专题06 平面向量和复数（学考真题汇编，北京专用）2027年高中数学

西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06平面向量和复数 4类高频考点 目录 ☑考点一平面向量的基本定理及坐标表示 ☑考点二平面向量的线性运算 ☑考点三平面向量的数量积 ☑考点四复数 四学考汇编分考点专练 考点一平面向量的基本定理及坐标表示（共14题） 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.c 7.A 8.C 9.0 10.A 11.D 12.C 1/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(-5,4) 14.【答案】(1)A不满足性质①，B满足性质① 2)ci)s.(2,1.(3,1 .(答案不唯一） (i)设向量序列 :a1,a2,…,am 因为满足性质@，所以-无=0或 由性质①且”=5 =1,xm=5 可得 根据已知条件，存在正整数'，使得=4 当8=(4) 时，a可为 （4,2).(5,1) 或 因为向量4)(4,2）不同时在向量序列S中， 所以(6，) 则末向元。=8-6段8，=a:=62列 所以5：G.a4(5,或5：a.a（4(65.(62） 当4=42到时可为4或52）， 因为向量1)4,2)不同时在向量序列5中。 所以a=62) 则末向量a.=a=(5,2）或8.=a,=(5. 所以 :,d,…,(4,2)(5,2)S:d,d,…,(4,2)(5,2),(5, 或 放当1=5，且向量4)42)不同时在向量序列5中使，向量序列5成对出现 综上，任何满足条件的序列，在其第一个x坐标为4的向量确定后（为(4，D或(4,2）)，都有两种方式延伸 至终点 214 可学科网 www zxxk com 让教与学更高效 因此，所有满足条件的序列总数是所有可能的前缀路径（截止到第一个x坐标为4的向量）数量的两倍， 故总数为偶数” 【分析】(1)根据定义，结合给出的向量序列即可判断： (2)根据定义，()任写一个同时满足性质①和性质②的向量序列S即可， (西)分情况讨论向量4)，(4,2)不同时在向量序列S中的情说即可得证 【详解】4)根据性质@，当”=3时，向量序列首向量为， ,未向量为B,）,且向量互不相等 对于向量序 4:12,122）,其末向量2)不满足性质0，所以4不满足性质①， 对于向量序列 :,.(,2).(2,2).(2,3,,其首向量为 ,末向量为3,1)，且向量互不相等，所以B ,1) 满足性质①， 综上，A不满足性质①，B满足性质① (2)根据性质0.当“=3时：向0序列首向量为似，未向量为B）,儿=2，且的量五不 相等。 根据性质②，当”=3时，相邻向量差-a∈T=,0),(0,).(0,-1 即相邻向量要么x增加1且y不变，要么不变且'根据前一向量增加1或减小1. :(1,1),(2,1),(3,1) 所以可写出向量序列 经验证，同时满足性质①和性质②， (iⅱ)略 考点二平面向量的线性运算（共2题） 1.C 2.D 考点三平面向量的数量积（共12题） 1.C 2.A 3.c 314 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.B 5.c 6.A 7.B 8.B 9.(0,) (答案不唯一) (0,2) (答案不唯一) 10.2 11.①②③ 12.2 -2 考点四复数（共12题） 1.A 2.D 3.D 4.D 5.B 6.D 7.B 8.D 9.C 10.c 11.3+4i 12.3+i拼i+3 414 专题06 平面向量和复数 4类高频考点 目 录 ✅考点一 平面向量的基本定理及坐标表示 ✅考点二 平面向量的线性运算 ✅考点三 平面向量的数量积 ✅考点四 复数 考点一 平面向量的基本定理及坐标表示（共14题） 1．（2025·北京学业水平合格考·第二次）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题利用向量平行的坐标性质列出等式即可求解． 【详解】根据，， 若，则， 即，即． 故选：D． 2．（2025·北京学业水平合格考·第一次）下列向量中，与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对A：因为，故与共线； 对B：因为，故与不共线； 对C：因为，故与不共线； 对D：因为，故与不共线. 故选：A 3．（2024·北京学业水平合格考·第二次）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的运算法则可得结果. 【详解】易知. 故选：B 4．（2023·北京学业水平合格考·第一次）向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】运用坐标计算向量的模. 【详解】由图形可知：  ； 故选：B. 5．（2023·北京学业水平合格考·第一次）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相等向量的定义即可得答案. 【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,O为正六边形ABCDEF的中心， 所以与模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确； 与只是模相等的向量，故B错误； 与只是模相等的向量，故C错误； 与只是模相等的向量，故D错误. 故选：A. 6．（2023·北京学业水平合格考·第一次）已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为向量，且，则. 故选：C. 7．（2021·北京学业水平合格考）如图，四边形是平行四边形，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量减法三角形法则可直接得到结果. 【详解】由平面向量减法的三角形法则知：. 故选：A. 8．（2024·北京学业水平合格考·第一次）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】， . 故选：C. 9．（2023·北京学业水平合格考·第二次）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 【答案】D 【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可. 【详解】因为两个非零向量，满足， 所以为共线反向向量，且模不相等， 所以ABC错误，D正确. 故选：D 10．（2022·北京学业水平合格考）已知向量，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】， 故选：A 11．（2021·北京学业水平合格考）已知平面向量，给出下列四个结论： ①；    ②    ③    ④． 其中正确结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据向量的概念，可判定①不正确；由向量的坐标运算，可判定②③不正确；由向量的模的计算公式，可判定④正确. 【详解】由题意，平面向量，根据向量的概念，可得，所以①不正确； 由向量的坐标运算，可得，所以②不正确； 由向量的坐标运算，可得，所以③不正确； 由向量的模的计算公式，可得，所以④正确. 故选：D. 12．（2026·北京学业水平合格考·第一次）已知为等边三角形的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，作BC中点D，则，因为为等边三角形的中心，则， 所以，，， 则. 13．（2023·北京学业水平合格考·第二次）已知向量，，则______． 【答案】 【分析】根据向量加法的坐标运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 14．（2025·北京学业水平合格考·第二次）给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中. 给出两个性质： ①，且中的向量互不相等； ②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”. (1)当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明） (2)（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列； （）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数. 【答案】(1)不满足性质①，满足性质① (2)（）.（答案不唯一） （）设向量序列. 因为满足性质②，所以或. 由性质①且可得， 根据已知条件，存在正整数，使得. 当时，可为或， 因为向量不同时在向量序列中， 所以，则末向量或， 所以或. 当时，可为或， 因为向量不同时在向量序列中， 所以，则末向量或， 所以或. 故当，且向量不同时在向量序列中使，向量序列成对出现. 综上，任何满足条件的序列，在其第一个坐标为4的向量确定后（为或），都有两种方式延伸至终点. 因此，所有满足条件的序列总数是所有可能的前缀路径（截止到第一个坐标为4的向量）数量的两倍，故总数为偶数.” 【分析】（1）根据定义，结合给出的向量序列即可判断； （2）根据定义，（）任写一个同时满足性质①和性质②的向量序列即可， （）分情况讨论向量不同时在向量序列中的情况即可得证. 【详解】（1）根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，且向量互不相等. 对于向量序列，其末向量不满足性质①，所以不满足性质①； 对于向量序列，其首向量为，末向量为，且向量互不相等，所以满足性质①. 综上，不满足性质①，满足性质①. （2）（）根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，，且向量互不相等. 根据性质②，当时，相邻向量差， 即相邻向量要么增加且不变，要么不变且根据前一向量增加或减小. 所以可写出向量序列，经验证，同时满足性质①和性质②. （）略 考点二 平面向量的线性运算（共2题） 1．（2023·北京学业水平合格考·第二次）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可. 【详解】因为四边形是菱形， 所以根据向量加法的平行四边形法则知，， ，故C对D错； 因为向量方向不同，所以，，故AB错误. 故选：C 2．（2022·北京学业水平合格考）如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相等向量的定义判断选项AB，利用平面向量的三角形法则判断CD． 【详解】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误； 对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误； 对于C，利用三角形法则知，故C错误； 对于D，利用三角形法则知，故D正确； 故选：D 考点三 平面向量的数量积（共12题） 1．（2026·北京学业水平合格考·第二次）已知，，向量与向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】利用数量积公式得. 2．（2025·北京学业水平合格考·第二次）已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量点积的概念，向量点积公式为，我们可以通过这个公式来求解夹角的余弦值. 【详解】已知， 由向量点积公式可得：， 将代入上式， 得到： . 故选：A. 3．（2023·北京学业水平合格考·第二次）已知向量，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数的值. 【详解】因为向量，，，则，解得. 故选：C. 4．（2022·北京学业水平合格考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，那么（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据数量积的坐标运算进行求解. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系 由题意可知，， ， 故选：B 5．（2021·北京学业水平合格考）已知平面向量，那么等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直接由向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】平面向量， 所以. 故选：C. 6．（2026·北京学业水平合格考·第二次）已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，解得. 7．（2026·北京学业水平合格考·第一次）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B对； 对于C，，所以，C错； 对于D，，D错. 8．（2025·北京学业水平合格考·第一次）已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义求解. 【详解】. 故选：B 9．（2024·北京学业水平合格考·第一次）已知向量，其中.命题p：若，则，能说明p为假命题的一组和的坐标为________，________. 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】直接根据可得答案. 【详解】让即可， 如，此时 故答案为：（答案不唯一）. 10．（2022·北京学业水平合格考）已知向量，且，则实数____________；____________. 【答案】 2 4 【分析】（1）解方程得解；（2）利用数量积的公式求解. 【详解】解：（1）由题得； （2）. 故答案为：2；4. 11．（2025·北京学业水平合格考·第二次）如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①； ②的最大值为25； ③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【分析】本题可通过建立平面直角坐标系，结合蜂巢的图形并利用向量的坐标运算来逐一分析三个结论． 【详解】①因为正六边形边长为1，由图形可知，该六边形最长的对角线为2，到在竖直方向上间隔2个最长对角线以及1个正六边形边长对应的距离，最长对角线， 故，①正确． ②建立如图所示平面直角坐标系，由且AB在竖直方向， 可得，则，设，那么，则， 要使最大，需要最大，结合图形，的最大值可达到5（例如当处于图中M点时）， 此时，即的最大值为25，②正确． ③同样基于②建立的平面直角坐标系，虽然C、D两点异于A、B两点，但因为图中蜂巢的对称性， C、D两点距离最远的问题仍可以等价为蜂巢中任意两点间距离最远的问题， 为使得C、D两点相距最远，两点之间应靠近边界，根据对称性，可假设C点位于原点A， 此时根据对称性只需要考虑D点位于y轴左边即可，所以. 由图观察可见，离C点最远的顶点应是六边形的顶点， 而对于正六边形MNPQRS，其中，U为PR中点，，，， 在正六边形MNPQRS中，外边界四点P、N、M、S离C点相对较远， 对应坐标为，即，，即， ，即，，即， 可知，，所以外边界四点P、N、M、S中，只需要考虑M、N两点， 因、，故应取更大的，③正确． 故答案为：①②③． 12．（2024·北京学业水平合格考·第二次）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则__________；__________. 【答案】 2 -2 【分析】根据网格图得到，然后求数量积即可. 【详解】由题意得，. 故答案为：2；-2. 考点四 复数（共12题） 1．（2025·北京学业水平合格考·第二次）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何表示即可得. 【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以. 故选：A. 2．（2025·北京学业水平合格考·第一次）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数加法运算法则求解. 【详解】由，， 则， 故选：D 3．（2024·北京学业水平合格考·第二次）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复数对应的点为即可求解. 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 4．（2024·北京学业水平合格考·第一次）复数（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】D 【分析】直接根据复数的运算得答案. 【详解】. 故选：D. 5．（2023·北京学业水平合格考·第二次）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由复数的几何意义得出答案. 【详解】复数对应的点坐标为，位于第二象限 故选：B 6．（2023·北京学业水平合格考·第二次）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算可得答案. 【详解】. 故选：D. 7．（2022·北京学业水平合格考）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】直接利用复数的几何意义求解. 【详解】解：在复平面内，复数对应的点为，在第二象限. 故选：B 8．（2021·北京学业水平合格考）已知复数，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的加法运算可直接得到结果. 【详解】. 故选：D. 9．（2022·北京学业水平合格考）若复数，则（      ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】直接根据复数的模的计算公式计算即可的出答案. 【详解】因为，所以. 故选：C. 10．（2026·北京学业水平合格考·第二次）已知复数，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为，所以. 11．（2026·北京学业水平合格考·第一次）已知复数，则__________. 【答案】 【分析】由复数的加法运算即可求解. 【详解】由题意得. 12．（2023·北京学业水平合格考·第一次）已知复数，，则______． 【答案】## 【分析】利用复数的加法法则即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量和复数 4类高频考点 目 录 ✅考点一 平面向量的基本定理及坐标表示 ✅考点二 平面向量的线性运算 ✅考点三 平面向量的数量积 ✅考点四 复数 考点一 平面向量的基本定理及坐标表示（共14题） 1．（2025·北京学业水平合格考·第二次）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 2．（2025·北京学业水平合格考·第一次）下列向量中，与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京学业水平合格考·第二次）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京学业水平合格考·第一次）向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ） A．2 B． C． D．3 5．（2023·北京学业水平合格考·第一次）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·北京学业水平合格考·第一次）已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C． D． 7．（2021·北京学业水平合格考）如图，四边形是平行四边形，那么等于（    ） A． B． C． D． 8．（2024·北京学业水平合格考·第一次）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·北京学业水平合格考·第二次）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 10．（2022·北京学业水平合格考）已知向量，那么（    ） A． B． C． D． 11．（2021·北京学业水平合格考）已知平面向量，给出下列四个结论： ①；    ②    ③    ④． 其中正确结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 12．（2026·北京学业水平合格考·第一次）已知为等边三角形的中心，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·北京学业水平合格考·第二次）已知向量，，则______． 14．（2025·北京学业水平合格考·第二次）给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中. 给出两个性质： ①，且中的向量互不相等； ②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”. (1)当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明） (2)（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列； （）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数. 考点二 平面向量的线性运算（共2题） 1．（2023·北京学业水平合格考·第二次）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2022·北京学业水平合格考）如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三 平面向量的数量积（共12题） 1．（2026·北京学业水平合格考·第二次）已知，，向量与向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2025·北京学业水平合格考·第二次）已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·北京学业水平合格考·第二次）已知向量，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·北京学业水平合格考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，那么（    ） A． B．1 C． D．2 5．（2021·北京学业水平合格考）已知平面向量，那么等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·北京学业水平合格考·第二次）已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2026·北京学业水平合格考·第一次）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京学业水平合格考·第一次）已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 9．（2024·北京学业水平合格考·第一次）已知向量，其中.命题p：若，则，能说明p为假命题的一组和的坐标为________，________. 10．（2022·北京学业水平合格考）已知向量，且，则实数____________；____________. 11．（2025·北京学业水平合格考·第二次）如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①； ②的最大值为25； ③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是______. 12．（2024·北京学业水平合格考·第二次）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则__________；__________. 考点四 复数（共12题） 1．（2025·北京学业水平合格考·第二次）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京学业水平合格考·第一次）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京学业水平合格考·第二次）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京学业水平合格考·第一次）复数（    ） A．i B． C．1 D． 5．（2023·北京学业水平合格考·第二次）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2023·北京学业水平合格考·第二次）复数（    ） A． B． C． D． 7．（2022·北京学业水平合格考）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2021·北京学业水平合格考）已知复数，，那么等于（    ） A． B． C． D． 9．（2022·北京学业水平合格考）若复数，则（      ） A．3 B．4 C．5 D．7 10．（2026·北京学业水平合格考·第二次）已知复数，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（2026·北京学业水平合格考·第一次）已知复数，则__________. 12．（2023·北京学业水平合格考·第一次）已知复数，，则______． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $