精品解析：山东济宁市任城区二十里铺中学2026-2027学年度第一学期九年级数学第一次学情质量检测试题

2026-2027学年度第一学期九年级数学第一次学情质量检测试题 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图，在中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， 则． 2. 若，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值． 根据已知正弦值，即可得锐角的度数． 【详解】解：∵ ， 为锐角， ∴ ． 故选：B． 3. 下列函数属于二次函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数，据此判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、符合二次函数的定义，故本选项符合题意； C、，是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、的右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的判定，熟练掌握二次函数的定义是解题关键． 4. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 5. 如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴，即． 6. 如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题是解决本题的关键． 通过解直角得到与、间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ． 故选：A． 7. 如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：∵直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键． 8. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为点，已知m，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则支柱的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点的性质，直角三角形中三角函数的定义，根据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，点为跷跷板中点， ∵，, 即， ． 故选：C． 9. 已知函数图象经过点，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ 开口向上时，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ∴ . 10. 如图，点B在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，且，则点C到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质得出，求出，再根据点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点C到直线的距离即的长为． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟知坡度的概念是解题的关键． 设汽车竖直方向上升的高度为米，根据坡度的概念用表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设汽车竖直方向上升的高度为米， ∵斜坡的坡度， ∴汽车前进的水平宽度为米， 由勾股定理得：， 解得： （负值舍去）， 则汽车竖直方向上升的高度为米， 故答案为：． 12. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、余弦的定义． 根据勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图： ， 在中，，，， 由勾股定理得AB= 所以． 故答案为：． 13. 把抛物线，向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据题意直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加1即可得新函数解析式即可． 【详解】解：∵向上平移1个单位长度， ∴所得的抛物线的解析式为． 故答案为：． 14. 在中，若（其中，为锐角），则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用非负数的性质拆分等式得到两个三角函数值，结合锐角特殊三角函数值求出的度数，再通过三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵，，且两者的和为0， ∴，， ∴，， ∵为锐角， ∴，， ∵三角形内角和为， ∴． 15. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是_______. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据二次函数的定义及开口向下时m+1<0即可解答. 【详解】根据题意得： 解得： m=-2 故答案为-2 【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质. 三．解答题（共8小题，16题6分，17-21题每题8分，22题9分，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，需熟记各特殊角的三角函数值，并正确计算绝对值和有理数运算． （1）运用特殊角的三角函数值计算； （2）运用特殊角的三角函数值计算和绝对值化简． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 按要求解答： （1）已知抛物线经过点，求的值； （2）如果点，都在抛物线上，求，的值． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线解析式，列方程求解的值． （2）分别将两点坐标代入抛物线解析式，列方程求解和的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点 ， ∴ ． 解得． 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上 ， ∴ ，即． ∵点在抛物线上 ， ∴ ． ∴ ． 解得． 18. 如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长. 【答案】2+2 【解析】 【详解】试题分析：本题注意考查的就是利用三角函数解直角三角形，过点C作CD⊥AB于D点，然后分别根据Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的长度，从而得出AB的长度. 试题解析：过点C作CD⊥AB于D点， 在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4， ∴CD=AC=×4=2， ∴AD=， 在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2， ∴CD=DB=2， ∴AB=AD+DB=2+2． 19. 热气球的探测显示，从热气球A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与高楼的水平距离为，这栋楼有多高？（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】 【分析】过A作AD⊥BC于D．在Rt△ADC和Rt△ABD中，运用三角函数定义求解． 【详解】 解：如图，过A点作与D点 ∵ ∴ 当中 ∴ ∴ ∴这栋楼有米 【点睛】此题考查仰角俯角的定义，解题关键在于借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形． 20. 如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】设，求出，，由列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设，由题意可知，三点共线，三点共线，，，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 即这座塔的高度为． 21. 台风破坏性极强．如图，点是某海滨城市，台风中心位于该市的南偏东方向，距离千米的点处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到该市的南偏东方向的点处．若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响该城市?请说明理由（参考数据：） 【答案】解：这次台风不会影响该城市，理由如下： 由题意得，， 如图，过A作于E， ∴， ∵， ∴（千米）， ∵， ∴这次台风不会影响该城市． 【解析】 【分析】过A作于E，求出的长，即可得出结果. 【详解】略 22. 2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作、并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，并测量一些数据，制作成一份动画作品．请根据表格中提供的信息，解决下列问题．(结果保留一位小数，参考数据∶，) 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频图片(如图①)，对动作进行逐帧分解，测量确定一些数据，绘制出一些图形，之后利用动画软件进行制作 分解动作与模型抽象 图形绘制与数据测量 将图形绘制抽象为图②，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部的夹角，与小腿的夹角，足部与水平面的夹角，，，， ，所有点均位于同一平面内 （1）如图②，过机器人腰部点作垂直水平面于点，求机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离； （2）求机器人脖子点到水平面的距离． 【答案】（1）机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离约为 （2）机器人脖子点到水平面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，合理添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）易得，进而得到，解，求出的值即可； （2）过点作交的延长线于点，交于点，作交于点，分别解，，，根据线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，则， 在中， ∵cm，， ∴． 答∶机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离约为； 【小问2详解】 ∵， ∴脖子点到水平面的距离为． 如图，过点作交的延长线于点，交于点，作交于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵，由(1)知：， ∴． 在中，∵cm，， ∴， 在中，∵cm，， ∴， 在中，∵，cm，， ， ∴， ∴． 答∶机器人脖子点到水平面的距离约为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级数学第一次学情质量检测试题 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图，在中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数属于二次函数的是( ) A. B. C. D. 4. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为点，已知m，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则支柱的高度是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数图象经过点，，，则有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点B在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，且，则点C到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_____米． 12. 在中，，，，则__________． 13. 把抛物线，向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是_______． 14. 在中，若（其中，为锐角），则______． 15. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是_______. 三．解答题（共8小题，16题6分，17-21题每题8分，22题9分，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 按要求解答： （1）已知抛物线经过点，求的值； （2）如果点，都在抛物线上，求，的值． 18. 如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长. 19. 热气球的探测显示，从热气球A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与高楼的水平距离为，这栋楼有多高？（结果保留根号）． 20. 如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 21. 台风破坏性极强．如图，点是某海滨城市，台风中心位于该市的南偏东方向，距离千米的点处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到该市的南偏东方向的点处．若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响该城市?请说明理由（参考数据：） 22. 2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作、并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，并测量一些数据，制作成一份动画作品．请根据表格中提供的信息，解决下列问题．(结果保留一位小数，参考数据∶，) 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频图片(如图①)，对动作进行逐帧分解，测量确定一些数据，绘制出一些图形，之后利用动画软件进行制作 分解动作与模型抽象 图形绘制与数据测量 将图形绘制抽象为图②，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部的夹角，与小腿的夹角，足部与水平面的夹角，，，， ，所有点均位于同一平面内 （1）如图②，过机器人腰部点作垂直水平面于点，求机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离； （2）求机器人脖子点到水平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $