第01讲 平面向量的概念、线性运算、基本定理及其坐标运算（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量核心考点，涵盖概念、线性运算、基本定理及坐标运算，按“概念-运算-定理-坐标”逻辑构建知识体系，通过命题透视、知识精讲、题型破译、真题溯源等环节，帮助学生系统梳理考点，掌握解题技巧。 讲义以题型分类突破为特色，如向量共线定理应用中强调参数求解方法，建系法解决几何问题培养数学眼光，设置基础与创新分层训练。结合真题演练和课本典例挖掘，助力学生形成数学思维，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第01讲 平面向量的概念、线性运算、基本定理及其坐标运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 向量的有关概念 知识点2 向量的加法、减法运算 知识点3 向量的数乘运算与向量共线定理 知识点4 平面向量基本定理 知识点5 向量的坐标运算 题型破译 (含超链接） 题型1 平面向量的概念 【方法技巧】判断向量有关概念的关键点 题型2 向量加、减法的几何意义 【方法技巧】应用向量加、减几何意义解题的关键 题型3 根据向量的线性运算求参数 题型4 向量共线定理的应用 【易错警示】求解向量共线问题的易错点 题型5 平面向量基本定理的应用 【方法技巧】利用平面向量基本定理的注意事项 题型6 向量的基底 题型7 求向量或点的坐标 题型8 利用向量坐标及向量共线求参数 题型9 建系求解与平面图形有关的向量问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养,研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量的线性运算 北京卷T6（5分） 北京卷T10（5分） —— 平面向量基本定理 —— —— —— 平面向量的坐标运算 北京卷T6（5分） 北京卷T10（5分） —— 考情分析 高考中向量为必考知识点,通常以客观题形式考查,可以是基础题,也可以是难度较大的综合题,本专题考查热点是平面向量的线性运算、坐标运算及基本定理. 复习目标 1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,理解平面向量的几何表示和基本要素； 2.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义； 3.掌握平面向量基本定理； 4.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架,构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识,归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 向量的有关概念 知识梳理 1.向量的概念 (1)向量：在数学中,我们把既有 又有 的量叫做向量. (2)数量：只有 没有 的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素： 、 、 . 如图所示,以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段AB的 也叫做有向线段的长度,记作||. (2)向量的表示方法 ①几何表示：向量可以用 来表示,记作 ,有向线段的长度||表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的 (或称 ),记作 . ②字母表示：向量可以用字母a,b,c,…表示. 3.零向量、单位向量 向量名称 定义 方向 零向量 长度为 的向量,记作0 方向任意 单位向量 长度等于 的向量 平面上任何方向的向量都有一个与其方向相同的单位向量 4.平行向量与相等向量 平行向量(共线向量) 方向 的 向量；平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行,记作a∥b,规定：零向量与 向量平行 相等向量 长度 且方向 的向量；向量a与b相等,记作a=b 【解读与归纳】 (1)0与0不同.0表示数量,但0表示零向量,其中|0|=0； (2)单位向量有无数多个,它们模均为1,但方向不一定相同. (3)若a∥b,b∥c,则a与c未必共线. (4)两向量共线,则两向量所在的直线平行或重合. 自主检测下列说法正确的是(　　) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B. 与非零向量共线的单位向量是 C. 两个相等的向量,若起点相同,则终点相同 D. “、、、四点共线”是“与共线”的充要条件 知识点2 向量的加法、减法运算 1.已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.求两个向量和的运算,叫做向量的 .这种求向量和的方法,称为向量加法的 法则.归纳口诀为“首尾相连连首尾”. 2.以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作▱OACB,则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则.归纳口诀为“共起点、对角线”. 3.相反向量：与向量a长度 ,方向 的向量,叫做a的 向量,记作 . 4.相反向量的性质： (1)零向量的相反向量仍是 . (2)对于相反向量有：a+(-a)=(-a)+a= . (3)如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b= . 5.向量的减法：向量a加上b的 ,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b),求两个向量差的运算叫做向量的减法.从定义可以看出,向量的减法可以转化成向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 6.已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b.即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.归纳口诀为共起点、连终点、指被减,意思是求两个向量的差向量时,起点要重合,连接它们的终点,方向由减向量的终点指向被减向量的终点. 【解读与归纳】 (1)运用向量加法的三角形法则作图时,要“首尾相连连首尾”.运用向量加法的平行四边形法则作图时,要强调两个向量起点相同,其和也与这两个向量共起点. (2)相反向量与方向相反的向量不是一回事,两个向量互为相反向量,它们的方向一定是相反的,但当两个向量方向相反时,它们不一定是相反向量,因为它们的模不一定相等. (3)一般地,我们有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,右边取等号；当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相反的非零向量时,左边取等号.口诀：同号取等方向同,异号取等方向反. (4)a+b=b+a；a+(b+c)=(a+b)+c. 自主检测(2026. 北京市顺义区. 统一测试)在中,,若,则（   ） A． B． C．1 D． 知识点3 向量的数乘运算与向量共线定理 1.一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下： (1)|λa|= . (2)λa(a≠0)的方向： 特别地,当λ=0时,λa=0,当λ=-1时,(-1)a= . 2.数乘运算的运算律 设λ,μ为实数,那么 (1)λ(μa)= . (2)(λ+μ)a= . (3)λ(a+b)= . 特别地,(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是 .对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)= . 4.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ,使 . 【解读与归纳】 (1)数乘向量与实数的乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.特别注意λ=0时,λa=0,此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆,错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ-a是无法运算的. (3)向量共线定理中规定a≠0,b可以为0,λ的值是唯一存在的. (4)在平面中,A,B,C三点共线的充要条件是：=x+y(O为平面内直线AB外任意一点),其中x+y=1. 自主检测(2026.北京101中学.3月考)平行四边形内存在一点,满足,若和的面积分别为,,则的值为（     ） A． B． C． D． 知识点4 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量 a 实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底：若e1,e2 ,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【解读与归纳】 (1)同一平面内的基底有无数多个,只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后,任意向量的表示法是唯一的,即λ1,λ2是唯一确定的. 自主检测(2026.北京朝阳区.高三二测)如图,在中,点为线段的中点,,,则（   ） 知识点5 向量的坐标运算 1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 2.在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a= ,则有序数对 叫做向量a的坐标. 3.坐标表示：a= . 4.特殊向量的坐标：i= ,j= ,0=(0,0). 5.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1); (2) 共线 . 6. 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则= . 【解读与归纳】 (1)表示点的坐标与表示向量的坐标的书写形式不同,A(x,y),a=(x,y). (2)当向量的起点在原点时,向量的坐标与向量终点的坐标相同. (3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关. 自主检测(2026.北京通州区.高三上期中) 已知向量,若,则实数的一个值为__________． 题●型●破●译 题型1 平面向量的概念 例1-1（2025·北京丰台区·高三上期末）设,为非零向量,则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若,则,模长相等,但它们的方向可以不同,故不一定成立,故得不到,若,则,故“”是“”的必要不充分条件,故选B. 例1-2下列命题中正确的是(　　) A.向量的长度与向量的长度相等 B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反 C.a与b同向,且|a|>|b|,则a>b D.两个终点相同的向量,一定是共线向量 【答案】A　 【解析】向量的长度相等,方向相反,故A正确;向量a与b平行,且a或b为零向量时,不满足条件,故B错误;因为向量是既有大小又有方向的量,所以任意两个向量都不能比较大小,故C错误;两个终点相同的向量,不一定是共线向量,故D错误. 方法技巧 判断向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线． 【变式训练1-1·变考法】设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(　　) A.a＝－b B.a∥b C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b| 【变式训练1-2. 变背景】如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,则与相等的向量为(　　) A. 　　　B. C. 　　　D. 【变式训练1-3】下列关于向量的命题正确的是（    ） A．若,则 B．若,则或 C．若,则 D．若,则 题型2 向量加、减运算的几何意义 例2-1【新思维】（2026·北京顺义·高三上学期9月考）已知点是所在平面内的一点,满足,则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【解析】因为,可得,可知点为线段的中点,所以点P在线段AC的延长线上.故选D. 例2-2（2025·北京市育英学校·高三上月考）已知平面内四个不同的点A,B,C,D满足,则_________. 【答案】3 【解析】已知,根据向量的减法法则,则.因为,又,所以,移项可得.由于,那么,所以. 方法技巧 应用向量加、减几何意义解题的要点 (1)向量加法和减法均适合三角形法则． (2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则． 【变式训练2-1·变考法】在四边形中,,,,则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【变式训练2-2】在正方形中,为的中点,为的中点,则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（2025.北京理工大附中. 高三下开学考）如图,在中,是的中点.若,则（    ） A． B． C． D． 题型3 根据向量的线性运算求参数 例3-1如图,在中,点满足,.若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,故,,,故选A. 例3-2已知在平行四边形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若＝x＋y(x,y∈R),则x－y＝________. 【答案】2 【解析】由题意得＝＋＝＋,＝＋＝＋, 因为＝x＋y,所以＝＋, 所以解得所以x－y＝2. 例3-3【新考法】如图,在△ABC中,＝,P是BN上的一点,若＝m＋,则实数m的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】注意到N,P,B三点共线,因此＝m＋＝m＋,从而m＋＝1,所以m＝. 【变式训练3-1. 变考法】（2026. 北京日坛中学. 高三下2月调研）如图,设,线段与交于点,且,则的最小值为（    ） A．5 B．9 C． D． 【变式训练3-2】若M是△ABC的边BC上的一点,且＝3,设＝λ＋μ,则λ的值为________． 题型4 共线定理的应用 例4-1(2026. 北京市石景山区. 高三5月练)设向量与不共线,向量与共线,则______． 【答案】 【解析】向量与不共线,由向量与共线,得,所以. 例4-2如图,在中,D,F分别是BC,AC的中点,,,. (1)用分别表示向量,; (2)求证:B,E,F三点共线. 解：（1）在中,由D是BC的中点,得, 而,于是 又F是AC的中点,所以. （2）由（1）知,,因此, 即,而有公共点,所以B,E,F三点共线. 易错警示 求解向量共线问题的易错点 (1)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线 且有公共点时,才能得出三点共线． (2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数,使a＋b＝0成立；若a＋b＝0,当且仅当 ＝0时成立,则向量a,b不共线． 【变式训练4-1】（新背景）向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线,则实数_________. 【变式训练4-2】(经典题)如图,在中,点是的中点,,过点的直线分别交边于（不同于）两点,且,． (1)当时,用向量表示,； (2)证明：为定值． 题型5 平面向量基本定理的应用 例5-1如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设＝a,＝b. (1)用a和b表示向量,； (2)若＝λ,求实数λ的值． 解　(1)由题意知,A是BC的中点,且＝,由平行四边形法则, 得＋＝2,所以＝2－＝2a－b, ＝－＝(2a－b)－b＝2a－b. (2)由题意知,∥,故设＝x. 因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b,＝2a－b. 所以(2－λ)a－b＝x. 因为a与b不共线,由平面向量基本定理, 得解得故λ＝. 例5-2（新情景）希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点,若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系, 由题意得,则,. 因为,故, 因为,所以（负值舍去）, 所以,故.又,则, 因为,所以,解得,所以,故选A. 方法技巧 利用平面向量基本定理的注意事项 (1) 选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来． (2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等． (3)强化共线向量定理的应用． 【变式训练5-1】向量在正方形网格中的位置如图所示,若,则___________. 【变式训练5-2】在△ABC中,点P是AB上一点,且＝＋,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又＝t,则t的值为________． 题型6 向量的基底 例6-1若,是平面内不共线的两向量,则下列向量中不能作为一组基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】因为向量,为平面内不共线的向量,所以向量,是平面内的一组基底,对于A中,设,可得,此时方程组无解,所以向量和不共线,可以作为平面的一组基底；对于B中,设,可得,解得, 所以向量和为共线向量,不能作为平面的一组基底；对于C中,设,可得,此时方程组无解,所以向量和不共线,可以作为平面的一组基底；对于D中,设,可得,此时方程组无解. 所以向量和不共线,可以作为平面的一组基底.则选项B不能作为一组基底. 例6-2若,能构成平面向量的一组基,但,不能,则实数t的所有可能之和为___________. 【答案】1 【解析】由题意可得,,不共线,但,共线,设,则, 所以,解得或.时,,,两向量共线； 时,,,两向量互为相反向量.均符合题意.所以实数t的所有可能之和为. 【变式训练6-1. 变考法】向量,,若可以构成一个基底,则不可能是（     ） A．2 B．1 C． D． 【变式训练6-2. 变背景】已知正方形,在中任取两个向量,能构成一个基底的概率是_________． 题型7 求向量或点的坐标 例7-1已知集已知M(3,－2),N(－5,－1),且＝,则P点的坐标为(　　) A．(－8,1) B. C. D．(8,－1) 【答案】B 【解析】设P(x,y),则＝(x－3,y＋2)．而＝(－8,1)＝, ∴解得∴P.故选B. 例7-2已知,,且点P在的延长线上,使,则点P的坐标为______. 【答案】 【解析】因为点P在的延长线上,使,所以,设点, 而,所以,解得. 【变式训练7-1. 变背景】已知平行四边形的三个顶点,,,而且,,,按逆时针方向排列,则线段的长度为_____,点的坐标为_____． 题型8 利用向量的坐标及向量共线求参数 例8-1（2026. 北京人大附中.高三上统练）已知向量,若,则 _____. 【答案】 【解析】由向量,因为,可得,解得. 例8-2（2026. 北京市顺义区. 高三上月考）已知平面向量,,若,则______________. 【答案】 【解析】由条件可得：,又,可得,解得. 【变式训练8-1】（2025. 北京十一学校. 高三下4月诊断）已知向量,,且,则（   ） A． B． C．6 D．8 【变式训练8-2】（开放题）（2026. 北京第十四中）已知向量,若存在实数,使得与的方向相同,则的一个取值为______． 题型9 建系求解与几何图象有关的向量问题 例9-1如图,在四边形中,,,,且,则___________． 【答案】 【解析】因为,则, 以为坐标原点,所在直线为轴,过点且垂直于的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则,可得, 则, 可得, ,又因为,且, 则,整理得,即,所以． 例9-2（2025. 北京人大附中.期末）直角梯形ABCD中,,,,分别为的中点,以为圆心、为半径的圆交于,点在劣弧上,且．若,则______． 【答案】 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系： ,分别为的中点,, 以为圆心,为半径的圆交于,点在劣弧上,且, 所以即, 由,得, 所以,所以,所以. 【变式训练9-1】已知是边长为2的正三角形,,分别为边,的中点,则若,则___________． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑,感知高考考向 1.（2026.全国1卷.高考真题）已知平面向量,不共线,且,则（ ） A. , B. , C. , D. , 2.（2026·北京·高考真题）已知向量,满足,,则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（2025·全国1卷·高考真题）帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同）,单位（m/s）,则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足,则（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中,点D在边AB上,．记,则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海·高考真题）已知,且,则的值为 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例,挖掘高考素材 1．已知,,求证：. 2.已知,且∥,求. 3.已知平行四边形的顶点,求顶点的坐标. 4.已知是两个不共线的向量,向量共线,求实数的值. 5.已知平行四边形,为交点,,点分别为中点,点是的三等分点（）. （1）用表示； （2）由（1）能得出的关系吗？ 课后训练·分层突破 ——突破核心考点,提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：向量的线性运算、向量的坐标运算、向量共线 1.已知向量,,且,则等于（    ） A． B． C． D． 2．向量,则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026. 北京市东直门中学. 高三上期初）在中,点是线段上一点,若,,则实数（    ） A． B． C． D． 4．（2026. 北京师大附中.高三下考前模拟）已知为非零向量,则“与共线”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图,在中,点是线段上靠近点的三等分点,过点的直线分别交直线、于点、. 设,,则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026. 北京市顺义区一中.高三上月考）在中,点满足,,若,则分别为（    ） A． B． C． D． 7．已知平行四边形的三个顶点,,的坐标分别为,,,则点的坐标是____________． 8．（2026. 北京师大第二附中.高三上统练）已知向量,若,则的值为____________． 9．（2025. 北京市海淀区. 高三下统考）已知平面上不共线的四点,若,则______ 重难·创新演练 试题创新:T2、T8新设问；T3、T4新考法；T5开放题；T6、T7新定义；T9新情境 1．（新考法）已知是平面内两个非零向量,那么“”是“存在,使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026. 北京市顺义. 高三上10月月考）（新设问）设是所在平面内的一点,满足,若,则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2026. 北京市通州区. 高三上摸底考试）（新考法）已知点为所在平面内一点,,,若,则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（新考法）设,是两个不共线的非零向量,向量,,若向量,的方向相反,则实数________． 5．（2026.北京十一学校.高三下诊断）（开放题）在三角形ABC中,,,已知点P满足,则AP的一个可能值为________． 6.（新定义）已知向量,,定义向量的新运算：．设向量,．若,则______；若,则______． 7．（新定义）已知平面内点集,A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合,. 给出以下四个结论： ①若,则； ②若为奇数,则； ③若为偶数,则； ④若,则. 其中所有正确结论的序号是________. 8．（新设问）三角形中,E为边的中点,D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底,表示向量； (3)若点N满足,证明：B、N、E三点共线． 9．（新情境）规定：在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系,设母球A的位置为（R）,目标球B的位置为,球的位置为,解决下列问题： (1)如图①,若,沿向量的方向击打母球A,能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②,若,要使目标球B向球的球心方向运动,求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③,若,能否让母球A击打目标球B后,使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面向量的概念、线性运算、基本定理及其坐标运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 向量的有关概念 知识点2 向量的加法、减法运算 知识点3 向量的数乘运算与向量共线定理 知识点4 平面向量基本定理 知识点5 向量的坐标运算 题型破译 (含超链接） 题型1 平面向量的概念 【方法技巧】判断向量有关概念的关键点 题型2 向量加、减法的几何意义 【方法技巧】应用向量加、减几何意义解题的关键 题型3 根据向量的线性运算求参数 题型4 向量共线定理的应用 【易错警示】求解向量共线问题的易错点 题型5 平面向量基本定理的应用 【方法技巧】利用平面向量基本定理的注意事项 题型6 向量的基底 题型7 求向量或点的坐标 题型8 利用向量坐标及向量共线求参数 题型9 建系求解与平面图形有关的向量问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养,研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量的线性运算 北京卷T6（5分） 北京卷T10（5分） —— 平面向量基本定理 —— —— —— 平面向量的坐标运算 北京卷T6（5分） 北京卷T10（5分） —— 考情分析 高考中向量为必考知识点,通常以客观题形式考查,可以是基础题,也可以是难度较大的综合题,本专题考查热点是平面向量的线性运算、坐标运算及基本定理. 复习目标 1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,理解平面向量的几何表示和基本要素； 2.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义； 3.掌握平面向量基本定理； 4.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架,构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识,归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 向量的有关概念 知识梳理 1.向量的概念 (1)向量：在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素：起点、方向、长度. 如图所示,以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作||. (2)向量的表示方法 ①几何表示：向量可以用有向线段来表示,记作向量,有向线段的长度||表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作||. ②字母表示：向量可以用字母a,b,c,…表示. 3.零向量、单位向量 向量名称 定义 方向 零向量 长度为0的向量,记作0 方向任意 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平面上任何方向的向量都有一个与其方向相同的单位向量 4.平行向量与相等向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量；平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行,记作a∥b,规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与b相等,记作a=b 【解读与归纳】 (1)0与0不同.0表示数量,但0表示零向量,其中|0|=0； (2)单位向量有无数多个,它们模均为1,但方向不一定相同. (3)若a∥b,b∥c,则a与c未必共线. (4)两向量共线,则两向量所在的直线平行或重合. 自主检测下列说法正确的是(　　) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B. 与非零向量共线的单位向量是 C. 两个相等的向量,若起点相同,则终点相同 D. “、、、四点共线”是“与共线”的充要条件 【答案】C 【解析】向量不能比较大小,A错误；与非零向量共线的单位向量是,B错误,两个向量相等指两个向量方向相同,且模长相等,故当两个相等向量的起点相同时,终点一定相同,故C正确,若 四点共线,则向量 与 一定在同一直线上, ,充分性成立.若 与 共线,只能说明两向量平行, 可以是两条平行直线,四点不一定共线,必要性不成立.所以“、、、四点共线”是“与共线”的充分不必要条件,D错误. 知识点2 向量的加法、减法运算 1.已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.求两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.归纳口诀为“首尾相连连首尾”. 2.以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作▱OACB,则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.归纳口诀为“共起点、对角线”. 3.相反向量：与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a. 4.相反向量的性质： (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a+(-a)=(-a)+a=0. (3)如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 5.向量的减法：向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b),求两个向量差的运算叫做向量的减法.从定义可以看出,向量的减法可以转化成向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 6.已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b.即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.归纳口诀为共起点、连终点、指被减,意思是求两个向量的差向量时,起点要重合,连接它们的终点,方向由减向量的终点指向被减向量的终点. 【解读与归纳】 (1)运用向量加法的三角形法则作图时,要“首尾相连连首尾”.运用向量加法的平行四边形法则作图时,要强调两个向量起点相同,其和也与这两个向量共起点. (2)相反向量与方向相反的向量不是一回事,两个向量互为相反向量,它们的方向一定是相反的,但当两个向量方向相反时,它们不一定是相反向量,因为它们的模不一定相等. (3)一般地,我们有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,右边取等号；当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相反的非零向量时,左边取等号.口诀：同号取等方向同,异号取等方向反. (4)a+b=b+a；a+(b+c)=(a+b)+c. 自主检测(2026. 北京市顺义区. 统一测试)在中,,若,则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由,得,整理为,即,,即. 知识点3 向量的数乘运算与向量共线定理 1.一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下： (1)|λa|=|λ||a|. (2)λa(a≠0)的方向： 特别地,当λ=0时,λa=0,当λ=-1时,(-1)a=-a. 2.数乘运算的运算律 设λ,μ为实数,那么 (1)λ(μa)=(λμ)a. (2)(λ+μ)a=λa+μa. (3)λ(a+b)=λa+λb. 特别地,(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 4.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ,使b=λa. 【解读与归纳】 (1)数乘向量与实数的乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.特别注意λ=0时,λa=0,此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆,错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ-a是无法运算的. (3)向量共线定理中规定a≠0,b可以为0,λ的值是唯一存在的. (4)在平面中,A,B,C三点共线的充要条件是：=x+y(O为平面内直线AB外任意一点),其中x+y=1. 自主检测(2026.北京101中学.3月考)平行四边形内存在一点,满足,若和的面积分别为,,则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为,即, 设线段的中点分别为,可得,即, 设线段的中点为,可得,即, 可知点在线段上,且,可知点在平行四边形的中位线上,所以. 知识点4 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底：若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【解读与归纳】 (1)同一平面内的基底有无数多个,只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后,任意向量的表示法是唯一的,即λ1,λ2是唯一确定的. 自主检测(2026.北京朝阳区.高三二测)如图,在中,点为线段的中点,,,则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】∵ 为中点,∴ . 又,∴ . 可得,,∴ . 知识点5 向量的坐标运算 1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 2.在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标. 3.坐标表示：a=(x,y). 4.特殊向量的坐标：i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 5.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1); (2) 共线. 6. 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1). 【解读与归纳】 (1)表示点的坐标与表示向量的坐标的书写形式不同,A(x,y),a=(x,y). (2)当向量的起点在原点时,向量的坐标与向量终点的坐标相同. (3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关. 自主检测(2026.北京通州区.高三上期中) 已知向量,若,则实数的一个值为__________． 【答案】（或填） 【解析】由于,所以,即, 解得或. 题●型●破●译 题型1 平面向量的概念 例1-1（2025·北京丰台区·高三上期末）设,为非零向量,则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若,则,模长相等,但它们的方向可以不同,故不一定成立,故得不到,若,则,故“”是“”的必要不充分条件,故选B. 例1-2下列命题中正确的是(　　) A.向量的长度与向量的长度相等 B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反 C.a与b同向,且|a|>|b|,则a>b D.两个终点相同的向量,一定是共线向量 【答案】A　 【解析】向量的长度相等,方向相反,故A正确;向量a与b平行,且a或b为零向量时,不满足条件,故B错误;因为向量是既有大小又有方向的量,所以任意两个向量都不能比较大小,故C错误;两个终点相同的向量,不一定是共线向量,故D错误. 方法技巧 判断向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线． 【变式训练1-1·变考法】设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(　　) A.a＝－b B.a∥b C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b| 【答案】C 【解析】因为向量的方向与向量a方向相同,向量的方向与向量b方向相同,且, 所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D.当a＝2b时,,故a＝2b是成立的充分条件. 【变式训练1-2. 变背景】如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,则与相等的向量为(　　) A. 　　　B. C. 　　　D. 【答案】D 【解析】A,B选项均与方向不同,C选项与长度不相等,D选项与方向相同,长度相等. 【变式训练1-3】下列关于向量的命题正确的是（    ） A．若,则 B．若,则或 C．若,则 D．若,则 【答案】D 【解析】对于A和B,由,得的模相等,而它们的方向不确定,则向量不一定共线,所以A和B均错误；对于C,取,满足,而可为任意方向,则不一定共线,C错误；对于D,,由相等向量的意义,得,D正确. 题型2 向量加、减运算的几何意义 例2-1【新思维】（2026·北京顺义·高三上学期9月考）已知点是所在平面内的一点,满足,则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【解析】因为,可得,可知点为线段的中点,所以点P在线段AC的延长线上.故选D. 例2-2（2025·北京市育英学校·高三上月考）已知平面内四个不同的点A,B,C,D满足,则_________. 【答案】3 【解析】已知,根据向量的减法法则,则.因为,又,所以,移项可得.由于,那么,所以. 方法技巧 应用向量加、减几何意义解题的要点 (1)向量加法和减法均适合三角形法则． (2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则． 【变式训练2-1·变考法】在四边形中,,,,则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【解析】因为,,,所以.所以.所以且,所以四边形为梯形.故选A. 【变式训练2-2】在正方形中,为的中点,为的中点,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为的中点,为的中点,所以. 故选C. 【变式训练2-3】（2025.北京理工大附中. 高三下开学考）如图,在中,是的中点.若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是的中点,,,所以 .故选C. 题型3 根据向量的线性运算求参数 例3-1如图,在中,点满足,.若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,故,,,故选A. 例3-2已知在平行四边形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若＝x＋y(x,y∈R),则x－y＝________. 【答案】2 【解析】由题意得＝＋＝＋,＝＋＝＋, 因为＝x＋y,所以＝＋, 所以解得所以x－y＝2. 例3-3【新考法】如图,在△ABC中,＝,P是BN上的一点,若＝m＋,则实数m的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】注意到N,P,B三点共线,因此＝m＋＝m＋,从而m＋＝1,所以m＝. 【变式训练3-1. 变考法】（2026. 北京日坛中学. 高三下2月调研）如图,设,线段与交于点,且,则的最小值为（    ） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【解析】,又,故, 所以,因为,所以, 因为三点共线,所以,故.所以, 当且仅当,即时取等号.故最小值为,故选D. 【变式训练3-2】若M是△ABC的边BC上的一点,且＝3,设＝λ＋μ,则λ的值为________． 【答案】 【解析】由题设知＝3,过M作MN∥AC交AB于N, 则＝＝＝,从而＝,又＝λ＋μ＝＋＝＋,所以λ＝. 题型4 共线定理的应用 例4-1(2026. 北京市石景山区. 高三5月练)设向量与不共线,向量与共线,则______． 【答案】 【解析】向量与不共线,由向量与共线,得,所以. 例4-2如图,在中,D,F分别是BC,AC的中点,,,. (1)用分别表示向量,; (2)求证:B,E,F三点共线. 解：（1）在中,由D是BC的中点,得, 而,于是 又F是AC的中点,所以. （2）由（1）知,,因此, 即,而有公共点,所以B,E,F三点共线. 易错警示 求解向量共线问题的易错点 (1)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线 且有公共点时,才能得出三点共线． (2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数,使a＋b＝0成立；若a＋b＝0,当且仅当 ＝0时成立,则向量a,b不共线． 【变式训练4-1】（新背景）向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线,则实数_________. 【答案】2 【解析】由图可知,,因为向量与共线,所以根据共线向量基本定理可设：, 即,则, 所以,解得. 【变式训练4-2】(经典题)如图,在中,点是的中点,,过点的直线分别交边于（不同于）两点,且,． (1)当时,用向量表示,； (2)证明：为定值． 解：由（1）知,所以, 因为、、三点共线,所以, 所以, 由已知,,所以, 所以, 因为,不共线, 所以,即,消去整理可得, 所以为定值. 题型5 平面向量基本定理的应用 例5-1如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设＝a,＝b. (1)用a和b表示向量,； (2)若＝λ,求实数λ的值． 解　(1)由题意知,A是BC的中点,且＝,由平行四边形法则, 得＋＝2,所以＝2－＝2a－b, ＝－＝(2a－b)－b＝2a－b. (2)由题意知,∥,故设＝x. 因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b,＝2a－b. 所以(2－λ)a－b＝x. 因为a与b不共线,由平面向量基本定理, 得解得故λ＝. 例5-2（新情景）希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点,若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系, 由题意得,则,. 因为,故, 因为,所以（负值舍去）, 所以,故.又,则, 因为,所以,解得,所以,故选A. 方法技巧 利用平面向量基本定理的注意事项 (1) 选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来． (2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等． (3)强化共线向量定理的应用． 【变式训练5-1】向量在正方形网格中的位置如图所示,若,则___________. 【答案】 【解析】如图,将平移至相同起点,且,,并构建直角坐标系xOy, 若每个单元格长为1,则.又, 所以,即可得所以 【变式训练5-2】在△ABC中,点P是AB上一点,且＝＋,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又＝t,则t的值为________． 【答案】 【解析】∵＝＋,∴3＝2＋,即2－2＝－,∴2＝, 即P为AB的一个三等分点,如图所示． ∵A,M,Q三点共线,∴＝x＋(1－x)＝＋(x－1), 而＝－,∴＝＋.又＝－＝－＋, 由已知＝t,可得＋＝t,又,不共线,∴解得t＝. 题型6 向量的基底 例6-1若,是平面内不共线的两向量,则下列向量中不能作为一组基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】因为向量,为平面内不共线的向量,所以向量,是平面内的一组基底,对于A中,设,可得,此时方程组无解,所以向量和不共线,可以作为平面的一组基底；对于B中,设,可得,解得, 所以向量和为共线向量,不能作为平面的一组基底；对于C中,设,可得,此时方程组无解,所以向量和不共线,可以作为平面的一组基底；对于D中,设,可得,此时方程组无解. 所以向量和不共线,可以作为平面的一组基底.则选项B不能作为一组基底. 例6-2若,能构成平面向量的一组基,但,不能,则实数t的所有可能之和为___________. 【答案】1 【解析】由题意可得,,不共线,但,共线,设,则, 所以,解得或.时,,,两向量共线； 时,,,两向量互为相反向量.均符合题意.所以实数t的所有可能之和为. 【变式训练6-1. 变考法】向量,,若可以构成一个基底,则不可能是（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由于可以构成一个基底,故向量与不共线,故,解得． 【变式训练6-2. 变背景】已知正方形,在中任取两个向量,能构成一个基底的概率是_________． 【答案】 【解析】从6个向量中任取2个,基本事件有, ,共计15个, 在给定向量集合中,共线的向量仅有,共2对,即不能构成基底的基本事件数为2, 因此能构成基底的基本事件数为,由古典概型概率公式得所求概率为. 题型7 求向量或点的坐标 例7-1已知集已知M(3,－2),N(－5,－1),且＝,则P点的坐标为(　　) A．(－8,1) B. C. D．(8,－1) 【答案】B 【解析】设P(x,y),则＝(x－3,y＋2)．而＝(－8,1)＝, ∴解得∴P.故选B. 例7-2已知,,且点P在的延长线上,使,则点P的坐标为______. 【答案】 【解析】因为点P在的延长线上,使,所以,设点, 而,所以,解得. 【变式训练7-1. 变背景】已知平行四边形的三个顶点,,,而且,,,按逆时针方向排列,则线段的长度为_____,点的坐标为_____． 【答案】 【解析】由题意,在平行四边形中,,,,所以,,所以,即. 题型8 利用向量的坐标及向量共线求参数 例8-1（2026. 北京人大附中.高三上统练）已知向量,若,则 _____. 【答案】 【解析】由向量,因为,可得,解得. 例8-2（2026. 北京市顺义区. 高三上月考）已知平面向量,,若,则______________. 【答案】 【解析】由条件可得：,又,可得,解得. 【变式训练8-1】（2025. 北京十一学校. 高三下4月诊断）已知向量,,且,则（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【解析】已知向量,,所以,因为, 所以解得.故选A. 【变式训练8-2】（开放题）（2026. 北京第十四中）已知向量,若存在实数,使得与的方向相同,则的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由向量,存在实数x,使得与的方向相同, 则,即,可得,所以,则,取. 题型9 建系求解与几何图象有关的向量问题 例9-1如图,在四边形中,,,,且,则___________． 【答案】 【解析】因为,则, 以为坐标原点,所在直线为轴,过点且垂直于的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则,可得, 则, 可得, ,又因为,且, 则,整理得,即,所以． 例9-2（2025. 北京人大附中.期末）直角梯形ABCD中,,,,分别为的中点,以为圆心、为半径的圆交于,点在劣弧上,且．若,则______． 【答案】 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系： ,分别为的中点,, 以为圆心,为半径的圆交于,点在劣弧上,且, 所以即, 由,得, 所以,所以,所以. 【变式训练9-1】已知是边长为2的正三角形,,分别为边,的中点,则若,则___________． 【答案】 【解析】以为坐标原点,分别以为轴正方向建立平面直角坐标系,如下图所示： 易知,则, 由可得,解得；可得. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑,感知高考考向 1.（2026.全国1卷.高考真题）已知平面向量,不共线,且,则（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】由题意可知平面向量不共线,且,则. 2.（2026·北京·高考真题）已知向量,满足,,则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】因为,且 ,则,所以, 所以当反向时,取最大值为4. 3．（2025·全国1卷·高考真题）帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同）,单位（m/s）,则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【解析】由题意及图得,视风风速对应的向量为：,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,船速方向和船行风速的向量方向相反, 设真风风速对应的向量为,船行风速对应的向量为,∴,船行风速：,∴, ∴由表得,真风风速为轻风,故选A. 4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足,则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】由,得 所以.故选B. 2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中,点D在边AB上,．记,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上,,所以,即, 所以．故选B． 5．（2024·上海·高考真题）已知,且,则的值为 ． 【答案】15 【详解】,,解得． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例,挖掘高考素材 1．已知,,求证：. 证明：由已知可得. 2.已知,且∥,求. 解：因为,且∥, 所以,解得. 3.已知平行四边形的顶点,求顶点的坐标. 解：在平行四边形中, 因为,设, 则,, 所以, 解得,所以点坐标为. 4.已知是两个不共线的向量,向量共线,求实数的值. 解：由是两个不共线的向量,且共线, 所以存在实数,使得, 即, 所以, 解得. 5.已知平行四边形,为交点,,点分别为中点,点是的三等分点（）. （1）用表示； （2）由（1）能得出的关系吗？ 解：（1）=, , . （2）由（1）知,, 所以. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点,提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：向量的线性运算、向量的坐标运算、向量共线 1.已知向量,,且,则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,故,解得, 故,. 2．向量,则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先讨论充分性,当时,,,此时,,,充分性成立； 再讨论必要性,当时,,即, ,解得或,必要性不成立. 综上,“”是“”的充分不必要条件.故选A. 3．（2026. 北京市东直门中学. 高三上期初）在中,点是线段上一点,若,,则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为,所以, 因为,所以．故选D． 4．（2026. 北京师大附中.高三下考前模拟）已知为非零向量,则“与共线”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若与共线,当时,存在实数,使得, 整理得, 若与不共线,则且,矛盾,故与共线； 当,有,此时与共线； 故“与共线”是“与共线”的充分条件； 若与共线,则存在实数,使得, 则,,故与共线, 故“与共线”是“与共线”的必要条件； 综上可得：“与共线”是“与共线”的充要条件. 5．如图,在中,点是线段上靠近点的三等分点,过点的直线分别交直线、于点、. 设,,则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】如图,连接,因为点是线段上靠近点的三等分点,则, 即,所以,, 又因为,,则, 因为三点共线,设,则, 所以,,且、不共线, 所以,,,故,因此,. 6．（2026. 北京市顺义区一中.高三上月考）在中,点满足,,若,则分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由,得,由,得是边中点,, 因此,又,且不共线, 所以.故选A 7．已知平行四边形的三个顶点,,的坐标分别为,,,则点的坐标是____________． 【答案】 【解析】设点的坐标是,则,, 因为四边形为平行四边形,则, 可得,解得,即. 8．（2026. 北京师大第二附中.高三上统练）已知向量,若,则的值为____________． 【答案】 【解析】,,, ,,解得. 9．（2025. 北京市海淀区. 高三下统考）已知平面上不共线的四点,若,则______ 【答案】 【解析】由,得,即, 所以,所以,即, 重难·创新演练 试题创新:T2、T8新设问；T3、T4新考法；T5开放题；T6、T7新定义；T9新情境 1．（新考法）已知是平面内两个非零向量,那么“”是“存在,使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若,则存在唯一的实数,使得, 故,而, 存在使得成立, 所以“”是“存在,使得’的充分条件, 若且,则与方向相同,故此时,所以“”是“存在存在,使得”的必要条件,故“”是“存在,使得”的充分必要条件.故选C. 2．（2026. 北京市顺义. 高三上10月月考）（新设问）设是所在平面内的一点,满足,若,则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为,得到, 如图,且,则到的距离等于到的距离相等, 又,所以,故选D. 3．（2026. 北京市通州区. 高三上摸底考试）（新考法）已知点为所在平面内一点,,,若,则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由,所以点为的外心,又因为,所以. 设,再以点为原点,分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图： 则,所以, 又因为,所以,即. 又因为,所以点A在优弧上,所以落在角的终边上, 由三角函数的定义有,即, 所以,又因为,所以, ,,所以.故选C 4．（新考法）设,是两个不共线的非零向量,向量,,若向量,的方向相反,则实数________． 【答案】 【解析】用向量共线定理可知存在唯一一个实数,使得,因为向量,的方向相反,所以, 又因为,,则, 所以,解得或（舍去）,故. 5．（2026.北京十一学校.高三下诊断）（开放题）在三角形ABC中,,,已知点P满足,则AP的一个可能值为________． 【答案】(答案不唯一,在区间内的数均可取) 【解析】由,得,即, 设,则（）,由, 已知,则,于是, 而,因,得, ,故可得,则AP的一个可能值,在范围内的任意实数均可,例如. 6.（新定义）已知向量,,定义向量的新运算：．设向量,．若,则______；若,则______． 【答案】 【解析】第一空：因为,．,所以,解得． 所以,所以； 第二空：由,可得, 解得,所以,又,所以, 所以. 7．（新定义）已知平面内点集,A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合,. 给出以下四个结论： ①若,则； ②若为奇数,则； ③若为偶数,则； ④若,则. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①②④ 【解析】由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等,故所有个向量两两不相等. 这表明对任意的,当且仅当,有. 将其转换为更通俗的语言就是：对于点,当且仅当是集合里除了以外的点中到的距离最短的点.因为A中任意两个不同点之间的距离都不相等,设是最小的距离,则, 若或为第二小的距离,则余下的个点至多只能对应个元素, 则至多个元素,； 当是第二小的距离时,则, 若n为奇数时,与上面推导相同,至少会存在一个点不属于M,所以； 所以①②正确,③错误； 对于④,假设,. 由于, 故两两不同,且对每个,点都是中除外到距离最短的点. 特别地,都是到各自的距离最短（不包括其本身）的点. 不妨设,并记为点, 则是到各自的距离最短（不包括其本身）的点. 对两个不同点,记直线的倾斜角为. 假设存在使得,不妨设, 则,这与是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾. 所以两两不相等,不妨设. 由于,,故,, 所以. 故,同理. 而对,有或, 故. 所以,这意味着,矛盾. 这表明假设不成立,所以,④正确.故答案为①②④ 8．（新设问）三角形中,E为边的中点,D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底,表示向量； (3)若点N满足,证明：B、N、E三点共线． 【解析】（1）如图, （2）因为E为的中点,D为边上靠近点B的三等分点, 所以, 则, 所以； . （3）因为, 所以, 所以,即, 所以, 又因为有公共点, 所以三点共线. 9．（新情境）规定：在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系,设母球A的位置为（R）,目标球B的位置为,球的位置为,解决下列问题： (1)如图①,若,沿向量的方向击打母球A,能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②,若,要使目标球B向球的球心方向运动,求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③,若,能否让母球A击打目标球B后,使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 【解析】(1)能使目标球B向球的球心方向运动,理由如下： 若时,沿向量的方向击打母球A,则,而, 所以,即两向量同向共线, 所以沿向量的方向击打母球A,能使目标球B向球的球心方向运动； (2) (3)不可能让母球A击打目标球B后,使目标球B向处运动,理由如下： 若,过点与点的直线方程为． 依题意,知A,B两球碰撞时,球A的球心在直线上,且在第一象限, 设A,B两球碰撞时球A的球心坐标为,此, 则有,解得, 即A,B两球碰撞时球A的球心坐标为, ∴母球A的球心运动的直线方程为； 若,由（2）知．又, ∴, ∴, 故为锐角． ∴点到线段的距离小于2,故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞． 故不可能让母球A击打目标球B后,使目标球B向处运动． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $