增大，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率估计值为；.........2分 （2）解：摸到黑球的概率为， 总球数为（个）， 则红球个数为（个）；.........5分 （3）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意．.........8分 22． 【详解】（1）解：由统计表可知，解得；；.........2分 （2）解：由统计表中落在《中国国家天文》区域的频率变化情况可知，当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近；.........4分 （3）解：由（2）知，指针落在《中国国家天文》区域的概率为， 指针落在《大国航天》区域的概率为， 指针落在《问天少年》区域的概率为；.........6分 （4）解：当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近， 转动转盘次，估计指针落在《中国国家天文》区域次数大约为..........8分 23． 【详解】（1）解：一次就抽到“古灶挂件”的概率是；.........2分 （2）解：列表如下， 谢谢 谢谢 谢谢 古灶挂件 古灶挂件 醒狮恤 国潮狮头 祖庙模型 电影票 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 国潮狮头，醒狮恤 祖庙模型，醒狮恤 电影票，醒狮恤 国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 醒狮恤，国潮狮头 祖庙模型，国潮狮头 电影票，国潮狮头 祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 醒狮恤，祖庙模型 国潮狮头，祖庙模型 电影票，祖庙模型 电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 古灶挂件，电影票 古灶挂件，电影票 醒狮恤，电影票 国潮狮头，电影票 祖庙模型，电影票 一共有种等可能的结果，第二次抽到“古灶挂件”的结果有种， ∴第二次抽到“古灶挂件”的概率是；.........5分 (3)解：如图， ∴（谢谢），（古灶挂件），（祖庙模型）（电影票）， ∴（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）．.........8分 24． 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为．.........3分 （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个．.........7分 （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高．.........12分 25． 【详解】（1）解：（人）， 所以本次测试共抽取学生40人；.........2分 （2）解：， 所以A级圆心角的度数是；.........2分 （人），则C级学生有14人；如图， .........4分 （3）解：（人）， 所以成绩属于优秀的学生有120人；.........6分 （4）解：一共有5项训练，排球有1项， 所以选中排球的概率是；.........8分 （5）解：列表如下： 小军 小兵 小明 小林 小军 （小兵，小军） （小明，小军） （小林，小军） 小兵 （小军，小兵） （小明，小兵） （小林，小兵） 小明 （小军，小明） （小兵，小明） （小林，小明） 小林 （小军，小林） （小兵，小林） （小明，小林） 一共有12种可能出现的结果，选中小明的有6种，所以选中小明的概率是．.........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第六章 概率的进一步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于概率的认识：①事件发生的概率与试验次数有关：②掷10次硬币，结果正面向上出现4次，反面向上出现6次，由此可得正面向上的概率是：③如果事件A发生的概率为，说明做100次这种试验，事件A不可能发生6次．其中正确的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，随机闭合开关、、中的两个能让两盏灯泡、同时发光的概率为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近，那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 5．在等号两端各有两个方框，左右两边的方框中已有数字和．现有四个数字，随机选取两个放置在剩余的两个空白方框中，则等式成立的概率为（     ） A． B． C． D． 6．小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 7．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 8．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 9．如图，在的方格中间是的正方形，在这个图形内任取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 10．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．频率反映事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，就意味着该事件发生的可能性越大，我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率．下表是某射击运动员在同一条件下进行射击的数据： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 请根据以上数据，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率是__________． 12．在一个不透明的布袋中装有个紫色小球和个蓝色小球，这些球除颜色外无其他差别，若从中任意摸出一个球（不放回），再摸一次，则两次都摸出紫球的概率为________． 13．为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 14．某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 15．小海、小华和张老师一起进行掷骰子游戏．骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字．骰子由张老师掷出，如果朝上的数字是6的因数，小海胜；否则就是小华胜．你认为这个规则公平吗？_____________．（填“公平”或“不公平”） 16．如图，点D、E、F是三边的中点，点M、N、P是三边的中点，将与涂成阴影，假设内任意一点被取到的机会均等，那么在内随机取一个点，这个点恰好落在阴影部分的概率为______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． (1)甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． (2)求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 18．中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．某班在航天主题班会上，班长制作了一个可以自由转动的转盘（如图），转盘被分成四等份，将A．嫦娥探月，B．天问探火，C．北斗组网，D．神舟飞天四个航天工程分别写在四个扇形中，每个小组的组长转动一次转盘，当转盘停止时，指针指向哪个区域，则该小组就以该航天工程为主题进行讨论（若指针指在分界线上，则重新转动）． (1)该班甲小组讨论的主题是A．嫦娥探月是________事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)请用列表或画树状图的方法，求该班的乙小组和丙小组讨论的主题是C．北斗组网和D．神舟飞天的概率．（不分先后顺序） 19．2026年3月，某市举办民族文化艺术节，现某文创商店推出3款特色文创挂件，分别为：A——扎染，B——银饰，C——木雕．小王购买3款特色文创挂件各1件．若小王从购买的3款挂件中随机抽取一款，记为x，不放回，再从剩余挂件中随机抽取一款，记为y，每款挂件被抽到的可能性均相等． (1)用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的概率． A B C A B C 20．一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 21．在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 22．为普及航天知识，打造科技阅读氛围，某校七年级开展“逐梦航天”科技图书漂流活动，设置可自由转动的转盘，每位学生可获得一次转动转盘的机会；转盘停止时，指针落在哪一区域就能领取对应航天科普类书籍或杂志，下表是活动统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 1000 落在《中国国家天文》区域的次数 落在《中国国家天文》区域的频率 (1)上述表格中：________，________； (2)当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近________（精确到）； (3)如图，在转盘中，表示《大国航天》区域的扇形圆心角的度数是，转盘停止后，指针落在《问天少年》区域的概率为________； (4)根据上表，转动转盘次，请你估计指针落在《中国国家天文》区域大约有多少次？ 23．岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品． (1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出） (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了元，获得两次的抽奖机会．请问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？ (3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 24．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 25．今年三月中旬，某校初三年级为了解学生体育成绩情况，随机抽取了部分学生进行一次体育中考模拟测试，测试结果分为四个等级：A：优秀（45-50分），B：良好（38-44分），C：合格（30-37分），D：不合格（29分及以下），分值含平时成绩10分，将测试结果绘成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题． (1)本次测试共抽取学生多少人？ (2)求A级的圆心角a的度数？并补充完整条形统计图． (3)该校初三年级共有学生800人，若所有学生全部参加测试，估计成绩属于优秀的学生有多少人？ (4)王刚同学要在跳远、跳绳、排球、足球、篮球中选其中一项进行针对性训练，求他选中排球的概率； (5)体育老师想从小军、小兵、小明、小林四位同学中随机了解两位同学平时训练情况，请用列表法或画树形图法求选中小明的概率． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第六章 概率的进一步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于概率的认识：①事件发生的概率与试验次数有关：②掷10次硬币，结果正面向上出现4次，反面向上出现6次，由此可得正面向上的概率是：③如果事件A发生的概率为，说明做100次这种试验，事件A不可能发生6次．其中正确的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查概率的基本概念，需区分概率与频率，概率是事件本身固有的属性，是稳定值，与试验次数无关，仅反映事件发生的可能性大小； 【详解】解：∵ 概率不随试验次数改变， ∴ ①错误； ∵ 是本次10次试验中正面向上的频率，不是概率，掷硬币正面向上的概率为， ∴ ②错误； ∵ 概率仅表示事件A发生的可能性大小，做100次试验时，事件A可能发生6次， ∴ ③错误； 2．如图，随机闭合开关、、中的两个能让两盏灯泡、同时发光的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：画树状图得： 共有种等可能结果，能让两盏灯泡同时发光的有种情况， 能让两盏灯泡、同时发光的概率为，选项符合题意． 3．如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数量，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种， 甲、乙两人座位相邻的概率为． 4．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近，那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【答案】B 【分析】在大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在概率附近，据此得到摸到红球的概率，再根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸到红球的频率稳定在 ∴摸到红球的概率为 由题意得，总球数为，红球共个，根据概率公式可得 ，解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意 5．在等号两端各有两个方框，左右两边的方框中已有数字和．现有四个数字，随机选取两个放置在剩余的两个空白方框中，则等式成立的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析等式成立的条件，再根据画树状图法列举出所有可能，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，画树状图如下， 由图可知共有12种等可能的结果，其中等式成立的结果有2种： 等式成立的概率为． 6．小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 7．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 【答案】B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， 据此可以估计黑色部分的面积为, 此二维码白色部分的面积为． 8．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 【答案】B 【分析】本题考查的是求频率； 先分别求解各选项事件出现的频率，再结合题干信息可得答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的频率为； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球的频率为； C、转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数的频率为； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃的频率为； 由图可知当试验次数很多时，频率稳定在， ∴B符合题意， 故选：B． 9．如图，在的方格中间是的正方形，在这个图形内任取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率，求出阴影部分的面积是解题的关键． 根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 阴影部分面积为： ∴点P恰好在阴影部分的概率为:， 故选：D． 10．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 【答案】C 【分析】此题考查用样本估计总体、频率等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A、10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故枇杷树叶长宽比为2的频率最大，故选项正确，不符合题意； B、∵， ∴核桃树叶的长宽比大约为，故选项正确，不符合题意； C、核桃树叶的长宽比大约为，是个估计值， 不是准确值， 小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D、∵枇杷树叶长宽比约为：，小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶， 又∵， ∴该树叶更有可能是枇杷树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．频率反映事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，就意味着该事件发生的可能性越大，我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率．下表是某射击运动员在同一条件下进行射击的数据： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 请根据以上数据，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率是__________． 【答案】 【分析】大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在一个常数附近，可将这个常数作为该事件发生概率的估计值． 【详解】解：观察表格数据可得，随着射击总次数不断增大，击中靶心的频率逐渐稳定在附近，因此估计该运动员射击一次击中靶心的概率为． 12．在一个不透明的布袋中装有个紫色小球和个蓝色小球，这些球除颜色外无其他差别，若从中任意摸出一个球（不放回），再摸一次，则两次都摸出紫球的概率为________． 【答案】 【分析】通过画树状图得到所有等可能的结果数，再找出两次都摸出紫球的结果数，利用概率公式求解即可. 【详解】解：记两个紫色小球分别为紫，紫，蓝色小球为蓝，画树状图得， 共有种等可能的结果，其中两次都摸出紫球的结果有种， 根据概率公式，可得两次都摸出紫球的概率为. 13．为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 【答案】 【分析】先通过树状图找出所有等可能的选取结果总数，再找出恰好选中1名男生1名女生的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，得树状图如下： 由图可知，共种等可能结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果共种， ∴所求概率为． 14．某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 【答案】/度 【分析】用360度乘以落在一等奖区域的概率即可得到答案． 【详解】解：， ∴一等奖区域所对的圆心角度数为． 15．小海、小华和张老师一起进行掷骰子游戏．骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字．骰子由张老师掷出，如果朝上的数字是6的因数，小海胜；否则就是小华胜．你认为这个规则公平吗？_____________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查游戏公平性的判断． 判断游戏公平性需要计算双方获胜的概率． 概率相等则规则公平，否则不公平． 分别求出双方获胜的概率，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵骰子六面的数字为1，2，3，4，5，6． 其中6的因数为1，2，3，6，共4个． ∴小海获胜的概率为，小华获胜的概率为， ∵双方获胜的概率不相等，所以这个规则不公平． 16．如图，点D、E、F是三边的中点，点M、N、P是三边的中点，将与涂成阴影，假设内任意一点被取到的机会均等，那么在内随机取一个点，这个点恰好落在阴影部分的概率为______． 【答案】 【分析】由D、E分别是、的中点知是的中位线，证得，同理可得，继而知，据此可得答案． 【详解】解：∵D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点M、P是，的中点， ∴同理可得，， ∴， ∴， ∴在内随机取一个点，这个点恰好落在阴影部分的概率为． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． (1)甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． (2)求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定甲选入口的等可能总结果数与选B入口的结果数，计算对应概率； （2）通过列表法或树状图法列举甲、乙选入口的所有等可能结果，统计两人选同一入口的结果数，计算对应概率． 【详解】（1）解：∵甲从A、B、C、D四个入口中随机选择一个，共有4种等可能的结果，其中选B入口的结果有1种， ∴甲选B入口开展志愿服务活动的概率为； （2）解：根据题意画树状图如下： 由图可以看出一共有16种结果，它们出现的可能性相等，其中甲、乙两人选同一入口开展志愿服务活动的结果有4种， ∴ 甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率为． 18．中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．某班在航天主题班会上，班长制作了一个可以自由转动的转盘（如图），转盘被分成四等份，将A．嫦娥探月，B．天问探火，C．北斗组网，D．神舟飞天四个航天工程分别写在四个扇形中，每个小组的组长转动一次转盘，当转盘停止时，指针指向哪个区域，则该小组就以该航天工程为主题进行讨论（若指针指在分界线上，则重新转动）． (1)该班甲小组讨论的主题是A．嫦娥探月是________事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)请用列表或画树状图的方法，求该班的乙小组和丙小组讨论的主题是C．北斗组网和D．神舟飞天的概率．（不分先后顺序） 【答案】(1)随机 (2) 【分析】（1）根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，求解即可，一定条件下，一定发生的事件叫必然事件，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，一定不发生的事件叫不可能事件； （2）根据题意，列出表格，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，甲小组讨论的主题是A．嫦娥探月，这件事可能发生也可能不发生，因此为随机事件； （2）解：由题意可列表如下： A B C D A B C D 由表可知总共有种等可能的情况，该班的乙小组和丙小组讨论的主题是C．北斗组网和D．神舟飞天有种等可能的情况，因此概率． 19．2026年3月，某市举办民族文化艺术节，现某文创商店推出3款特色文创挂件，分别为：A——扎染，B——银饰，C——木雕．小王购买3款特色文创挂件各1件．若小王从购买的3款挂件中随机抽取一款，记为x，不放回，再从剩余挂件中随机抽取一款，记为y，每款挂件被抽到的可能性均相等． (1)用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的概率． 【答案】(1)6种 (2) 【分析】本题考查了列表法和树状图法求解概率，解题的关键是求得所有情况数以及目标事件的情况数． （1）利用列表法列出所有情况，即可求解； （2）由（1）可得所有情况数，求出恰好有一款是银饰的情况数，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可列表如下， A B C A B C 由表可知，所有可能出现的结果共有6种． （2）解：由列表可知，共有6种等可能的结果， 小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的结果有4种， 分别是，，，． ∴小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的概率． 20．一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 【答案】(1) (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下：            甲                     乙 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种． ∴P（甲胜），P（乙胜）． ∵（或）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 【分析】（1）由概率公式即可得出答案； （2）列表得出共有9种等可能的结果，其中摸到颜色相同的结果有5种，摸到不同颜色的结果有4种，通过对两种情况的概率进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为． （2）略 21．在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用大量重复试验下频率的稳定值估计摸到红球的概率； （2）根据黑球数量与黑球的概率计算总球数，进而求得红球个数； （3）根据放入红球后的概率列方程求解的值． 【详解】（1）解：， 即随着摸球次数增大，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率估计值为； （2）解：摸到黑球的概率为， 总球数为（个）， 则红球个数为（个）； （3）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 22．为普及航天知识，打造科技阅读氛围，某校七年级开展“逐梦航天”科技图书漂流活动，设置可自由转动的转盘，每位学生可获得一次转动转盘的机会；转盘停止时，指针落在哪一区域就能领取对应航天科普类书籍或杂志，下表是活动统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 1000 落在《中国国家天文》区域的次数 落在《中国国家天文》区域的频率 (1)上述表格中：________，________； (2)当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近________（精确到）； (3)如图，在转盘中，表示《大国航天》区域的扇形圆心角的度数是，转盘停止后，指针落在《问天少年》区域的概率为________； (4)根据上表，转动转盘次，请你估计指针落在《中国国家天文》区域大约有多少次？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由统计表数据求解即可； （2）由统计表中落在《中国国家天文》区域的频率变化情况即可得到答案； （3）由频率估计概率得到指针落在《中国国家天文》区域的概率，再由题意得到指针落在《大国航天》区域的概率，结合三类书籍或杂志概率为，列式计算即可； （4）当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近，由频率计算即可. 【详解】（1）解：由统计表可知，解得；； （2）解：由统计表中落在《中国国家天文》区域的频率变化情况可知，当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近； （3）解：由（2）知，指针落在《中国国家天文》区域的概率为， 指针落在《大国航天》区域的概率为， 指针落在《问天少年》区域的概率为； （4）解：当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近， 转动转盘次，估计指针落在《中国国家天文》区域次数大约为. 23．岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品． (1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出） (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了元，获得两次的抽奖机会．请问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？ (3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【答案】(1)； (2)； (3)解：如图， ∴（谢谢），（古灶挂件），（祖庙模型）（电影票）， ∴（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【分析】根据概率公式即可求解； 先列表，然后通过概率公式即可求解； 根据概率公式进行图案设计即可． 【详解】（1）解：一次就抽到“古灶挂件”的概率是； （2）解：列表如下， 谢谢 谢谢 谢谢 古灶挂件 古灶挂件 醒狮恤 国潮狮头 祖庙模型 电影票 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 国潮狮头，醒狮恤 祖庙模型，醒狮恤 电影票，醒狮恤 国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 醒狮恤，国潮狮头 祖庙模型，国潮狮头 电影票，国潮狮头 祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 醒狮恤，祖庙模型 国潮狮头，祖庙模型 电影票，祖庙模型 电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 古灶挂件，电影票 古灶挂件，电影票 醒狮恤，电影票 国潮狮头，电影票 祖庙模型，电影票 一共有种等可能的结果，第二次抽到“古灶挂件”的结果有种， ∴第二次抽到“古灶挂件”的概率是； （3）略． 24．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 25．今年三月中旬，某校初三年级为了解学生体育成绩情况，随机抽取了部分学生进行一次体育中考模拟测试，测试结果分为四个等级：A：优秀（45-50分），B：良好（38-44分），C：合格（30-37分），D：不合格（29分及以下），分值含平时成绩10分，将测试结果绘成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题． (1)本次测试共抽取学生多少人？ (2)求A级的圆心角a的度数？并补充完整条形统计图． (3)该校初三年级共有学生800人，若所有学生全部参加测试，估计成绩属于优秀的学生有多少人？ (4)王刚同学要在跳远、跳绳、排球、足球、篮球中选其中一项进行针对性训练，求他选中排球的概率； (5)体育老师想从小军、小兵、小明、小林四位同学中随机了解两位同学平时训练情况，请用列表法或画树形图法求选中小明的概率． 【答案】(1)40 (2)，如图， (3)120 (4) (5) 【分析】（1）根据B级学生人数及其所占百分比求出抽取学生的人数； （2）用A级所占百分比乘以，再求出C级的学生人数，并补全统计图； （3）用总人数乘以A级所占的百分比解答； （4）根据概率公式解答即可； （5）列出表格得出所有可能出现的结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式解答． 【详解】（1）解：（人）， 所以本次测试共抽取学生40人； （2）解：， 所以A级圆心角的度数是； （人），则C级学生有14人； （3）解：（人）， 所以成绩属于优秀的学生有120人； （4）解：一共有5项训练，排球有1项， 所以选中排球的概率是； （5）解：列表如下： 小军 小兵 小明 小林 小军 （小兵，小军） （小明，小军） （小林，小军） 小兵 （小军，小兵） （小明，小兵） （小林，小兵） 小明 （小军，小明） （小兵，小明） （小林，小明） 小林 （小军，小林） （小兵，小林） （小明，小林） 一共有12种可能出现的结果，选中小明的有6种，所以选中小明的概率是． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第六章 概率的进一步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于概率的认识：①事件发生的概率与试验次数有关：②掷10次硬币，结果正面向上出现4次，反面向上出现6次，由此可得正面向上的概率是：③如果事件A发生的概率为，说明做100次这种试验，事件A不可能发生6次．其中正确的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，随机闭合开关、、中的两个能让两盏灯泡、同时发光的概率为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近，那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 5．在等号两端各有两个方框，左右两边的方框中已有数字和．现有四个数字，随机选取两个放置在剩余的两个空白方框中，则等式成立的概率为（     ） A． B． C． D． 6．小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 7．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 8．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 9．如图，在的方格中间是的正方形，在这个图形内任取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 10．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．频率反映事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，就意味着该事件发生的可能性越大，我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率．下表是某射击运动员在同一条件下进行射击的数据： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 请根据以上数据，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率是__________． 12．在一个不透明的布袋中装有个紫色小球和个蓝色小球，这些球除颜色外无其他差别，若从中任意摸出一个球（不放回），再摸一次，则两次都摸出紫球的概率为________． 13．为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 14．某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 15．小海、小华和张老师一起进行掷骰子游戏．骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字．骰子由张老师掷出，如果朝上的数字是6的因数，小海胜；否则就是小华胜．你认为这个规则公平吗？_____________．（填“公平”或“不公平”） 16．如图，点D、E、F是三边的中点，点M、N、P是三边的中点，将与涂成阴影，假设内任意一点被取到的机会均等，那么在内随机取一个点，这个点恰好落在阴影部分的概率为______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． (1)甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． (2)求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 18．中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．某班在航天主题班会上，班长制作了一个可以自由转动的转盘（如图），转盘被分成四等份，将A．嫦娥探月，B．天问探火，C．北斗组网，D．神舟飞天四个航天工程分别写在四个扇形中，每个小组的组长转动一次转盘，当转盘停止时，指针指向哪个区域，则该小组就以该航天工程为主题进行讨论（若指针指在分界线上，则重新转动）． (1)该班甲小组讨论的主题是A．嫦娥探月是________事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)请用列表或画树状图的方法，求该班的乙小组和丙小组讨论的主题是C．北斗组网和D．神舟飞天的概率．（不分先后顺序） 19．2026年3月，某市举办民族文化艺术节，现某文创商店推出3款特色文创挂件，分别为：A——扎染，B——银饰，C——木雕．小王购买3款特色文创挂件各1件．若小王从购买的3款挂件中随机抽取一款，记为x，不放回，再从剩余挂件中随机抽取一款，记为y，每款挂件被抽到的可能性均相等． (1)用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的概率． A B C A B C 20．一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 21．在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 22．为普及航天知识，打造科技阅读氛围，某校七年级开展“逐梦航天”科技图书漂流活动，设置可自由转动的转盘，每位学生可获得一次转动转盘的机会；转盘停止时，指针落在哪一区域就能领取对应航天科普类书籍或杂志，下表是活动统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 1000 落在《中国国家天文》区域的次数 落在《中国国家天文》区域的频率 (1)上述表格中：________，________； (2)当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近________（精确到）； (3)如图，在转盘中，表示《大国航天》区域的扇形圆心角的度数是，转盘停止后，指针落在《问天少年》区域的概率为________； (4)根据上表，转动转盘次，请你估计指针落在《中国国家天文》区域大约有多少次？ 23．岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品． (1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出） (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了元，获得两次的抽奖机会．请问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？ (3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 24．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 25．今年三月中旬，某校初三年级为了解学生体育成绩情况，随机抽取了部分学生进行一次体育中考模拟测试，测试结果分为四个等级：A：优秀（45-50分），B：良好（38-44分），C：合格（30-37分），D：不合格（29分及以下），分值含平时成绩10分，将测试结果绘成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题． (1)本次测试共抽取学生多少人？ (2)求A级的圆心角a的度数？并补充完整条形统计图． (3)该校初三年级共有学生800人，若所有学生全部参加测试，估计成绩属于优秀的学生有多少人？ (4)王刚同学要在跳远、跳绳、排球、足球、篮球中选其中一项进行针对性训练，求他选中排球的概率； (5)体育老师想从小军、小兵、小明、小林四位同学中随机了解两位同学平时训练情况，请用列表法或画树形图法求选中小明的概率． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $