精品解析：2026年北京市高二第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题

2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一） 第一部分（选择题 共54分） 一、选择题：共18小题，每小题3分，共54分．在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，， 得. 2. 已知复数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 3. 已知函数则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由函数，所以. 4. 已知向量，．若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，解得. 5. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在上单调递减，选项A错误； 开口向下，对称轴是轴，在区间上单调递减，选项B错误； 是指数函数，底数，在上单调递减，选项C错误； 是对数函数，底数，在区间上单调递增，选项D正确. 6. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”为全称量词命题， 它的否定是：，. 7. 函数的图象过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，则函数的图象过点，故选项A错，B对； 当时，，则函数的图象过点，故选项C错； 当时，，则函数的图象过点，故选项D错. 8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 9. 如图，在正四棱锥中，下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线相交 B. 直线与直线平行 C. 直线与直线垂直 D. 直线与直线是异面直线 【答案】D 【解析】 【详解】对于AB，由于与相交，，因此直线与直线异面，AB错误， 对于C，若与直线垂直，,平面， 故平面，而平面，故， 这与四棱锥为正四棱锥矛盾，故与直线不可能垂直，C错误， 对于D， 由于与相交，，因此直线与直线异面，D正确， 10. 已知，，向量与向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】利用数量积公式得. 11. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据正弦定理得. 12. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时可推出； 当时，，不一定得到， 故“”是“”的充分不必要条件. 13. 某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：min）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长在的快递单数为（ ） A. 20000 B. 30000 C. 40000 D. 50000 【答案】D 【解析】 【详解】目标区间包含和两个组，从图中可得这两组相应矩形的高分别为0.02和0.03， 因此该区间总频率为：， 故100000单中配送时长在的快递单数为：. 14. 设，，则，，1的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以. 15. 某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型即可. 【详解】记学生甲通过人脸识别为，刷卡为；学生乙通过人脸识别为，刷卡为. 则样本空间为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的样本点为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的概率为. 16. 已知a＞0，则a＋的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】根据题意，，则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是2； 故选：B. 17. 如图，，，，是半径为1的圆上的四等分点，圆与数轴相切于原点．数轴上的点对应的数为，把数轴看成一个“皮尺”，将线段按逆时针方向缠绕到圆上，则点与圆上重合的点是（ ） A. 点O B. 点P C. 点Q D. 点R 【答案】C 【解析】 【详解】圆的半径，周长， 已知，，，是圆上的四等分点，则， 线段长度为，沿圆逆时针缠绕，从出发，走到，再走到， 故点与圆上重合的点是． 18. 某市年1～8月运输邮电业主要业务量指标如下表所示： 项目 计量单位 8月 8月同比增长率 1～8月 1～8月同比增长率 邮政行业业务总量 亿标准量 电信业务总量 亿元 客运量 万人 货物量 万吨 说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年8月与年8月相比较；同比增长率=（本期数-同期数）÷同期数．根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. 表中的4个项目中，年8月同比增长率最低的是货物量 B. 表中的4个项目中，年1～8月同比增长率最高的是客运量 C. 年邮政行业业务总量，8月高于同年1～8月的平均值 D. 电信业务总量8月在1～8月中的占比，年低于年 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：由上表可知，8月同比增长率最低的为客运量，增长率为，错误； 选项B：由上表可知，1～8月同比增长率最高的是邮政行业业务总量，增长率为，错误； 选项C：邮政行业业务总量：1～8月平均值为， 8月值为，则8月低于同年1～8月的平均值，故C错误； 选项D：电信业务总量年8月为，1～8月为，8月占比为； 设年8月电信业务量为，1～8月总量为，由同比公式得： ，解得； 故，即年低于年，故D正确． 第二部分（非选择题 共46分） 二、填空题：共3小题，每小题4分，共12分． 19. 已知中，已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理即可得出结果 【详解】中，， 根据余弦定理可得： 故 故答案为 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握定理解决本题的关键，属于基础题． 20. 已知，则______，______．（两空均填“”或“”） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】因为，所以； 因为，所以. 21. 2025年7月我国首台月壤打砖机在深空探测实验室研制成功，这种打砖机可以利用聚光太阳能将月壤熔融成型．小明在通用技术课上制作了“月壤砖”模型，并拼成如图1所示的长方体，该长方体是由图2、图3所示的榫、卯结构多面体组成．在图1中，，，，，，，，． 给出下列三个结论： ①图2所示的榫结构多面体的体积为； ②图3所示的卯结构多面体的体积为； ③图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由长方体的体积公式和表面积公式即可求解. 【详解】图1表面积： 图2体积为：，①正确； 图2表面积： ， 图3体积为：，②正确； 图3表面积：， 故图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多： ，正确. 三、解答题：共4小题，共34分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 22. 已知函数． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦和角公式得即可求. （2）利用正弦型函数的性质即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 所以． 【小问2详解】 因为，所以． 所以． 当，即时，取得最大值． 所以在区间上的最大值为． 23. 阅读下面题目及其解答过程． 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面． （1）求证：平面； （2）若，求证：． 证明：（1）因为侧面为正方形，所以 ① ． 又 ② ，平面， 所以平面． （2）因为侧面为正方形，所以 ③ ． 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以 ④ ． 又因为平面，所以 ⑤ ． 因为，，，所以． 所以 ⑥ ．所以． 以上题目的解答过程中，设置了①～⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A）平面 （B）平面 ③ （A） （B） ④ （A）平面 （B）平面 ⑤ （A） （B） ⑥ （A） （B） 【答案】①A ②B ③A ④B ⑤B ⑥A 【解析】 【分析】对于①，结合平面几何知识，根据正方形可得；对于②，结合线面平行判定定理可知应选平面；对于③④⑤，结合面面垂直、线面垂直、线线垂直的性质定理求解；对于⑥，结合全等三角形的性质以及需要证明的结论可知. 【详解】对于①，侧面为正方形，因此对边平行，故选A. 对于②，根据线面平行判定定理，结合图形可知平面，故选B. 对于③，根据面面垂直性质定理可知，应当为，故选A. 对于④，根据面面垂直性质定理可知,由面面垂直得到线面垂直，故选B. 对于⑤，由线面垂直性质定理可知，由平面可以得到，故选B. 对于⑥，题目要证，因此由全等三角形得到，所以应当选A. 24. 已知函数（a为常数）的图象过点． （1）求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）因为函数的图象过点．所以，解得． 因此，．是偶函数，理由如下： 因为，都有，所以是偶函数． （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式求出，再验证即可判断奇偶性； （2）将不等式移项整理为二次不等式，因式分解后写出解集． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由，得， 所以，即． 所以或． 所以原不等式的解集为或． 25. 给定正整数，从区间中的个整数中任取个不同的整数，若这个整数中存在和为0的3个数，则称具有性质． （1）判断2是否具有性质，2是否具有性质；（结论无需证明） （2）若具有性质，求的最大值； （3）若5具有性质，求的最小值． 【答案】（1）2不具有性质；2具有性质． （2）3 （3）7 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义进行判断即可； （2）根据性质的定义，先求得时，不存在和为0的3个数，再证明时，能够找到3个数使得3个数和为0； （3）分别讨论与时，5是否具有性质即可. 【小问1详解】 证明2不具有性质： 从区间中的个整数中任取个不同的整数， 若这个整数中存在和为0的3个数，则称2具有性质. 以下举出反例：取个不同的整数为， 于是取其中3个数有如下可能：， 分别计算三个数的和可知，三个数的和均不为0，所以2不具有性质. 证明2具有性质： 从区间中的个整数中任取个不同的整数， 若这个整数中存在和为0的3个数，则称2具有性质. 取个不同的整数为，取可知这3个数和为0， 所以2具有性质. 综上所述，2不具有性质；2具有性质． 【小问2详解】 的最大值为3． 设所选出的5个数组成的集合记为． 当时，取，此时中不存在和为0的3个数． 当时， ①若，令，，， 则从，，，1，2，3这6个数中选4个数， 必有2个数属于同一个集合，此时中存在和为0的3个数． ②若，令，， 则从，，，1，2，3这6个数中选5个数，必有3个数属于同一个集合，此时中存在和为0的3个数． 综上，的最大值为3． 【小问3详解】 当时，设所选出的个数组成的集合记为． 若，则取，此时中不存在和为0的3个数． 所以．下证：5具有性质． ①若中至多有2个数属于， 则中至少有5个数在中，由（2）知，得证． ②若中至少有3个数属于，则其中必有2个数同号． 不妨设． 若或，得证，否则中至多有3个正数． 当时，若，得证； 若，则中至少有4个负数，且， 集合和必有1个集合包含于，得证． 当时，，中至多有2个正数，若，得证； 若，则，得证． 综上，5具有性质，即的最小值为7． 【点睛】本题的关键是抓住从区间中具有性质的定义，从简单情况入手，对可能的情况依次讨论，最终获解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一） 第一部分（选择题 共54分） 一、选择题：共18小题，每小题3分，共54分．在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知函数则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知向量，．若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 函数的图象过点（ ） A. B. C. D. 8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 9. 如图，在正四棱锥中，下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线相交 B. 直线与直线平行 C. 直线与直线垂直 D. 直线与直线是异面直线 10. 已知，，向量与向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 11. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：min）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长在的快递单数为（ ） A. 20000 B. 30000 C. 40000 D. 50000 14. 设，，则，，1的大小关系为（ ） A. B. C. D. 15. 某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（ ） A. B. C. D. 16. 已知a＞0，则a＋的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17. 如图，，，，是半径为1的圆上的四等分点，圆与数轴相切于原点．数轴上的点对应的数为，把数轴看成一个“皮尺”，将线段按逆时针方向缠绕到圆上，则点与圆上重合的点是（ ） A. 点O B. 点P C. 点Q D. 点R 18. 某市年1～8月运输邮电业主要业务量指标如下表所示： 项目 计量单位 8月 8月同比增长率 1～8月 1～8月同比增长率 邮政行业业务总量 亿标准量 电信业务总量 亿元 客运量 万人 货物量 万吨 说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年8月与年8月相比较；同比增长率=（本期数-同期数）÷同期数．根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. 表中的4个项目中，年8月同比增长率最低的是货物量 B. 表中的4个项目中，年1～8月同比增长率最高的是客运量 C. 年邮政行业业务总量，8月高于同年1～8月的平均值 D. 电信业务总量8月在1～8月中的占比，年低于年 第二部分（非选择题 共46分） 二、填空题：共3小题，每小题4分，共12分． 19. 已知中，已知，则______. 20. 已知，则______，______．（两空均填“”或“”） 21. 2025年7月我国首台月壤打砖机在深空探测实验室研制成功，这种打砖机可以利用聚光太阳能将月壤熔融成型．小明在通用技术课上制作了“月壤砖”模型，并拼成如图1所示的长方体，该长方体是由图2、图3所示的榫、卯结构多面体组成．在图1中，，，，，，，，． 给出下列三个结论： ①图2所示的榫结构多面体的体积为； ②图3所示的卯结构多面体的体积为； ③图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：共4小题，共34分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 22. 已知函数． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 23. 阅读下面题目及其解答过程． 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面． （1）求证：平面； （2）若，求证：． 证明：（1）因为侧面为正方形，所以 ① ． 又 ② ，平面， 所以平面． （2）因为侧面为正方形，所以 ③ ． 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以 ④ ． 又因为平面，所以 ⑤ ． 因为，，，所以． 所以 ⑥ ．所以． 以上题目的解答过程中，设置了①～⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A）平面 （B）平面 ③ （A） （B） ④ （A）平面 （B）平面 ⑤ （A） （B） ⑥ （A） （B） 24. 已知函数（a为常数）的图象过点． （1）求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； （2）求不等式的解集． 25. 给定正整数，从区间中的个整数中任取个不同的整数，若这个整数中存在和为0的3个数，则称具有性质． （1）判断2是否具有性质，2是否具有性质；（结论无需证明） （2）若具有性质，求的最大值； （3）若5具有性质，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $