第五讲　带电粒子在电场中的运动 期中复习讲义-2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

带电粒子在电场中的运动　·　期中复习讲义 第五讲　带电粒子在电场中的运动 01知识梳理 （一）带电粒子在电场中的加速 1. 沿场强方向进入 带电粒子沿场强方向进入电场，电场力与速度共线，粒子做匀变速直线运动。若只受电场力，由动能定理：qU＝mv2－mv02 当初速度为零时：v＝ 2. 与场是否均匀无关 上面的两式都来自动能定理，而电场力做功 W = qU 对任意电场都成立（U 为始末位置的电势差）。因此无论电场是否均匀、粒子走的是直线还是曲线，只要初末速度与电势差已知，就可以直接用。 3. 速度与比荷 由 v＝ 可知，同一加速电压下，比荷 q/m 越大的粒子，获得的末速度越大。电子比荷最大，因此在同样的电压下速度最快，这也是示波管、电子枪都用电子而不用质子的原因之一。 qU＝mv2出自动能定理，对非匀强电场同样成立；同一电压下比荷越大，末速度越大。 （二）带电粒子在匀强电场中的偏转 1. 模型与分解 粒子以初速度 v0 垂直场强方向射入匀强电场，进入后受恒定的电场力，与平抛运动完全同构，称为类平抛运动。处理办法是分解： 沿初速方向：不受力，做匀速直线运动，L = v0 t； 沿场强方向：受恒力，做初速为零的匀加速直线运动，a＝＝＝。 2. 偏转时间: 式中 L 为极板长度。注意 v0 是射入时的速度，在整个偏转过程中沿这个方向始终不变，不会因为电场力而改变。 3. 侧移量:y＝at2＝··()2 4. 偏转角 射出时沿场强方向的分速度 vy = a t，偏转角 θ 满足：tan θ＝＝= 2 y / L 最后一个等号是本节最有用的关系：tanθ = 2y/L。它说明速度的反向延长线一定过极板长度中点处的中心轴线，与初速度大小、比荷都无关。做「偏转后打屏」的题，用这一条可以省掉一次比例计算。 5. 能否射出极板 粒子能否穿出偏转电场，取决于 y 是否小于板间距的一半。若把偏转电压调得过大，y 超过 d/2，粒子就会打在极板上，此时 t = L/v0 不再适用，要改用沿场强方向的位移 d/2 反求时间。凡题目给出「恰好从边缘射出」，就是在提示 y = d/2。 偏转是类平抛，沿初速方向匀速、沿场强方向匀加速；tanθ = 2y/L，速度反向延长线过极板中点。 （三）先加速后偏转 若粒子先由静止经电压 U1 加速，再垂直进入偏转电压为 U2 的偏转电场，把 v02 = 2qU1/m 代入侧移公式：y＝ 比荷 q/m 被约掉了。这是一个非常重要的结论：同一装置中，不同带电粒子（只要都由静止经同一 U1 加速）的偏转轨迹完全相同，与粒子的质量、电荷量都无关。 换成电子、质子、离子，只要加速电压与偏转电压不变，打在屏上的位置就一样。 需要注意的是，这个结论成立的前提是「由静止经同一加速电场」。若两种粒子以相同的初速度直接射入偏转电场（不经过加速），则 y ∝ q/m，比荷不同则侧移不同。判断题目属于哪一种，只需看有没有加速过程。 先加速后偏转时侧移与比荷无关，前提是两者都从静止经同一加速电压；直接以相同 v0 射入时侧移与比荷成正比。 （四）偏转后打到荧光屏 粒子射出偏转电场后不再受电场力，做匀速直线运动，速度方向沿射出时的方向。设极板右端到屏的距离为 D，则屏上亮点到中心轴线的距离为:y屏 = y + D tan θ 利用 tanθ = 2y/L 可以把 y 提出来：y屏 = tan θ (L/2 + D) 后一式的物理意义就是「反向延长过中点」：可以假装粒子是从极板中点沿直线射出的。两式结果相同，后者计算更快，前者更不容易记错。 射出偏转电场后做匀速直线运动，屏上位置等于侧移量加上匀速段的偏移；用「反向延长过中点」可一步算出。 （五）重力能否忽略 带电粒子在电场中是否要考虑重力，取决于粒子的种类，判断错了整道题都错。 粒子类型 是否考虑重力 理由 电子、质子、α 粒子等基本粒子 一般忽略 质量极小，重力比电场力小十几个数量级 带电油滴、带电小球、带电微粒 一般不能忽略 质量较大，重力与电场力数量级相当 题目明确给出质量 m 与 g 必须考虑 给 m 就是为了算 mg 题目只说「带电粒子」未给质量 通常忽略 默认按基本粒子处理 判断的实用办法：题目给了质量就考虑，没给质量就忽略；给了质量又同时说「不计重力」，以题目为准。 基本粒子忽略重力，带电油滴与小球不能忽略；给了质量就要算 mg。 02公式与方法清单 （一）核心公式 公式 表达式 适用条件 易错提醒 加速 qU＝mv2－mv02 只受电场力，任意电场 由动能定理得出，不要求匀强 末速度 v＝ 初速为零 与比荷的平方根成正比 偏转时间 t = L / v0 垂直场强射入 v0 沿初速方向不变 偏转加速度 a = q U / (m d) 匀强电场 d 是板间距，不是侧移 侧移量 y = q U L2 / (2 m d v02) 匀强电场，能射出 超过 d/2 则打在极板上 偏转角 tan θ = q U L / (m d v02) = 2 y / L 匀强电场 不是 y/L 先加速后偏转 y = U2 L2 / (4 d U1) 由静止经 U1 加速 与比荷无关 屏上位置 y屏 = tan θ (L/2 + D) 射出后不受力 中点指极板长度中点 电场力做功 W = q U = q E y 任意电场 偏转中 U 指沿场强方向的电势差 （二）偏转的四步程序 1. 建坐标系，写方向 以射入点为原点，初速方向为 x 轴，场强方向为 y 轴。先明确沿哪个方向不受力、沿哪个方向受恒力，再动笔。 2. 求时间 由 x 方向的匀速运动求 t = L/v0。这一步是整道题的枢纽，后面所有量都靠它。 3. 求加速度 a = qE/m = qU/(md)。凡涉及「多大电压能打出极板」的题，都要从这里入手。 4. 合成 由 y = ½at2 求侧移，由 vy = at、tanθ = vy/v0 求偏转角。最后判断能否射出：y 与 d/2 比较。 （三）三个常用结论 1. tanθ = 2y/L 速度反向延长线过极板长度中点处的中心轴线。用于快速求屏上位置，也用于反求偏转角。 2. 先加速后偏转与比荷无关 同一装置、同一加速电压下，任何带电粒子的轨迹都相同。这条结论常以「换成质子后屏上位置如何变化」的形式考查，答案是「不变」。 3. 加速看电压，偏转看电压与几何 加速只与 U1 有关，偏转与 U2、L、d 都有关。若把偏转电压加倍，侧移加倍；若把板长加倍，侧移变为 4 倍，因为 y ∝ L2。 03典型例题 （一）带电粒子在电场中的直线加速 例1. 如图所示，两平行金属板的电势差为，一电子从点沿垂直于极板的方向射出，最远到达点，然后返回。若仅将右金属板右移一小段距离，则电子将最远到达（     ） A．点左侧 B．点 C．点右侧 D．右金属板 【变式训练】下列粒子（：为元素符号，表示质量数，表示电荷数）从初速度为零的状态经过电压同为的电场加速后速度最大的是（     ） A．氘核（） B．质子（） C．氦原子核（） D．氚核（） 要点提炼：加速类问题只需两步——写出 qU = ½mv2，解出 v。注意题干若给的是「加速电压」而不是「场强」，就完全不需要关心极板间距与场是否均匀。 （二）带电粒子在匀强电场中做类抛体运动 例2.如图所示装置放置在真空中，炽热的金属丝可以发射电子，金属丝和竖直金属板之间加一电压，发射出的电子被加速后，从金属板上的小孔水平射出，装置右侧有平行金属极板水平正对放置，板长，相距，两极板间加一电压的偏转电场。已知电子的电荷量，电子的质量，设电子刚离开金属丝时的速度为0，忽略金属极板边缘对电场的影响，不计电子受到的重力。 (1)求电子经过小孔的速度大小（可用分数表示）； (2)求电子射出偏转电场时在竖直方向上的侧移量； (3)求电子离开偏转电场后偏角的正切值。 【变式训练】XCT扫描是计算机射线断层扫描技术的简称，可用于对多种病情的探测。某种XCT机原理示意图如图所示，竖直极板、之间存在水平方向的加速电场，水平极板、之间存在竖直方向匀强偏转电场；经调节后，电子枪产生的电子从处由静止开始沿实线所示的轨迹运动，最终打到水平圆形靶台上的中心点，产生射线。已知电子的质量为，电荷量为，、两极板间的电压为，偏转电场区域水平宽度为，、之间距离足够大，偏转电场的电场强度，点与靶台竖直高度差为。不计电子的重力、空气阻力以及电子间的相互作用。求： (1)电子刚进入偏转电场时的速度大小； (2)电子射出偏转电场时速度方向与水平方向的夹角； (3)点到极板最右端点的水平距离。 要点提炼：本题用了「先加速后偏转」的合成公式，一步到位，不必分开求 v0、t、a。但必须先验算 y 与 d/2 的大小关系，否则若电子打在极板上，这个公式的前提就不成立。 （三）带电物体（计重力）在电场中的运动 例3. 如图所示，一带电小球用绝缘柄固定不动，将一个质量为，电荷量为的带正电小球用一根不可伸长的轻质绝缘丝线悬挂起来，悬点在小球的正上方，当小球静止时，丝线与竖直方向夹角 两球连线刚好水平。丝线长度为，重力加速度大小为g，静电力常量为，两球均可视为点电荷，求： (1)小球受到的丝线拉力的大小； (2)小球的电荷量大小。 要点提炼：凡是「悬挂小球偏转一个角度后静止」的题，都是三力平衡，且一定有 tanθ = qE/mg 这个关系。 【变式训练】一电荷量为的小球从距离水平地面高为处的点，以水平向右的速度抛出，整个空间存在着水平向左的匀强电场，小球正好落在点正下方水平地面上的点，已知重力加速度为，小球的质量为，小球可看作质点，忽略空气阻力，则（     ） A．小球在空中的运动时间为 B．小球的运动为平抛运动 C．小球运动过程中的最小速度为 D．电场力大小为 （4） 带电粒子在周期性变化电场中做直线运动 例4.如图甲所示，为真空中两块水平放置的平行金属板，相距为d，两板间加上如图乙所示的交变电压。设时，A板电势比B板电势高，此时紧靠B板有一个初速为零、电荷量为、质量为m的粒子在电场力的作用下开始运动，粒子的重力可忽略。要使粒子到达A板时具有最大的动能，所加电压的频率f应满足什么条件？ （5） 示波器的相关计算 例5.如图所示是阴极射线管示意图，当偏转电极板、间不加电压时，电子束经电场加速后打到荧屏中央处形成亮斑。若偏转电极板带正电，已知电子在偏转电场中运动时间极短且不打到极板上，在其他条件不变的情况下，则（　　） A．电子通过极板过程中电场力对电子做正功，电子偏转时电势能增大 B．电子束经电场加速后打到荧屏形成亮斑，亮斑在点上方 C．偏转电压不变时，若荧屏上亮斑向上移动，可知加速电压在增大 D．加速电压不变时，若荧屏上亮斑向上移动，可知偏转电压在增大 【变式训练】示波管是示波器的核心部件，示波管的结构如图所示，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪（发射电子的灯丝、加速电极）、偏转电极（、）和荧光屏组成。下列说法正确的是（     ） A．若、都没加电压，则电子枪发射的电子束打在荧光屏上会形成一条亮线 B．若没加电压，电势高于，则电子向荧光屏上的偏移 C．若没加电压，仅在加上正弦式信号电压，则电子枪发射的电子束都打在荧光屏的中心 D．无论、加怎样的电压，荧光屏上都不会形成倾斜亮线 04巩固练习 一、单选题 1.喷墨打印机偏转电场的原理如图所示。电荷量为的墨滴以初速度垂直射入极板长、间距、电压的匀强偏转电场，离开电场后打在打印纸上（不计重力）。下列说法正确的是（     ） A．仅增大墨滴所带电荷量，墨滴打在纸上的偏移量增大 B．仅减小墨滴的入射速度，墨滴在电场中运动的时间变长，但仍能射出偏转电场打在打印纸上 C．仅增大偏转电压，墨滴离开电场时速度偏转角的正切值不变 D．仅增大偏转极板的间距，其他条件不变，墨滴打在纸上的偏移量增大 2．如图，一个带正电的小球从点射入水平方向的匀强电场中，小球沿直线运动，与电场线夹角为，已知带电小球的质量为，电量大小为，重力加速度为，则电场的电场强度大小为（     ） A． B． C． D． 3．研究表明，蜘蛛飞行是“御电而行”，地表附近存在着环境电场，该电场可视为场强大小为E、方向竖直向下的匀强电场，蜘蛛可以通过向空中吐出带电蛛丝实现飞行，如图所示，在无风的天气里，质量为m的蜘蛛，从地面向空中吐出4根蛛丝对称分布，恰好可以使它匀速上升，然后蜘蛛咬断部分蜘蛛丝后，经过一段时间落到地面上。假设蜘蛛吐出的每根蛛丝都相同，且电荷集中在蛛丝顶端，蜘蛛自身始终不带电；已知重力加速度为，忽略空气对蜘蛛的作用力。下列说法正确的是（     ） A．蜘蛛丝带正电 B．向下运动时，蜘蛛丝的电势能减小 C．每根蛛丝的带电量 D．咬断部分蛛丝瞬间，蜘蛛立刻开始下落 4．如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极、水平方向偏转电极和荧光屏组成。电极、的长度均为、间距均为。若电子枪的加速电压为，极板间的电压为（端接为高电势），极板间的电压为零。电子刚离开金属丝时速度可视为零，从电子枪射出后沿示波管轴线方向（在荧光屏正中央）进入偏转电极。电子电荷量为则电子（     ） A．会打在荧光屏左上角形成光斑 B．打在荧光屏上时的动能大小为 C．打在荧光屏上的位置与的距离为 D．打在荧光屏上时，速度方向与的夹角满足 二、多选题 5．如图所示，粒子源产生的多种正粒子漂入电压恒定的加速电场（初速度很小，可忽略不计），加速后从小孔S沿水平平行金属板A、B的中心线射入偏转电场，A、B板间的电压恒定，不计粒子重力及相互作用，若粒子均能从A、B板间射出，则（　　） A．粒子的比荷越大，离开偏转电场时偏转位移越大 B．粒子的比荷越大，离开偏转电场时的速度越大 C．粒子离开偏转电场时的偏转角正切值与加速电压有关 D．粒子经过加速电场过程，电场力做功与粒子电荷量无关 6．如图所示，带电量之比为的带电粒子A、B，先后以相同的速度从同一点水平射入平行板电容器中，不计重力，带电粒子偏转后打在同一极板上，水平飞行距离之比，则（     ） A．粒子A、B的质量之比为 B．粒子A、B的质量之比为 C．粒子A、B在电场中飞行的时间之比为 D．粒子A、B在电场中飞行的时间之比为 三、解答题 7．两平行金属板A、B水平放置，两板间距d=4cm，板长L=10cm，一个质量为m=5×10-6kg的带电微粒，以v0=2m/s的水平初速度从两板间正中央射入，如图所示，取g=10m/s2。 (1)当两板间电压UAB=1×103Ｖ时，微粒恰好不偏转，求微粒的电量和电性。 (2)若微粒恰好不打到金属板上，求微粒的加速度大小; (3)要使微粒不打到金属板上，求两板间的电压U的取值范围？ 8．如图所示为真空示波管的示意图，电子从灯丝发出（初速度不计），经灯丝与板间的加速电压（）加速，从板中心孔沿中心线射出，然后进入由两块平行金属板、形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），且电子恰沿、两极板中点垂直进入偏转电场。已知、两板间的电压为，板长为，两板间的距离恰好也等于，、板右端到荧光屏的距离，电子质量为，电荷量为。求： (1)电子穿过板时的速度大小。 (2)为保证电子能从、两板间射出，而不打到、两板上，电压的最大值是多少？ (3)若荧光屏中心到屏幕上，下边缘的距离也为，为使电子从、两板间射出后能打到荧光屏范围内，求电压满足的条件。 1 学科网（北京）股份有限公司 $带电粒子在电场中的运动　·　期中复习讲义 第五讲　带电粒子在电场中的运动 01知识梳理 （一）带电粒子在电场中的加速 1. 沿场强方向进入 带电粒子沿场强方向进入电场，电场力与速度共线，粒子做匀变速直线运动。若只受电场力，由动能定理：qU＝mv2－mv02 当初速度为零时：v＝ 2. 与场是否均匀无关 上面的两式都来自动能定理，而电场力做功 W = qU 对任意电场都成立（U 为始末位置的电势差）。因此无论电场是否均匀、粒子走的是直线还是曲线，只要初末速度与电势差已知，就可以直接用。 3. 速度与比荷 由 v＝ 可知，同一加速电压下，比荷 q/m 越大的粒子，获得的末速度越大。电子比荷最大，因此在同样的电压下速度最快，这也是示波管、电子枪都用电子而不用质子的原因之一。 qU＝mv2出自动能定理，对非匀强电场同样成立；同一电压下比荷越大，末速度越大。 （二）带电粒子在匀强电场中的偏转 1. 模型与分解 粒子以初速度 v0 垂直场强方向射入匀强电场，进入后受恒定的电场力，与平抛运动完全同构，称为类平抛运动。处理办法是分解： 沿初速方向：不受力，做匀速直线运动，L = v0 t； 沿场强方向：受恒力，做初速为零的匀加速直线运动，a＝＝＝。 2. 偏转时间: 式中 L 为极板长度。注意 v0 是射入时的速度，在整个偏转过程中沿这个方向始终不变，不会因为电场力而改变。 3. 侧移量:y＝at2＝··()2 4. 偏转角 射出时沿场强方向的分速度 vy = a t，偏转角 θ 满足：tan θ＝＝= 2 y / L 最后一个等号是本节最有用的关系：tanθ = 2y/L。它说明速度的反向延长线一定过极板长度中点处的中心轴线，与初速度大小、比荷都无关。做「偏转后打屏」的题，用这一条可以省掉一次比例计算。 5. 能否射出极板 粒子能否穿出偏转电场，取决于 y 是否小于板间距的一半。若把偏转电压调得过大，y 超过 d/2，粒子就会打在极板上，此时 t = L/v0 不再适用，要改用沿场强方向的位移 d/2 反求时间。凡题目给出「恰好从边缘射出」，就是在提示 y = d/2。 偏转是类平抛，沿初速方向匀速、沿场强方向匀加速；tanθ = 2y/L，速度反向延长线过极板中点。 （三）先加速后偏转 若粒子先由静止经电压 U1 加速，再垂直进入偏转电压为 U2 的偏转电场，把 v02 = 2qU1/m 代入侧移公式：y＝ 比荷 q/m 被约掉了。这是一个非常重要的结论：同一装置中，不同带电粒子（只要都由静止经同一 U1 加速）的偏转轨迹完全相同，与粒子的质量、电荷量都无关。 换成电子、质子、离子，只要加速电压与偏转电压不变，打在屏上的位置就一样。 需要注意的是，这个结论成立的前提是「由静止经同一加速电场」。若两种粒子以相同的初速度直接射入偏转电场（不经过加速），则 y ∝ q/m，比荷不同则侧移不同。判断题目属于哪一种，只需看有没有加速过程。 先加速后偏转时侧移与比荷无关，前提是两者都从静止经同一加速电压；直接以相同 v0 射入时侧移与比荷成正比。 （四）偏转后打到荧光屏 粒子射出偏转电场后不再受电场力，做匀速直线运动，速度方向沿射出时的方向。设极板右端到屏的距离为 D，则屏上亮点到中心轴线的距离为:y屏 = y + D tan θ 利用 tanθ = 2y/L 可以把 y 提出来：y屏 = tan θ (L/2 + D) 后一式的物理意义就是「反向延长过中点」：可以假装粒子是从极板中点沿直线射出的。两式结果相同，后者计算更快，前者更不容易记错。 射出偏转电场后做匀速直线运动，屏上位置等于侧移量加上匀速段的偏移；用「反向延长过中点」可一步算出。 （五）重力能否忽略 带电粒子在电场中是否要考虑重力，取决于粒子的种类，判断错了整道题都错。 粒子类型 是否考虑重力 理由 电子、质子、α 粒子等基本粒子 一般忽略 质量极小，重力比电场力小十几个数量级 带电油滴、带电小球、带电微粒 一般不能忽略 质量较大，重力与电场力数量级相当 题目明确给出质量 m 与 g 必须考虑 给 m 就是为了算 mg 题目只说「带电粒子」未给质量 通常忽略 默认按基本粒子处理 判断的实用办法：题目给了质量就考虑，没给质量就忽略；给了质量又同时说「不计重力」，以题目为准。 基本粒子忽略重力，带电油滴与小球不能忽略；给了质量就要算 mg。 02公式与方法清单 （一）核心公式 公式 表达式 适用条件 易错提醒 加速 qU＝mv2－mv02 只受电场力，任意电场 由动能定理得出，不要求匀强 末速度 v＝ 初速为零 与比荷的平方根成正比 偏转时间 t = L / v0 垂直场强射入 v0 沿初速方向不变 偏转加速度 a = q U / (m d) 匀强电场 d 是板间距，不是侧移 侧移量 y = q U L2 / (2 m d v02) 匀强电场，能射出 超过 d/2 则打在极板上 偏转角 tan θ = q U L / (m d v02) = 2 y / L 匀强电场 不是 y/L 先加速后偏转 y = U2 L2 / (4 d U1) 由静止经 U1 加速 与比荷无关 屏上位置 y屏 = tan θ (L/2 + D) 射出后不受力 中点指极板长度中点 电场力做功 W = q U = q E y 任意电场 偏转中 U 指沿场强方向的电势差 （二）偏转的四步程序 1. 建坐标系，写方向 以射入点为原点，初速方向为 x 轴，场强方向为 y 轴。先明确沿哪个方向不受力、沿哪个方向受恒力，再动笔。 2. 求时间 由 x 方向的匀速运动求 t = L/v0。这一步是整道题的枢纽，后面所有量都靠它。 3. 求加速度 a = qE/m = qU/(md)。凡涉及「多大电压能打出极板」的题，都要从这里入手。 4. 合成 由 y = ½at2 求侧移，由 vy = at、tanθ = vy/v0 求偏转角。最后判断能否射出：y 与 d/2 比较。 （三）三个常用结论 1. tanθ = 2y/L 速度反向延长线过极板长度中点处的中心轴线。用于快速求屏上位置，也用于反求偏转角。 2. 先加速后偏转与比荷无关 同一装置、同一加速电压下，任何带电粒子的轨迹都相同。这条结论常以「换成质子后屏上位置如何变化」的形式考查，答案是「不变」。 3. 加速看电压，偏转看电压与几何 加速只与 U1 有关，偏转与 U2、L、d 都有关。若把偏转电压加倍，侧移加倍；若把板长加倍，侧移变为 4 倍，因为 y ∝ L2。 03典型例题 （一）带电粒子在电场中的直线加速 例1. 如图所示，两平行金属板的电势差为，一电子从点沿垂直于极板的方向射出，最远到达点，然后返回。若仅将右金属板右移一小段距离，则电子将最远到达（     ） A．点左侧 B．点 C．点右侧 D．右金属板 【答案】C 【详解】设O点到A点电势差为，电子电荷量大小为e。原来过程，由动能定理 仅将右极板右移，极板间电势差U不变，但极板间距d变大，电场强度减小 假设电子仍然只到达A点，那么O到A之间电势差 E变小，，则电场力做功的绝对值变小，电子的初动能没有全部消耗完，电子还可以继续向右运动，因此最远到达A点右侧。 故选C。 【变式训练】下列粒子（：为元素符号，表示质量数，表示电荷数）从初速度为零的状态经过电压同为的电场加速后速度最大的是（     ） A．氘核（） B．质子（） C．氦原子核（） D．氚核（） 【答案】B 【详解】设粒子的电荷量为、质量为，粒子由静止经电压为的电场加速，电场力做的功为，由动能定理得，解得 加速电压相同时，末速度只由比荷决定，比荷越大，末速度越大。氘核的电荷数为、质量数为，质子的电荷数和质量数均为，氦核的电荷数为、质量数为，氚核的电荷数为、质量数为；设元电荷为、质子质量为，四种粒子的比荷分别为，，和，其中质子的比荷最大，经同一电压加速后的末速度也最大。 故选B。 要点提炼：加速类问题只需两步——写出 qU = ½mv2，解出 v。注意题干若给的是「加速电压」而不是「场强」，就完全不需要关心极板间距与场是否均匀。 （二）带电粒子在匀强电场中做类抛体运动 例2.如图所示装置放置在真空中，炽热的金属丝可以发射电子，金属丝和竖直金属板之间加一电压，发射出的电子被加速后，从金属板上的小孔水平射出，装置右侧有平行金属极板水平正对放置，板长，相距，两极板间加一电压的偏转电场。已知电子的电荷量，电子的质量，设电子刚离开金属丝时的速度为0，忽略金属极板边缘对电场的影响，不计电子受到的重力。 (1)求电子经过小孔的速度大小（可用分数表示）； (2)求电子射出偏转电场时在竖直方向上的侧移量； (3)求电子离开偏转电场后偏角的正切值。 【答案】(1) (2)0.45cm (3)0.15 【详解】（1）电子在加速电场中，由动能定理得： 解得电子经过小孔的速度大小： （2）电子进入偏转电场后做类平抛运动。水平方向做匀速直线运动，运动时间： 竖直方向受电场力做匀加速直线运动，加速度： 射出偏转电场时的竖直侧移量： 结合（1）中，化简得： 代入数据得： （3）设电子离开偏转电场时偏角为。竖直方向的分速度： 偏角的正切值： 结合，化简得： 代入数据得： 【变式训练】XCT扫描是计算机射线断层扫描技术的简称，可用于对多种病情的探测。某种XCT机原理示意图如图所示，竖直极板、之间存在水平方向的加速电场，水平极板、之间存在竖直方向匀强偏转电场；经调节后，电子枪产生的电子从处由静止开始沿实线所示的轨迹运动，最终打到水平圆形靶台上的中心点，产生射线。已知电子的质量为，电荷量为，、两极板间的电压为，偏转电场区域水平宽度为，、之间距离足够大，偏转电场的电场强度，点与靶台竖直高度差为。不计电子的重力、空气阻力以及电子间的相互作用。求： (1)电子刚进入偏转电场时的速度大小； (2)电子射出偏转电场时速度方向与水平方向的夹角； (3)点到极板最右端点的水平距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在加速电场中由静止开始加速，由动能定理得 解得 （2）电子进入偏转电场后，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动。设电子在偏转电场中的加速度大小为，运动时间为，由牛顿第二定律得 解得 由水平方向的运动可得 电子射出偏转电场时竖直分速度大小为 由速度的合成得 代入电场强度及第（1）问的结果得 故 （3）设电子在偏转电场中向下偏转的距离为，由竖直方向的运动规律得 代入前两问的结果得 电子离开偏转电场后做匀速直线运动，速度方向与水平方向的夹角为，到达点前继续向下运动的距离为，由几何关系得 解得 要点提炼：本题用了「先加速后偏转」的合成公式，一步到位，不必分开求 v0、t、a。但必须先验算 y 与 d/2 的大小关系，否则若电子打在极板上，这个公式的前提就不成立。 （三）带电物体（计重力）在电场中的运动 例3. 如图所示，一带电小球用绝缘柄固定不动，将一个质量为，电荷量为的带正电小球用一根不可伸长的轻质绝缘丝线悬挂起来，悬点在小球的正上方，当小球静止时，丝线与竖直方向夹角 两球连线刚好水平。丝线长度为，重力加速度大小为g，静电力常量为，两球均可视为点电荷，求： (1)小球受到的丝线拉力的大小； (2)小球的电荷量大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）竖直方向，根据平衡条件 可得小球受到的丝线拉力的大小 （2）小球A和小球B之间的库仑力 根据库仑定律 解得小球的电荷量大小 要点提炼：凡是「悬挂小球偏转一个角度后静止」的题，都是三力平衡，且一定有 tanθ = qE/mg 这个关系。 【变式训练】一电荷量为的小球从距离水平地面高为处的点，以水平向右的速度抛出，整个空间存在着水平向左的匀强电场，小球正好落在点正下方水平地面上的点，已知重力加速度为，小球的质量为，小球可看作质点，忽略空气阻力，则（     ） A．小球在空中的运动时间为 B．小球的运动为平抛运动 C．小球运动过程中的最小速度为 D．电场力大小为 【答案】A 【详解】A．小球在竖直方向做自由落体运动，则有 解得，故A正确； B．小球在运动过程中，除了在竖直方向受重力外，还在水平方向受到向左的电场力作用，因此小球做的不是平抛运动，故B错误； CD．在该过程中，小球在水平方向有 其中，联立解得 设小球合力与竖直方向夹角为，则有 联立解得 小球速度最小值为初速度在垂直该方向上的分速度，即，故CD错误。 故选A。 （4） 带电粒子在周期性变化电场中做直线运动 例4.如图甲所示，为真空中两块水平放置的平行金属板，相距为d，两板间加上如图乙所示的交变电压。设时，A板电势比B板电势高，此时紧靠B板有一个初速为零、电荷量为、质量为m的粒子在电场力的作用下开始运动，粒子的重力可忽略。要使粒子到达A板时具有最大的动能，所加电压的频率f应满足什么条件？ 【答案】 【详解】要使粒子到达A板具有最大的动能，应让粒子在电场中一直做匀加速运动，在电场中运动的时间 而 解得 所以频率 （5） 示波器的相关计算 例5.如图所示是阴极射线管示意图，当偏转电极板、间不加电压时，电子束经电场加速后打到荧屏中央处形成亮斑。若偏转电极板带正电，已知电子在偏转电场中运动时间极短且不打到极板上，在其他条件不变的情况下，则（　　） A．电子通过极板过程中电场力对电子做正功，电子偏转时电势能增大 B．电子束经电场加速后打到荧屏形成亮斑，亮斑在点上方 C．偏转电压不变时，若荧屏上亮斑向上移动，可知加速电压在增大 D．加速电压不变时，若荧屏上亮斑向上移动，可知偏转电压在增大 【答案】BD 【详解】A．电子通过极板过程中电场力对电子做正功，则电子的电势能减小，故A错误； B．偏转电极板带正电，则电子所受电场力向上，亮斑在点上方，故B正确； CD．设加速电场的加速电压为，偏转电场的电压为，之间的距离为d、板长为L，电子射出时的偏转位移为y，电子在加速电场中，根据动能定理可得 在偏转电场中，根据类平抛运动的规律可得，， 联立解得 可知，偏转电压不变时，加速电压减小，则亮斑向上移动；加速电压不变时，偏转电压增大，则亮斑向上移动，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练】示波管是示波器的核心部件，示波管的结构如图所示，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪（发射电子的灯丝、加速电极）、偏转电极（、）和荧光屏组成。下列说法正确的是（     ） A．若、都没加电压，则电子枪发射的电子束打在荧光屏上会形成一条亮线 B．若没加电压，电势高于，则电子向荧光屏上的偏移 C．若没加电压，仅在加上正弦式信号电压，则电子枪发射的电子束都打在荧光屏的中心 D．无论、加怎样的电压，荧光屏上都不会形成倾斜亮线 【答案】B 【详解】A．若、都没加电压，电子经过加速后沿直线运动，不受偏转电场的力，只会打在荧光屏中心形成一个亮斑，而非亮线，故A错误； B．若没加电压，电势高于，间电场方向为，电子带负电，受到的电场力方向与电场方向相反，即指向Y侧，因此电子向荧光屏的Y方向偏移，故B正确； C．仅在加正弦式信号电压时，电子通过偏转电场的不同时刻，会受到大小方向随电压变化的电场力，获得不同的方向偏转位移，最终会在荧光屏上形成一条水平亮线，而非都打在中心，故C错误； D．若在和上分别加恒定的不同电压，电子会同时获得x、y方向的固定偏转量，不同时刻发射的电子会分布在荧光屏的倾斜轨迹上，形成倾斜亮线，故D错误。 故选B。 04巩固练习 一、单选题 1.喷墨打印机偏转电场的原理如图所示。电荷量为的墨滴以初速度垂直射入极板长、间距、电压的匀强偏转电场，离开电场后打在打印纸上（不计重力）。下列说法正确的是（     ） A．仅增大墨滴所带电荷量，墨滴打在纸上的偏移量增大 B．仅减小墨滴的入射速度，墨滴在电场中运动的时间变长，但仍能射出偏转电场打在打印纸上 C．仅增大偏转电压，墨滴离开电场时速度偏转角的正切值不变 D．仅增大偏转极板的间距，其他条件不变，墨滴打在纸上的偏移量增大 【答案】A 【详解】设墨滴质量为，墨滴在偏转电场中飞行的时间为 在偏转电场中加速度为 在偏转电场中的偏移量为 联立解得 A．由偏移量公式知，仅增大，偏移量增大，故A正确； B．仅减小，假设仍能够穿越偏转电场，由飞行时间公式知，飞行时间变长，但由偏移量公式知，偏移量增大，不一定能射出偏转电场，故B错误； C．墨滴离开电场时速度偏转角的正切值，仅增大偏转电压，墨滴离开电场时速度偏转角的正切值变大，故C错误； D．仅增大偏转极板的间距，其他条件不变，由偏移量公式知，偏移量减小，故D错误。 故选A。 2．如图，一个带正电的小球从点射入水平方向的匀强电场中，小球沿直线运动，与电场线夹角为，已知带电小球的质量为，电量大小为，重力加速度为，则电场的电场强度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球在电场中做直线运动，说明其所受合力方向与速度方向共线。对小球受力分析，小球受竖直向下的重力和水平向右的电场力，根据几何关系有 解得电场的电场强度大小为 故选B。 3．研究表明，蜘蛛飞行是“御电而行”，地表附近存在着环境电场，该电场可视为场强大小为E、方向竖直向下的匀强电场，蜘蛛可以通过向空中吐出带电蛛丝实现飞行，如图所示，在无风的天气里，质量为m的蜘蛛，从地面向空中吐出4根蛛丝对称分布，恰好可以使它匀速上升，然后蜘蛛咬断部分蜘蛛丝后，经过一段时间落到地面上。假设蜘蛛吐出的每根蛛丝都相同，且电荷集中在蛛丝顶端，蜘蛛自身始终不带电；已知重力加速度为，忽略空气对蜘蛛的作用力。下列说法正确的是（     ） A．蜘蛛丝带正电 B．向下运动时，蜘蛛丝的电势能减小 C．每根蛛丝的带电量 D．咬断部分蛛丝瞬间，蜘蛛立刻开始下落 【答案】C 【详解】A．环境电场方向竖直向下，蜘蛛匀速上升说明蛛丝受到的电场力合力竖直向上，与电场方向相反，因此蛛丝带负电，故A错误； B． 蛛丝带负电，向下运动过程中，负电荷受到的电场力方向竖直向上，位移向下，电场力做负功，电势能增加，故B错误； C． 4根蛛丝对称分布，每根蛛丝的电场力是竖直向上的，电场力的合力等于重力，即 因此，故C正确； D．蜘蛛原本匀速上升，咬断部分蛛丝瞬间，剩余的电场力合力小于重力，蜘蛛的加速度变为竖直向下，但此时蜘蛛的速度方向是竖直向上，因此蜘蛛会先向上做减速运动，速度减为零后才开始下落，并非立刻下落，故D错误。 故选C。 4．如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极、水平方向偏转电极和荧光屏组成。电极、的长度均为、间距均为。若电子枪的加速电压为，极板间的电压为（端接为高电势），极板间的电压为零。电子刚离开金属丝时速度可视为零，从电子枪射出后沿示波管轴线方向（在荧光屏正中央）进入偏转电极。电子电荷量为则电子（     ） A．会打在荧光屏左上角形成光斑 B．打在荧光屏上时的动能大小为 C．打在荧光屏上的位置与的距离为 D．打在荧光屏上时，速度方向与的夹角满足 【答案】D 【详解】A．极板电压为零，电子在竖直方向不受电场力，不发生竖直偏转，不会打在荧光屏左上角，故A错误； B．电子经加速电场加速，由动能定理得 进入偏转电场后，电场力做功为，其中为电子在偏转电场中的侧移量 由于 因此 因此打在荧光屏上的动能不是，故B错误； C．电子在偏转电场中的侧移量 电子离开电场后，电子做匀速直线运动，打在荧光屏上的位置与距离还需要加上出电场后匀速直线运动产生的偏移量。题目未给出荧光屏到偏转电极的距离，无法确定总偏移距离，故C错误； D．离开偏转电场时竖直方向的分速度大小为 结合 可得，故D正确。 故选D。 二、多选题 5．如图所示，粒子源产生的多种正粒子漂入电压恒定的加速电场（初速度很小，可忽略不计），加速后从小孔S沿水平平行金属板A、B的中心线射入偏转电场，A、B板间的电压恒定，不计粒子重力及相互作用，若粒子均能从A、B板间射出，则（　　） A．粒子的比荷越大，离开偏转电场时偏转位移越大 B．粒子的比荷越大，离开偏转电场时的速度越大 C．粒子离开偏转电场时的偏转角正切值与加速电压有关 D．粒子经过加速电场过程，电场力做功与粒子电荷量无关 【答案】BC 【详解】A．设粒子的电荷量为q，质量为m，粒子经过加速电场，有 解得 粒子在偏转电场中做类平抛运动，设板长为L，板间距为d，偏转电压为U2，则，， 联立解得 则粒子从A、B板间离开偏转电场时偏转位移与比荷无关，故A错误； B．从粒子射入加速电场到离开偏转电场，根据动能定理可得 解得 由此可知，比荷大的粒子从A、B板间射出时的速度更大，故B正确； C．粒子离开偏转电场时的偏转角的正切值为 由此可知，粒子离开偏转电场时的偏转角正切值与加速电压有关，故C正确； D．粒子经过加速电场过程，电场力做功为 则电场力做功与粒子电荷量有关，故D错误。 故选BC。 6．如图所示，带电量之比为的带电粒子A、B，先后以相同的速度从同一点水平射入平行板电容器中，不计重力，带电粒子偏转后打在同一极板上，水平飞行距离之比，则（     ） A．粒子A、B的质量之比为 B．粒子A、B的质量之比为 C．粒子A、B在电场中飞行的时间之比为 D．粒子A、B在电场中飞行的时间之比为 【答案】BC 【详解】粒子进入电场后，水平方向做匀速直线运动，则水平方向上有 由 可得时间之比为 设平行板电容器内的电场强度为，则由牛顿第二定律得 粒子竖直方向做匀加速直线运动，由 由题得两个粒子的竖直位移相同，联立可得，质量之比 故选BC。 三、解答题 7．两平行金属板A、B水平放置，两板间距d=4cm，板长L=10cm，一个质量为m=5×10-6kg的带电微粒，以v0=2m/s的水平初速度从两板间正中央射入，如图所示，取g=10m/s2。 (1)当两板间电压UAB=1×103Ｖ时，微粒恰好不偏转，求微粒的电量和电性。 (2)若微粒恰好不打到金属板上，求微粒的加速度大小; (3)要使微粒不打到金属板上，求两板间的电压U的取值范围？ 【答案】(1)，带负电 (2) (3) 【详解】（1）微粒恰好不偏转时受力平衡，则有 代入数据解得 电场力方向竖直向上，电场方向竖直向下，则微粒带负电。 （2）粒子在平行金属板A、B间做类平抛运动，则粒子能穿过电场需用时间 设粒子偏转的最大加速度为，则恰好不打到金属板上最大侧移量， 代入数据解得 （3）当粒子恰好打在下极板边缘时，两极板间的电压为，则 代入数据解得 当粒子恰好打在上极板边缘，两极板间的电压为，则 代入数据解得 则微粒不能打到金属板上的电压范围为 8．如图所示为真空示波管的示意图，电子从灯丝发出（初速度不计），经灯丝与板间的加速电压（）加速，从板中心孔沿中心线射出，然后进入由两块平行金属板、形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），且电子恰沿、两极板中点垂直进入偏转电场。已知、两板间的电压为，板长为，两板间的距离恰好也等于，、板右端到荧光屏的距离，电子质量为，电荷量为。求： (1)电子穿过板时的速度大小。 (2)为保证电子能从、两板间射出，而不打到、两板上，电压的最大值是多少？ (3)若荧光屏中心到屏幕上，下边缘的距离也为，为使电子从、两板间射出后能打到荧光屏范围内，求电压满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设电子经电压加速后的速度为，根据动能定理得 解得电子穿过板时的速度大小 （2）电子以速度进入偏转电场后，垂直于电场方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动。 设偏转电场的电场强度为，电子在偏转电场中运动的时间为，电子的加速度为，离开偏转电场时的侧移量为，根据牛顿第二定律得 其中 根据类平抛运动得， 解得 要使电子不打到极板上，必须满足 联立得，即电压的最大值是 （3）设电子离开偏转电场时沿电场方向的速度为，根据运动学公式得 电子离开偏转电场后做匀速直线运动，设电子离开偏转电场后打在荧光屏上所用的时间为，则 电子打到荧光屏上的侧移量为，可得 解得 点到点的距离为 满足电子打到荧光屏内 代入数据解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $