第三十一章 相似（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版九年级下册

第三十一章 相似（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 2．如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 4．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 5．在与中，有下列条件：；；；．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有（     ） A．组 B．组 C．组 D．组 6．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，双曲线上有，两点，轴于点，轴于点，为的中点，，则的值为（     ） A．8 B． C．16 D． 9．如图，已知平行四边形中，E，F分别是边上的点，与对角线交于P，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，延长至点F，满足，则以下说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 12．如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，那么，_______，_______． 13．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 14．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________． 15．如图，中，为对角线上一点，过点的直线分别交边，于点，交射线于点．若，则的值为___________． 16．正方形中，边长为6，E、F分别在和边上，且，于，则的最小值为_______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，点是线段上一点（），如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图1，点是线段的黄金分割点，若，则___________； (2)如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点．请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 18．（8分）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； (1)求证：． (2)若，正方形的边长为6，求线段的长． 19．（8分）小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 20．（8分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 21．（10分）如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为斜边构造等腰直角三角形，点和点在直线的同侧． (1) ； (2)连接，求证：； (3)当点在边上时，求的长； (4)是边上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 22．（10分）如图，的顶点坐标分别为． (1)作出与关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，在原点另一侧画出，使得． (3)仅用无刻度直尺（不使用直角，在线段上找一点，使得 23．（10分）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． (1)【问题解决】如图①，若点与线段的中点重合，则的度数为 ，线段与线段的位置关系是 ； (2)【问题探究】如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 24．（10分）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三十一章相似（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.已知线段AB=2,点C是线段AB的黄金分割点AC>BC,则BC的长为() 3-5 9 5-1 B. c.5-1 D.3-V5 【答案】D 【详解】解：，点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC, ∴.AC= 5-1AB. .AB=2, .AC=5-1, ÷BC=AB-AC=2-R5-1=3-R5 2.如图，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A,B, E在x轴上，若OA=1,则点F的坐标为() E A.3,6 B.6,3 c.9,6 D.6,9 【答案】C 【详解】解：，'正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3， ∴.AD:BG=1:3,ADBG, ∴.∠OAD=∠OBG,∠ODA=∠OGB, .△OAD~△OBG, OA_AD=1 ·OBBG3 .0A=1, 1/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OB=3, ∴.AB=OB-OA=2 四边形ABCD为正方形， ∴.AD=AB=2, ∴.BG=3AD=6. ,四边形BEFG为正方形， .∴.BE=BG=6, .∴.OE=OB+BE=3+6=9, ∴.点F的坐标为9,6 3.如图，△A1B,C1与△ABC是位似图形，且周长比为2,3，则下列结论错误的是() A.点O为位似中心，相似比为2,3 B.A:B AB,AB:AB=2:3 C.OA:OA=2:3 D.△A1B1C1与△ABC的面积比为23 【答案】D 【分析】根据位似图形的周长之比等于位似比，位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可. 【详解】解：，△A1B,C1与△ABC是位似图形，且周长比为2,3， .由图形位似的性质可得： △A1B1C1一△ABC,且相似比为2.3， A1B‖AB, A B:AB=OA:OA=2:3 如图AA1与CC1交于点O, ∴点O为位似中心， 由相似三角形面积比等于相似比的平方可得： △A,B,C1与△ABC的面积比为4·9 故选：D 4.已知线段a、6,求作线段x,使x=2b 正确的作法是() 2/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2b D. 2b A 【答案】C 【分析】将已知等式变形为比例式，结合平行线分线段成比例定理及尺规作图中先作已知线段的原则 进行判断， 2b2 【详解】解：x= ∴.ax=2b2, 根据平行线分线段成比例定理，图C中对应线段成比例，满足只=2 b x ,符合题意。 5.在△ABC与△AB,C中，有下列条件：①AB=BC A:B BC:( ②BC、AC B,C,A,C:③∠A=∠A: ④∠C=∠C1 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC一△A,B,C,的共有（） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【答案】C 【详解】解：从4个条件中任取2个组合，逐一判断： 、AB-BC。BC-AC OABB,C②B,CA1C AB_BCAC 六A,B,B,C,A1C,可判定△ABC-△AB,C1: ,·①③、①④、②③组合均满足两边成比例，但相等的角不是成比例两边的夹角， .不能判定相似： BC_AC :②B,CAC,④∠C=∠C,且∠C是BC与AC的夹角， ∴.可判定△ABC一△A1B1C1: ,∵③∠A=∠A1,④∠C=∠C1, ∴.可判定△ABC一△A1BC1: 综上，能判定相似的共有3组. 3/31 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，MN为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜MN的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜MN左 侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛AB,透过凸透镜后成的像为CD.平行于主光轴的光线AF,通过凸透镜 折射后经过焦点，并与光线AO会聚于点C.若物距OB=6cm,像距OD=12cm,则凸透镜MN的焦距 OE的长为( A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 【答案】C OC 2 【分析】先得出AF=OB=6am,再得出ACOD一△AOB,测-C92,进而可得AC3 然后得出△COE一△CAF,利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：由题意得：AB‖CD MN,AF‖BD,AB⊥BD, ∴，四边形ABOF是矩形， ∴.AF=OB=6cm, 又，AB‖CD ∴.△COD△AOB, :0C=0D OA OB ..OD=12cm, ÷0C=2=2,即0C=20A, OA 6 ∴AC=OA+OC=3OA, 98架38号 又，AF‖BD ∴.△COE~△CAF, ..OE=4(cm. 4/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是2,0，以点C为位似中心，在x轴的下 方作△ABC的位似图形△ABC:并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是aa>2)， 则点B的对应点B的横坐标是(） B A.2a-2 B.-2a+2 c.2a-4 D.-2a+6 【答案】D 【分析】由位似图形的性质知B、C、B三点共线，且CB=2CB:再由两个三角形分居位似中心C 的两侧，确定点B在点C的左侧，用点B的横坐标表示点B的横坐标. 【详解】解：，以点C为位似中心作△ABC的位似图形△ABC,且把△ABC的边长放大到原来的 2倍， .B、C、B三点共线，且CB=2CB :点A、B都在x轴的上方，△ABC在x轴的下方，点C2,0在x轴上， ∴，点B与点B分居位似中心C的两侧， ∴.点B在点C的左侧，且点B与点C的水平距离是点B与点C的水平距离的2倍， ,点B的横坐标为a(a>2),点C的横坐标为2， ∴.点B与点C的水平距离为a-2, ∴点B的横坐标为2-2a-2=-2a+6, ∴.点B的横坐标是-2a+6 8.如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=Kk≠0上有A,B两点，AC⊥x轴于点C,BD1x轴于点 D'H为0B的中点·S6m=6:则k的值为（） 5/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 o A.8 B.-8 C.16 D.-16 【答案】D 【分析】电人oHc心A0BD得a8丽”==即S,uk 进而得到 SAOBD 8 S△AH0=S△A0C-SAOHC= k=6,再结合图象的位置即可求解 8 【详解】解：，AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D, AC‖BD, ∴△OHC~△OBD ,H为OB的中点， ..SAOHC SAOBD 8- 5ow ∴.SA0Hc= 又5ec ∴S△AH0=S△40C-S△OHC= k-日k=k=6 8 8 解得k=±16， ,双曲线的一支位于第二象限， k<0 .k=-16 9.如图，已知平行四边形ABCD中，B,F分别是边AB,AD上的点，EF与对角线AC交于P,若AS= EB 2 6/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF_2,则S△AD的值为() SAPCE B A B. 3 C. 2-5 D. 8 【答案】B 【分析】作辅助线，构建相似三角形，根据已知的比得 AP_AF6PG 5 PGEG5和PC27根据同高三角 形面积比的关系得出△PAD、△APF、△PEC面积都与△PEG的面积有关，并得出相应等式，代入所 求面积的比进行计算即可. 【详解】解：过E作EH‖AD,交DC于H,交AC于G,如图： D H E ,四边形ABCD是平行四边形， ..AD BC, .EH‖BC, .AG=AB_1 GC EB2 .DC AB EG_AG_1 GH GC 2 EG=1 EH3 :.EG=-EH, 3 福 7/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷AP=2,S6AE=2, AD5S△APD 5 AF=是AD=是EH,5AAm 5 SAAPF' AD EH, ..AF EG, ∴△APF一△GPE, AP_AF_ 生H 6 PG EG 5 3 S△AP距=36， SAPEG 25 PG 5 AG-' 器品 器品 S△EpG=5, S△EPc27 .SAERC= 2 -SAEPG' SAPD= 2 5×5x36=2 SAPCE AEPG 227253 5 10.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,对角线AC和BD相交于点E,延长BE至点F,满足 BE2=DE·EF' 则以下说法一定正确的是() 8/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 D E A.AB=CD B.AE·EC=ED·BE c.CF‖AB D.AC=CF 【答案】C 【分析】证明△AED一△CEB,得出C元BE, AE DE 即可判断B选项错误；证明△AEB一△CEF,得 出∠EAB=∠ECF,即可判断C选项正确；只有等腰梯形才能得出AB=CD,即可判断A选项错误；根 据已知条件不能得出AC=CF,即可判断D选项错误. 【详解】解：：AD‖BC ∴△AED~△CEB, 器器 ∴.AE·BE=ED·EC,故B选项错误： BE=DE·EF, BE=DE ”EFBE 偿浩 ,∠AEB=∠CEF, ∴△AEB一△CEF ∴、∠EAB=∠ECF, CF‖AB,故C选项正确： 只有等腰梯形才能得出AB=CD,故A选项错误： 根据已知条件不能得出AC=CP,故D选项错误. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验.如图所示的小孔成像实验中，AB‖CD, AC与BD交于点O,OF⊥AB于点F,OE⊥CD于点E,若物距OF为5cm,像距OE为7.5Cm,蜡烛火 9/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 焰倒立的像的高度CD是3cm,则蜡烛火焰的高度AB是 cm. 【答案】2 【分析】根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值 即可求解 【详解】解：，AB‖CD .∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC, ∴△OAB-△OCD, ,OF⊥AB于点F,OE⊥CD于点E, 8咒 即AB5 3-7.5 解得：AB=2cm」 12.如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD:CD=2:5,连接AD、BE,交点为F, DF:AF=1:4,那么，SAABD:S△ABC=, CE= AE D 7 【答案】 2:7 0.875 【分析】可求出BD:BC=2:7,则S△ABD:SAABC=BD:BC=2:7:过点D作DG‖BE,交AC于点 G,根据平行线分线段成比例定理得到 E沿-4瓷品-照t时 【详解】解：，BD:CD=2:5, 10131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD:BC=2:7, ∴.S△ABDS△ABc=BD:BC=2:7: 如图所示，过点D作DG‖BE,交AC于点G, G B D C EG DF 1 CG CD 5 AE-AF-4'EG-BD 2 ÷AE=4EG,CG=5EG, ..CE=EG+CG= c .CE 2EG) 7 AE 4EG 8 13.如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E,若BF:FD=3:1, BC=10,则CE的长为 【答案】4 【分析】取AB的中点G,连接GD,根据三布形中位线性质得GDCE,GD=吃CE,再证明 BF-△GDP,得器-部从而求得BECE,然后根据BE+CE=BC=10 求解。 【详解】解：取AE的中点G,连接GD, 11/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G ,D是AC的中点，G是AE的中点， ∴，GD是△ACE的中位线， .GD CE.GD=ICE, .△EBF一△GDF, 部那 ∴.BE=3GD, a0-c, .BE+CE=BC=10, .3CE+CE=10 .CE=4. 14.如图，五边形ABCDE,ABCDE是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A,A的坐标 分别为2,0,3,0，若DE的长为3，则DE的长为 【将号 【分析】根据A,A的坐标求出OA与OA的长，从而确定位似比，利用位似图形对应边成比例即可 求出DE的长， 【详解】解：点A,A的坐标分别为2,0,3,0， ∴.OA=2,OA=3, 12131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA2 ∴.五边形ABCDE,ABCDE的相似比为： OA 3 DE-2 DE 3 DEDE 3×3= 9 15.如图，口ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E的直线MN分别交边AB,BC于点F,G,交射 线DA,DC于点M,N.若MF=3,EF=2,则EG·EN的值为 M B 【答案】10 【分析】根据平行四边形的性质，可得ADBC,ABCD,再由平行线分线段成比例可得 EG BE EF BE EG EF ME DE'EN=DE' 从而得到 MEEN,即可求解 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， AD‖BC,AB|CD, .EG=BE EF_BE ME DE'EN DE 器 MF=3,EF=2, EG 2 3+2EN1 ∴.EG·EN=10. 16.正方形ABCD中，边长为6，E、F分别在AD和CD边上，且2AE=3FC,FG⊥BE于G,则AG的 最小值为 13/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】61-5/-5+V61 【分析】延长GF,BC交于点H,先证明△FCH一△EAB,求出CH=10,然后取BH的中点O,连 接OG,OA,确定点G在以点O为圆心，OB为半径的一段圆弧上运动，再转化为圆外一点与圆上一点的最 值问题求解即可. 【详解】解：延长GF,BC交于点H, D ,四边形ABCD是正方形， ∴，AB=BC=6,∠BAE=∠ABC=∠BCD=90°， ,FG⊥BE, ∴.∠BGH=∠BAE=∠ABC=90°， ∴.∠ABE=∠H=∠90°-∠EBC, ,∠FCH=180°-∠BCD=90°=∠BAE, .∴.△FCH~△EAB .FC_CH AE AB .2AE=3FC .FC-CH=2 AE AB 3 0H-号×64 ∴.BH=BC+CH=10 14131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 取BH的中点O,连接OG,OA, .∠BGH=90°，BH=10, ÷点C在以点0为圆心，OB为半径的一段圆弧上运动，0G=0B=2BH=5, A0=VAB2+BO-V62+5=61' ,AG≥OA-OG=V61-5, ∴.当点A,G,O共线时，AG取得最小值为61-5. 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(8分)如图，点P是线段AB上一点(AP>BP),如果满足PB=AP 那么称线段AB被点P黄金 AP AB' 分割，点P是线段AB的黄金分割点，完成下列问题： B B 图1 图2 (1)填空：如图1，点P是线段AB的黄金分割点，若AB=1,则PB= (2)如图2，已知正方形ABCD,求作AB边的黄金分割点H. ①取AD的中点E,连接BE: ②在DA的延长线上取点F,使FE=EB: ③以线段AF为边作正方形AFGH 则点H就是线段AB的黄金分割点，请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段AB的黄金分 割点H(保留作图痕迹，不写作法)· 【答案】3-它 【分析】(1)根据题意可得1-PB PB1-PB 1 ,解方程即可得到答案： (2)按题目步骤画图即可. 【详解】(1)解：，点P是线段AB的黄金分割点， 15131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PB_AP APAB AB=1, PB_1-PB -PB PB=(1-PB2 .PB2-3PB+1=0, PB=3-5 或PB=3+5 2 2 (舍去)： (2)如图，点H即为所求 18.(8分)如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点 F,连接BD交AF于点E,连接EC,可知△ADE≌△CDE: (1)求证：AE=EF·EG. 2)若EC=1 CE 3' 正方形ABCD的边长为6，求线段CF的长. 【分析】(1)证明△ABE一△GDE,△AED一△FEB,得到 AEDE EG_DE 据此可证明 EF BE'AE BE AE2=EF·EG: (2)由全等三角形的性质得到AE=CE,则可得 EFA正3，再由相似三角形的性质得到 AEEG1 16/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AE1 BFEF3,据此求出BF的长即可得到答案。 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， :.AB‖CD,AD‖BC :△ABE~△GDE,△AED~△FEB, AE=DE EG-DE EF BE'AE BE 器鉴 .AE2=EF·EG; (2)解：：△ADE≌△CDE, ..AE=CE, …EG=1 CE 3' 时 由(1)得AE=G1 EFAE3'△AED-△FEB, .AD=AE-1 BF EF 3 ,四边形ABCD是正方形， ..AD=BC=6, BF=18, ∴.CF=BF-BC=12 19.(8分)小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点A,B,C在同一条直线上，点A,E,D也在同一条直线上，BE⊥AC于点B,DC⊥AC 于点C,小明眼睛到地面高BE=1.5米，且AB=3米，CB=9米. D B (1)求旗杆CD的高度. 17/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在地面BC上的F处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端D,求此时BF的长 【答案】(1)6米 2)1.8米 【分析】(1)由BE、CD都垂直AC得到两直线平行，证出△ABE一△ACD,算出AC=12米 代入BE=1.5,AB=3,AC=12,利用相似三角形的比例式求出旗杆高度CD=6米. (2)利用镜面反射角相等，结合直角证明△EBF一△DCF,设BF=X,FC=9-X,代入 BE=1.5,CD=6列比例方程，解得BF=1.8米， 【详解】(1)解：已知BE⊥AC,DC⊥AC 因此BEDC, :∠A为公共角，且∠ABE=∠ACD=90 .△ABE一△ACD .BE_AB CD AC .AC=AB+CB=3+9=12米 代入已知数值BE=1.5,AB=3,AC=12: 哈品品 ∴.3·CD=1.5×12, ∴.3CD=18 .CD=6米 (2)解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得∠EFB=∠DFC: 又：∠EBF=∠DCF=90°， ∴.△EBF△DCF 设BF=x米，则FC=CB-BF=9-X米， ·BE=BF CD FC 代入已知数值BE=1.5,CD=6: 1.5=x 69-x 解方程： 1.59-x=6x 18131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.5-1.5x=6x 13.5=7.5x x=1.8 即BF=1.8米 20.(8分)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究.如图1， 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. D 图1 图2 (1)兴趣小组的同学得出AC=AD·AB.理由如下： .∠ACB=90° .·∠A=∠A ∴.∠A+∠B=90° .∴.△ABC~△ACD .CD⊥AB ∴.∠ADC=90° 架@ .∠A+∠ACD=90 AC2=AD·AB. .∠B=① 请完成填空：① ② (2)如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E,连接CE,当∠ACE=∠AFC时， ①若AF=2,AC=3,求S△AcE:S△AFC的值： ②求证： AF AD AB AE 【答案】(1)∠ACD AC AD ao 【分析】(1)证明△ABC一△ACD即可解答： (2)①证明△ACE一△AFC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；②由①知 △ACE一△AFC:得出AC2=AF-AE再结合(1)AC'=AD:AB即可证明结论. 【详解】(1)解：.'∠ACB=90, 19131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A+∠B=90°， .CD⊥AB, ∴.∠ADC=90° ∴.∠A+∠ACD=90°， .∠B=∠ACD, ,∠A=∠A, ∴.△ABC-△ACD ..AB=AC AC AD .AC2=AD·AB. (2)解：①如图：连接CE, B ,∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC, ∴△ACE-△AFC, ∴S△ACE AC 2329 SAAFC AF 2 4 ②证明：由①知△ACE一△AFC, .AC=AE AF AC .AC2=AF·AE 由(1)得AC2=AD·AB, ∴AF·AE=AD·AB, 猫治 21.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=8.O为边AB的中点，D为线段OA上 一点（不与点O重合），点D关于点O的对称点为点E,以DE为斜边构造等腰直角三角形DFE,点F和点 C在直线AB的同侧. 20131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (AB=-: (2)连接OF,求证：OF⊥DE: (3)当点F在边BC上时，求DE的长： 4H是边BC上一点，连接FH当∠DFH+∠EFH=180。,且FH=2时，直接写出DE的长. 【答案】(1)45 (2)证明：.点D、E关于点O对称， ∴.O是DE的中点， ,'△乙是等腰直角三角形，即DF=EF, .OF⊥DE: (3)DE=2V5 4DE=25-2或DE=25+2 【分析】(1)根据勾股定理进行计算即可求解： (2)根据等腰直角三角形的性质即可得出OF⊥DE: (3)设AF=BF=X,则CF=BC-BF=8-X,在Rt△ACF中，根据勾股定理可得AF的长，在 Rt△AOF中，根据勾股定理可得OF的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE的 长： (4)分两种情况讨论，点F在BC上方和下方时，根据已知条件得出HFDE,进而根据相似三角形 的性质，即可求解。 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=8, 六AB=RAC2+BC2=42+82=45 (2)略 (3)解：当点F落在BC上时，连接FA,如图： 21131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :OF⊥DE,且O为AB的中点，即OF垂直平分AB, AF-BF.AO=BO-AB-25. ∴设AF=BF=X,则CF=BC-BF=8-X, 在Rt△ACF中，AF2=AC2+CF2, 六x2=42+8-x,解得x=5 即AF=5, 在Rt△A0F中，OF=AF2-AO=52-25-5 在Rt△兰无中，OF是斜边DE上的中线， .DE=20F=2V5: (4)解：如图，当F在BC的下方时，设OF,BC交于点G,由(3)可得OG=V5,B0=2V5, A D G CH :△乙是等腰直角三角形， ∠FDE=45°， ,∠DFH+∠EFH=180°， .∠DFH+∠EFD+∠DFH=180°，即2∠DFH+∠EFD=180°， ㄥEFD=90°， .∠DFH=45°， ∴.∠DFH=∠FDE, 22131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..FH DE, 又OF⊥DE, ∴.∠BOG=90, ∴.∠HFG=∠BOG=90°， 又：∠HGF=∠BGO, ,△HGF一△BGO, .FGFH OG BO FG 2 污2解得FG=1, “.OF=0G+FG=V5+1, ∴.DE=2OF=25+2: 如图，当F在BC的上方时，延长OF交BC于点G, ▣ C G H 同理可得HF‖DE, ∴，△BOG一△HFG, .FG_FH OG BO FG-2 25 解得FG=1, ∴.0F=0G-FG=/5-1, .DE=2OF=25-2, 综上所述，DE=2V5-2或DE=2V5+2 22.(10分)如图，△ABC的顶点坐标分别为A1,3,B4,2,C2,1. 23/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1: AB_1 2以原点0为位似中心，在原点另一侧画出△A,B,C2,使得A,B,立 (3)收用无刻度直尺（不使用直角0'在线段A,C,上找一点M: 使得A2M_1 C,M3 【答案】(1) 如图所示：△ABC1,即为所求： y (2) 如图所示：△A2B2C2,即为所求： 24131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A (3) 如图 C C B2 【分析】此题主要考查了位似图形的性质和坐标变换，关于x轴对称图形画法及位似图形的画法，熟 练运用位似图形的性质和坐标变换规律是解题关键. (1)根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A,B,C关于x轴的对称点，即可得出答案： (2)把A,B,C的坐标乘以-2得到其对应点A2,B2,C2,再连线即可得出答案： (3)由作图可知：点A2(-2,-6),C2(-4,-2),作直线BC1,交y轴于K(0,4),连接B2K, A,A,交点为N(-专-4.连接C,N,交A,C,FM-多，-5).即可解题 【详解】(1)略 (2)略 (3) 25131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A1,3,B4,2,C2,1. C,2,-1A2-2,-6,B2-8,-4,C2-4,-2 作直线BC,交y辅于K0,-4,连接B,K,A,A,交点为N-手-4).连接C,N,交A,C,于 M及5 直线5C为y号x-4,交y轴于K0,4直线A,A为y日x, 之连接B,K,A:A,易求交点为N一专-4， 连接C,N,可得直线C,N解析式为y=品x 9.14 51 直线A2C2解析式为y=-2x-10, 联立A2C2、C1N解析式得： y= 9 10 X- 14 X= 5, 解得 52 y=-2x-10 y=-5 ..A2M -5-(-6)1 C,M(-2)-(-5)3 23.(10分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点 (点E与点B不重合). B 图① 图② 备用图 (1)【问题解决】如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC的度数为，线段BP与线段AC的位 置关系是_： (2)【问题探究】如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，判断 线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由： (3)【拓展延伸】在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G, 若BE=2FG,AB=7,求AP的长 【答案】(1)30°，BP⊥AC(或垂直) 26131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)CE=2BE(或BE=号CE),见解析 2 AP的长为号号 【分析】(1)利用菱形性质+等边三角形判定，结合等腰三角形三线合一求解角度与位置关系： (2)先将△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ,再结合等边三角形性质以及已知角进行判定证明； (3)分P在线段OA上、P在线段OC上时两种情况，利用旋转性质、相似三角形、菱形等边三角形边 长求解。 【详解】(1)解：.四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴.AB=BC,△ABC为等边三角形 .O是AC中点， .BO⊥AC,BO平分∠ABC, ..PBC=1 ∠ABC=30°，BP1AC. (2)解：如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ, D .BE=BQ,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC ∴.△BEQ为等边三角形， ∴.∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ, .'点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°， ∴.∠AEB=150°，∠BEC=180°-60°=120°， ∴.∠BEQ=∠CEQ=60'∠AEB=∠BQC=150 ∴.∠EQC=150°-60°=90°， .∴.∠ECQ=90°-60°=30°， ∴.CE=2EQ=2BE (3)解：①如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H, 27/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D :AH‖BC ∴.∠AHB=∠CBH, .∠ABC=60°，∠BAD=120°=∠BEG, .∴.△HAB~△BEG, ·AH-BE ·ABEG 设FG=x,则EF=BE=2x, .∴.EG=3x 37 2x_AH m-兰 .AD‖BC, ∴.△APH~△CPB, AHAP BC PC 14 号 73 .△ABC为等边三角形， AC=AB=7,AP=7×2=14 55 ②如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H, 同理可得：∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， ∴.△BAH一△GEB 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m, AB_EG=m=1 AH BE 2m 2 .∴.AH=14, 同理：△APH一△CPB, AP=AH=2,AP=7× 2=14 CP BC 33 1414 综上：AP的长为5或行 28131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2PV5,点D在AB上，且BD=3AD,连接 CD.过点A作CD的垂线交CD于点E,交BC于点F,连接BE,AE=2, (1)求CE的长； (2)求证：BD=9DE·DC: (3)求S△EF的值. SABDE 【答案】(1)4 (2) 证明：，∠BAC=90°，AE⊥CD, ,∠AED=∠CAD=90°，∠DAE=∠ACD=90°-∠ADC, .∠ADE=∠CDA, ∴△ADE-△CDA, AD=DE CD AD ∴AD2=DE·DC .BD=3 AD ..BD2=9AD2 ∴.BD=9DE·DC: (3)2 【分析】(1)直接由勾股定理求解即可； (2)证明△ADE一△CDA,得到AD=DE·DC,再由BD=3AD代入求证即可； (3)先证明点F为BC的中点，然后求出AF,EF,再由共高三角形面积比等于底之比求解即可. 29/31 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：AC=2V5,AE=2,AE⊥CD, CE=AC2-AE2=4 (2)略 (3)解：由(2)知∠DAE=∠ACD, :AE⊥CD ∴.∠AED=∠CEA=90°， ∴△AED△CEA, 器服把 号器 ∴.DE=1,AD=V5 ∴BD=3AD=3V5, ..AB=AD+BD=45. .AD×AB=V5×4V5=20, “AC2=25=20 ∴.AC2=AD×AB, 光治 ,∠DAC=∠CAB ∴.△DAC一△CAB, ∴.∠ACD=∠ABC, ,∠DAE=∠ACD, .∠DAE=∠ABC, ∴FA=FB, ,∠BAC=90°， ∴.∠DAE+∠FAC=∠ABC+∠FCA=90°， ∴∠AC=∠FCA, ∴FC=FA, ..FB=FC, 30131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠BAC=90°， :FA=BC=×VAC+AB=×2V5+45=5, 2 ∴EF=AF-AE=3, 设SA ADE=S, .BD=3 AD. ∴.SA BDE=3S, .SAABE=SAADE+SA BDE=4S. 器 ∴S△ABE=AE=2, SABEF EF 3 ∴SAB距r=6S, :.S旺=6S=2 SABDE 3S 31131函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三十一章相似（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.B 10.C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.2 12. 2:7 8/0.875 13.4 15.10 16.V61-5/-5+61 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(8分) 【详解】(1)解：点P是线段AB的黄金分割点， .PB_AP 'AP AB .AB=1, 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PB1-PB 1-PB1 PB=(1-PB2 .PB2-3PB+1=0, :P8=335或PB=3+5(合去)： 2 2 (2)如图，点H即为所求 H 18.(8分) 【答案】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ..AB CD,AD BC, △ABE一△GDE,△AED一△FEB, 告能是器 侣聚 .AE2=EF·EG; (2)解：，△ADE≌△CDE, ∴.AE=CE, 密 照 由(1)得AE-G1 EFAE3'△AED~△FEB, ..AD=AE_1 BF EF 3 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是正方形， ..AD=BC=6. BF=18. .CF=BF-BC=12. 19.(8分) 【详解】(1)解：已知BE⊥AC,DC⊥AC, 因此BE‖DC, ,∠A为公共角，且∠ABE=∠ACD=90 ∴.△ABE△ACD ..BE_AB CD AC ,AC=AB+CB=3+9=12米 代入已知数值BE=1.5,AB=3,AC=12: 则153 CD 12 .3·CD=1.5×12, .3CD=18, .CD=6米」 (2)解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得∠EFB=∠DFC: 又，∠EBF=∠DCF=90°， △EBF一△DCF 设BF=X米，则FC=CB-BF=9-X米， BE=B即 CD FC 代入已知数值BE=1.5,CD=6: 1.5-x 69-x 解方程： 1.59-x=6x 13.5-1.5x=6x 13.5=7.5x x=1.8 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即BF=1.8米. 20.(8分) 【详解】(1)解：.∠ACB=90, ∴.∠A+∠B=90°， .CD⊥AB, ∴.∠ADC=90°， .∴.∠A+∠ACD=90°， ∴.∠B=∠ACD, .∠A=∠A, ∴.△ABC一△ACD, ABAC ·ACAD ∴.AC2=AD·AB (2)解：①如图：连接CE, 4 B D ,∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC, ∴△ACE-△AFC, .SAACE= SAAFC ②证明：由①知△ACE一△AFC, .AC=AE AF AC ∴.AC2=AF·AE 由(1)得AC2=AD·AB, AF·AE=AD·AB, AF-AD AB AE 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(10分) 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=8, AB-VAC+BC-4+8-485 (2)略 (3)解：当点F落在BC上时，连接A,如图： D B ,OF⊥DE,且O为AB的中点，即OF垂直平分AB, AF-BF,AO-BO-AB-25, ∴.设AF=BF=X,则CF=BC-BF=8-X, 在Rt△ACF中，AF2=AC2+CF2, 六x2=42+8-x解得x=5 即AF=5, 在Rt△A0F中，OF=VAF2-AO=52-2V5=5 ,在Rt△就中，OF是斜边DE上的中线， ..DE=20F=25. (4)解：如图，当F在BC的下方时，设OF,BC交于点G,由(3)可得OG=V5,BO=25, A D 0 F ◇ G :△竺乙是等腰直角三角形， ∴.∠FDE=45°， 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DFH+∠EFH=180°， .∠DFH+∠EFD+∠DFH=180°，即2∠DFH+∠EFD=180°， .∠EFD=90°， .∠DFH=45°， ∠DFH=∠FDE, .FH‖DE, 又OF⊥DE, ∴.∠BOG=90°， .∠HFG=∠BOG=90, 又，∠HGF=∠BGO, △HGF一△BGO, 熙恶 .FG=2 525解得FG=1, ∴.OF=0G+FG=5+1, ∴.DE=2OF=25+2: 如图，当F在BC的上方时，延长OF交BC于点G, F G 同理可得HF‖DE, ∴△BOG~△HFG, .FG_FH OG BO FG-2 2 解得FG=1, .OF=0G-FG=V5-1, .DE=2OF=2V5-2, 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，DE=2V5-2或DE=25+2. 22.（10分) 【答案】(1) 如图所示：△A1B1C1,即为所求： (2) 如图所示：△A2B2C2,即为所求； C (3) 如图. 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B2 :点A1,3,B4,2,C2,1 C12,-1A,-2,-6,B2-8,-4,C2-4,-2 作直线BC,交y轴于K0,4,连按B,K,A,A,交点为N(-手-4，连接C,N,交A,C,于 M(-3-5. 直线BC,为yx-4,交y维于K0,4,直线AA为y了x 连接及K,A:A,易求交点为N-手4， 莲接C,N,可得直线CN解析式为y0x-4 5 ,直线A2C2解析式为y=-2x-10, 9 y=- x-14 X=- 联立A2C2、C1N解析式得： 105,解得： y=-2x-10 y=-5 ..A,M -5-（-6)1 C,M (-2)-(-5)3 23.(10分) 【详解】(1)解：.四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴.AB=BC,△ABC为等边三角形 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∵O是AC中点， .∴.BO⊥AC,BO平分∠ABC, ∠PBC-号∠ABC=30°，BP⊥AC. (2)解：如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ, A D .·BE=BQ,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC ∴.△BEQ为等边三角形， ∴.∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ, .:点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°， ∴.∠AEB=150°，∠BEC=180°-60°=120°， ∴.∠BEQ=∠CEQ=60'∠AEB=∠BQC=150' ∴.∠EQC=150°-60°=90°， .∴.∠ECQ=90°-60°=30°， .∴.CE=2EQ=2BE」 (3)解：①如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H, H 0 .'AH‖BC .∴.∠AHB=∠CBH, .∠ABC=60°，∠BAD=120°=∠BEG, ∴.△HAB一△BEG, ·AH_BE ·ABEG 设FG=X,则EF=BE=2X, ∴.EG=3x, 發9 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AH=14 .AD‖BC ∴.△APH△CPB, 兴先 14 ·PC-7-3 .△ABC为等边三角形， AC=AB=7,AP=7×2=14 55 ②如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H, 同理可得：∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， ∴.△BAH△GEB, 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GP=EG=m, ABEG_m_1 AH BE 2m 2 .∴.AH=14, AP=A=2,AP=7×名=4 同理：△APH-△CPB,CP-BC 33 1414 综上：AP的长为 或3 D B 24.(10分) 【详解】(1)解：，AC=2V5,AE=2,AE⊥CD, CE=AC2-AE2=4 (2)略 (3)解：由(2)知∠DAE=∠ACD, .AE⊥CD, 10112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AED=∠CEA=90°， ∴.△AED一△CEA」 器器把 2_DE_AD ·422 ..DE=1,AD=5, ..BD=3AD=3V5 ..AB=AD+BD=45, .AD×AB=V5×4V5=20, “AC2=25}=201 .AC2=AD×AB, ..AD=AC AC AB ,∠DAC=∠CAB, .△DAC-△CAB, ∴∠ACD=∠ABC, .∠DAE=∠ACD, .∠DAE=∠ABC, .'FA=FB, .∠BAC=90°， .∠DAE+∠FAC=∠ABC+∠FCA=90°， ∠FAC=∠FCA, ∴FC=FA, .FB=FC, ,∠BAC=90°， ABcx8AC+Af=×25+4G-5 .'EF=AF-AE=3, 设SA ADE=S, .BD=3 AD 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .SABDE=3S, ∴.S△ABE=S△ADE+SABDE=4S, 崇 S△ABE=AE=2, SABEF EF 3 .SABEF=6S, S旺-6g=2 SABDE 3S 12112