精品解析：北京市第十三中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段学情检测数学试题

北京市第十三中学2026-2027学年度 九年级数学10月测试 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，27道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷、答题卡的规定位置认真填写班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．选择题、作图题在答题卡上用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔在答题卡上完成作答． 5．考试结束，请将考试材料按监考教师要求交回． 一、选择题（共16分，每小题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法判断 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象经过点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 7. 若反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是（ ） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 8. 如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若关于的方程有一个根为，则的值为__________． 10. 如图，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴点M，轴于点N，若矩形的面积为2，则k的值为______． 11. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点，则___________（填“”“”或“”）． 12. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为，则方程的解为________． 13. 设m，n是方程的两实数根，则__________． 14. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______． 15. 如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交于点，交于点，连接．若，则的度数是__________． 16. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，有下面四个结论： ①已知二次函数，若，则或； ②在平面直角坐标系中，直线与抛物线交点的横坐标分别为； ③不等式的解集为； ④若都小于，则的取值范围是． 所有正确结论的序号为________． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分；第23题8分，第24题6分，第25-27题，每题8分） 17. 解一元二次方程． 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： （1）这个二次函数的解析式是______； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 21. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （2）求该二次函数的图象与轴交点坐标； （3）当时，直接写出的取值范围． 22. 如图，在中，是直径，是弦，于点E，，．求的半径． 23. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）填空： ①当时，与之间的函数关系式是_________； ②当时，与之间的函数关系式是_________； ③_________； （2）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 24. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_________： （2）下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； （3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： （4）结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 25. 在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 3 4 竖直高度 10 10 根据上述数据，直接写出的值为__________，直接写出满足的函数关系式：__________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，则__________（填“”，“”，“”）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点O和点，抛物线：． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N（点M与点N不重合）． ①当，时，求的长； ②若点P从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 27. 如图，在中，，，D是的中点，E是线段上的动点（不与点B，D重合），连接．F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段，连接． （1）求的大小； （2）连接，判断与的位置关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十三中学2026-2027学年度 九年级数学10月测试 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，27道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷、答题卡的规定位置认真填写班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．选择题、作图题在答题卡上用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔在答题卡上完成作答． 5．考试结束，请将考试材料按监考教师要求交回． 一、选择题（共16分，每小题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤：①将常数项移到等于号的右边，②两边同时加上一次项系数的一半的平方，转化成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方的步骤是解答本题的关键． 4. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移规律，掌握二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 利用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：∵抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律． ∴将抛物线向左平移2个单位长度，得，再向上平移5个单位长度，得． 故选C． 5. 对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象经过点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、第四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，故选项正确，选项错误； ∵， ∴图象经过点，故选项正确． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 7. 若反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是（ ） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、三象限， ∴k+1＞0，解得k＞－1， ∴k的值可以是0． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 8. 如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标M为（m，-m＋1）， ∵，， ∴， ∴-1≤m≤0， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是熟知抛物线的性质． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若关于的方程有一个根为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：关于的方程有一个根为， ， 解得：． 10. 如图，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴点M，轴于点N，若矩形的面积为2，则k的值为______． 【答案】-2 【解析】 【分析】设PM=a，PN=b，根据点P在第二象限得P（-b，a），根据矩形的面积公式及反比例函数解析式求k的值. 【详解】设PM=a，PN=b，则ab=2， ∵点P在第二象限， ∴P（-b，a）， 将P（-b，a）代入中，得 k=-ab=-2， 故答案为：-2. 【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，直角坐标系中点的坐标的确定方法. 11. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，通过抛物线的顶点式确定对称轴和开口方向，比较两点到对称轴的距离，从而判断函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线 的对称轴为直线 ，且系数 ，故开口向上． 点 到对称轴的距离为 ， 点 到对称轴的距离为 ． 由于开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大，因此 ． 故答案为． 12. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为，则方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系．掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与x轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为，即得出其相关一元二次方程的解为，． 【详解】解：∵该二次函数对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 13. 设m，n是方程的两实数根，则__________． 【答案】2022 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两实数根， ∴根据根与系数的关系可得，，， ∴ ． 14. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解. 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称， ∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称， ∴， 故答案为：0. 【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题. 15. 如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交于点，交于点，连接．若，则的度数是__________． 【答案】 ##56度 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据圆的性质和等边对等角可知，根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 、是的半径， ， ， ． 16. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，有下面四个结论： ①已知二次函数，若，则或； ②在平面直角坐标系中，直线与抛物线交点的横坐标分别为； ③不等式的解集为； ④若都小于，则的取值范围是． 所有正确结论的序号为________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质等，关键是利用函数的图象和性质解答． 结论①先画草图，再根据二次函数性质进行判断；结论②通过联立方程验证；结论③通过不等式变形求解；结论④通过判别式和函数值求范围． 【详解】解：根据题目可画出草图： 对于结论①：∵二次函数中，图像开口向上，与轴交于点和， ∴时的取值范围为， ∴结论①错误，故不符合题意； 对于结论②：将直线与抛物线联立， 得方程，即， ∵该方程根为和， 故交点的横坐标为和， ∴结论②正确，故符合题意； 对于结论③：将不等式化为， ∴即求时的取值范围， 由于， ∴解集为， ∴结论③正确，故符合题意； 对于结论④：∵方程有两个实数根，， ∴判别式，得． ∵都小于， ∴由于，当时，， ∴，解得； 综上，的取值范围为， ∴结论④正确，故符合题意． 故答案为：②③④． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分；第23题8分，第24题6分，第25-27题，每题8分） 17. 解一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：， 即， 开方，得：，或， 解得：. 【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： （1）这个二次函数的解析式是______； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：如图所示： ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质． （1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据、4时的函数值，结合图象即可写出y的取值范围． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 把点代入， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时，有最小值， 当时，的取值范围是． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【小问1详解】 解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． 【小问3详解】 解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 21. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （2）求该二次函数的图象与轴交点坐标； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）与轴的交点坐标为， （3）的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）求出时x的值即可得到答案； （3）结合开口方向和与x轴的交点坐标可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得或， ∴该二次函数的图象与轴交点坐标为，； 【小问3详解】 解：∵二次项系数为， ∴该二次函数的图象开口向上， 又∵该二次函数的图象与轴交点坐标为，， ∴当时，的取值范围是或． 22. 如图，在中，是直径，是弦，于点E，，．求的半径． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，设的半径为r，则，根据垂径定理可求出，再根据勾股定理得到关于r的方程，求出即可． 【详解】解：如图，连结， ∵是直径，， ∴ ， 设的半径为r，则， 在中，， 由勾股定理得 ， ∴ ， 解得 ， ∴的半径为13． 23. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）填空： ①当时，与之间的函数关系式是_________； ②当时，与之间的函数关系式是_________； ③_________； （2）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）①；②；③ （2）9分钟 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法分别求解一次函数和反比例函数表达式，再把 代入反比例函数表达式求解； （2）把分别代入两个函数表达式求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，当时，与之间的函数关系是一次函数关系， 设与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则； ②设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， ③把代入，则； 【小问2详解】 把代入，则，解得 把代入，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 24. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_________： （2）下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； （3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： （4）结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 【答案】（1） （2）1； （3）如图， （4）①减小；②或 【解析】 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即． （3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支． （4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得， ∴自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小； ②如图，过点，作一次函数， 由图可知，当时，的取值范围：或． 25. 在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 3 4 竖直高度 10 10 根据上述数据，直接写出的值为__________，直接写出满足的函数关系式：__________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，则__________（填“”，“”，“”）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】（1）， （2） （3）1.6秒时她已入水，不能成功完成此动作，理由如下： ， ， ， ， 当时，， ， 即1.6秒时她已入水，她在水面上无法完成此动作． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：根据表格得：函数图像过点，，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， 当时，， 或（不合题意，舍去）； 米， ， 当时：， 或（不合题意，舍去）， ， ； 【小问3详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点O和点，抛物线：． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N（点M与点N不重合）． ①当，时，求的长； ②若点P从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；②或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①代入数据，求得点，，利用两点之间的距离公式求解即可； ②根据题意构造新函数，画出草图，根据二次函数的图象和性质分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线：经过原点和点， ∴分别代入得：，， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，抛物线：，抛物线：， ∵过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N， ∴当时，对于抛物线：，对于抛物线：， ∴点，， ∴； ②∵点， ∴点，点， ∴构造新函数：， 当时，，P从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴左侧，如图， 的长随的长的增大而增大，符合题意． 当时，，P从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴右侧，如图， 若“起点”和“终点”都在这一段内， 则，，解得； 若“起点”和“终点”都在这一段内， 则； 综上，或或． 27. 如图，在中，，，D是的中点，E是线段上的动点（不与点B，D重合），连接．F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段，连接． （1）求的大小； （2）连接，判断与的位置关系，并证明． 【答案】（1） （2） ， 证明：如图，连接，连接， ，D是的中点， ， F是的中点， ， 点在以点为圆心，以为半径的圆上，如图，连接并延长交于点， ， ∵， ， ， ，，D是的中点， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的定义即可解答； （2）连接，连接，可得点在以点为圆心，以为半径的圆上，再连接并延长交于点，证明即可解答． 【小问1详解】 解：F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段， ，， ，， ， ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $