第22章 图形的相似（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材华东师大版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章 图形的相似·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知线段的长是，线段的长是，则线段与的比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段与的比为． 2．如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“相似多边形的对应边成比例”即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 3．如图，已知，和分别是和的高，，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，解答即可； 【详解】解：∵，对应边和的比值， ∴两个三角形的相似比为， ∵、是这对相似三角形的对应高， ∴． 4．黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由黄金分割的定义列式后，逐项验证即可． 【详解】解：由题意可知，则四个选项中只有正确． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点G，确定位似中心，然后求出坐标即可． 【详解】解：如图，连接，交于点G， ∴点G为它们的位似中心，坐标为． 6．下列图形中，一定是相似图形的是（     ） A．两个直角三角形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．两个菱形 D．两个等腰梯形 【答案】B 【分析】三角形相似可通过两角对应相等判定，四边形相似需同时满足对应角相等、对应边成比例． 【详解】解：A、两个直角三角形，仅直角对应相等，其余内角不一定对应相等，不一定相似； B、∵等腰三角形两底角相等，两个三角形顶角相等， ∴底角也对应相等， ∴三个内角对应相等，两三角形一定相似； C、两个菱形，对应边成比例，但内角不一定对应相等，不一定相似； D、两个等腰梯形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似． 7．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的相似之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果. 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴它们的相似之比为. 8．若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出两个相似多边形的一组对应边的比，根据相似多边形的性质得到答案． 【详解】解：由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为， ∴它们的相似比为． 9．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形和四边形相似， ∴它们的相似比是． 10．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点O到的距离为，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：根据题意得，点O到的距离为，和之间的距离为， ∴点O到的距离为， 根据题意得，， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，、分别为、边上的点，，若，，，则___________． 【答案】 【分析】首先由，可证得，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵，，， ， ． 12．以为位似中心，将扩大得到，且相似比为，若的周长为6，则的周长为__________． 【答案】24 【分析】根据位似图形的性质得出与的周长比为，再根据的周长为6，求出结果即可． 【详解】解：依题意得：与的相似比为， 与的周长比为， 的周长为6， 的周长为． 13．线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______． 【答案】9 【分析】根据成比例线段的定义，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，，，是成比例线段， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， 解得． 14．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是______________． 【答案】或/或 【分析】位似变换以原点为位似中心，相似比为，对应点坐标为原坐标分别乘以和，计算即可得结果． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为，点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为或， 整理得点的坐标为或． 15．如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 【答案】 【分析】根据题意可知，利用平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可求解． 【详解】解： ， ， ，，， ， ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）已知A，B两地之间的距离是，在比例尺为的地图上，A，B两地的图上距离是多少厘米？ 【答案】A，B两地的图上距离是6厘米． 【分析】根据“比例尺图上距离实际距离”，根据比例尺关系即可求出两地的图上距离． 【详解】解：由， 则求得两地的图上距离是，（7分） 答：A，B两地的图上距离是6厘米．（8分） 17．（8分）在图中右边的方格图中描出左边方格图中所示图形的放大图形． 【答案】按放大原图形即可得到符合要求的放大图形，作图结果如图所示： （8分） 【分析】图形放大后形状不变，所有对应边长扩大相同倍数．解题时应先确定原图形所有顶点的位置，按照放大比例计算得到放大后各对应顶点的位置，再按原图形的顺序连接顶点并填充颜色即可，本题默认放大比例为． 【详解】解：略 18．（8分）已知，在和中，，且的周长为，求的周长． 【答案】 【分析】证明，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，（3分） ∴的周长与的周长之比为，（4分） ∵的周长为， ∴的周长为（8分） 19．（9分）已知：在和中，，，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，，， ∴，，（3分） ∴．（6分） 又∵． ∴．（9分） 【详解】略 20．（9分）如图，在某县地图上，以三个村庄A，B，C为顶点构成的三角形的三边长分别为，，．已知该地图标明的比例尺为，求每两个村庄之间的实际距离． 【答案】 ，两村庄的实际距离为，，两村庄的实际距离为，，两村庄的实际距离为 【分析】根据比例尺的定义，实际距离等于图上距离除以比例尺，分别计算三组村庄的实际距离后换算单位即可得到结果． 【详解】解：设，，的实际距离分别为，，， ∵比例尺为，图上距离，， ∴， 解得， （3分） ， 同理可得，解得， ，解得，（7分） ， ， 答：，两村庄实际距离为，，两村庄实际距离为，，两村庄实际距离为．（9分） 21．（10分）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，；，，． (2)，． 【答案】(1)，（1分）理由如下： ∵，， ∴，（3分） ∵， ∴；（5分） (2)与不一定相似，（6分）理由如下： ∵，， ∴，（8分） ∵两组边的夹角与的大小关系不确定， ∴与不一定相似．（10分） 【详解】（1）略 （2）略 22．（11分）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明：，， ．（5分） （2）解：，，， ，（7分） ， ， ，（9分） ．（11分） 【分析】（1）根据有两个角相等的三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 23．（12分）如图，四边形和四边形都是正方形，，，三点在同一直线上，连接，，，并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明：四边形和四边形都是正方形， ，（1分） ， ，（2分） ， ；（4分） (2)证明：四边形是正方形， ，，，（5分） 根据勾股定理，得． 同理可得， ．（6分） ， ， ．（8分） （3）解：，， ， ，（9分） 由（1）知， ， 即，（10分） ， ， ， 即正方形的边长为．（12分） 【分析】（1）先利用正方形性质得到和的度数，因为共线，所以可得与相等，再结合公共角，用两角对应相等证明三角形相似； （2）先根据正方形性质得到与的比值、与的比值，再证明，用两边对应成比例且夹角相等证明三角形相似； （3）先由长度求出正方形的边长，在中用勾股定理求出的长度；再利用（1）的相似结论得到对应边成比例，求出的长度，进而得到的长度；最后根据正方形边长与对角线的关系求出正方形的边长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，， ， ， 由（1）知， ， 即， ， ， ， 即正方形的边长为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章 图形的相似·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知线段的长是，线段的长是，则线段与的比为（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知，和分别是和的高，，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 4．黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．下列图形中，一定是相似图形的是（     ） A．两个直角三角形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．两个菱形 D．两个等腰梯形 7．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的相似之比为（     ） A． B． C． D． 8．若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 9．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 10．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，、分别为、边上的点，，若，，，则___________． 12．以为位似中心，将扩大得到，且相似比为，若的周长为6，则的周长为__________． 13．线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______． 14．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是______________． 15．如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）已知A，B两地之间的距离是，在比例尺为的地图上，A，B两地的图上距离是多少厘米？ 17．（8分）在图中右边的方格图中描出左边方格图中所示图形的放大图形． 18．（8分）已知，在和中，，且的周长为，求的周长． 19．（9分）已知：在和中，，，，，．求证：． 20．（9分）如图，在某县地图上，以三个村庄A，B，C为顶点构成的三角形的三边长分别为，，．已知该地图标明的比例尺为，求每两个村庄之间的实际距离． 21．（10分）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，；，，． (2)，． 22．（11分）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 23．（12分）如图，四边形和四边形都是正方形，，，三点在同一直线上，连接，，，并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章图形的相似·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知线段AB的长是4a,线段CD的长是a,则线段AB与CD的比为() A.4:1 B.5:1 C.3:1 D.1:4 2.如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则a的值是() a 4 甲 乙 A.1 B.2 C.3 D.4 AB=mm≠1，则 3.如图，已知△ABC一△ABC,CD和CD分别是△ABC和△ABC的高，AB CD CD的值为() D D A B A.1 B. 1 C.m D.m2 m 4.黄金分割是汉字结构基本的规律.借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美 观.已知点C为习字格边框AB的黄金分割点(AC>BC),则下列结论正确的是() BC=5-1 B.AC=5-1 C-5-1 AC 2 BC 2 C.AB D.AB=5-1 2 AC 2 115 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△乙是位似图形，则它们位似中心的坐标为() B A -4-3-2-10 123x A.1,1 B.1,2 c.2,1 D.2,2 6.下列图形中，一定是相似图形的是() A.两个直角三角形 B.两个顶角相等的等腰三角形 C.两个菱形 D.两个等腰梯形 7.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的相似之比为() A.1:2 B.1:4 c.1:5 D.1:16 8.若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和4.5，则它们的相似比为() c D 9.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似（点A与点E、点B与点F、点C与点G、点D与点H分别是 对应点)，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是() D月 A B E A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:1 10.如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时 器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度CD为() 215 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12cm 10cm 10cm 10cm 图① 图② 图③ A.1cm B.2cm C.zcm D.3cm 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DEBC,若AD=3,DB=5,DE=2,则 BC= D B 12.以O为位似中心，将△AOB扩大得到△COD,且相似比为1：4，若△AOB的周长为6，则△COD 的周长为 13.线段a,b,c,d是成比例线段，其中a=4cm,b=c=6cm,则线段d的长为 cm. 14.在平面直角坐标系中，已知△AB0的顶点坐标分别是0(0,0)，A(-3,6),B(-9,-3),以原点O 为位似中心画一个三角形，使它与△AB0位似，且相似比为亏 则点B的对应点B的坐标是 15.如图，木工师傅在加固一个三角形屋架ABC时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行 的木条DE,分别与两边AB、AC交于点D、E.已知AD=3m,DB=4m,AE=2.4m,则木条EC= m 3/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)已知A,B两地之间的距离是60km,在比例尺为1：1000000的地图上，A,B两地的图上距 离是多少厘米？ 17.(8分)在图中右边的方格图中描出左边方格图中所示图形的放大图形. AB BCAC2 18,(8分)已知，在△ABC和△ABC中，AB BC AC子且△ABC的周长为120cm, 求△ABC的周长. 19.(9分)已知：在△ABC和△ABC中，∠A=∠A,AB=4cm,AC=8cm,AB=11cm, AC=22cm.求证：△ABC一△ABC. 20.(9分)如图，在某县地图上，以三个村庄A,B,C为顶点构成的三角形的三边长分别为AB=3Cm, BC=3.5cm,AC=2.5cm.已知该地图标明的比例尺为1：100000，求每两个村庄之间的实际距离. B 21.(10分)根据下列条件，判断△ABC与△ABC是否相似，并说明理由. (1)A=36 AB=2.5cm'AC=7.5cm'2A=36'A'B'=3cm'A'C'=9cm 415 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)AC=2AC BC=2BC 22.(11分)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，且满足∠ADE=∠C B (1)求证：△ADE一△ACB: (2)若AB=3,AE=1,S△ADE=6,求S四边形BcED. 23.(12分)如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C,F,G三点在同一直线上，连接BE, AC,AF,并延长AF交CD于点M D M E B (1)求证：△MFC一△MCA: (2)求证：△ACF一△ABE: (3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长. 515可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章图形的相似·基础通关（参考答案） 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 3 6 1 8 9 10 A B A B B A A C D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 12.24 13.9 14.（-3,-1或3,1)(3,1)或(-3，-1 15.3.2 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【详解】解：由60km=6000000cm, 则求得两地的图上距离是6000000÷1000000=6cm,(7分) 答：A,B两地的图上距离是6厘米.(8分) 17.(8分) 【答案】按2：1放大原图形即可得到符合要求的放大图形，作图结果如图所示： (8分) 18.(8分) 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=BC=AC=2 【详解】解：：AB BC AC3 ∴△ABC一△ABC,(3分) ∴.△ABC的周长与△ABC的周长之比为2：3，(4分) .△ABC的周长为120cm, :△ABC的周长为120×号=80cm(8分) 3 19.(9分) 【答案】证明：，AB=4cm,AC=8cm,AB=11cm,AC=22cm, A8-4.AC=8-4 AB11’AC2211 (3分) AB_AC AB A C (6分) 又.∠A=∠A. .△ABC一△ABC.(9分) 20.(9分) 【详解】解：设AB,BC,AC的实际距离分别为xcm,ycm,zcm, ,比例尺为1：100000，图上距离AB=3cm,BC=3.5cm,AC=2.5cm 31 x100000 解得x=3×100000=300000,(3分) 300000cm=3km, 同理可得3.5 1 100000 ,解得y=350000, 2.5 1 z1000001 解得z=250000,(7分) 350000cm=3.5km, 250000cm=2.5km. 答：A,B两村庄实际距离为3km,B,C两村庄实际距离为3.5km,A,C两村庄实际距离为2.5km (9分) 21.(10分) 【答案】(1)△ABC一△ABC,(1分)理由如下： 2/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=2.5-5AC-75=5 AB36’AC96 AB_AC AB AC ,(3分) .∠A=∠A=36°， .△ABC一△ABC;(5分) ②△ABC与△ABC不一定相似，(6分)理由如下： .AC=2A C,BC=2BC, :AC=BC=2,(8分) AC BC ,两组边的夹角∠C与∠C的大小关系不确定， .△ABC与△ABC不一定相似.(10分) 22.（11分) 【答案】(I)证明：.∠ADE=∠C,∠A=∠A, △ADE一△ACB.(5分) (2)解：.'△ADE一△ACB,AB=3,AE=1, ·AE1 AB3(7分) .S△ADE=1: SAAB9 :'S△ADE=6, .S△ABc=54,(9分) ,.Sg边形BCED=SA△A-S△ADE=54-6=48.(11分) 23.（12分) 【答案】（①）证明：.四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴.∠ACD=∠AFG=45°，(1分) .∠CFM=∠AFG, .∠CFM=∠ACM=45°，(2分) .∠CMF=∠AMC, .∴.△MFC一△MCA;(4分) 3/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠ABC=90°，∠BAC=45°，AB=BC,(5分) 、根据勾股定理，得AC=AB2+BC2=R2AB 同理可得AF=2AE, AE=AC=2.(6分) ·AEAB .·∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°， ∴.∠CAF=∠BAE, ∴.△ACF~△ABE.(8分) (3)解：.'DM=1,CM=2, .∴.AD=CD=1+2=3, .AM=AD2+DM2=V32+12=10'(9分) 由(1)知△MFC一△MCA, ·CM_FM ·AMCM' 2 FM 即可10 2 ,(10分) .·FM=2/1o 5 ·AF=AM-FM=310 5, AE-EF-2AF-385 , 即正方形AEFC的边长为3S 5 (12分) 4/4