天津市武清区杨村第四中学2026-2027学年高一年级第一学期第一次学情调查数学试卷

杨村四中高一年级第一学期数学第一次学情调查 （参考答案） 一、选择题（共 36 分，每小题 4 分） 1．设全集 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由 且 写出全集 ，再求补集． 【解答】，，所以 ，故选 D． 2．已知集合 ，，则 与 的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解方程 求出 ，再比较两个集合． 【解答】由 得 或 ，所以 ． 因为 中的元素都在 中，且 ，所以 是 的子集，即 ，故选 B． 3．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词、否结论，条件 不变． 【解答】命题“，”的否定是“，”，故选 C． 4．若 ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作差比较 与 的大小，配方后判断符号． 【解答】， 所以 恒成立，故选 A． 5．已知 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】配凑成 的形式，再用基本不等式． 【解答】因为 ，所以 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 6，选 C． 6．下列选项中，是同一个函数的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】C 【分析】两个函数相同需定义域与对应关系都相同，逐项检验． 【解答】A：，与 的对应关系不同； B： 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同； C：，定义域为 ，与 相同； D： 的定义域为 ，与 的定义域不同． 故选 C． 7．已知 ，，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别解出两个不等式，再按两个范围的包含关系判断． 【解答】由 得 ；由 得 ． 因为 是 的真子集，所以 ，但 不能推出 ， 即 是 的充分不必要条件，故选 A． 8．已知关于 的不等式 的解集为 ， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解集确定 、，再把分式不等式移项通分转化为整式不等式． 【解答】由解集为 知 ，且 、 是方程 的两根． 由韦达定理，，，解得 ，． 不等式 即 ，即 ， 也就是 ，解得 或 ，故选 D． 9．已知 ， 为正实数，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把两个分式拆开，再用基本不等式． 【解答】， 因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号， 故原式的最小值为 ，故选 B． 二、填空题（共 24 分，每小题 4 分） 10．，求 ________． 【答案】 【分析】把 代入解析式计算． 【解答】． 11．下列不等式中成立的是 ________． ①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ． 【答案】② 【分析】逐条检验，注意不等式性质成立的条件，可举反例． 【解答】①当 时 ，不成立； ②因为 ，所以 ，成立； ③取 ，，则 ，不成立． 故填 ②． 12．设集合 ，集合 ，若 ，实数 取值的集合 ________． 【答案】 【分析】先求 ，再按 与 讨论 ． 【解答】．当 时，，符合； 当 时，，由 得 或 ，即 或 ． 所以 ． 13．函数 的定义域为 ________． 【答案】 【分析】根号内非负、分母不为零． 【解答】由 得 或 ； 又 ，即 ． 所以定义域为 ． 14．已知 ，，，则 的最小值为 ________． 【答案】 【分析】把 乘到所求式上，展开后用基本不等式． 【解答】， 因为 ，所以 ， 故最小值为 ，当且仅当 时取到． 15．若关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是 ________． 【答案】 【分析】按 、、 分类，注意开口方向与判别式． 【解答】当 时，不等式为 ，无解，符合题意； 当 时，抛物线开口向下，不等式一定有解，不符合题意； 当 时，需 ，解得 ． 综上，，即 ． 三、解答题（共 60 分） 16．（10 分）已知集合 ，，全集 ． (1)求 ，； (2)求 ． 【答案】(1)，；(2) 【分析】先化简 ，再借助数轴求交集、并集与补集． 【解答】由 得 ，所以 ． (1) ，． (2) ，， 所以 ． 17．（12 分）(1)求函数 的定义域． (2)已知函数 ，求 、、 的值． 【答案】(1)；(2)，， 【分析】(1) 两个根式同时有意义；(2) 分别把 、、 代入解析式． 【解答】(1) 要使函数有意义，需同时满足 且 ， 即 且 ， 所以该函数的定义域为 ． (2) ； ； ． 18．（12 分）(1)已知 ，，且 ，求 的最大值，并求对应的 ， 的值． (2)已知 ，，，求 的最小值，并求对应的 ， 的值． 【答案】(1)最大值为 ，此时 ，；(2)最小值为 ，此时 【分析】两问都用基本不等式，注意“一正、二定、三相等”． 【解答】(1) 因为 ，，所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， 所以 的最大值为 ，此时 ，． (2) ， 又 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最小值为 ，此时 ． 19．（12 分）已知集合 ，集合 ，． 若“”是“”的必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】 【分析】“ 是 的必要条件”即 ，再按 是否为空集讨论． 【解答】“”是“”的必要条件，即由 能推出 ，所以 ． 当 时，，即 ，此时 成立； 当 时，，要使 ， 需 且 ，即 且 ，与 矛盾． 综上，，即 ． 20．（14 分）已知函数 ． (1)若 且 ，求不等式 的解集； (2)若 且 ，求 的最小值． 【答案】(1)见解答；(2) 【分析】(1) 按 、、 分类讨论；(2) 设 ，把式子化成 ． 【解答】(1) 不等式为 ． 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，，方程 的两根为 ，解集为 ； 当 时，，两根为 ，解集为 ． (2) 因为 ，所以 ．由 得 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ． 高一数学（答案）第1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村四中高一年级第一学期数学第一次学情调查 一、选择题（共 36 分，每小题 4 分） 1．设全集 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知集合 ，，则 与 的关系是（ ） A． B． C． D． 3．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．若 ，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．下列选项中，是同一个函数的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 7．已知 ，，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知关于 的不等式 的解集为 ， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 9．已知 ， 为正实数，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共 24 分，每小题 4 分） 10．，求 ________． 11．下列不等式中成立的是 ________． ①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ． 12．设集合 ，集合 ，若 ，实数 取值的集合 ________． 13．函数 的定义域为 ________． 14．已知 ，，，则 的最小值为 ________． 15．若关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是 ________． 三、解答题（共 60 分） 16．（10 分）已知集合 ，，全集 ． (1)求 ，； (2)求 ． 17．（12 分）(1)求函数 的定义域． (2)已知函数 ，求 、、 的值． 18．（12 分）(1)已知 ，，且 ，求 的最大值，并求对应的 ， 的值． (2)已知 ，，，求 的最小值，并求对应的 ， 的值． 19．（12 分）已知集合 ，集合 ，． 若“”是“”的必要条件，求实数 的取值范围． 20．（14 分）已知函数 ． (1)若 且 ，求不等式 的解集； (2)若 且 ，求 的最小值． 高一数学第1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $