第31章 相似 整合复习与对接中考（分层作业本）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

第三十一章整合复习与对接中考 阶关联知识整合练 一、全等三角形与相似三角形 全等三角形 相似三角形 图形 4A 4 能够完全① 的两个三角形叫作全等三 三个角分别② ,三条边③ 的两个三 定义 角形 角形叫作相似三角形 形成 一个图形可以看作由另一个图形平移、旋转或 个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 过程 轴对称得到 SSS:三边分别④ 的两个三角形全等 SAS:两边和它们的⑤ 分别相等的两⑨ 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构 个三角形全等。 成的三角形与原三角形⑩ ASA:两角和它们的⑥ 分别相等的两 三边① 的两个三角形相似， 判定 个三角形全等 两边2 且B 角相等的两个三角形 方法 AAS:两角分别相等且其中一组等角的⑦ 相似. 相等的两个三角形全等 ④ 角分别相等的两个三角形相似： HL:斜边和一直角边分别⑧ 的两个直 斜边和一直角边⑤ 的两个直角三角形相似 角三角形全等 形状相同，大小⑥ 完全重合 形状相同，大小⑦ ,不能重合 角：对应角⑧ 角：对应角四 线段：对应边②四 线段：对应边之比都等于4 性质 对应边上的高线、中线，对应角的平分线 对应边上的高线、中线，对应角的平分线之比都等于 ① 5 周长2 周长之比等于西 面积3 面积之比等于⑦ 151 1.如图，已知∠1=∠2，点D在BC上，添加下列 (1)图中△APD与哪个三角形全等？请说明 条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是 理由； ( (2)求证：PA2=PE·PF A.∠B=∠ADE B.∠2=∠EDC c0-0 AB BC D.AD DE 变式如图，已知∠1=∠2，AC=AE,添加下列条 件后，仍无法判定△ABC≌△ADE的是( A.BC=DE B.AB=AD C.∠C=∠E D.∠B=∠D 2.如图，P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接 CP并延长，交AD于点E,交BA的延长线于点F 二、平面直角坐标系中的图形变换[假设变换前点的坐标为(x,y)] 平移 轴对称 变换 关于坐标原 关于坐标原点位 左右平移m个 上下平移n个 关于x轴 关于y轴 方式 点中心对称 似，相似比为k 单位长度 单位长度 对称 对称 变换后 所得点 (x干m,y) 8 29 0 ① 2 的坐标 3.如图，点A的坐标为(3,4)，点0的坐标为(0， (2)将△AOB沿x轴翻折后得△AOB,则点A2 0),点B的坐标为(4,0) 的坐标为 ;将△AOB沿y轴翻折后 y 得△AOB3,则点A3的坐标为 (3)将△AOB绕坐标原点旋转180°后得 △AOB4,则点A4的坐标为 34x (4)以O为位似中心，按相似比2将△AOB放 (1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位长度后 大后得△A,OB,若点B,在x轴负半轴上，则 得△AO,B1,则点A1的坐标为 点A的坐标为 ,△AOB、的面积 △AO1B,的面积为 为 152 X 二阶广西中考抢先练 考点1平行线分线段成比例 1.（2025南宁良庆区校级二模)如图，已知一组 2)若cD=C.宋的值 SAAED 平行线a∥仍∥c,被直线m,n所截，交点分别为 A,B,C和D,E,F,且AB=2,BC=3,DE=1.6, 则EF= 6 B E m\ A.2.4 B.1.8 C.2.6 D.2.8 考点2相似三角形的判定与性质 2.(2025柳州三模)如图是一张矩形纸片ABCD,点4.(2024崇左宁明县月考)如图，正方形ABCD的 E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B 边长为4，M,N分别是边BC,CD上的动点，当 落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E,F, 点M在BC上运动时，保持AM和MW垂直. D在同一条直线上，AE=2,则BE= (1)求证：△ABM∽△MCN; 3.(2021玉林)如图，在△ABC中，点D在AC上， (2)当M为BC的中点时，求△ADW的面积. DEBC,DF∥AB, B (1)求证：△DFC∽△AED; 153 考点3相似三角形的应用 C.水平向右平移2cm 5.(2024南宁青秀区模拟)数学文化《九章算 D.水平向右平移3cm 术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度 考点4位似 的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于 8.（2025柳州二模)如图，在平面直角坐标系x0y 井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水 中，△ABC和△A'B'C'位似，位似中心为原点 岸D,视线BD与井口的直径AC交于点E,如 0,点A(-1,2),点A'(2,-4),若△ABC的面积 果测得AB=2米，AC=3.2米，AE=0.8米，那 为4，则△A'B'C的面积是 () 么CD的长为 B 2 B A.2 B.4 C.8 D.16 A.3米 B.4米 C.5米 D.6米 9.（2022河池)如图，在平面直角坐标系中， 6.（2025梧州二模)现实情境如图，当驾驶员的 △ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1), 眼睛（点P)与地面(BE)的距离为1.6米时， B(2,3),C(1,2) BE是驾驶员的视觉盲区，将车头AFDC近似 地看成矩形，且AF:FD=3:2,若BE的长度为 5.6米，则车宽CD的长度大约是 345x 图1 图2 A.1.12米 B.1.15米 - C.1.58米 D.1.68米 (1)画出与△ABC关于y轴对称的△AB,C1; 7.(2025广西模拟)《墨经》中有：“景到，在午有 (2)以原点0为位似中心，在第三象限内画 端，与景长，说在端.”这是在大约两千四百年 个△A2B,C2,使它与△ABC的相似比为2：1，并 前，墨子和他的学生做的世界上第一个小孔成 写出点B,的坐标 像的实验.在如图的实验中，板上的小孔、蜡烛 的中心、边长为6cm的正方形幕布的中心在 条直线上，若物距为9cm,像距为24cm,蜡 烛火焰的高度为3cm,蜡烛火焰倒立的像超过 了幕布的边长，若要使蜡烛火焰倒立的像全部 在幕布上，则蜡烛需要至少 ( 9 cm 24 cm 蜡烛 板 A.水平向左平移2cm B.水平向左平移3cm 1542.(1)证明：∠A=∠D,∠C=∠B,.△PAC△PDB. 小专题19几何变换与相似三角形 (2)解：由(1)知，△PAC∽△PDB, -(，即(产=40 AC 1A2B3B4号或25①②06.C74 =2(负值已舍)， DB DB 第三十一章整合复习与对接中考 SAPAC=4. -2时Spa 一阶关联知识整合练 DB ①重合②相等③成比例④相等⑤夹角⑥夹边 3.(1)∠ACE(答案不唯一)△BCD ⑦对边⑧相等⑨平行⑩相似①成比例②成比例 (2)证明：△ABC为等边三角形， 3夹④两⑤成比例6相同⑦不同⑧相等 ∴.AC=BC,∴.∠AED=∠CEB 四相等②0相等①相等②相等3相等四相似比 又∠DAE=∠BCE,∴.△AED∽△CEB. 雪相似比西相似比⑦相似比的平方 4.(1)证明：如解图，连接0C,则 OC=OA,∴.∠BAC=∠OCA. 1.D变式A PC与⊙0相切于点C, 2.(1)解：△APD≌△CPD .PC⊥OC. 理由如下：：四边形ABCD为菱形， AD⊥PC,∴.AD∥OC ..∠CDP=∠ADP,DA=DC. ..∠DAC=∠OCA, DA=DC. .∠BAC=∠DAC.AC平分∠DAB. 在△APD和△CPD中，∠ADP=∠CDP (2)解：：AB是⊙0的直径，.∠ACB=90 DP=DP. AD⊥PC,∴.∠D=90°，.∠ACB=∠D. ∴.△APD≌△CPD(SAS). ∠BAC=∠CAD,.△ABC△ACD, (2)证明：.·△APD≌△CPD BA CA CADA,·∴.BA=4 ∴.∠DAP=∠DCP,PA=PC. :DC∥AB,.∠DCP=∠AFP, ·∠D=90°，DA=9,CD=3 ∴.∠DAP=∠AFP. .CA2=DA2+CD2=92+32=90, 又∠APE=∠FPA,△EPA△APF, =10,0A=6M=5,00的半径是5 BA=90 PA_PE,即PA=PE·PF 小PFPA 小专题18二次函数与相似三角形 8(x,y±n）29(x,-y)0(-x,y）①(-x,-y） 1.(1)该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. 2(±kx,±y) 435 (2)点P(2,3),点D(2,0)或点P(3),点D(31), 4 3.(1)(2,4)8(2)(3,-4)(-3,4)(3)(-3,-4) (4)(-6,-8)32 2.(1)y=-x2+2x+3. 二阶广西中考抢先练 (2)解：存在.y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.D(1,4), 易得C(0,3),B(3,0), 1.A2.√5-13.(1)略. a .CD2=(4-3)2+12=2,BC2=32+(-3)2=18, 4.(1)略.(2)△ADN的面积为6. BD2=42+(1-3)2=20. 5.D6.D7.B8.D .·2+18=20,∴.CD+BC2=BD2 9.(1)略.(2)画图略.点B,的坐标为(-4，-6). ∴.△BCD是直角三角形，∠BCD=90° 如解图，连接AC,把y= 综合与实践 0代人y=-x2+2x+3, 320 1.(1)y= (2)1.2 解得x=-1或x=3, ∴.A(-1,0),0A=1, (3)解：由题意知，CF=BF+BC=2.4m,EF=FD+DE=4m. 0A1 设OA=xm,0D=am. 0c3 .·OA⊥0E,CF⊥OE CD_√2_1.OA_CD .CF∥OA,.△DOA△DFB BC323心0CBC 又：∠A0C=∠DCB=90°，.△AOC∽△DCB,.当点Q的 小份即。8解得a08 OA OD 坐标为(0,0)时，△AQC一△DCB.过点C作CQ⊥AC,交x 同理可得，△EAO∽△ECF, 轴于点Q,则△ACQ为直角三角形，C01AQ, ∴.△ACQ∽△AOC. 0A-E,即2x=083 又.·△AOC∽△DCB,∴.△DCB∽△ACQ, 244,解得x=7.2, :”4C即2 .路灯的高度0A为7.2m. BDAQ25A视 ,解得AQ=10,.Q(9,0) 2.解：(1)由题意知BC⊥AB,DF⊥AD, 综上所述，当点Q的坐标为(0,0)或(9,0)时，以A,C,Q为 ∴.∠CBA=∠FDA=90°. 顶点的三角形与△BCD相似， 叉：∠CAB=∠FMD:△CMB△FAD4DDF AB BC 参考答案 由题意知AD=3m,AB=5m,BC=0.035m, 第3课时特殊角的三角函数值 .ξ=05解得DF=0.021m 12厚5巨上51万 12222223 即小视力表中相应“E”的高是0.021m (2)由题意知，AB∥MN∥A'B', 2原式13原式-行4原式；万 1 MN∥A'B',CD⊥MN, 5.B6.B7.10°8.A9.0.89790.96420.3492 MN CD CE⊥A'B',△MNC∽△A'BC,ABCE 10.78.9°11.B12.D13.30° 由题意知，CE=5m,DE=3m,A'B'=AB=1.6m, 14.2 sin'@+cosa-/3tan(a+15)=-3 2 MN 2 CD=CE-DE=2 m1.65 15.a=30°，B=45°. 16.3 17解：(1)：sina= c,lana=a b ∴.MW=0.64m,平面镜MN的长为0.64m. c,cosa= 第三十二章锐角三角函数 32.1正弦、余弦与正切 、sina-C=a,则tana=sina cosa bb cosa 第1课时锐角的正弦 C 1B2号3号4i- 1 sina 1 (2).'tana= 2cos==cosa, 5.BC=3.sinB=2/ 6D7.A8.A9.B10.12 sina-2cosa sina-4sina 3 4 2sncos2sin+2sina 12.sin∠EDc=2 小专题20求锐角三角函数值的五种常用方法 3 13.sinB= 3 14.111(1)1 1.A 2.sinC= 3.D42YE5.am∠ABG=2 3 13 (2)证明：在Rt△ABC中，∠C=90°. :sinA=a,simB=么，sin2A+sinB=a+6 7.解：由折叠的性质，得A'E=AE,A'B=AB=6,∠BA'E= ∠C=90°，.a2+b2=c2,.sin2A+sin2B=1. ∠BAE=90°， (3)解：sm4=sn+n8=1. .∠BA'C=90°，A'C=WBC2-A'B2=8. 设AE=x,则A'E=x,DE=10-x,CE=A'C+A'E=8+x. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得(10-x)2+62=(8+x)2, 解得x=2,∴AE=2. 第2课时锐角的余弦、正切 在Rt△ABE中，BE=√AB+AE=2√I0 1(1) (2号342D3号 4A5.A os∠ABB=EI0 BE 10 ,c04s2 6.sinA=5 12,sinB=1 ,tand=5 3,cosB=5 13 AD/BC,∠CBE=LAEB,.cos∠CBE=I0 tanB=12 10 7.D8.C9B10.A11.D1222 29 33 14.5 2 9.解：如解图，过点C作CH⊥AB于 点H. 15.sind=5 25 1 5,tan4= 2 在Rt△ACH中，CH=AC·sinA= 16.解：如解图，在等腰直角三角形 25, ABC中，∠C=90°，延长CB至 AH=AC·c0sA=6. 点D,使BD=AB,连接AD,则 .AB=10, ∠BAD=∠D. 4522.50 _CH 3 B D ∴.BH=AB-AH=4,.tanB .:∠ABC=45°=∠BAD+∠D= BH 2' 2∠D, ∴.∠D=22.5°. 污渍部分的内容是3 设AC=1,则BC=1,AB=√2AC=√2， 32.2解直角三角形及其应用 ∴.CD=BC+BD=BC+AB=I+√2， 32.2.1解直角三角形 六tan2.5°=tanD=4C-1 √2-1 √2-1. 1.C2.603.∠A=30°，∠B=60°，AB=8. CD1+√2(2+1)(2-1) 4.C5.C6.∠A=65°.AB≈23.8.BC≈21.3. 参考答案