2026年北京市高二第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题

2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一） 第一部分（选择题 共54分） 一、选择题：共18小题，每小题3分，共54分．在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知函数则（ ） A． B．0 C．1 D．2 4．已知向量，．若，则实数（ ） A． B． C．1 D．2 5．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 6．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 7．函数的图象过点（ ） A． B． C． D． 8．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 9．如图，在正四棱锥中，下列结论正确的是（ ） A．直线与直线相交 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线是异面直线 10．已知，，向量与向量的夹角为，则（ ） A． B． C．1 D． 11．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 12．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：min）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长在的快递单数为（ ） A．20000 B．30000 C．40000 D．50000 14．设，，则，，1的大小关系为（ ） A． B． C． D． 15．某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（ ） A． B． C． D． 16．已知，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．如图，，，，是半径为1的圆上的四等分点，圆与数轴相切于原点．数轴上的点对应的数为，把数轴看成一个“皮尺”，将线段按逆时针方向缠绕到圆上，则点与圆上重合的点是（ ） A．点O B．点P C．点Q D．点R 18．某市2025年1～8月运输邮电业主要业务量指标如下表所示： 项目 计量单位 8月 8月同比增长率 1～8月 1～8月同比增长率 邮政行业业务总量 亿标准量 29.63 10.2% 241.77 8.8% 电信业务总量 亿元 49.16 11.5% 391.94 4.5% 客运量 万人 7798.7 60588.1 货物量 万吨 1652.3 13653.0 3.6% 说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2025年8月与2024年8月相比较；同比增长率=（本期数-同期数）÷同期数． 根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A．表中的4个项目中，2025年8月同比增长率最低的是货物量 B．表中的4个项目中，2025年1～8月同比增长率最高的是客运量 C．2025年邮政行业业务总量，8月高于同年1～8月的平均值 D．电信业务总量8月在1～8月中的占比，2024年低于2025年 第二部分（非选择题 共46分） 二、填空题：共3小题，每小题4分，共12分． 19．在中，，，，则________． 20．已知，则________，________．（两空均填“”或“”） 21．2025年7月我国首台月壤打砖机在深空探测实验室研制成功，这种打砖机可以利用聚光太阳能将月壤熔融成型．小明在通用技术课上制作了“月壤砖”模型，并拼成如图1所示的长方体，该长方体是由图2、图3所示的榫、卯结构多面体组成．在图1中，，，，，，，，． 给出下列三个结论： ①图2所示的榫结构多面体的体积为； ②图3所示的卯结构多面体的体积为； ③图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：共4小题，共34分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 22．（本小题8分） 已知函数． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 23．（本小题9分） 阅读下面题目及其解答过程． 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面． （1）求证：平面； （2）若，求证：． 证明：（1）因为侧面为正方形，所以 ① ． 又 ② ，平面， 所以平面． （2）因为侧面为正方形，所以 ③ ． 因为平面平面， 平面平面， 所以 ④ ． 又因为平面，所以 ⑤ ． 因为，，，所以． 所以 ⑥ ．所以． 以上题目的解答过程中，设置了①～⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A）平面 （B）平面 ③ （A） （B） ④ （A）平面 （B）平面 ⑤ （A） （B） ⑥ （A） （B） 24．（本小题9分） 已知函数（a为常数）的图象过点． （1）求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； （2）求不等式的解集． 25．（本小题8分） 给定正整数，从区间中的个整数中任取个不同的整数，若这个整数中存在和为0的3个数，则称具有性质． （1）判断2是否具有性质，2是否具有性质；（结论无需证明） （2）若具有性质，求的最大值； （3）若5具有性质，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一） 第一部分 选择题 1．A 2．C 3．D 4．A 5．D 6．A 7．B 8．B 9．D 10．C 11．B 12．A 13．D 14．D 15．C 16．B 17．C 18．D 第二部分 非选择题 19． 20． 21．①②③ 22．解：（1）因为， 所以 ． 所以． （2）因为， 所以． 所以． 当，即时，取得最大值1． 所以在区间上的最大值为1． 23．①A ②B ③A ④B ⑤B ⑥A 24．解：（1）因为函数的图象过点． 所以，解得． 因此，． 是偶函数，证明如下： 因为，都有， 所以是偶函数． （2）由，得， 所以，即． 所以或． 所以原不等式的解集为． 25．解：（1）2不具有性质；2具有性质． （2）的最大值为3． 设所选出的5个数组成的集合记为． 当时，取，此时中不存在和为0的3个数． 当时， ①若，令，，，则从，，，1，2，3这6个数中选4个数，必有2个数属于同一个集合，此时中存在和为0的3个数． ②若，令，，则从，，，1，2，3这6个数中选5个数，必有3个数属于同一个集合，此时中存在和为0的3个数． 综上，的最大值为3． （3）当时，设所选出的个数组成的集合记为． 若，则取，此时中不存在和为0的3个数． 所以．下证：5具有性质． ①若中至多有2个数属于，则中至少有5个数在中，由（2）知，得证． ②若中至少有3个数属于，则其中必有2个数同号． 不妨设． 若或，得证，否则中至多有3个正数． 当时，若，得证； 若，则中至少有4个负数，且， 集合和必有1个集合包含于，得证． 当时，，中至多有2个正数，若，得证； 若，则，得证． 综上，5具有性质，即的最小值为7． 学科网（北京）股份有限公司 $