第01讲 任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦任意角和弧度制、三角函数概念与诱导公式等核心考点，按知识解构-题型破译-真题溯源-分层训练逻辑架构，通过命题透视、思维建模、知识精讲、题型破译、真题训练等环节，帮助学生系统梳理扇形公式、定义法求值、同角关系、诱导公式等知识，突破运算与概念理解难点。 资料创新采用三步解题法与口诀记忆策略，如诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”培养数学运算与逻辑推理素养，设置自主检测、变式训练及分层练习，结合北京卷真题溯源与课本典例挖掘，确保高效突破5分基础题，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第01讲 任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 扇形的弧长及面积公式 知识点2 三角函数的定义 知识点3 特殊角的三角函数值 知识点4 同角三角函数基本关系式的变形 知识点5 诱导公式 题型破译 (含超链接） 题型1 扇形的弧长及面积计算【含方法技巧】 题型2 定义法求三角函数值【含方法技巧】 题型3 同角三角函数的基本关系【含方法技巧】 题型4 诱导公式的综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 三角函数的概念与诱导公式 —— T13（5分） T12（5分） 考情分析 任意角与弧度制、三角函数的概念及诱导公式是高考的基础内容，北京卷近年以填空题形式考查，分值5分，难度中等偏易。试题将任意角的概念（终边关于原点对称）与诱导公式、最值求解相结合，考查学生对三角函数定义本质的理解和运算求解能力。2024年T12与2025年T13命题背景相同，体现北京卷对基础概念考查的连续性和稳定性。2026年未直接设题。复习时需重视基础概念的准确理解，强化单位圆与三角函数线的直观认识，确保诱导公式的熟练运用。 复习目标 1.理解任意角的概念，掌握终边相同角、终边关于原点对称的角的表示方法，能进行角度与弧度的互化。 2.理解任意角三角函数的定义（单位圆定义法），掌握三角函数在各象限的符号规律。 3.掌握诱导公式，能熟练运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值与证明。 4.能将任意角的概念与诱导公式结合，解决终边特殊位置关系下的三角函数求值及最值问题。 5.体会单位圆在三角函数定义及性质研究中的核心作用，提升直观想象与数学运算素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为（），则 度量单位类别 为弧度制 扇形的弧长 _________ 扇形的面积 ________ 自主检测1已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形的弧长公式，结合圆锥的结构特征计算即得. 【详解】因圆锥的底面半径为，则其底面周长为， 又圆锥的母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为. 故选：B. 自主检测2甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，，求出圆心角，，再用半径和圆心角表示，计算即可. 【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度， 设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，. ， 又， 联立， 解得：，， ，， . 故选：B 知识点2 三角函数的定义 如图所示，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为，则______，______，______．其中 自主检测1若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. 自主检测2设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】在前提条件下，分别验证充分性和必要性是否成立，即可得解. 【详解】已知，若，则可得或. 当时，；当时，. 因此由无法推出， 所以“”是“”的不充分条件； 已知，若，则，此时， 因此由可以推出， 所以“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 知识点3 特殊角的三角函数值 知识点4 同角三角函数基本关系式的变形 （1）． （2） 【答案】；； 自主检测1已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系及两角差的正切公式求解即可. 【详解】由，，得，所以， 所以. 自主检测2已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 知识点5 诱导公式 终边关系 图示 公式 公式一 角与角的终边相同 ， ， 其中 公式二 角与角的终边关于______轴对称 ___ ___， _____， 公式三 角与角的终边关于__原点____对称 ______， ______， 公式四 角与角的终边关于______轴对称 ______， ______， 公式五 角与角的终边关于对称 ______________ 公式六 角的终边可以看作角的终边逆时针旋转 ______________ 自主检测1的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 自主检测2已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】 题●型●破●译 题型1 扇形的弧长及面积计算 例1-1（25-26高三上·北京·阶段检测）一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据扇形的面积求出半径，再由弧长公式得出结果. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，中心角为，面积为， 根据扇形的面积公式可得：，解得， 再根据弧长公式可得：，解得. 故选：C. 例1-2（25-26高三上·北京房山·阶段检测）扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素，小明制作了一把扇子，其半径为，圆心角为，则这把扇子的弧长为______． 【答案】 【分析】由弧长公式求解即可. 【详解】由弧长公式可得， 故答案为： 方法技巧 三步解题法： 1. 统一单位：角度必须化为弧度制（ 弧度），设圆心角为 （弧度），半径为 。 1. 代公式： 弧长 扇形面积 1. 注意范围：若涉及最值（如周长固定求面积最大），常用二次函数或基本不等式；扇形中 。 口诀：弧长等于半径乘角，面积半乘弧长半径；角度化弧是关键，最值常考二次型。 【变式训练1-1】（25-26高三上·北京·开学考试）若圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是钝角，那么其侧面展开所得扇形的圆心角可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，依题意得到，利用扇形的弧长公式，即可得解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开所得扇形的圆心角为， 若圆锥的顶角是钝角，则，即， 所以侧面展开所得扇形的圆心角. 故选：D.    【变式训练1-2】（2026·北京·模拟预测）如图，半径为1的圆与直线相切于点，点，同时从点出发，点沿着直线向右、点沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．连接，，与圆交于点，记扇形的面积为，与线段，围成的面积记为，点，运动过程中，下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出两个图形的面积，结合选项判断即可. 【详解】设运动路程为，，设， 由弧长公式：， ，， 扇形的面积为，所以，即，C正确，D不正确； 因为最大可取，，所以，A不正确； 当取时，,此时，故存在，B不正确. 题型2 定义法求三角函数值 例2-1（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：C 例2-2（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知为角终边上一点，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数及充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】当时，，则，充分性成立， 当时，则，可得，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例2-3（2026·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若角终边在第二象限，不妨令，此时，，， 取特殊值，则，，，此时， 所以“角终边在第二象限”不能推出“”； 若， 若终边在轴上，； 若终边在轴上，无意义； 所以为象限角，不妨设， 若，则，因，故，得，与条件矛盾，排除； 若，则， 取，则，所以. 所以可能成立； 若，则，，所以不可能成立，排除； 若，则，，所以不可能成立，排除； 因此，由三角函数的周期性得，仅第二象限角中存在，满足. 所以“”“角终边在第二象限”. 所以“角终边在第二象限”是“”的必要不充分条件. 方法技巧 三步解题法： 1. 取点求距离：若角 终边上一点 （非原点），则 。 1. 套定义： 1. 确定符号：根据点所在象限判断三角函数值的正负（一全正，二正弦正，三正切正，四余弦正）。 口诀：终边取点算距离，正弦余弦比 ，正切纵比横，符号看象限。 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）角的终边过点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义先计算，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 故选：B. 【变式训练2-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为终边上一点， 所以由三角函数点定义得，即， 所以， 故选：C. 【变式训练2-3】（2026·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，点在角的终边上，点在角的终边上，使命题“若，则”为真命题的条件是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于直线对称 D．与关于直线对称 【答案】B 【分析】设出点的坐标，由确定该点横纵坐标的范围，再利用正弦函数的定义逐项求解判断. 【详解】设，由，则角的终边在轴上方，即， 对于A，由与关于轴对称，得，则，A不是； 对于B，由与关于轴对称，得，则，B是； 对于C，由与关于直线对称，得，当时，，C不是； 对于D，由与关于直线对称，得，当时，，D不是. 题型3 同角三角函数的基本关系 例3-1已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的平方关系与商数关系即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，又为第二象限角，所以. 故选：A. 例3-2已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数之间的关系及二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为，所以，又， 所以 . 故选：A. 例3-3已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件式平方化简，再利用与的关系，结合求解，最后由平方差公式即可. 【详解】对于选项A，由，式子两边同时平方，得，即， 又，上式化为，故A错误； 对于选项B，，则，由，，即， ，，故B错误； 对于选项C，由，解得，，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：D. 方法技巧 三步解题法： 1. 识别已知与所求：明确已知是正弦、余弦还是正切，所求是哪一个。 1. 选用关系式： （求正弦或余弦） （求正切，或已知正切求正弦、余弦） 1. 确定符号：利用角所在象限或给定范围，判断开方后的正负（尤其是平方关系开方时）。 技巧：已知 ，可将 代入 ，解得 ，再根据象限取符号。 【变式训练3-1】若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的关系求出，结合诱导公式得到结果. 【详解】∵是第二象限角， ∴. ∵, ∴, ∴. 故选：D. 【变式训练3-2】已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：B. 【变式训练3-3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用“1”的代换得到关于正余弦的齐次式，再由弦化切求值即可. 【详解】由. 故选：C 题型4 诱导公式的综合应用 例4-1（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式，可得. 例4-2（2026·北京东城·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 故 例4-3在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】验证必要性：若，代入，利用三角函数诱导公式化简，结合的奇偶性判断. 验证充分性：若，利用三角函数的诱导公式，推导与的关系. 【详解】必要性证明： 已知， 若为偶数，设，则，， 故； 若为奇数，设，则，， 故，因此右边可以推出左边，必要性成立. 充分性证明： 由得， 根据的通解：， 代入得：， 因此充分性也成立， 综上，“”是“”的充分必要条件. 方法技巧 三步解题法： 1. 观察角的形式：将任意角化为 或 的形式。 1. 口诀“奇变偶不变，符号看象限”： 为偶数，函数名不变； 为奇数，正弦变余弦，正切变余切（一般只记正弦、余弦、正切）。 将 视为锐角，判断原角所在象限，确定化简后的符号。 1. 化简求值：将原式化为 、 或 后，代入已知条件或特殊角求值。 注意：诱导公式可循环使用，最终将任意角化到 的锐角；若遇到负角，先用 等处理。 【变式训练4-1】已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】 【变式训练4-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）“” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据诱导公式和余弦函数定义，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】当，时，， 所以， 当，时，， 所以， 所以由“” 可以推出 “”； 当时，， 所以，或，， 即，， 所以由“” 可以推出 “”； 故“” 是 “” 的充分必要条件. 故选：C 【变式训练4-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）“” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据诱导公式和余弦函数定义，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】当，时，， 所以， 当，时，， 所以， 所以由“” 可以推出 “”； 当时，， 所以，或，， 即，， 所以由“” 可以推出 “”； 故“” 是 “” 的充分必要条件. 故选：C 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 2．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 3．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 4．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___． 【答案】（满足即可） 【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解. 【详解】与关于轴对称， 即关于轴对称， ， 则， 当时，可取的一个值为. 故答案为：（满足即可）. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1. 已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形的周长为4R，则该扇形中所含弓形的面积是多少？（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 【答案】 【分析】根据扇形周长可得扇形的弧长，进而可得扇形的圆心角弧度，从而求得弓形面积. 【详解】由题意，扇形的弧长，故， 则扇形的面积，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为，底为，该三角形面积为， 故扇形中所含弓形面积为 2. 时钟的分针长5cm，从到，分针转过的角是多少弧度？分针扫过的扇形面积是多少？分针尖端所走过的弧长是多少？（取3.14，计算结果精确到0.01） 【答案】；； 【分析】根据题意求得分针转过的弧度，再利用扇形面积公式与弧长公式即可得解. 【详解】时钟的分针从到，分针转过的角的弧度是， 所以分针扫过的扇形面积 分针尖端所走过的弧长是. 3. 角α的终边与单位圆交于点，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角，，，的正弦函数值、余弦函数值． 【答案】答案见解析 【分析】结合图象，根据对称性直接写出点的坐标；然后根据角的关系、对称性以及三角函数的定义，即可得出答案. 【详解】    点P关于x轴对称的点的坐标，点P关于y轴对称的点的坐标，点P关于原点对称的点的坐标. 易知角的终边经过点，根据三角函数的定义可知， ，； 角的终边经过点，根据三角函数的定义可知， ，； 角的终边经过点，根据三角函数的定义可知， ，； 角的终边经过点，根据三角函数的定义可知， ，. 4. 已知，且是第三象限角，你能求出，的三角函数值吗？你能求出与有关的其他角的三角函数值吗？ 【答案】 ，， 为第二象限角， 此时； 当为奇数时，为第四象限角， 此时. 【分析】由同角三角函数的关系、二倍角公式结合角所在的象限即可得解. 【详解】因为，且是第三象限角， 所以， 所以， ， 又， 因为是第三象限角，即， 所以， 当为偶数时，为第二象限角， 此时； 当为奇数时，为第四象限角， 此时. 5. 已知，计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分子分母同时除以弦化切，然后代入可得； （2）利用平方关系式将目标式化为齐次式，然后弦化切可得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以 6. 求值：（－）·（－）. 【答案】当为一三象限角时，原式；当为二四象限角时，原式. 【详解】解：原式＝· ， 当为一三象限角时，原式； 当为二四象限角时，原式. 7. 化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据特殊角的三角函数值和三角函数的诱导公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据三角函数的诱导公式，可得： . （2）解：根据三角函数的诱导公式，可得： . （3）解：根据特殊角的三角函数值，可得： . （4）解：根据特殊角的三角函数值，可得： . （5）解：根据特殊角的三角函数值和三角函数的诱导公式，可得： . 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用扇形的弧长公式求出扇形的半径，最后利用面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则， 又扇形的圆心角为，由弧长公式得， ，解得，， 该扇形的面积为. 故选：. 2．已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】直接运用扇形的弧长公式，求出弧长即可． 【详解】运用弧长公式得到. 故选：B. 3．在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得. 【详解】由三角函数的定义可知， 所以. 故选：A. 4．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意可得， 所以， 则. 故选：B 5．角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点， 则,. 所以 故选：D 6．若，则（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】根据三角函数在单位圆中的定义解方程即可. 【详解】    如图，所以. 故选：C. 7．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用之间关系求解即可. 【详解】因为，所以， 因为,又， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 8．已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合三角函数的单调性、平方关系，并根据充分、必要条件的知识判断即可. 【详解】由题意， 若，因为均为第二象限角，所以， 所以，即， 所以，且均为第二象限角， 所以，所以，即充分性成立. 若，因为均为第二象限角， 所以，即， 所以，即， 因为均为第二象限角，所以， 所以，故必要性成立, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 9．已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切化弦，然后可得，再结合平方关系式和诱导公式可得. 【详解】因为，所以. 因为，所以0，所以，解得或. 因为，所以，，所以，即， 可得，所以. 故选：A. 10．已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据诱导公式及三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 因为把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边， 所以， 所以. 故选：D. 11．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边上的点有，应用诱导公式即可得函数值. 【详解】由题设，则. 故选：C 重难·创新演练 12．“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解. 【详解】角与的终边关于直线对称，则，， 又，则，， 所以由角与的终边关于直线对称，可以推出， 由，可以推出角与的终边关于直线对称， 所以角与的终边关于直线对称是的充要条件. 故选：A. 13．已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧度公式即可得解. 【详解】设扇形半径为,易得,则由已知该扇形弧长为. 记扇形面积为,则, 当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形的圆心角为，则 故选：D 14．已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再利用三角恒等变换和齐次化变形，代入求值. 【详解】角的终边落在直线，故， . 故选：C 15．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由任意角的三角函数的定义结合和角公式求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，则，. 所以. 故选：B 16．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系化弦为切，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由， 得，解得或， 由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 17．若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义即可解答． 【详解】要使，必须，，即，，所以是第二象限角. 故选：B. 18．已知，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先利用两角和的正切公式求出的值，然后利用诱导公式和同角三角函数关系式化简求解即可. 【详解】由， 解得：， 所以， 故选：C. 19．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义得到，再结合同角三角函数商的关系弦化切即可求解. 【详解】由角终边经过点，得， 所以， 故选：B 20．已知，且，则（   ） A． B． C．或-1 D．1或 【答案】A 【分析】利用二倍角公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 即，得， 因此，或，又时，, 所以或， 又因为时，所以，所以. 故选：A 21．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先验证充分性，由已知可得或，即可知之间的关系；再验证必要性，根据之间的关系，结合诱导公式即可判断. 【详解】充分性：因为，所以或， 当时，或，， 当时， 或，， 可得或，所以充分性不成立， 必要性：若， 当为偶数时，设，则， 则，满足， 当为奇数时，设，则， 则，满足， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 扇形的弧长及面积公式 知识点2 三角函数的定义 知识点3 特殊角的三角函数值 知识点4 同角三角函数基本关系式的变形 知识点5 诱导公式 题型破译 (含超链接） 题型1 扇形的弧长及面积计算【含方法技巧】 题型2 定义法求三角函数值【含方法技巧】 题型3 同角三角函数的基本关系【含方法技巧】 题型4 诱导公式的综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 三角函数的概念与诱导公式 —— T13（5分） T12（5分） 考情分析 任意角与弧度制、三角函数的概念及诱导公式是高考的基础内容，北京卷近年以填空题形式考查，分值5分，难度中等偏易。试题将任意角的概念（终边关于原点对称）与诱导公式、最值求解相结合，考查学生对三角函数定义本质的理解和运算求解能力。2024年T12与2025年T13命题背景相同，体现北京卷对基础概念考查的连续性和稳定性。2026年未直接设题。复习时需重视基础概念的准确理解，强化单位圆与三角函数线的直观认识，确保诱导公式的熟练运用。 复习目标 1.理解任意角的概念，掌握终边相同角、终边关于原点对称的角的表示方法，能进行角度与弧度的互化。 2.理解任意角三角函数的定义（单位圆定义法），掌握三角函数在各象限的符号规律。 3.掌握诱导公式，能熟练运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值与证明。 4.能将任意角的概念与诱导公式结合，解决终边特殊位置关系下的三角函数求值及最值问题。 5.体会单位圆在三角函数定义及性质研究中的核心作用，提升直观想象与数学运算素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为（），则 度量单位类别 为弧度制 扇形的弧长 _________ 扇形的面积 ________ 自主检测1已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 自主检测2甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 知识点2 三角函数的定义 如图所示，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为，则______，______，______．其中 自主检测1若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 自主检测2设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点3 特殊角的三角函数值 知识点4 同角三角函数基本关系式的变形 （1）． （2） 自主检测1已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 自主检测2已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 知识点5 诱导公式 终边关系 图示 公式 公式一 角与角的终边相同 ， ， 其中 公式二 角与角的终边关于______轴对称 ______， _____， 公式三 角与角的终边关于______对称 ______， ______， 公式四 角与角的终边关于______轴对称 ______， ______， 公式五 角与角的终边关于对称 ______________ 公式六 角的终边可以看作角的终边逆时针旋转 ______________ 自主检测1的值为（   ） A． B． C． D． 自主检测2已知，则（    ） A． B． C．1 D． 题●型●破●译 题型1 扇形的弧长及面积计算 例1-1（25-26高三上·北京·阶段检测）一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例1-2（25-26高三上·北京房山·阶段检测）扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素，小明制作了一把扇子，其半径为，圆心角为，则这把扇子的弧长为______． 方法技巧 三步解题法： 1. 统一单位：角度必须化为弧度制（ 弧度），设圆心角为 （弧度），半径为 。 1. 代公式： 弧长 扇形面积 1. 注意范围：若涉及最值（如周长固定求面积最大），常用二次函数或基本不等式；扇形中 。 口诀：弧长等于半径乘角，面积半乘弧长半径；角度化弧是关键，最值常考二次型。 【变式训练1-1】（25-26高三上·北京·开学考试）若圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是钝角，那么其侧面展开所得扇形的圆心角可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·北京·模拟预测）如图，半径为1的圆与直线相切于点，点，同时从点出发，点沿着直线向右、点沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．连接，，与圆交于点，记扇形的面积为，与线段，围成的面积记为，点，运动过程中，下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 题型2 定义法求三角函数值 例2-1（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 例2-2（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知为角终边上一点，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2-3（2026·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 三步解题法： 1. 取点求距离：若角 终边上一点 （非原点），则 。 1. 套定义： 1. 确定符号：根据点所在象限判断三角函数值的正负（一全正，二正弦正，三正切正，四余弦正）。 口诀：终边取点算距离，正弦余弦比 ，正切纵比横，符号看象限。 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）角的终边过点，则（   ） A． B． C． D．3 【变式训练2-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（2026·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，点在角的终边上，点在角的终边上，使命题“若，则”为真命题的条件是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于直线对称 D．与关于直线对称 题型3 同角三角函数的基本关系 例3-1已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 例3-2已知，则（　　） A． B． C． D． 例3-3已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 方法技巧 三步解题法： 1. 识别已知与所求：明确已知是正弦、余弦还是正切，所求是哪一个。 1. 选用关系式： （求正弦或余弦） （求正切，或已知正切求正弦、余弦） 1. 确定符号：利用角所在象限或给定范围，判断开方后的正负（尤其是平方关系开方时）。 技巧：已知 ，可将 代入 ，解得 ，再根据象限取符号。 【变式训练3-1】若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知，则（   ） A． B． C． D． 题型4 诱导公式的综合应用 例4-1（    ） A． B． C． D． 例4-2（2026·北京东城·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 例4-3在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 三步解题法： 1. 观察角的形式：将任意角化为 或 的形式。 1. 口诀“奇变偶不变，符号看象限”： 为偶数，函数名不变； 为奇数，正弦变余弦，正切变余切（一般只记正弦、余弦、正切）。 将 视为锐角，判断原角所在象限，确定化简后的符号。 1. 化简求值：将原式化为 、 或 后，代入已知条件或特殊角求值。 注意：诱导公式可循环使用，最终将任意角化到 的锐角；若遇到负角，先用 等处理。 【变式训练4-1】已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练4-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）“” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练4-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）“” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 2．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 3．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 4．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1. 已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形的周长为4R，则该扇形中所含弓形的面积是多少？（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 2. 时钟的分针长5cm，从到，分针转过的角是多少弧度？分针扫过的扇形面积是多少？分针尖端所走过的弧长是多少？（取3.14，计算结果精确到0.01） 3. 角α的终边与单位圆交于点，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角，，，的正弦函数值、余弦函数值． 4. 已知，且是第三象限角，你能求出，的三角函数值吗？你能求出与有关的其他角的三角函数值吗？ 5. 已知，计算： (1)； (2) 6. 求值：（－）·（－）. 7. 化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（  ） A． B． C． D． 5．角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．0 6．若，则（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 7．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 10．已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（    ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 重难·创新演练12．“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（    ） A． B． C．3 D．2 14．已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 16．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．已知，则（   ） A． B．3 C． D． 19．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 20．已知，且，则（   ） A． B． C．或-1 D．1或 21．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $