第01讲 排列组合与二项式定理（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 排列组合与二项式定理 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 两个计数原理 知识点2 排列数组合数的计算及性质 知识点3 二项式定理及其性质 题型破译 (含超链接） 题型1 分类加法原理与分步乘法原理【含方法技巧】 题型2 求二项展开式的第k项【含方法技巧】 题型3 求指定项的系数【含方法技巧】 题型4 由项的系数确定参数【含方法技巧】 题型5 三项展开式的系数问题【含方法技巧】 题型6 两个二项式乘积展开式的系数问题【含方法技巧】 题型7 展开式系数问题【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 二项式定理（通项公式、特定项系数） T4（4分） T12（5分） T4（4分） 二项式系数的性质 T4（4分） T12（5分） T4（4分） 考情分析 排列组合与二项式定理是高考的基础内容，北京卷近三年连续以选择题或填空题形式直接考查二项式定理，分值4~5分，难度中等偏易。命题集中在二项展开式的通项公式及特定项（如 项）系数的求解，常与方程结合求参数。排列组合未单独设题，更多作为概率统计的工具隐含于综合题中。近三年考情显示，2024年T4、2025年T12、2026年T4连续三年考查二项式定理，位置在第4题或第12题，整体呈现“年年考查、难度稳定”的特点。复习时需熟练掌握通项公式 ，确保特定项系数运算准确，同时掌握排列组合的基本计数方法，为概率统计题打好基础。 复习目标 1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能解决简单的计数问题。 2.掌握排列数公式 与组合数公式 ，能进行排列组合的基本运算。 3.掌握二项式定理 ，能写出二项展开式的通项公式。 4.能利用通项公式求特定项（含 项）的系数，能结合方程求参数。 5.掌握二项式系数的性质（对称性、最大值、各系数和），能解决简单的系数和问题。 6.能解决排列组合与概率统计融合的简单综合问题，提升数学运算与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法……第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. （2）分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 自主检测1将四本不同的书分给甲、乙两人，若每本书都分出去，且每人至少一本，则不同的分法有（    ） A．11种 B．12种 C．13种 D．14种 自主检测2书架的第一层放有5本不同的文学类书，第二层放有3本不同的社科类书，第三层放有3本不同的工具类书，分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法共有（   ） A．5种 B．11种 C．27种 D．45种 知识点2 排列数组合数的计算及性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有 的个数 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有 的个数 公式 性质 ， ， 自主检测1的值为（   ） A．101 B． C．6 D． 自主检测2（1）计算的值； （2）若，求的值． 知识点3 二项式定理及其性质 ＝ ． （1）这个公式叫做二项式定理． （2）展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有 项． （3）二项式系数：各项的系数（k∈{0，1，2，…，n}）叫做二项式系数． 二项展开式的通项 展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝ . 二项式系数的性质 对称性 在的展开式中，与首末两端“ ”的两个二项式系数相等，即＝ 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐 ； 当n为偶数时，中间一项的二项式系数 最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 （1） （2） 自主检测1已知，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 自主检测2若的展开式中常数项为15，则（    ） A．2 B．1 C． D． 自主检测3已知的展开式中各项二项式系数之和为64． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 自主检测4设，的展开式中所有二项式系数之和为1024． (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值． 题●型●破●译 题型1 分类加法原理与分步乘法原理 例1-1甲、乙两个班级分别有名、名学生，从两个班中选一名学生，则（ ） A．有种不同的选法 B．有种不同的选法 C．有种不同的选法 D．有种不同的选法 例1-2的不同正因数的个数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 方法技巧 1. 分类加法计数原理：完成一件事有 类不同的方案，在第 类方案中有 种不同的方法，在第 类方案中有 种不同的方法，……，在第 类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。核心特征：各类方案之间相互独立，任选一类中的一种方法即可完成整件事（“分类”即“或”的关系）。 1. 分步乘法计数原理：完成一件事需要分成 个步骤，做第 步有 种不同的方法，做第 步有 种不同的方法，……，做第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。核心特征：各步骤缺一不可，必须依次完成所有步骤才能完成整件事（“分步”即“且”的关系）。 1. 区分“分类”与“分步”的方法： 看能否独立完成：若任取一类中的一种方法就能完成整件事，则为分类（加法）；若只完成某一步不能完成整件事，则为分步（乘法）。 看关键词：“或”“要么……要么……”提示分类；“先……再……”“第一步……第二步……”提示分步。 1. 解题步骤： 明确“完成什么事”； 判断是分类还是分步（或两者兼有）； 分类时确保各类不重不漏；分步时确保各步依次依赖； 分别计算各类（各步）的方法数，再相加（相乘）。 1. 复杂问题的处理：若问题既有分类又有分步，通常先分类，再在每一类中分步计算，最后将各类结果相加。注意避免重复计数和遗漏。 【变式训练1-1】如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丙地有2条路，则从甲地到丙地一共有（    ）条不同的路线． A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练1-2】用0～6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（     ） A．240 B．210 C．180 D．150 【变式训练1-3】用n种不同的颜色为下面的广告牌涂色，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型2 求二项展开式的第 k 项 例2-1（2026·北京密云·一模）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 例2-2（26-27高三上·北京延庆·开学考试）在的展开式中，下列关于各项的描述正确的是（   ） A．第三项是含的项 B．第四项的系数是160 C．第五项是常数项240 D．各项的系数和为64 方法技巧 1. 二项展开式的通项公式：二项式 （）的展开式的第 项为 注意： 对应的是第 项，而非第 项，这是最常见的易错点。 1. 通项公式的灵活运用： 求第 项时，令通项中的 替换为 ，即 ； 求含 的幂次或 的幂次时，直接由通项中 、 的指数确定。 1. 二项式系数与项的系数的区别： 二项式系数：，只与 和 有关，与 、 的具体值无关； 项的系数： 与 中常数因子的乘积，需将 、 的系数一并计入。 1. 解题步骤： 写出通项 ； 根据题目要求（如“第 项”“含 的项”），确定 的值； 代入通项计算二项式系数和项的系数。 【变式训练2-1】的展开式的第3项是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】在的展开式中，第5项的系数为（    ） A．15 B．6 C．240 D．192 【变式训练2-3】的展开式的第项的系数是（    ） A． B． C． D． 题型3 求指定项的系数 例3-1（2026·北京大兴·三模）的展开式中的系数为_____________.（用数字作答） 例3-2（2026·北京昌平·一模）在的展开式中，含的项的系数为（   ） A． B． C．16 D．24 方法技巧 1. 指定项的类型： 指定幂次的项（如“求含 的项”）； 常数项（即 的项）； 有理项（即指数为整数的项）； 系数最大的项或二项式系数最大的项。 1. 求指定幂次项的系数： 写出通项 ； 令 中 的指数等于目标幂次，解出 ； 若 为非负整数且 ，则该项存在，代入通项求出系数；否则该项不存在。 1. 求常数项：令通项中 的指数为 ，解出 ，再代入计算。 1. 求有理项：令通项中 的指数为整数，解出 的所有可能值，逐一代入计算。 1. 系数最大的项： 二项式系数最大：当 为偶数时，中间一项（第 项）的二项式系数最大；当 为奇数时，中间两项（第 项和第 项）的二项式系数相等且最大。 项的系数最大：需比较相邻两项的系数，建立不等式组 ，解出 的范围，确定系数最大的项。注意系数可能为负，需带符号比较。 【变式训练3-1】（2026·北京房山·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（2026·北京朝阳·模拟预测）在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【变式训练3-3】（2026·北京丰台·三模）在的展开式中，常数项为（ ） A．4 B． C．12 D． 题型4 由项的系数确定参数 例4-1（26-27高三上·北京·开学考试）在的展开式中，若的系数为12，则的值为__________． 例4-2（26-27高三上·北京房山·开学考试）在的展开式中，若常数项为240，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 基本思路：利用通项公式，将指定项的系数表示为参数的方程，解方程求出参数。 1. 解题步骤： 写出通项 （其中 、 可能含参数）； 根据指定项的幂次条件，确定 的值； 将 代入通项，得到该项的系数表达式（含参数）； 令系数等于已知值，建立方程求解参数。 1. 含多个参数的情形：若展开式中含有两个或更多参数，通常需要题目给出多个条件（如两个不同项的系数），联立方程组求解。 1. 注意： 解出的参数需检验是否满足题目的隐含条件（如参数为正数、整数等）； 若参数出现在指数位置（如 中的 或 ），可能需要结合组合数的性质求解； 项的系数可能为负，列方程时注意符号。 【变式训练4-1】（2026·北京门头沟·一模）的展开式中的系数为，那么实数________． 【变式训练4-2】（2025·北京朝阳·二模）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练4-3】（25-26高三上·北京房山·期末）的展开式中，所有的二项式系数之和为_____；若的系数为－40，则实数______． 题型5 三项展开式的系数问题 例5-1的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 例5-2的展开式中的系数是（   ） A．270 B． C．630 D． 方法技巧 1. 三项展开式的处理策略：三项式 不能直接套用二项式定理，需通过转化化为二项式问题。 1. 常用转化方法： 分组法：将三项式中的两项视为一个整体，如 ，先按二项式展开，再对 继续展开； 组合计数法： 展开式的通项为 其中 为三项式系数。求指定项的系数时，令 、、 的指数分别等于目标值，解出 、、，再代入计算。 1. 解题步骤（分组法） ： 将三项式分组为二项式，如 ； 写出外层二项式的通项； 对含 的部分再次使用二项式定理展开； 根据目标项的指数条件，确定两层展开中的参数，合并计算系数。 1. 注意：三项展开式中，同一幂次的项可能由多组 组合产生，需将所有可能的组合都考虑在内，系数为各组系数之和。 【变式训练5-1】展开式中，项的系数为（　　） A．5 B．-5 C．15 D．-15 【变式训练5-2】的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 【变式训练5-3】）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 题型6 两个二项式乘积展开式的系数问题 例6-1（2025·北京海淀·三模）的展开式中的系数是（    ） A． B．35 C．5 D． 例6-2（2026·北京丰台·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．1 D．3 方法技巧 1. 题型特征：求 的展开式中指定项的系数。 1. 核心方法——逐项配对法： 分别写出两个二项式的通项： 将两通项相乘，得到乘积展开式的通项； 根据目标项的指数条件，列出关于 、 的方程组； 解出所有满足条件的 组合； 将每组 对应的系数相加，即为目标项的系数。 1. 简化技巧： 若其中一个二项式较简单（如 ），可先将其展开，再与另一个二项式的通项相乘； 若目标项的次数较低，可只取第一个二项式中的低次项与第二个二项式中的高次项配对，减少计算量。 1. 常见易错点： 遗漏某些 组合（如 和 有多组解时，需全部列出）； 混淆两个二项式中 、、、 的指数对应关系； 忘记乘以二项式系数 。 【变式训练6-1】的展开式中的系数为（     ）. A． B． C． D． 【变式训练6-2】的展开式中，的系数为（     ） A．42 B．70 C．84 D． 【变式训练6-3】的展开式的常数项为（     ） A． B．70 C． D．14 题型7 展开式系数问题 例7-1（2026·北京·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．122 例7-2（25-26高三下·北京西城·阶段检测）已知，记，，则分别为（    ） A．1，729 B．1，1 C．，729 D．，1 方法技巧 1. 系数和问题： 所有项的系数之和：令展开式中所有变量取 ，即 。例如， 的系数和为 ； 奇数项系数和与偶数项系数和：令变量取 和 ，分别得到 和 ，则 各项二项式系数之和：； 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和：均为 。 1. 赋值法的灵活运用： 令 求系数和； 令 求交替系数和； 令 求常数项； 对等式两边求导后赋值，可求形如 的加权系数和。 1. 系数最大项问题： 设第 项的系数为 ，建立不等式组 解出 的范围，确定系数最大的项； 注意系数可能为负，比较时需带符号。 1. 整除与余数问题： 利用二项式定理证明整除性或求余数，常将底数拆分为除数的倍数加减 的形式，如 ，展开后只需考虑含 的项和常数项； 求余数时，注意展开式中不含除数的项即为余数（需保证余数在 范围内）。 1. 近似计算：当 很小时，，利用展开式的前几项进行近似计算，注意误差估计。 1. 综合应用： 多项式展开式的系数问题常与赋值法、组合数性质、数列求和结合； 遇到含绝对值的系数和，需先判断各项系数的正负，再分段处理； 若题目涉及多个二项式的和或差，可分别求系数后再合并。 【变式训练7-1】（2026·北京石景山·二模）若，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练7-2】（2026·北京丰台·一模）已知，则（   ） A．8 B． C．40 D． 【变式训练7-3】（2026·北京西城·一模），则（   ） A．16 B．65 C．80 D．81 【变式训练7-4】（2026·北京海淀·一模）已知，则（   ） A． B．10 C． D．80 【变式训练7-5】（25-26高三下·北京·阶段检测）若.则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 4．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．5 C． D．10 二、填空题 5．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、填空题 1．填空： （1）从人中选派人去参加某个会议，不同的选法共有 种； （2）从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，不同的方法共有 种； （3）设集合有个元素，集合有个元素，从这两个集合中各取出个元素，不同的方法共有 种． 2．填空： （1）的展开式中二项式系数的最大值是 ； （2） ； （3）被5除所得的余数是 ． 二、解答题 3．12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各1名．问：一共有多少种不同的获奖情况？ 4．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位数？可以组成多少个没有重复数字的正整数？ （2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数？ 5．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？ 6．求的展开式中和的指数相等的项． 7．设，求： (1)； (2)； (3)． 8．设，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 9．（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 10．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1，求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数. 12．已知一个两位数中的每个数字都从1，2，3，4中任意选取. (1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ (2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ 13．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 14．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 15．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛． (1)每个小组有多少种选法? (2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法? (3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？ 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）的展开式中的系数是（    ） A． B．35 C．5 D． 3．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京海淀·期末）在的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）若为有理数），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 6．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知，则（   ） A． B．1 C．32 D．243 7．（25-26高三上·北京通州·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·北京·三模）的展开式中的系数为________． 9．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）设 ，则 ____________.（要求用数字作答） 10．（2026·北京大兴·三模）已知，则__________． 重难·创新演练 11．（2026·北京·模拟预测）在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则各项系数的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．10 12．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，荣获2026年菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：，，则下列各数中与最接近的是（参考数据：，）（     ） A． B． C． D． 13．（25-26高三下·北京·阶段检测）在展开式中，只有第项的二项式系数最大，则___________：第项的系数为___________． 14．（25-26高三上·北京石景山·期末）已知，则___________；___________． 15．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知，则________． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 排列组合与二项式定理 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 两个计数原理 知识点2 排列数组合数的计算及性质 知识点3 二项式定理及其性质 题型破译 (含超链接） 题型1 分类加法原理与分步乘法原理【含方法技巧】 题型2 求二项展开式的第k项【含方法技巧】 题型3 求指定项的系数【含方法技巧】 题型4 由项的系数确定参数【含方法技巧】 题型5 三项展开式的系数问题【含方法技巧】 题型6 两个二项式乘积展开式的系数问题【含方法技巧】 题型7 展开式系数问题【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 二项式定理（通项公式、特定项系数） T4（4分） T12（5分） T4（4分） 二项式系数的性质 T4（4分） T12（5分） T4（4分） 考情分析 排列组合与二项式定理是高考的基础内容，北京卷近三年连续以选择题或填空题形式直接考查二项式定理，分值4~5分，难度中等偏易。命题集中在二项展开式的通项公式及特定项（如 项）系数的求解，常与方程结合求参数。排列组合未单独设题，更多作为概率统计的工具隐含于综合题中。近三年考情显示，2024年T4、2025年T12、2026年T4连续三年考查二项式定理，位置在第4题或第12题，整体呈现“年年考查、难度稳定”的特点。复习时需熟练掌握通项公式 ，确保特定项系数运算准确，同时掌握排列组合的基本计数方法，为概率统计题打好基础。 复习目标 1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能解决简单的计数问题。 2.掌握排列数公式 与组合数公式 ，能进行排列组合的基本运算。 3.掌握二项式定理 ，能写出二项展开式的通项公式。 4.能利用通项公式求特定项（含 项）的系数，能结合方程求参数。 5.掌握二项式系数的性质（对称性、最大值、各系数和），能解决简单的系数和问题。 6.能解决排列组合与概率统计融合的简单综合问题，提升数学运算与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法……第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. （2）分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 自主检测1将四本不同的书分给甲、乙两人，若每本书都分出去，且每人至少一本，则不同的分法有（    ） A．11种 B．12种 C．13种 D．14种 【答案】D 【详解】若甲分1本，乙分3本，则共有种； 若甲分2本，乙分2本，则共有种； 若甲分3本，乙分1本，则共有种； 综上，共有种不同的分法． 自主检测2书架的第一层放有5本不同的文学类书，第二层放有3本不同的社科类书，第三层放有3本不同的工具类书，分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法共有（   ） A．5种 B．11种 C．27种 D．45种 【答案】D 【详解】分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法种数分别为5、3、3， 所以不同的选法种数共有. 知识点2 排列数组合数的计算及性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有 不同排列 的个数 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有 不同组合 的个数 公式 性质 ， 1 ， 自主检测1的值为（   ） A．101 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用排列组合数公式计算即可. 【详解】 自主检测2（1）计算的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）87；（2）6 【分析】（1）利用排列数公式、组合数公式计算可得答案； （2）利用组合数公式计算可得答案. 【详解】（1）， ， 故原式； （2）等式， 整理可得 计算可得， 整理可得，可得 （舍去）， 所以. 知识点3 二项式定理及其性质 ＝ ． （1）这个公式叫做二项式定理． （2）展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有 n＋1 项． （3）二项式系数：各项的系数（k∈{0，1，2，…，n}）叫做二项式系数． 二项展开式的通项 展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝ . 二项式系数的性质 对称性 在的展开式中，与首末两端“ 等距离 ”的两个二项式系数相等，即＝ 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐 减小的 ； 当n为偶数时，中间一项的二项式系数 最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 （1） （2） 自主检测1已知，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得二项式的展开式通项为， 令，解得，∴ 展开式中的系数为. 自主检测2若的展开式中常数项为15，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】的展开式的通项公式为， 令，得，则，解得 自主检测3已知的展开式中各项二项式系数之和为64． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 【答案】(1)6 (2)15 【详解】（1）由题意得，故． （2）由（1）知，， 故的展开式通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为． 自主检测4设，的展开式中所有二项式系数之和为1024． (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为展开式中所有二项式系数之和为1024， 即，所以， 故二项式系数最大的项为． （2）令，又 令，可得 题●型●破●译 题型1 分类加法原理与分步乘法原理 例1-1甲、乙两个班级分别有名、名学生，从两个班中选一名学生，则（ ） A．有种不同的选法 B．有种不同的选法 C．有种不同的选法 D．有种不同的选法 【答案】C 【详解】分两类：第一类从甲班选有种选法，第二类从乙班选有种选法， 由分类加法计数原理得共有 (种)不同选法． 例1-2的不同正因数的个数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先将，所以正因数可定成，进而再确定取值情况，由分步乘法计数原理可得. 【详解】先对做质因数分解： ，所以任意一个的正因数都可以写成的形式， 其中指数的取值范围是：可取，共种选择；可取，共种选择； 可取，共种选择. 根据分步乘法计数原理，不同正因数的总个数为 个. 方法技巧 1. 分类加法计数原理：完成一件事有 类不同的方案，在第 类方案中有 种不同的方法，在第 类方案中有 种不同的方法，……，在第 类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。核心特征：各类方案之间相互独立，任选一类中的一种方法即可完成整件事（“分类”即“或”的关系）。 1. 分步乘法计数原理：完成一件事需要分成 个步骤，做第 步有 种不同的方法，做第 步有 种不同的方法，……，做第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。核心特征：各步骤缺一不可，必须依次完成所有步骤才能完成整件事（“分步”即“且”的关系）。 1. 区分“分类”与“分步”的方法： 看能否独立完成：若任取一类中的一种方法就能完成整件事，则为分类（加法）；若只完成某一步不能完成整件事，则为分步（乘法）。 看关键词：“或”“要么……要么……”提示分类；“先……再……”“第一步……第二步……”提示分步。 1. 解题步骤： 明确“完成什么事”； 判断是分类还是分步（或两者兼有）； 分类时确保各类不重不漏；分步时确保各步依次依赖； 分别计算各类（各步）的方法数，再相加（相乘）。 1. 复杂问题的处理：若问题既有分类又有分步，通常先分类，再在每一类中分步计算，最后将各类结果相加。注意避免重复计数和遗漏。 【变式训练1-1】如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丙地有2条路，则从甲地到丙地一共有（    ）条不同的路线． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【详解】若从甲地直接到丙地，有2条路线； 若从甲地到乙地，再到丙地，有条路线； 综上所述：从甲地到丙地一共有11条不同的路线. 【变式训练1-2】用0～6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（     ） A．240 B．210 C．180 D．150 【答案】C 【详解】数字不能放首位，所以优先考虑首位，其他位置可以任选，共有个没有重复数字三位数. 【变式训练1-3】用n种不同的颜色为下面的广告牌涂色，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由每块区域都与其他三块区域有公共边，故用分步乘法计算即可. 【详解】区域①有n种，区域②有种，区域③有种，区域④有种， 舍去，得(负数解舍去). 故选：C. 题型2 求二项展开式的第 k 项 例2-1（2026·北京密云·一模）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 【答案】 24 【详解】的二项展开式的第1 项是， 常数项为. 例2-2（26-27高三上·北京延庆·开学考试）在的展开式中，下列关于各项的描述正确的是（   ） A．第三项是含的项 B．第四项的系数是160 C．第五项是常数项240 D．各项的系数和为64 【答案】B 【分析】求出展开式的通项，使用通项求解. 【详解】的展开式的通项为：， 第三项是：，不是含的项，选项A错误； 第四项的系数是：，选项B正确； 第五项是：，不是常数项，选项C错误； 令，得各项的系数和为，选项D错误. 方法技巧 1. 二项展开式的通项公式：二项式 （）的展开式的第 项为 注意： 对应的是第 项，而非第 项，这是最常见的易错点。 1. 通项公式的灵活运用： 求第 项时，令通项中的 替换为 ，即 ； 求含 的幂次或 的幂次时，直接由通项中 、 的指数确定。 1. 二项式系数与项的系数的区别： 二项式系数：，只与 和 有关，与 、 的具体值无关； 项的系数： 与 中常数因子的乘积，需将 、 的系数一并计入。 1. 解题步骤： 写出通项 ； 根据题目要求（如“第 项”“含 的项”），确定 的值； 代入通项计算二项式系数和项的系数。 【变式训练2-1】的展开式的第3项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的展开式的第3项是． 【变式训练2-2】在的展开式中，第5项的系数为（    ） A．15 B．6 C．240 D．192 【答案】C 【详解】展开式的通项为， 则第5项的系数为. 【变式训练2-3】的展开式的第项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式，先确定第项对应的参数取值，代入计算即可得到该项的系数 【详解】由二项式的展开式通项为，其中， 因为求第项的系数，令，解得， 将代入通项的系数部分，可得第项的系数为. 题型3 求指定项的系数 例3-1（2026·北京大兴·三模）的展开式中的系数为_____________.（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 则的系数为. 例3-2（2026·北京昌平·一模）在的展开式中，含的项的系数为（   ） A． B． C．16 D．24 【答案】D 【详解】的展开式中含的项为：，故含的项的系数为 方法技巧 1. 指定项的类型： 指定幂次的项（如“求含 的项”）； 常数项（即 的项）； 有理项（即指数为整数的项）； 系数最大的项或二项式系数最大的项。 1. 求指定幂次项的系数： 写出通项 ； 令 中 的指数等于目标幂次，解出 ； 若 为非负整数且 ，则该项存在，代入通项求出系数；否则该项不存在。 1. 求常数项：令通项中 的指数为 ，解出 ，再代入计算。 1. 求有理项：令通项中 的指数为整数，解出 的所有可能值，逐一代入计算。 1. 系数最大的项： 二项式系数最大：当 为偶数时，中间一项（第 项）的二项式系数最大；当 为奇数时，中间两项（第 项和第 项）的二项式系数相等且最大。 项的系数最大：需比较相邻两项的系数，建立不等式组 ，解出 的范围，确定系数最大的项。注意系数可能为负，需带符号比较。 【变式训练3-1】（2026·北京房山·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出二项式的通项公式，令的指数为，解得的值可得答案. 【详解】的展开式的通项公式 ， 令，解得， 所以的系数为. 故选：A. 【变式训练3-2】（2026·北京朝阳·模拟预测）在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】24 【详解】二项式展开式通项公式为，， 令，解得，所以， 所以二项式展开式中，的系数为. 【变式训练3-3】（2026·北京丰台·三模）在的展开式中，常数项为（ ） A．4 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式，再令通项中的指数为0取得的值，最后代入计算求得常数项即可. 【详解】因为， 所以，， 因为常数项的次数为0，所以，解得， 代入得. 题型4 由项的系数确定参数 例4-1（26-27高三上·北京·开学考试）在的展开式中，若的系数为12，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出项的系数，列方程求解参数． 【详解】的展开式通项为：， 令， 所以． 例4-2（26-27高三上·北京房山·开学考试）在的展开式中，若常数项为240，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】二项式展开式的通项为， 当时得常数项为，故，，. 方法技巧 1. 基本思路：利用通项公式，将指定项的系数表示为参数的方程，解方程求出参数。 1. 解题步骤： 写出通项 （其中 、 可能含参数）； 根据指定项的幂次条件，确定 的值； 将 代入通项，得到该项的系数表达式（含参数）； 令系数等于已知值，建立方程求解参数。 1. 含多个参数的情形：若展开式中含有两个或更多参数，通常需要题目给出多个条件（如两个不同项的系数），联立方程组求解。 1. 注意： 解出的参数需检验是否满足题目的隐含条件（如参数为正数、整数等）； 若参数出现在指数位置（如 中的 或 ），可能需要结合组合数的性质求解； 项的系数可能为负，列方程时注意符号。 【变式训练4-1】（2026·北京门头沟·一模）的展开式中的系数为，那么实数________． 【答案】 【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式计算可得结果. 【详解】由，所以通项公式，， 令，解得，所以的系数为，. 【变式训练4-2】（2025·北京朝阳·二模）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由，即，利用组合数的性质即可求解. 【详解】由，根据题意有，由组合数的性质有. 故选：B. 【变式训练4-3】（25-26高三上·北京房山·期末）的展开式中，所有的二项式系数之和为_____；若的系数为－40，则实数______． 【答案】 【分析】空1：利用二项式系数的性质求解即可；空2：利用二项式展开式的通项公式可求得实数的值. 【详解】二项式系数之和为； 二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式的第四项为， 又的系数为－40，所以，解得. 故答案为：①；②. 题型5 三项展开式的系数问题 例5-1的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先把三项式整体看成二项式，利用二项式通项找到含的项，再对用二项式通项找到含的项，最后将两部分系数相乘，即得的系数． 【详解】先将看成， 根据二项式定理，其展开式的通项为， 含有的项为， 的展开式的通项为， 含有的项为， 所以的项的系数． 例5-2的展开式中的系数是（   ） A．270 B． C．630 D． 【答案】D 【分析】表示5个因式相乘的乘积，分类讨论因式的搭配即可得解. 【详解】表示5个因式的乘积，的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供3， 此时的系数为； 从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供3，此时的系数为， 所以展开式中的系数为． 方法技巧 1. 三项展开式的处理策略：三项式 不能直接套用二项式定理，需通过转化化为二项式问题。 1. 常用转化方法： 分组法：将三项式中的两项视为一个整体，如 ，先按二项式展开，再对 继续展开； 组合计数法： 展开式的通项为 其中 为三项式系数。求指定项的系数时，令 、、 的指数分别等于目标值，解出 、、，再代入计算。 1. 解题步骤（分组法） ： 将三项式分组为二项式，如 ； 写出外层二项式的通项； 对含 的部分再次使用二项式定理展开； 根据目标项的指数条件，确定两层展开中的参数，合并计算系数。 1. 注意：三项展开式中，同一幂次的项可能由多组 组合产生，需将所有可能的组合都考虑在内，系数为各组系数之和。 【变式训练5-1】展开式中，项的系数为（　　） A．5 B．-5 C．15 D．-15 【答案】B 【分析】根据展开式的含义，可确定出现有两种情况，求出每种情况展开式中含有的项，即可求得答案. 【详解】，表示5个相乘， 展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1， 第二种是中选出4个和1个， 所以展开式中含有项有和， 所以项的系数为, 故答案为：B 【变式训练5-2】的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知的通项为，， 可知的通项为， 令，，解得，，所以的系数为． 【变式训练5-3】）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【分析】法一：将原式看作二项式的展开，利用二项式定理展开，仅选取展开式中不含的项并求和，得到常数项；法二：先将原式括号内配方并平方转化为，再写出其通项公式，令的指数为0确定值，代入计算得常数项. 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 题型6 两个二项式乘积展开式的系数问题 例6-1（2025·北京海淀·三模）的展开式中的系数是（    ） A． B．35 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据二项式定理得到展开式的通项，求出其三次项与四次项的系数，根据多项式乘法运算法则，求得最后的结果. 【详解】展开式的通项是， 所以展开式中的系数是，项的系数是， 所以的展开式中项的系数是， 故选:A. 例6-2（2026·北京丰台·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【详解】由题意可知展开式中含的项为， 所以的系数为3. 方法技巧 1. 题型特征：求 的展开式中指定项的系数。 1. 核心方法——逐项配对法： 分别写出两个二项式的通项： 将两通项相乘，得到乘积展开式的通项； 根据目标项的指数条件，列出关于 、 的方程组； 解出所有满足条件的 组合； 将每组 对应的系数相加，即为目标项的系数。 1. 简化技巧： 若其中一个二项式较简单（如 ），可先将其展开，再与另一个二项式的通项相乘； 若目标项的次数较低，可只取第一个二项式中的低次项与第二个二项式中的高次项配对，减少计算量。 1. 常见易错点： 遗漏某些 组合（如 和 有多组解时，需全部列出）； 混淆两个二项式中 、、、 的指数对应关系； 忘记乘以二项式系数 。 【变式训练6-1】的展开式中的系数为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把多项式拆成两项，分别求出两部分中的系数，再合并系数得到答案. 【详解】将原式拆分为两个部分的和： . 由二项式定理得的通项为： ， 计算中项的系数：令，则，该项系数为： . 计算中项的系数：会使的次数减1，的次数加1，要得到，则需要提供的项， 令，则，该项系数为：. 综上，展开式中的系数为：. 【变式训练6-2】的展开式中，的系数为（     ） A．42 B．70 C．84 D． 【答案】A 【分析】按多项式乘法配凑出的三组对应项，用二项式定理算出对应次数项，相乘求和即得目标系数. 【详解】的第、、项分别为、、， 所以的展开式中的系数为： . 【变式训练6-3】的展开式的常数项为（     ） A． B．70 C． D．14 【答案】D 【分析】将求原式常数项转化为求展开式中的系数，结合二项式通项计算对应项系数求和即可. 【详解】要得到原式的常数项，需与展开式中的项相乘，故仅需计算中的系数， 的展开式通项为， 分三类计算的系数： 取因式的常数项，令，解得，对应系数为； 取因式的一次项，需匹配项，由于展开式仅含的偶次幂项，故该部分系数为； 取因式的二次项，令，解得，对应系数为， 因此的总系数为，即原式展开式的常数项为. 题型7 展开式系数问题 例7-1（2026·北京·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．122 【答案】B 【分析】利用赋值法分别令和得到两个等式，相加后除以2即可求得偶数次项的系数之和. 【详解】令，则 ， 即 ① 令，则 ， 即 ② ①+②得： ，所以. 例7-2（25-26高三下·北京西城·阶段检测）已知，记，，则分别为（    ） A．1，729 B．1，1 C．，729 D．，1 【答案】B 【详解】令，可得，得到， 令，可得，则. 方法技巧 1. 系数和问题： 所有项的系数之和：令展开式中所有变量取 ，即 。例如， 的系数和为 ； 奇数项系数和与偶数项系数和：令变量取 和 ，分别得到 和 ，则 各项二项式系数之和：； 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和：均为 。 1. 赋值法的灵活运用： 令 求系数和； 令 求交替系数和； 令 求常数项； 对等式两边求导后赋值，可求形如 的加权系数和。 1. 系数最大项问题： 设第 项的系数为 ，建立不等式组 解出 的范围，确定系数最大的项； 注意系数可能为负，比较时需带符号。 1. 整除与余数问题： 利用二项式定理证明整除性或求余数，常将底数拆分为除数的倍数加减 的形式，如 ，展开后只需考虑含 的项和常数项； 求余数时，注意展开式中不含除数的项即为余数（需保证余数在 范围内）。 1. 近似计算：当 很小时，，利用展开式的前几项进行近似计算，注意误差估计。 1. 综合应用： 多项式展开式的系数问题常与赋值法、组合数性质、数列求和结合； 遇到含绝对值的系数和，需先判断各项系数的正负，再分段处理； 若题目涉及多个二项式的和或差，可分别求系数后再合并。 【变式训练7-1】（2026·北京石景山·二模）若，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用二项式定理补项配凑求和的通项表达式 【详解】由， 解得. 【变式训练7-2】（2026·北京丰台·一模）已知，则（   ） A．8 B． C．40 D． 【答案】D 【详解】二项式的通项公式为， ， ， 所以. 【变式训练7-3】（2026·北京西城·一模），则（   ） A．16 B．65 C．80 D．81 【答案】C 【分析】根据题意得，利用赋值法和二项式系数求解. 【详解】由于， 则， 令，得， 又因为， 所以. 【变式训练7-4】（2026·北京海淀·一模）已知，则（   ） A． B．10 C． D．80 【答案】D 【分析】先求得二项展开式的通项，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 当时，可得， 因为， 所以，解得. 【变式训练7-5】（25-26高三下·北京·阶段检测）若.则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，分别令和，求得和，即可求解. 【详解】由， 令，可得， 令，可得， 所以. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 3．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法可求的值. 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 4．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 二、填空题 5．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 【答案】 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、填空题 1．填空： （1）从人中选派人去参加某个会议，不同的选法共有 种； （2）从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，不同的方法共有 种； （3）设集合有个元素，集合有个元素，从这两个集合中各取出个元素，不同的方法共有 种． 【答案】 / 【详解】（1）、从人中选派人去参加某个会议，与顺序无关属于组合问题，不同的选法共有种； （2）、从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，与顺序有关属于排列问题，不同的方法共有种； （3）、集合有个元素，集合有个元素，从这两个集合中各取出个元素，利用分步乘法计数原理可知，不同的方法共有种. 故答案为：;;. 2．填空： （1）的展开式中二项式系数的最大值是 ； （2） ； （3）被5除所得的余数是 ． 【答案】 252 1 【详解】（1）的展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，最大值为； （2）因为， 令可得， 令可得， 两式相减可得，则； （3）， 除了最后一项外其余项都可以被5整除， 又，因为256除以5余1， 所以被5除所得的余数是1. 故答案为：252；；1. 二、解答题 3．12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各1名．问：一共有多少种不同的获奖情况？ 【答案】 【详解】由题意可得. 所以一共有种不同的获奖情况. 4．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位数？可以组成多少个没有重复数字的正整数？ （2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数？ 【答案】（1）；；（2） 【详解】（1）根据题意，将1，2，3，4，5进行全排列， 有种情况，即可以组成个没有重复数字的五位数. 要求由1，2，3，4，5组成没有重复数字的正整数，可以分种情况讨论： ①由5个数字组成的一位数，有种情况， ②由5个数字组成的两位数，有种情况， ③由5个数字组成的三位数，有种情况， ④由5个数字组成的四位数，有种情况， ⑤由5个数字组成的五位数，有种情况， 则一共有没有重复数字的正整数. （2）根据题意，分两种情况讨论： 组成的是位数或位数， 当组成的数字是位数时，有种情况， 当组成的数字是位数时，分两种情况讨论： ①首位数字是2，3，4或5时， 组成的4位数都比1300大， 此时有种情况， ②首位数字是时，第二位数字必须为3，4或时， 此时有种情况， 一共有种情况，即可以组成个比1300大的正整数. 5．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？ 【答案】125个 【详解】由题意，百位、十位和个位上的数字均有5种选法， ∴由数字1，2，3，4，5可以组成个三位数． 6．求的展开式中和的指数相等的项． 【答案】 【详解】展开式通项为， 由得：， 展开式中和的指数相等的项为. 7．设，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）令得：；令得：， . （2）令得：. （3）由（1）（2）知：， 两式作和得：，. 8．设，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由， 令，可得. （2）解：令，可得， 所以. （3）解：令，可得， 令，可得， 所以 9．（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 【答案】（1）280；（2）-192. 【详解】解：（1）的展开式的第4项是 ． 因此，展开式第4项的系数是280． （2）的展开式的通项是． 根据题意，令，． 因此，的系数是． 10．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 【答案】(1)56 (2)21 (3)35 【详解】（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是. （2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是. （3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是. 11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1，求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数. 【答案】11 【详解】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类，与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置相同，其他2个不同有个信息； 第二类，与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置相同，其他3个不同有个信息； 第三类，与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个位置中对应数字都不同，有=1个信息. 由分类加法计数原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11. 12．已知一个两位数中的每个数字都从1，2，3，4中任意选取. (1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ (2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ 【答案】(1)12个 (2)16个 【详解】（1）因为两位数中的数字不允许重复使用，所以一个两位数相当于从1，2，3，4中任意取2个数的排列，故有个， 所以可以得到12个不同的两位数. （2）因为两位数中的数字允许重复使用，所以确定两位数分两步，每步有4种方法，利用分步相乘原理有个， 所以可以得到16个不同的两位数. 13．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 【答案】(1)9 (2)24 【详解】（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为. （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成： 第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为. 14．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【答案】(1)161700种； (2)9506种； (3)9604种. 【详解】（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，即(种) 所以有161700种不同的抽法. （2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，则(种)， 所以抽出的3件中恰好有 1件次品的抽法有9506种. （3）抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况， 由(2)知，有1件是次品的抽法有种，有2件次品的抽法有种， 由分类加法计数原理得：(种)， 所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604种. 15．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛． (1)每个小组有多少种选法? (2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法? (3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？ 【答案】(1)495 (2)1980 (3)11880 【详解】（1）由题意可得每个小组有种选法， （2）由题意可得先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人， 所以由分步乘法原理可得共有种选法， （3）由题意可得先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列， 所以由分步乘法原理可得共有种选法 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【分析】根据位置优先，先安排第一个位置，再排其他位置，利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意可知：先安排第一个位置有2种排法，再排后面的3个位置有种排法， 根据分步乘法计数原理共有：种排法， 故选：B. 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）的展开式中的系数是（    ） A． B．35 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理中二项式的展开式通项公式求解特定项的系数即可. 【详解】由题可知展开式通项公式为， 令，则，所以展开式中的系数为. 故选：A 3．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据二项式定理，其展开式通项公式为， 要求含项的系数，则令，解得， 所以系数为. 4．（25-26高三上·北京海淀·期末）在的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由通项公式，计算常数项,然后取其最小值. 【详解】二项式的通项公式为：， 化简得， 要存在常数项，需满足的指数为0，即， 因为，且，所以必须是的正整数倍. 取时，. 故选：A 5．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）若为有理数），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】 ， 于是，故. 6．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知，则（   ） A． B．1 C．32 D．243 【答案】C 【详解】由， 令，得，所以. 7．（25-26高三上·北京通州·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式定理，分别赋值和即可解得. 【详解】由， 令，得 ①，再令，得 ②. 得，，所以. 故选：D. 8．（2026·北京·三模）的展开式中的系数为________． 【答案】5 【详解】的展开式中含项为， 所以所求系数为5. 9．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）设 ，则 ____________.（要求用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，分别令和，两个等式相减即可求解. 【详解】根据题意，令，可得， 令，可得， 两式相减得， 所以. 10．（2026·北京大兴·三模）已知，则__________． 【答案】 【详解】令时，， 当时，， ． 重难·创新演练 11．（2026·北京·模拟预测）在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则各项系数的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】D 【分析】利用二项式展开式中的二项式系数和的计算方法与各项系数的求法即可得出. 【详解】由二项式知，展开式的二项式系数和为，又所有二项式系数的和为32，所以，，展开式中第项：，； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 所以各项系数最大值为. 12．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，荣获2026年菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：，，则下列各数中与最接近的是（参考数据：，）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出的具体表达式，通过取常用对数，结合已知的、近似值计算对数值，确定的值. 【详解】已知，分别计算的三个组成部分的对数值： ，因此； ，因此； ，因此. 所以， 故. 13．（25-26高三下·北京·阶段检测）在展开式中，只有第项的二项式系数最大，则___________：第项的系数为___________． 【答案】 【详解】∵只有第项的二项式系数最大， ∴，即． ∵，， ∴， ∴第项的系数为． 14．（25-26高三上·北京石景山·期末）已知，则___________；___________． 【答案】 1 81 【分析】令代入运算求得；给条件式两边同乘16，再令运算得解. 【详解】由，令，得，即； 由，两边同乘16，可得， 令，则， 所以，即 . 故答案为：1；81. 15．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【分析】直接对二项式两边求导，再给x赋值可得结果. 【详解】对两边求导得, ， 再令，得. 故答案为： 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $