精品解析：山东省济宁市任城区济宁天立学校2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学考试（六三制）

初中部2025—2026学年秋期第二学月学情检测 九年级数学（六三制） 时间120分钟 满分100分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B. 从一副扑克中任意抽出一张是黑桃 C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 D. 如果a2＝b2，那么a＝b 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的直径为5，同一平面内一点到圆心的距离为5，则点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 6. 反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. D. 8. 已知点，，和都在反比例函数的图像上，且则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知的直径与弦的夹角为，过点作的切线交的延长线于点，则等于（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，若，则___________． 12. 一个不透明袋子中装有3个红球、2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率是_____． 13. 已知点，，都在反比例函数（m为常数，且）的图象上，则，，的大小关系是______． 14. 点，点分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的两个交点，则点的坐标为________． 15. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）． 三、解答题（共7小题，共55分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，第二次由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人． （1）第一次传球后球到乙手里的概率为 ； （2）画树状图或列表求第二次传球后球回到甲手里的概率． 18. （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； （2）直接写出，，三点的坐标． 19. 如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且弧弧，弦的延长线交切线于点E，连接． （1）求的度数； （2）若的直径为5，，求的长． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出满足时x的取值范围． （3）连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 21. 如图， 在中， 点D、E分别在边、上，，． （1）求证：； （2）若的周长是8， 求△ABC的周长． 22. 如图所示，已知抛物线经过点，与直线交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若是等腰直角三角形，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中部2025—2026学年秋期第二学月学情检测 九年级数学（六三制） 时间120分钟 满分100分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B. 从一副扑克中任意抽出一张是黑桃 C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 D. 如果a2＝b2，那么a＝b 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件和必然事件的特点逐项判断即得答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，故此选项不合题意； B、从一副扑克中任意抽出一张是黑桃，是随机事件，故此选项不合题意； C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，故此选项符合题意； D、如果a2＝b2，那么a＝±b，故原说法是随机事件，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件和必然事件，属于基础题型，熟知二者的概念是解题的关键． 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，即可判断． 【详解】解：A、，y是x的反比例函数，故A符合题意； B、，y不是x的反比例函数，故B不符合题意； C、，y不是x的反比例函数，故C不符合题意； D、，y不是x的反比例函数，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键，一般地，形如且k是常数的函数叫做反比例函数． 3. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 4. 不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有1个红球，3个黄球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为； 故选：D． 5. 已知的直径为5，同一平面内一点到圆心的距离为5，则点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系．点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外⇔；②点在圆上⇔；③点在圆内⇔，由此即可判断； 【详解】解：∵的直径为5，， ∴， ， ∴点在外， 故选：A． 6. 反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大． ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 7. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积． 【详解】解：它的侧面展开图的面积 故选：D 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8. 已知点，，和都在反比例函数的图像上，且则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入反比例函数求出反比例函数解析式，再将，，代入解析式，得到，，，的大小关系． 【详解】将代入反比例函数 所以反比例函数解析式为 得到 由于，故． 故选：B． 【点睛】本题主要考查求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 9. 已知的直径与弦的夹角为，过点作的切线交的延长线于点，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线性质求出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形外角性质求出，在中，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， 切于， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、切线的性质等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确． 【详解】①∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 由图象可得时，， 即， 而， ∴．故①错误； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线． 故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵，， 即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 故，故②正确； ③由图象可知：二次函数与直线有两个不同的交点， 即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误； ④∵函数图象经过，对称轴为直线， ∴二次函数必然经过点， ∴时，的取值范围，故④正确； 综上，②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，若，则___________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 一个不透明袋子中装有3个红球、2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，掌握概率是部分除以整体是解题的关键． 用红球的个数除以球的总个数即可解答． 【详解】解：从袋子中随机摸出一个小球共有5种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果， ∴摸出的小球是红球的概率为． 故答案为． 13. 已知点，，都在反比例函数（m为常数，且）的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，先求出，进而得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，再由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数（m为常数，且）的图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大， ∵，，都在反比例函数（m为常数，且）的图象上，且， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 点，点分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的两个交点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知：反比例函数的图象与正比例函数的图象的两个交点关于原点成中心对称．根据点在反比例函数图象上求出的值，再根据反比例函数的图象与正比例函数的图象的两个交点关于原点成中心对称求出点的坐标即可． 【详解】解：当时，， 点A的坐标是， 点，点分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的两个交点， 点与点关于原点成中心对称， 点的坐标是， 故答案为：． 15. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵底面半径为， ∴圆锥底面圆的周长为， 即扇形纸片的弧长为， ∵母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为： 三、解答题（共7小题，共55分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解， （2）采用公式法求解． 【小问1详解】 解：， ∴ ， ∴  或 ， ∴  或 ； 【小问2详解】 解： ∴ ，，，， ∴ ， ∴ ，． 17. 甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，第二次由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人． （1）第一次传球后球到乙手里的概率为 ； （2）画树状图或列表求第二次传球后球回到甲手里的概率． 【答案】（1）； （2）画树状图得： 共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种， ∴P(第二次传球后球回到甲手里)= ． 【解析】 【分析】(1)直接利用概率公式计算可得； (2)根据画树状图，可得总结果与传到甲手里的情况，根据传到甲手里的情况除以总结果数，可得答案． 【详解】(1)第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人有3种等可能结果，其中传球后球到乙手里只有1种结果， 所以传球后球到乙手里的概率为， 故答案为：； (2)略． 【点睛】本题考查了树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，画树状图是解题关键． 18. （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； （2）直接写出，，三点的坐标． 【答案】 （1）如图所示：即为所求； （2），， 【解析】 【分析】（1）先画出点A、B、C关于轴对称的对应点、、，再依次连接即可； （2）根据所画图形，即可解答． 【详解】解：（1）略 （2）由图可知：，，三点的坐标分别为，，． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，写出点的坐标，解题的关键是掌握轴对称的作图方法． 19. 如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且弧弧，弦的延长线交切线于点E，连接． （1）求的度数； （2）若的直径为5，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，，推出，根据平行线的性质得到．根据切线的性质即可得到结论； （2）运用三角函数值在中求得，然后在中求得即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，C为切点， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出满足时x的取值范围． （3）连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）8 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查数形结合思想的运用． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案； （3）过C点作轴，交直线于D，求出D的坐标，即可求得，然后根据 即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，解得， ， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由图象和两函数交点坐标，可知， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：如图，过点C作x轴的平行线交直线于点D， 由反比例函数图象的中心对称性质可知， ∵，在一次函数的图象上， ，解得， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴， 21. 如图， 在中， 点D、E分别在边、上，，． （1）求证：； （2）若的周长是8， 求△ABC的周长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）16 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）首先得到，然后结合得到； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 22. 如图所示，已知抛物线经过点，与直线交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若是等腰直角三角形，求点M的坐标． 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线的解析式中，求出解析式，然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可； （2）过点P作作轴，交于点E，设，则． 则，然后依据 ，列出的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）设点N的坐标为则点，则，进而得到，解答即可得到m的值，进而得到点M的坐标即可． 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的判定等知识点，分类讨论是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：已知抛物线经过点，，将点A，点B的坐标代入得： 解得： ∴设该抛物线解析式为， 联立方程组： 解得(舍去)或 即点D的坐标是； 【小问2详解】 如图1：过点P作轴，交于点E， 设，则． ∴． ∴ ． ∴当时，的面积的最大值为． ∴， 【小问3详解】 如图2，过点M作x轴的垂线交x轴于点N， ∵轴于N， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴设点N的坐标为 则点， ∴， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或 (舍去)， 此时； 当时， 解得或 (舍去)， 此时， 综上，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $