精品解析：北京大学附属中学2026-2027学年上学期九年级10月 数学学情自测

2026-2027学年度第一学期 九年级数学学科综合练习4 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线经过点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 已知关于x方程有一个根为2，则a的值为（ ）． A. 2 B. 4 C. D. 4. 对于二次函数，下列描述正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 其图象的开口向下 C. 有最大值2 D. 其图象的顶点坐标为 5. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF，将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 6. 如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，在等边中，，点在上，且，是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：（每题3分，共18分） 11. 已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 12. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数图象交于点P与点Q，已知点P坐标为，则点Q坐标为______． 13. 已知函数，当时，y随x的增大而增大，则m的范围为 _____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是______． 15. 当时，二次函数的最大值为8，则______． 16. 某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，至少需要______分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要______名学生共同参与． 三、解答题：（共52分，17-18题每题6分，19-23题每题8分） 17. 解方程：． 18. 已知是方程的根，求代数式的值． 19. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 20. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像和都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为． （1）若反比例函数的图象经过点B，求此反比例函数的解析表达式； （2）若将向下平移个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值． 21. 如图，已知足球球门高米，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处击球，击球点A距离地面米．在足球运行时，球的运动路线是抛物线的一部分，设足球运行的水平距离为x（米），足球与地面的高度为y（米），得到如下数据： x（米） 0 2 3 4 5 6 y（米） （1）根据数据，球射出______米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线的表达式； （2）如图，当击球员第二次击球时，后退1米到点，球的运动路线保持形状和最大高度都不变，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，守门员跳起后手距离地面的最大距离为米，则守门员是否可以拦截到球？ 22. 平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点，求t的值； （2）若抛物线上存在两点，，其中，，且，求t的取值范围． 23. 如图，在中，，点D在上，过点D作于点E，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）交于点G，用等式表示线段和的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 九年级数学学科综合练习4 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，原图形绕对称中心旋转度后与自身完全重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A：是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项B：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项C：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项D：不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2. 若抛物线经过点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数一般式的常数项就是抛物线与轴的交点，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：抛物线经过点， 的值为， 故选：A． 3. 已知关于x方程有一个根为2，则a的值为（ ）． A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：，解得； 故选A． 4. 对于二次函数，下列描述正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 其图象的开口向下 C. 有最大值2 D. 其图象的顶点坐标为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．通过分析二次函数解析式的顶点式判断函数图象开口方向，顶点坐标，最值以及增减性即可求解． 【详解】二次函数，的系数为1，，函数图象开口向上，选项B说法错误，不符合题意； 函数图象的顶点坐标是，选项D说法错误，不符合题意； 函数图象开口向上，有最小值为，选项C说法错误，不符合题意； 函数图象的对称轴为，当时，y随x的增大而增大，选项A说法正确，符合题意； 故选：A． 5. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF，将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，作出旋转中心，连接AC、BD，AC与BD的交点即为旋转中心O． 根据旋转的性质知，点C与点D对应，则∠DOC就是旋转角． ∵四边形ABCD是正方形． ∴∠DOC=90°． 故选C． 6. 如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合，且为定值． 先根据点是反比例函数图象上求出的值，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，． A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加下减的平移法则，解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得，即； 再向下平移3个单位长度，得，即． 8. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 9. 如图，在等边中，，点在上，且，是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质，由题意得出当点恰好落在上时，，由等边三角形的性质可得，证明，可得，进行计算即可，熟练掌握全等三角形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，当点恰好落在上时，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质等知识，根据反比例函数比例系数的几何意义及矩形的性质逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，即，故①符合题意； ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即点是边的中点，则点一定为的中点，故②符合题意； 由点坐标为，设点，，则， ∴，， ∴，即是一个定值，故③符合题意， 故选：D． 二、填空题：（每题3分，共18分） 11. 已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为 （其中 ）. 根据二次项系数不为零的条件求解即可. 【详解】解：∵ 关于的方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数， 解得：. 故答案为：. 12. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数图象交于点P与点Q，已知点P坐标为，则点Q坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象与性质，由于点P是正比例函数与反比例函数的交点，其坐标满足两个函数解析式，代入点P的坐标可求出参数n和m，然后联立两个函数方程，解出另一个交点Q的坐标． 【详解】解：将点代入正比例函数，得：，解得：， 将点代入反比例函数，得：，解得：， 联立两个函数方程：， 解得：或，其中对应点P， ∴点Q的横坐标为，代入正比例函数求纵坐标：， ∴点Q坐标为． 故答案为：． 13. 已知函数，当时，y随x的增大而增大，则m的范围为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据题干条件结合二次函数的性质解题即可． 【详解】解：，当时，y随x的增大而增大， ， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是______． 【答案】（4，﹣1） 【解析】 【详解】由图可知A点的坐标为(1,4),根据旋转中心O,旋转方向顺时针,旋转角度90°,画图可得A′的坐标是(4, －1),故答案为: (4, －1). 15. 当时，二次函数的最大值为8，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 16. 某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，至少需要______分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要______名学生共同参与． 【答案】 ①. 21 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据工序要求得出加工顺序是解题的关键． 将所有工序需要的时间最少时间由最长工序时间决定，完成过程需要满足条件可知：可知需要先完成A，再完成H；然后再合理安排其他时间即可． 【详解】解：由题意得：可知需要先完成A，再完成H，完成时长为（分钟）；若要在最短的时间内合作完成准备工作，需要四名学生，具体安排如下 图： 故答案为：21，4． 三、解答题：（共52分，17-18题每题6分，19-23题每题8分） 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 18. 已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】根据方程解的定义得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 19. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ， ， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵，为直角三角形， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像和都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为． （1）若反比例函数的图象经过点B，求此反比例函数的解析表达式； （2）若将向下平移个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值． 【答案】（1）反比例函数的解析表达式为． （2）m的值为． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与等腰三角形综合问题，根据等腰三角形的性质求解点的坐标是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，结合勾股定理求出点B的坐标，利用待定系数法求函数表达式即可； （2）同样根据等腰三角形性质及勾股定理求出点C的坐标，用含m的式子表示移动后的点A、C，将移动后的点A、C代入函数表达式即可求出m与k的值． 【小问1详解】 解：过点A作交于点D，如图所示： ∵三角形为等腰三角形，， ∴点D为中点， ∴， ∵，根据勾股定理，解得， ∵点A坐标为，，， ∴点B坐标为， 将点代入，得，解得， 故该反比例函数的解析表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）中已得，，点A坐标为， 故点C坐标为， 平移后的点坐标为，， ∵两点都在函数图像上，则将点、代入函数表达式， 得，解得， 故m的值为． 21. 如图，已知足球球门高米，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处击球，击球点A距离地面米．在足球运行时，球的运动路线是抛物线的一部分，设足球运行的水平距离为x（米），足球与地面的高度为y（米），得到如下数据： x（米） 0 2 3 4 5 6 y（米） （1）根据数据，球射出______米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线的表达式； （2）如图，当击球员第二次击球时，后退1米到点，球的运动路线保持形状和最大高度都不变，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，守门员跳起后手距离地面的最大距离为米，则守门员是否可以拦截到球？ 【答案】（1）4， （2）守门员可以阻挡住球， 理由如下： 由题意可得，后退1米后的解析式为， 即， 又守门员的位置是， 当时，． 守门员可以阻挡住球． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线，从而可得顶点为，进而可以判断当球踢出后4米时，离地面距离最大为3.5米；又可设抛物线为，再将代入计算即可得解； （2）依据题意，可得后退1米后的解析式为，即，又守门员的位置是，再令，，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线， 顶点为． 当球踢出后4米时，离地面距离最大为米． 故答案为：4． 又由题意，可设抛物线为， 且抛物线过点， ． ． 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 略 22. 平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点，求t的值； （2）若抛物线上存在两点，，其中，，且，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数关系式可知函数经过点，由函数的对称性即可求解； （2）由函数的对称性可得，求的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 ∴函数经过点， ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴点和点关于对称， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是抛物线上的两点，且， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和中点公式是解题的关键． 23. 如图，在中，，点D在上，过点D作于点E，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）交于点G，用等式表示线段和的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全图形如下， （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图，由（2）可得，， ∴， 在中，，即， ∴， ∴，即， 在中，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的定义作图即可； （2）根据等腰直角三角形的判定与性质可得，，再由旋转的性质可得，，利用等量代换可得，从而可得，可证，即可得出结论； （3）由（2）可得，，可得，利用勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，再由，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $