专题02 相似三角形模型的专项训练（高效培优专项训练）数学新教材人教版九年级下册

专题02 相似三角形模型的专项训练 题型一 A字型相似模型 题型二 8字型与双8字型相似模型 题型三 母子型相似模型 题型四 K字型（一线三等角）相似模型 题型五 手拉手型相似模型 题型六 十字架型相似模型 题型一：A字型相似模型 1．如图，，，，则的长______． 2．如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，（点到达点后，点继续运动）．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时开始运动，那么当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 3．如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 4．如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 5．如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 题型二：8字型与双8字型相似模型 1．如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___． 2．如图，点是边延长线上一点，交于点，交于点，如果，那么的值为___________． 3．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 4．如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 5．如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 题型三：母子型相似模型 1．在中，，，，，则CD的长为（    ） A．1 B． C． D． 2．如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 4．如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 5．如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 题型四：K字型（一线三等角）相似模型 1．已知：如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． (1)求证：． (2)若，求的长． 2．（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 3．【感知特例】 （1）如图1，点A，B在直线l上，，，垂足分别为A，B，点P在线段上，且，垂足为P．求证：； 【建构模型】 （2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由； 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当______时，有最小值是______． 4．如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为___________． 5．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 题型五：手拉手型相似模型 1．将矩形绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形． (1)如图1，若 点E落在上，求的度数； (2)连接，，过点E作交于点M． 如图2，证明：； 如图3，若射线分别交，于点P，N，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2．（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 3．如图①，在中，分别是线段的中点，连接． (1)求证：． (2)如图②，当绕点顺时针旋转时，连接，并延长交于点，交于点． ①求的值； ②求证：． 4．如图1，在中，，，点，分别是边，上的点，且，，连接，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)【问题发现】当时，____；当时，____． (2)【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． (3)【问题解决】当旋转至，，三点共线时，直接写出线段的长． 5．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图1，连接，，直线和直线的位置关系为________． (2)如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接， 求证：①平分； ②点为线段的中点． (3)若直线与直线交于点，当时，请直接写出的长________ 题型六：十字架型相似模型 1．小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连结，过点作于点，交于点，则与的数量关系是_________． (2)①如图2，在矩形中，，为上的点，连结，过点作于点，交于点．小明发现，过点作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么?请说明理由． ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于__________． ③应用上述结论解决问题；如图3，在中，，点是的中点，连结，过点作的垂线，交直线于点，垂足是点，直接写出的长度． 2．【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 3．【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 4．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 5．（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 相似三角形模型的专项训练 题型归纳 题型一A字型相似模型 题型二8字型与双8字型相似模型 题型三母子型相似模型 题型四K字型（一线三等角)相似模型 题型五手拉手型相似模型 题型六十字架型相似模型 题型专练 题型一：A字型相似模型 1.5 2.A 3.【答案】(1) 证明：.'AB=6,AC=8,BD=2,CE=5, .AD=AB-BD=4,AE=AC-CE=3, 指品 又：∠DAE=∠CAB ∴.△AED一△ABC: (2)解：由(1)可知，△AED一△ABC, DE=AD1 BC AC2 DE=5, .∴.BC=10. 4. 1/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)·∠BAC=∠DAE,∠ADE=∠B, ∴.△BAC一△DAE, 又：AG、AF分别是△BAC和△DAE的高， AGAB5 ·AF=AD3 (2).△BAC一△DAE, C△ADE=AD_3 CABC AB 5 3 故△ADE与△ABC的周长之比为 (3),△BAC~△DAE, S△ADE- AD2 SAABC AB SAADE=4, 5am-5x4=10 9 1 100 故△ABC的面积为9· 5. 【答案】(1) 证明：，DE‖BC, AE_AD EC BD 荒怨 AD_AF BD FE 品怨 .∠A=∠A, ∴.△ADF一△ABE, .∠ADF=∠ABE, .DF‖BE (2)解：，AF=2,EF=4, 2/33 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 品恶批 SAADF=3, .S△兰6=6t, :SAADE=SAADF+S△兰L=3+6=98, DE BC, ∴.△ADE一△ABC, S△ADE= AE=L SAABC AC9￥ ∴.SAABC=4 SAADE=9×9=81 题型二：8字型与双8字型相似模型 6 2.5 3. 【答案】(1) 证明：AB⊥BC,EF⊥BC, ..EF AB ∴△CEF△CAB, 器恶 同理可得，△BEF一△BDC, EF BE CD BC' EF EF_CE+BF-BC=1: ·.AB+CDBC BCBC (2) 证明：，AB⊥BC,CD⊥BC, .AB‖CD ∴.△ABE一△CDE, 带儡 3/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,EF⊥BC,CD⊥BC, EF‖CD, 器器 .AB_BF ∴CDCF ,∠ABF=∠DCF=90°， .△ABF一△DCF, .∠AFB=∠DFC, .∠BFE=∠CFE=90°， .∠BFE-∠AFB=∠CFE-∠DFC, 即∠AFE=∠DFE, ∴.EF平分∠AFD. 4. 【详解】(1)解：，四边形ABCD是平行四边形，BC=12, .'AB=CD,AB CD,AD=BC=12, ∴.△EAF一△CDF, ·AFAE ·DFDC BE=3CD=3AB. .∴.AE=2CD =A2=2CD-2, ·DF DC CD ∴.AF=2DF, AF=3AD=2x12=8, 3 3 (2)证明：在平行四边形ABCD中，AB‖CD,AD‖BC, ∴△DCG~△BEG,△BCG一△DFG, ,△DCG一△BEG, .GC_GD …GEGB .'△BCG一△DFG, 4/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GF_GD GC GB' 能 GC GF .GC2=≥·GF 5. 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是菱形， AD‖BC,AB‖CD, ∴△AED一△GEB,△一△BEA, 瓷器器器 EF DE 浩 ,即AE2=EF·EG, .AE是EG、EF的比例中项 (2)解：，四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD=BC=6, DF=4, ∴.CF=CD-DF=2, :AD‖BC ∴△ABE△FDE, .BEAEAB63 ÷DE EF DE42 AD‖BG ∴.△ADE一△GBE, 恶：A加-ce 17 3G配=EF·EG 4GE2=EF·EG,即g 4 =EF, 5/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF 4GE 9 4 EG GE 9 题型三：母子型相似棋型 1.c 2.B 3. 【答案】(1) 证明：：∠BAC=90°，AE⊥BC, .∠ABE+∠BAE=90°，∠ACE+∠ABC=90°， ∴∠BAE=∠ACE, ,BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD, 又：∠BAE=∠ACE, ∴.△BAF-△BCD. (2)解：：∠BAC=90°，AB=3,AC=4, ..BC=A B2+AC2=5, SaAB×AD,S6m号ABxCD, S△ABD=AD SABCD CD' ,BD平分∠ABC, ∴D到BC的距离等于AD, 5mAB×AD,San号BC×AD, S△ABD=AB SABCD BC AD AB 3 ∴CDBC5 .AD+CD=AC=4. CD-AD 6/33 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABD中，BD=RAB+AD-35 2 又，△BAF一△BCD 器说 BF=9/5 10 4. 【答案】(1) 明：授 ,∠BAD=∠ECA, ∴.△BAD~△ACE, .∠B=∠EAC, .∠ACB=∠DCA, ∴.△ABC△DAC, %能 .AC=BC·CD: (2)解：，△BAD一△ACE, .∠BDA=∠AEC, ∴∠CDE=∠CED, ∴CD=CE, E是△ABC的重心， .BC=2BD=2CD.AE=AD. AC=BC·CD=2CD2, ,△BAD一△ACE, AD BD CE AE' C号AD=BD·CE :AD'-3CD, 2 7133 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、AC24 AD-3 5. 【答案】(1) 证明：.△ADE是等边三角形， .∴.∠ADE=∠AED=60°，AD=DE=AE=2, ∴.∠ADB=180°-∠ADE=120°=∠AEC=180°-∠AED=120°， .BD=1,CE=4, :BD=是.AD=2=1 'AE 2'CE 4 2 BD AD AE CE 又.∠ADB=∠AEC, ∴.△ABD~△CAE: (2)解：.△ABD~△CAE, ∴.∠BAD=∠C, .∠ADE=∠B+∠BAD=60°， .∴.∠B+∠C=60° ∴.∠BAC=180°-∠B+∠C=120°， 题型四：【字型（一线三等角）相似模型 1. 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是矩形， .∴.∠BAD=∠ABC=90, .EF⊥CE, .∴.∠CEF=90 .'∠AFE+∠AEF=90°，∠CEB+∠AEF=180°-90°=90， ∴.∠AFE=∠CEB, .∠BAD=∠ABC=90, .△AEF一△BCE, 8/33 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AEAF BCBE (2)解：在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,且EB=2, .'AE=AB-BE=6, AEAF 由(1)知BCBE' 吾驾 解得：AF=3, .∴.DF=AD-AF=4-3=1. 2. 【答案】 (1)AB·CD=PB·PD成立， 证明：，AB⊥BD,CD⊥BD, .∠B=∠D=90°， .∠A+∠APB=90°， .AP⊥PC, ∴.∠APB+∠CPD=90°， .∠A=∠CPD, ∴.△ABP△PDC, AB PD PBCD' ∴.AB·CD=PB·PD: Q B P 甲 (2)AB·CD=PB·PD仍然成立.理由如下： .AB⊥BD,CD⊥BD ∠B=∠CDP=90°， ∴.∠A+∠APB=90°， ,AP⊥PC, 9/33 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠APB+∠CPD=90, .∠A=∠CPD, △ABP△PDC, .AB_PD PB CD' ∴.AB·CD=PB·PD: B 乙 (3)设抛物线解析式为y=ax+bx+c(a≠0)， ,抛物线与x轴交于点A-1,0,B3,0,与y轴交于点0，-3， a-b+c=0 .9a+3b+c=0 c=-3 a=1 解得b=-2 c=-3 .y=x2-2x-3, y=x2-2x-3=x-12-4, .顶点P的坐标为1，-4， 过点P作PC⊥x轴于C, 图丙 设AQ与y轴相交于D, 则AO=1,AC=1+1=2,PC=4, 根据(2)的结论，AO·AC=OD·PC, 10133 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .1×2=0D×4, 部钩OD=之 点D的壁标为0，号引 设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0)， -k+b=0 则 1 b-2 ,1 k-2 解得 b= 1 1 X 2, 1 联立 y=2x+ 2 y=x2-2x-3 7 1X2=-1 解得 y2=0 (为点A坐标，舍去)， 79 ∴点Q的坐标为 24 3 【答案】 (1)证明：AC⊥L,BD⊥l,PC⊥PD, ∴.∠CAP=∠DBP=∠CPD=90°， ∴.∠C+∠APC=90° ∠BPD+∠APC=90°， .∠C=∠BPD, ∴△APC一△BDP, 品S 即AC·BD=AP·BP: 11/33 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：成立，理由如下： .∠C+∠CAP+∠APC=∠APC+∠CPD+∠BPD=180°， 又∠CAP=∠DBP=∠CPD, ∴∠C=∠BPD, .△APC一△BDP, 版S 即AC·BD=AP·BP」 (3)解：，AC=BC=5, .∠A=∠B, ,∠CPD=∠A, 又：∠CPB=∠CPD+∠BPD=∠ACP+∠A, ∠ACP=∠BPD, △APC一△BDP, 品部。 ,AP长为x(0<x<8),则BP=8-X, 5 :BD 8-x 解和：BD=号X8-X 、1 8 5, 16 当X=4时，BD有最大值5， .CD=BC-BD,BC=5为定值， :当BD有最大值号时，CD有最小值是5-16=9 16 551 12133 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5. 【答案】(1) 证明：，'AB=AC, ∠B=∠C, ,∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠ADE=∠ABC ∴.∠BAD=∠CDE, .∴.△ABD一△DCE (2)解：.AC=AB=8,AE=7, ∴.CE=AC-AE=1, .△ABD一△DCE, BD=BC-CD=6-CD,CE=AC-AE=8-7=1 思器罗0 1 解得CD=2或CD=4, .DC的长为2或4. 题型五：手拉手型相似模型 1. 【答案】(1)解：如图，过E作ET⊥BC于T,四边形ABCD为矩形， ∴.∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠A=90°=∠BTE, 四边形ABTE为矩形， ∴.AB=ET, F E A D 图1 ·矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形EFCG, ..CE=CB, 1 .AB=BC. 2 13133 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6T-c,n人nE ET1 CE 2' ∴.∠BCE=30°， BC=CE ∴.∠EBC=∠BEC=75°， ,矩形ABCD,.AD‖BC, ∴.∠AEB=∠EBC=75°. ∴.∠ABE=15° (2) ①证明：如图，连接BE, G 图2 由矩形与旋转可得：CB=CE,AB=CD=EF,∠BCD=∠CEF=90° .EM‖CF, ∴.∠MEC=∠FCE, 在△CFE和△BDC中， CE=CB CEF=ㄥDCB=90° EF=DC .∴.△CFE≌△BDC(SAS), ∴.∠FCE=∠DBC, ∴.∠MEC=∠DBC, CE=BC, ∴.∠BEC=∠EBC, ∴.∠MEB=∠MBE ∴.EM=BM: ②关系式为MN=PN·BW,证明如下： 如图，连接CM, 14133 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M G B 图3 在△CEM≌△CBM中， EM=BM CE=CB CM=CM .∴.△CEM≌△CBM(SSS), ∴.∠MCE=∠MCB, .'∠CMN=∠MBC+∠MCB,∠NCM=∠MCE+∠NCE, ∴.∠NMC=∠NCM, .∴.MN=CN, 在△NCP和△NBC中， .'∠CNP=∠BNC,∠NCP=∠NBC, ∴.△NCP~△NBC, PN CN ·CNBN' ∴.CN2=PN·BN, ∴.MN2=PN·BN. 2. 【详解】解：(1)AE=CG,AE⊥CG: ,四边形ABCD,DEFG都是正方形， .AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠EDG=90°. .∠ADC+∠ADG=∠EDG+∠ADG, ∴.∠ADE=∠CDG ∴.△ADE≌△CDG」 ∴.AE=CG,∠DEA=∠DGC ,∠DEA+∠EDG=∠DGC+∠GPE, ∴.∠GPE=90° 15133 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE⊥CG: (2)(1)中数量关系不成立，位置关系成立. CG=2AE,AE⊥CG 理由如下：由题意知在矩形ABCD、DEFG中， ∠EDG=∠ADC=90, .∠EDG+∠GDA=∠ADC+∠GDA. ∴.∠EDA=∠GDC .AD=2DE,AB=2DG, ED_DG_1 ADDC 2' ∴.△EDA~△GDC .CG=2AE,∠DEA=∠DGC .∠DEA+∠EDG=∠DGC+∠GPE, ∴.∠GPE=90° .AE⊥CG」 综上所述：CG=2AE,AE⊥CG: (3).AD=2DE=6,AB=2DG=12 ∴.DE=3,DG=6 如解图①， F A B AE=VDE2+AD2=32+6=3V5 E C 图① 如解图2，连接AC,设AE=X,则CG=2x, B CEG=V3+62=39V5AC=62+12=6V5 G(P) 图② 在Rt△AGC中，AG2+GC2=AC2, 16133 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x+3V5)}2+(2x)2=(6V52, :x=9 5 ,(x=-35舍去). 综上所述，当点P与点C重合时，线段AE的长为35或95 5 99V5 故答案为：35或 心 【答案】(1) 证明：.E,F分别是线段BC,AC的中点， ∴.EF是△ABC的中位线， ∴.EF‖AB ∴.∠A=∠EFC,∠B=∠FEC, .∴.△ABC~△FEC (2)①解：①，△ABC一△FEC, ..AC_BC ·CFCE ..AC=CF BC CE 由旋转的性质易得∠BCE=∠ACF, ∴.△BEC一△AFC, AF=AC ·BEBC 又.∠ACB=90°，BC=2,∠BAC=30°， ∴.AB=4, ∴.AC=VAB2-BC=23, :45-AC=3 BE BC ②证明：，'△BEC△AFC, .∴.∠EBC=∠FAC 又.'∠BOC=∠AOM. .∴.∠BCO=∠AMO=90°，即BO⊥AF. 4. 17/33 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3BC=6, ∴.BC=2, ..AB=VAC2+BC2=2V10, 当C=0°时，AB=3AD,AC=3AE, :AD=2/10 3 、AE=2, BD=AB-AD=4 3, CE=4, 410 .BD 3 V10 CE 4 3 当a=180°时，如图： .AB=3AD,AC=3AE, :AD=2/10 3 AE=2, BD=AB+AD-8810 3 CE=AC+AE=8, 8V10 .BD 3 910: CE 8 3 B (2) CE的大小没有变化， 证明如下： ,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3BC=6, .BC=2, ∴AB=VAC2+BC2=2V10, .∠EAD=∠CAB,AB=3AD,AC=3AE 光光 ,∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB, ∠EAC=∠DAB, 18133 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ECA一△DAB, 0是要 (3)解：，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3BC=6, .BC=2, ..AB=VAC2+BC2=210, .AB=3AD,AC=3AE, :AD=2/10 310 AE-BC=2. .∠EAD=∠CAB,AB=3AD,AC=3AE ∴△DAE-△BAC, DE AD 1 ∴BC=AB3 DE=号Bc号 如图，当点E在BD上时，∠AEB=90°， B E D ..EB=A B2-AE2=6, .BD=BE+DE=20 架泗 3 .CE=2V10: 如图，当点D在BE上时，∠AEB=90°， D E 同理可得：EB=AB2-AE=6, 19133 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BD=BE-DE=16 BD 10 CE 3, :CE=80 5 8V10 综上所述，CE的长为2/10或°5。 5 【详解】(1)解：由旋转的性质知，AD=AG=3,AB=AE=4,∠DAG=∠BAE, AD-AC-3 AB AE 4' .'.△DAG一△BAE, ∴.∠AGD=∠AEB, 延长DG与EB的延长线于点H,EH交GF于点L, ,矩形AEFG, .∠AGF=90°，GF‖AE, .∠AGD+∠FGH=90°，∠GLH=∠AEB=∠AGD, ∴.∠AEB+∠FGH=∠GLH+∠FGH=90°， .DG⊥EB 故答案为：DG⊥EB: (2)证明：①由旋转可知，AB=AE, ∴.∠ABE=∠AEB, .AB CD. .∠ABE=∠CEB ∴∠CEB=∠AEB, ∴.BE平分∠AEC, 20/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图，过点B作BM⊥AE于点M, G M A 图1 :四边形ABCD是矩形， ∴.∠C=90°， 又.BM⊥AE,BE平分∠AEC, .'BC=BM, 由旋转可知，AG=AD=BC, ∴.AG=BM 在△AOG和△MOB中， ∠GAO=∠BMO=90° ∠AOG=∠MOB AG=BM ∴.△AOG≌△MOBAAS, ∴OG=OB (3)解：由旋转得AD=AG,AB=AE,∠DAG=∠BAE, ∴.∠ADG=∠AGD=∠ABE=∠AEB. .∠ABE+∠ABH=180°， .∠ADH+∠ABH=180°，在四边形ADHB中，∠DAB=90°， ∴∠DHB=90°， .AB=AE=BE=4, △ABE为等边三角形， ∴.∠DAG=∠BAE=60°， .AD=AG ∴.△ADG为等边三角形， ∴.∠ADG=60°， 如图，令DH与BC的交点为I, 21133 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ∴.∠IDC=90°-∠ADG=30° F E 图2 ∴.∠BIH=∠DIC=90°-∠IDC=60°， ∴.DI=2CI, :C1=43 3 D1=2CI=83 3 .BI=BC-IC=3-42,HI=5BI=323 23 :DH=DI+m=823+3-23=23+3 323 如图， G A 6 图3 同理可得DG=AD=3,GJ=8 3,HW=325 23 DH=G1+HJ-DG=83+3_23 32 -3=23-3 3 综上所述，DH的长为23+ 或23- 2 题型六：十字架型相似模型 1. 【详解】(1)解：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°， 22133 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAF+∠FAE=90°， .AG⊥DE .∠AFD=90°， ∴.∠DAF+∠ADF=90°， ∴.∠ADE=∠BAG, 在△ADE和△BAG中， ∠ADE=∠BAG AD=BA ∠DAE=∠ABG .△ADE≌△BAG ASA, ..AG=DE, 故答案为：AG=DE: (2)解：①(2)①DE=nMN, 理由如下， M B E ABCD D G 图2 四边形 是矩形， .∠B=∠C=90°，AB=CD, ,MG⊥CD .∠B=∠C=∠MGN=90°，∠GMN+∠GNM=90°， .四边形BCGM是矩形， ∴.GM=BC, .DE⊥MN, ∴∠CDE+∠GNM=90°， .∠CDE=∠GMN. ∴.△CDE一△GMN, DE=CD=AB=n, MN GM BC .DE=nMN: 23133 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②矩形的两邻边之比. ③BE=15 证明：如图所示，延长CD至点M,使DM=CD, M E B 图3 ,点D是AB的中点， ∴.AD=BD, ∴.四边形ACBM是平行四边形， :∠ACB=90, ∴.平行四边形ACBM是矩形， .CM=AB=VAC2+BC2=82+62=10, .BE⊥CM ∴.∠CBE+∠BCF=∠BCF+∠ACM=90°， ∴.∠ACM=∠BCE. .△CBE一△ACM, 器怒恶 BE=5 2. 【答案】 (1),四边形ABCD是矩形，且AB=6,BC=8, ∠C=∠ADE=90°，AB=CD=6,BC=AD=8, ∴.∠ADG+∠FDC=90, AE⊥DF, ∴.∠AGD=90°， 24133 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAG+∠ADG=90°， .∠DAG=∠FDC, △DCF一△ADE, .DF=DC=6=3 AE AD 8 4' (2)过点B作CB的垂线，过点D作BC的垂线，垂足为K,过点A作BC的平行线，分别交两条垂线 于G、H,如图： G D B 图2 则四边形GBKH为矩形， D为AC的中点， ..AD=CD ,'∠AHD=∠CKD=90°，∠ADH=∠CDK, ∴.△ADH≌△CDK AAS, .DH=DK, .∠BAD=90°， .∠GAB+∠HAD=90°， .∠GAB+∠GBA=90°， .∠HAD=∠GBA, .∠G=∠AHD=90°， ∴.△AHD△BGA, 船始 AB 3 AC-AD=CD AD 2 ·AB3 设DH=2y,则BG=4y, 25133 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG 4y-12 ..GH 8 3y+3y 17, AF BG 由(1)知： BD GH' AF=12 :BD 17 (3)过C作CN⊥AD于N,CM⊥AB交AB的延长线于点M,如图3： B D M◇ 图3 ,∠BAD=90°，即AB⊥AD, .∠A=∠M=∠CNA=90°， ∴.四边形AMCN是矩形， ∴.AM=CN,AN=CM, 在△BAD和△BCD中， AD=CD AB=BC BD=BD ,△BAD≌△BCD|SSS, .∠BCD=∠A=90°， ∴.∠ABC+∠ADC=180°， .∠ABC+∠CBM=180°， .∠MBC=ㄥADC .∠CND=∠M=90°， ∴.△BCM-△DCN, 怨 BM_BC_2 ·DNCD3 设BM=2y,AB=BC=2X,则DN=3y,AD=CD=3X, 26133 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CN=2x+2y, 在Rt△CND中，由勾股定理得：DN2+CN=CD, 3y+2x+2y2=3x, 13 解得：X= y或x=-y(舍去)， 82y 3x13 2 故答案为：13 3. 【详解】（1)解：.四边形ABCD为正方形， ∴.AD=DC,∠EDA=∠FCD=90°， .AE⊥DF, .∴.∠ADF+∠DAE=90°，∠ADF+∠CDF=90°， ∴.∠CDF=∠DAE, 在Rt△ADE与Rt△DCF中， ∠ADE=∠DCF AD=DC ∠DAE=∠CDF .△ADE≌△DCF ASA, ∴AE=DF, ·泸-1 故答案为：1. (2)如图，过点E作EH⊥BC于点H, E ABCD AB=3 BD=5 四边形 为正方形， .AD=BC=VBD2-AB2=52-32=4, ∠BAE=∠BHE=∠EHF=90°，AD‖BC, ∴.四边形ABHE为矩形，∠ADB=∠DBC, 27133 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB=HE=3, .BD⊥EF于点G, ∴.∠GEH+∠GED=∠GED+∠GDE=90°， ∴.∠ADB=∠HEF, '.△ADB一△HEF, 需器 F_3 即54' ·EF=15 , 15 喘 (3)如图所示，过点F作FM⊥AC于点M, M ◇入D .△ABC ∠BAC=90°，AB=6,AC=8 E口 是直角三角形， ∴.BC=AB2+AC2=62+82=10. ,点D是AC的中点， AD-CD-AC-x8-4. 在Rt△ABD中，AB=6,AD=4 .BD=VAB2+AD2=V62+42=2V13, 设CF=5x, :∠CMF=∠CAB=90°，∠C=∠C, .∴.△CMF~△CAB, 需 5x_CM_MF 即CB86 ∴.CM=4x,MF=3x, 28133 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.AM=AC-CM=8-4X, .AF⊥BD ∴.∠ABD+∠BAE=∠BAE+∠FAM=90°， ∴.∠ABD=∠FAD 又.∠BAD=ㄥAMF=90°， ∴.△ABD~△MAF, ·AB=AD=BD MA MF AF' 6=4=213 即g-4x3xAF, 解得x二16 -171 AF=2V13x3x 2/13x3×16 17_24/13 4 4 17 24V13 故答案为： 17 4. 【答案】 (1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠ADE=∠DCF=90°， ∴.∠CDF+∠DFC=90°， ,AE⊥DF ∴.2DGE=90°， .∴.∠CDF+∠AED=90°， ∴.∠AED=∠DFC, ∴.△ADE一△DCF: (2)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AD=DC,AD‖BC,∠ADE=∠DCF=90°， AE=DF, ∴.△ADE≌△DCF HL, .DE=CF, 又.CH=DE, 29/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CF=CH, .点H在BC的延长线上， ∴.∠DCH=∠DCF=90, DC=DC, ∴.△DCF≌△DCH SAS, ∴.∠H=∠DFC, AD‖BC, .∴.∠ADF=∠DFC=∠H； (3)解：如图，延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG, A D ABCD B F G 四边形 是菱形， ∴.AD=DC,AD‖BC, ∴.∠ADE=∠DCG, .△ADE≌△DCGSAS, ∴.∠DGC=∠AED=60°，DG=AE, AE=DF, .'DG=DF, ∴.△DFG是等边三角形， .∴.FG=FC+CG=DF=11, .∴.FC=11-CG=11-8=3. 5. 【详解】解：(1)如图1，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G. B 图1G .∠BAC=90°，∠ACG=90°， 30133 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABD+∠ADB=90°，∠BAC+∠ACG=180°， .CG‖AB ,AE⊥BD ∠DAE+∠ADB=90°. ∴.∠CAG=∠ABD, 在△ACG和△BAD中， ∠CAG=∠ABD AC=AB ∠ACG=∠BAD .△ACG≌△BAD ASA, .CG-AD-TAG-TAB, ,BA‖CG .△CFG~△BA, .CGCF 1 AB-FB 2' .BF CF=2, 2×1×4×4=16 :.△ABF的面积=3×2 (2)如图2，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H. B 图2H .∠BAC=90°， ∴∠ABD+∠ADB=90°，∠BAC+∠ACH=180°， .CH‖AB ,AE⊥BD ∴∠DAE+∠ADB=90°， .∠CAH=∠ABD. 在△ACH和△BAD中， 31133 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAH=∠ABD AC=AB ∠ACH=∠BAD ∴.△ACH≌△BAD ASA, Cl-AD-3AG-3AB, BA‖CH, △CFH一△BFA, .CH CF 1 ABFB3即BF=BC 3×1×4×4=6: :.△ABF的面积=42 (3)如图3中，作CH⊥BC交AF的延长线于H,AK⊥BC于K. K F C 图3 H .AB=AC,∠BAC=120° .∠ABC=∠ACB=30°， ,∠BCH=∠AKC=90°， .∠ACH=∠BAD=120°，AK‖CH, ,∠ABD+∠ADB=180°-120°=60°，∠AEB=∠EAD+∠ADE=60°， ∴.∠ABD=∠CAH .△BAD≌△ACHASA, ..CH=AD, .AK⊥BC, .BK=CK, 在Rt△ACK中，·AC=4,∠ACK=30°， .AK-]AC-2.CK-BK-2V3. :AK ICH,AD=CH=手 32133 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :FK:FC=AK:CH=2:4=3:2, 3 .BF:BC=4:5, 5g号5音×493×2-160 5 33133 专题02 相似三角形模型的专项训练 题型一 A字型相似模型 题型二 8字型与双8字型相似模型 题型三 母子型相似模型 题型四 K字型（一线三等角）相似模型 题型五 手拉手型相似模型 题型六 十字架型相似模型 题型一：A字型相似模型 1．如图，，，，则的长______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴相似比为，即， ， ， 故答案为：5． 2．如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，（点到达点后，点继续运动）．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时开始运动，那么当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的对应边成比例以及分类讨论思想是解题的关键． 如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A与A对应，那么分D与B对应、D与C对应两种情况．分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当D与B对应时，有． ∴，即，解得：； ②当D与C对应时，有． ∴，即，解得：不符合题意； ∴当时，点D与点B重合，则，解得：（符合题意）， ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是或． 故选A． 3．如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 【答案】(1) 证明：，，，， ，， ， 又， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键． （1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似； （2）根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ， ， ． 4．如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 5．如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)81 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似并掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）先由平行线分线段成比例定理得，再结合已知得，即可得出结论； （2）先根据已知结合（1）得，求出，再证明，根据相似三角形的性质得，进而可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二：8字型与双8字型相似模型 1．如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___． 【答案】/1.2/ 【分析】由ABGH，可得△CGH∽△CAB，从而得出=，同理可得=，将两个式子相加，即可求出GH的长． 【详解】∵ABGH， ∴△CGH∽△CAB， ∴=，即=①， 同理=，即=②， ①+②，得+=+==1， ∴+=1， 解得GH=． 故答案为． 2．如图，点是边延长线上一点，交于点，交于点，如果，那么的值为___________． 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，关键是根据平行四边形的性质，证明，进而列出比例关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； (2) 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）略． 5．如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 题型三：母子型相似模型 1．在中，，，，，则CD的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是识别出中斜边上的高所构成的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质建立等式求解的长． 在中，可得；由，可推出（均为的余角），从而判定；根据相似三角形对应边成比例，得，代入、的已知条件，即可计算的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴（垂直的定义）． ∵，， ∴（同角的余角相等）． ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 该结果与选项C一致， 故选：C． 2．如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，由等边三角形性质可得，，由，得，根据三角形外角性质可得，，所以，，故有，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，在中，，平分，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据垂直以及角度运算得到，再通过角平分线得到，进而可证； （2）先通过等面积法得到，求出，，再通过勾股定理求出，然后通过相似三角形的比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴到的距离等于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ． 题型四：K字型（一线三等角）相似模型 1．已知：如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ； (2)1 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟悉相关知识是解题的关键． （1）根据题意可证，继而可证得，根据相似的性质即可得到； （2）由题知，根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，，，且， ， 由（1）知， ， 解得：， ． 2．（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 【答案】 （1）成立， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）仍然成立．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）根据同角的余角相等求出，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证； （2）与（1）的证明思路相同； （3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作轴于C，设与y轴相交于D，然后求出，再根据（2）的结论求出，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）设抛物线解析式为（）， ∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴顶点P的坐标为， 过点P作轴于C， 设与y轴相交于D， 则， 根据（2）的结论，， ∴， 解得， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为（）， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（为点A坐标，舍去）， ∴点Q的坐标为． 3．【感知特例】 （1）如图1，点A，B在直线l上，，，垂足分别为A，B，点P在线段上，且，垂足为P．求证：； 【建构模型】 （2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由； 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当______时，有最小值是______． 【答案】 （1）证明：，，， ， ， ， ， ∴， ， 即； （2）解：成立，理由如下： ∵， 又， ∴， ∴， ， 即． （3）， 【分析】（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求出的最大值，即可得到的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵长为，则， ∴， 解得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵，为定值， ∴当有最大值时，有最小值是． 4．如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为___________． 【答案】/0.8 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用，，得出，再由，得出，则，求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，点E为中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ． (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 题型五：手拉手型相似模型 1．将矩形绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形． (1)如图1，若 点E落在上，求的度数； (2)连接，，过点E作交于点M． 如图2，证明：； 如图3，若射线分别交，于点P，N，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ①证明：如图，连接， 由矩形与旋转可得：，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； ②关系式为，证明如下： 如图，连接， 在≌中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ，， ∴， ， ， 【分析】（1）如图，过作于，证明四边形为矩形，求解，证明，即可解答． （2）①连接BE，证明，得到，即可证得．②连接，证明，，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于，四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 矩形绕点A顺时针旋转得到矩形， ∴， ∵， ∴，， ， ， ， 矩形，， ． ∴ （2）①略 ②略 2．（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 【答案】（1），； （2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为： （3）或 【分析】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）证明得到与的数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解． 【详解】解：（1），； ∵四边形，都是正方形， ∴，，． ∴， ∴． ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴； （2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立． ，． 理由如下：由题意知在矩形、中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述：，； （3）∵ ∴ 如解图①， ； 如解图2，连接，设，则，     ，， 在中，， ， ∴（舍去）． 综上所述，当点与点重合时，线段的长为或． 故答案为：或． 3．如图①，在中，分别是线段的中点，连接． (1)求证：． (2)如图②，当绕点顺时针旋转时，连接，并延长交于点，交于点． ①求的值； ②求证：． 【答案】(1) 证明：分别是线段的中点， 是的中位线， ， ∴，， ． (2)① ②证明： ． 又， ，即． 【分析】（1）根据分别是线段的中点，得到是的中位线，即可得到，进而证明； （2）①由可得，由旋转的性质易得，从而可证，通过相似三角形的性质可得，通过勾股定理可求出，，代入后即可求解；②通过可得，再通过即可得到，进而求解． 【详解】（1）略 （2）解：①， ． 由旋转的性质易得， ． 又， ， ． ②略 4．如图1，在中，，，点，分别是边，上的点，且，，连接，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)【问题发现】当时，____；当时，____． (2)【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． (3)【问题解决】当旋转至，，三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)的大小没有变化， 证明如下： ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； (3)的长为或 【分析】（1）由题意可得，由勾股定理可得，当时，求出 ，；当时，求出，，代入所求式子计算即可得解； （2）由，，得出，，进而推出，由相似三角形的性质即可得解； （3）求出，再由勾股定理可得，结合题意可得，，证明，求出，再分两种情况：当点在上时；当点在上时；分别结合勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，， ∴，， ∴； 当时，如图： ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）略 （3）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在上时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在上时，， 同理可得：， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 5．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图1，连接，，直线和直线的位置关系为________． (2)如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接， 求证：①平分； ②点为线段的中点． (3)若直线与直线交于点，当时，请直接写出的长________ 【答案】(1) (2) 证明：①由旋转可知，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ②如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，平分， ∴， 由旋转可知，， ∴， 在和中， ∴， ∴； (3)的长为或． 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到，延长与的延长线于点，交于点，求得，据此得解； （2）①过点作于点，由旋转可知，得到，根据 平行线的性质得到，推出平分； ②根据角平分线的性质得到，由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到； （3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形，如图2，根据直角三角形的性质结合勾股定理得到，，即可求得；如图3，同理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质知，，，， ， ， ， 延长与的延长线于点，交于点， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：由旋转得，，， ∴． ∵， ∴，在四边形中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴， 如图，令与的交点为， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图， 同理可得，，， ∴ 综上所述，的长为或． 题型六：十字架型相似模型 1．小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连结，过点作于点，交于点，则与的数量关系是_________． (2)①如图2，在矩形中，，为上的点，连结，过点作于点，交于点．小明发现，过点作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么?请说明理由． ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于__________． ③应用上述结论解决问题；如图3，在中，，点是的中点，连结，过点作的垂线，交直线于点，垂足是点，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①， 理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②矩形的两邻边之比；③ 【分析】（1）根据正方形，垂直的定义可得，运用角边角证明，由此即可求解； （2）①根据矩形，垂直的定义可得四边形是矩形，根据相似三角形的判定可得，由此即可求解； ②结合①的证明即可求解； ③如图所示，延长至点，使，可得四边形是平行四边形，结合，由矩形的判定方法可得平行四边形是矩形，根据上述证明可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：① 略 ②矩形的两邻边之比． ③． 证明：如图所示，延长至点，使， ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即, ∴． 2．【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 【答案】 （1）∵四边形是矩形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，证明，由相似三角形的性质得出． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出答案． （3）过C作于N，交的延长线于点M，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，如图： 则四边形为矩形， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由（1）知：， ∴． （3）过C作于N，交的延长线于点M，如图3： ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 3．【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； （3）过点作于点，运用勾股定理可得,，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解； 【详解】（1）解：四边形为正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：1． （2）如图，过点作于点， 四边形为正方形，，， ， ，， 四边形为矩形，， ， 于点， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如图所示，过点作于点， 是直角三角形，， ， 点是的中点， ， 在中，， ， 设， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 4．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 5．（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 【答案】（1）2，；（2）的面积；（3） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意类比思想的运用． （1）过点C作的垂线，交的延长线于点G，证明，得到，证明，求出与的数量关系，得到的面积． （2）过点C作的垂线，交的延长线于点H，类比（1）即可解决． （3）如图3中，作交的延长线于H，于K．证明，求出的面积即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点C作的垂线，交的延长线于点G． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）如图2，过点C作的垂线，交的延长线于点H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积； （3）如图3中，作交的延长线于H，于K． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $