第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学下册

2026-2027学年度下学期九年级单元质量检测题（一） 北师大版九年级数学下册　第一章　直角三角形的边角关系 （满分：120分　　时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（　　） 　A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．已知∠α为锐角，且tanα＝，则∠α的度数为（　　） 　A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，斜边AB＝6，则BC的长为（　　） 　A．2　　　B．3　　　C．　　　D．4 4．某商场自动扶梯的倾斜角为30°，扶梯的垂直高度为5米，则扶梯的长度为（　　） 　A．5米　　　B．10米　　　C．米　　　D．米 5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB的值为（　　） 　A．　　　B．　　　C．　　　D． 6．某露营爱好者在营地搭建一种天幕，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为1.8米，∠CAD＝150°，则此时天幕的宽度CD为（　　） 　A．1.8sin15°米　　　B．3.6cos75°米　　　C．3.6sin75°米　　　D．1.8tan15°米 7．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，直角三角形较短直角边长为3，则sinθ的值为（θ为直角三角形中较小的锐角）（　　） 　A．　　　B．　　　C．　　　D． 8．如图，在矩形ABCD中，E、F是BC边上的三等分点，BC＝3，AB＝2，连接DE、AF相交于点G，则AG∶GF的值为（　　） 　A．1∶2　　　B．2∶3　　　C．3∶2　　　D．3∶1 9．某河堤的横断面是梯形，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度i＝1∶，则迎水坡AB的长度为（　　） 　A．5米　　　B．米　　　C．10米　　　D．米 10．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向、距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向的点B处，那么海轮航行的距离AB长为（　　） 　A．2sin55°海里　　B．2cos55°海里　　C．2tan55°海里　　D．2/sin55°海里 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：sin30°＋cos45°＝________。 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，则tanB＝________。 13．已知∠α为锐角，且sin(α－15°)＝，则∠α＝________°。 14．一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底角的正切值为________。 15．如图，小明在距离旗杆底部10米处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为45°，已知测角仪高度为1.5米，则旗杆的高度为________米。 16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，则BC边上的高为________。 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）计算下列各式的值： （1）sin260°＋cos260°－tan45°； （2）2sin30°－cos45°＋tan60°。 18．（本题8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形： （1）已知∠A＝60°，AB＝8，求∠B、AC、BC的长； （2）已知AC＝，BC＝2，求∠A、∠B、AB的长。 19．（本题10分）如图，某小区为了方便居民通行，准备在一段斜坡上修建台阶。已知原斜坡AB的坡角为30°，斜坡长度AB＝12米；为了降低坡度，准备把坡角改为15°，得到新斜坡AD。求： （1）原斜坡的垂直高度BC； （2）新斜坡AD的长度。（结果保留根号） 20．（本题10分）如图，某数学兴趣小组为了测量校园内一棵大树CD的高度，在点A处测得树顶D的仰角为30°，然后向大树方向前进10米到达点B处，在B处测得树顶D的仰角为60°，已知测角仪高度为1.5米（A、B、C三点在同一水平线上）。求大树CD的高度。（结果保留根号） 21．（本题10分）如图，某货船以20海里/时的速度将一批货物从A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时接到气象部门通知：一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。 （1）问B处是否会受到台风的影响？请说明理由； （2）为避免受到台风影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果保留根号） 22．（本题12分）如图，某景区内有一条笔直的观光步道BC。在点B处测得景点A在北偏东45°方向，沿步道向正东方向走200米到达点C处，测得景点A在北偏东30°方向。景点A周围100米范围内要修建保护围栏，问观光步道BC是否会穿过保护围栏区域？请说明理由。 23．（本题14分）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，OA＝4，点B在第一象限内，OB＝5，sin∠AOB＝。 （1）求点B的坐标； （2）求cos∠OAB的值； （3）在y轴上是否存在点P，使得△PAB为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案与解析 第一章　直角三角形的边角关系 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．B　2．C　3．B　4．B　5．A　6．C　7．B　8．D　9．C　10．B 第8题提示：由 AD∥FE 可得 △AGD∽△FGE，∴ AG∶GF＝AD∶FE＝3∶1。 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．　　12．　　13．75 14．　　15．11.5　　16． 第16题提示：∠C＝90°，故AC⊥BC，BC边上的高就是AC。 三、解答题（共72分） 17．（8分） 解：（1）原式＝＋－1＝0；……………………………4分 （2）原式＝2×－1＋3＝3。………………………………8分 18．（8分） 解：（1）∠B＝90°－60°＝30°，AC＝AB·sinB＝8×＝4， 　BC＝AB·cosB＝8×＝；…………………4分 （2）AB＝＝4，tanA＝BC/AC＝， 　故∠A＝30°，∠B＝60°。…………………………………8分 19．（10分） 解：（1）在Rt△ABC中，BC＝AB·sin30°＝12×＝6（米）；……5分 （2）在Rt△ADC中，sinD＝BC/AD， 　∴ AD＝6/sin15°＝（米）。………………10分 20．（10分） 解：设DE＝x米。在Rt△BDE中，BE＝x/tan60°＝； 　在Rt△ADE中，AE＝x/tan30°＝。…………………5分 　由 AE－BE＝AB＝10，得 ＝10，解得 x＝， 　∴ CD＝DE＋EC＝＋1.5（米）。……………………10分 21．（10分） 解：（1）AB＝20×16＝320（海里）。 　过B作BD⊥AC于D，则∠BAC＝90°－60°＝30°， 　BD＝AB·sin30°＝320×＝160（海里）＜200海里， 　故B处会受到台风影响。…………………………………5分 （2）以B为圆心、200海里为半径作圆交AC于E、F， 　DE＝＝120（海里）， 　AD＝AB·cos30°＝（海里）， 　AE＝AD－DE＝－120， 　t＝AE/40＝（小时）。……………………………10分 22．（12分） 解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，设AD＝x米。 　由"北偏东45°"知∠ABD＝45°，由"北偏东30°"知∠ACD＝60°， 　∴ BD＝AD/tan45°＝x，CD＝AD/tan60°＝。 　由北偏东的角度由45°变为30°可知，点D在点C的东侧， 　∴ BD－CD＝BC＝200，即 x－＝200， 　解得 x＝≈473.2（米）。…………………………8分 　∵ 473.2米＞100米， 　∴ 观光步道BC不会穿过保护围栏区域。……………………12分 23．（14分） 解：（1）过点B作BH⊥x轴于H。BH＝OB·sin∠AOB＝5×＝3， 　OH＝＝4，故B(4，3)。……………………………4分 （2）A(4，0)，H(4，0)，故点A与点H重合，AB＝BH＝3， 　OA＝4，OB＝5，由 32＋42＝52 知∠OAB＝90°， 　∴ cos∠OAB＝0。…………………………………………8分 （3）设P(0，p)。 　① 若∠A＝90°，则AP⊥AB。AB为竖直方向，故AP为水平方向， 　　得 p＝0，即 P(0，0)； 　② 若∠B＝90°，则BP⊥BA。BA为竖直方向，故BP为水平方向， 　　得 p＝3，即 P(0，3)； 　③ 若∠P＝90°，则PA·PB＝0，即 16＋p(p－3)＝0， 　　整理得 p²－3p＋16＝0，判别式 Δ＝9－64＜0，无实数解。 　综上所述，存在点P，其坐标为(0，0)或(0，3)。……………14分 学科网（北京）股份有限公司 $