精品解析：河南省郑州市新郑市龙湖镇第四初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度九年级综合素养评估（三） 数学 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的） 1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数．需逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：选项A：，符合的形式，其中，是反比例函数，故本选项符合题意． 选项B：，可化简为，属于正比例函数，不符合反比例函数定义，故本选项不符合题意． 选项C：，是正比例函数，不符合反比例函数定义，故本选项不符合题意． 选项D：，分母为，而非单独的，属于分式函数，但不是标准形式的反比例函数，故本选项不符合题意． 故选：A 2. 如图，分别是的平分线．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角平分线之比等于相似比即可求解． 【详解】解：，分别是的角平分线，， ， 故选：C． 3. 如图，在菱形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形、三角形内角和定理，解题的关键是掌握菱形的性质，得出是等腰三角形，再利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， 故选：C． 4. 若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选D． 5. 如图，这是由长方体和圆柱组成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两部分，下面一部分是一个长方形，上面一部分右上角有一个小长方形，即看到的图形如下： 故选：D 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，据此解答即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：B． 7. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质，直线的方向以及与y轴交点、双曲线的位置决定系数k的符号．是解题的关键． 由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】解：A、， 反比例函数图象在第一、三象限， 则， 一次函数图象经过一、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值相同，故此选项正确； B、 反比例函数图象在第二、四象限， 则， 一次函数图象经过二、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值不同，故此选项错误； C、 反比例函数图象在第二、四象限， 则， 一次函数图象经过一、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值不同，故此选项不正确； D、 反比例函数图象在第一、三象限， 则， 一次函数图象经过一、三象限，过原点， 则，， k的取值不同，故此选项错误． 故选：A． 8. 如图，这是“小孔成像”的示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为，．若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，会用相似三角形对应边成比例． 根据题意得，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图，过点O作并延长交于点E， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据位似变换的性质得出，求出，，再根据位似变换的性质得出，得出，从而得出，求出、的长即可． 【详解】解：正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， ， 相似比为， ，， ， 正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， 相似比为， ，即， ，， 点的坐标为 故选：B． 10. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度呈反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度， B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体密度 D. 当液体密度时，浸在液体中的高度 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【详解】解：设关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． 关于的函数解析式为． A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项不正确，不符合题意； D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，正确，故符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，与的周长比为．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可． 【详解】解：，与的周长比为， 与相似比为，即， ， ， 故答案为：4． 12. 若是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据一元二次方程根与系数的关系来求解两根之积．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握对于一元二次方程，两根满足是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程中，，是一元二次方程的两个根， ∴ 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，作出木杆在轴上的投影，作轴交于点，可得，根据即可得到相似比，从而求解． 【详解】解：作出木杆在轴上的投影，作轴交于点，如图所示： ∵木杆两端的坐标分别为 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 14. 如图，在中，点、分别在边、上，，，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据，得到，证明，进而得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴两个三角形的相似比为， ∴， ∴． 故答案为：2． 15. 已知反比例函数，对于正数m，当自变量x满足时，函数y的最小值为a，则当时，函数y的最小值为_______，最大值为_______．（用含a的式子表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．根据反比例函数的性质，可知图象在第一、三象限，在每个象限内， 随的增大而减小，再根据对于一个正数，当自变量满足时，函数的最小值为，求出解析式为，再根据反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵对于一个正数，当时，函数的最小值为， 则时，， ∴， ∴， 当时， 当时，函数的最小值为：， 当时，函数的最大值为：． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法和因式分解法（平方差公式）是解题的关键． （1）通过配方法将方程转化为完全平方式来求解； （2）根据平方差公式将方程转化为两个一次方程来求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 或 ∴ ， 17. 如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 【答案】（1）中心投影； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； 【小问2详解】 ，， ， ， ， 即：， 解得：， 路灯的高度为5米． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点． （1）以原点O为位似中心，相似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形． （2）若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_______． 【答案】（1） 如图，为所求； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据位似变换的性质，求出原三角形各顶点经过位似变换后的坐标，再进行画图即可； （2）根据位似变换中坐标的变化规律求解． 本题主要考查了位似变换的性质，以及坐标与图形的变化，熟练掌握位似变换中坐标的变化规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：以原点为位似中心，相似比为，在轴左侧进行位似变换， ∴ 点变换后的坐标为， 点变换后的坐标为， 点变换后的坐标为， 然后连接三点即可得到． 【小问2详解】 解：∵ 以原点为位似中心，相似比为， ∴ 点放大后的对应点的坐标为， 故答案为：． 19. 如图，一个质地均匀的转盘，被分成面积相等的三个扇形，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数字（若指针正好指向分界线，则重新转一次，直至指针指向区域内的数字）． （1）转动转盘一次，则转出的数字是非负数的概率为_______； （2）转动转盘两次，求两次转动转盘指针指向的数字之积为零的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率，列表法或画树状图法求概率，求出所有可能结果数与事件发生的结果数是解题的关键． （1）所有可能结果数是3，转出的数字是非负数的结果数是2，由概率公式即可求解； （2）利用列表法，得到所有可能的结果数，数字之积为零的可能结果数，由概率公式即可求解； 【小问1详解】 解：转出的数字是非负数的概率为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 0 2 0 0 0 0 0 1 2 0 4 由列表知，所有可能的结果共有9种，其中乘积为0的结果有5种， 则两次转动转盘指针指向的数字之积为零的概率为． 答：两次转动转盘指针指向的数字之积为零的概率为． 20. 若干个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示对应位置小正方体的个数： （1）请画出该几何体的主视图与左视图． （2）现在还有一些相同的小正方体，如果要保持俯视图和主视图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 【答案】（1） 主视图与左视图如下， （2）3 【解析】 【分析】（1）根据俯视图中各位置小正方体的个数来确定主视图和左视图的形状即可； （2）在保持俯视图和主视图不变的前提下，分析可添加小正方体的位置和数量即可得解． 本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握由俯视图确定主视图和左视图的方法以及根据视图不变确定可添加小正方体数量的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：主视图有列，每列小正方体的个数分别为，，； 左视图有列，每列小正方体的个数分别为，； 【小问2详解】 解： 要保持俯视图和主视图不变， ∴ 最多可以再添加个小正方体 故答案为：． 21. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图，这是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息，解答下列问题． （1）求段的函数表达式，并写明自变量的取值范围． （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为14℃到20℃的条件下最适合生长．若某天恒温系统开启前的温度是10℃，则这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? 【答案】（1）双曲线的函数表达式为：； （2）答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数，根据题意确定一次函数及反比例函数解析式是解题关键． （1）由题意直接应用待定系数法求段的函数表达式即可； （2）先用待定系数法求段函数解析式，再把代入两个函数解析式求解，即可求得结论． 【小问1详解】 解：设双曲线的解析式为：， ∵， ∴， ∴双曲线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：设的解析式为：， 把代入中得： ， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得， 把代入， 可得， ， ． 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）填空：_______，_______； （2）求点B的坐标； （3）连接并延长，交双曲线的另一支于点D，点E在x轴的负半轴上．若以O，E，D为顶点的三角形与相似，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，得，，解答即可． （2）解方程组，解答即可． （3）分和两种情况解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，三角形相似的判定和性质，交点坐标的求解，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，得，， 解得，， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，一次函数的解析式为，反比例函数解析式为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 而， 故． 【小问3详解】 解：一次函数的解析式为， 故， 故， 由， 故， 连接并延长，交双曲线的另一支于点D， 故， 故， 故， 当时， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故； 当时， ∴， ∵，， ∴， 故； 综上所述，点E的坐标为或． 23. 综合与探究 如图1，在平行四边形中，，P是边上的一动点，连接，将绕点P顺时针旋转α，得到，连接． （1）①求证：． ②若四边形为菱形，延长至点M，使得，连接．求证：． （2）如图2，若四边形为正方形，，连接，则的值是否是该定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） ①∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵将绕点P顺时针旋转α，得到，连接， ∴，， ∴． ∴； ②∵， ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵是的外角，， ∴，即， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）的值是定值． 【解析】 【分析】（1）①由平行四边形的性质可得，则；根据旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理可得即可证明结论；②由线段的和差以及菱形的性质可得，再根据三角形的外角的性质以及等量代换可得，易证可得，结合即可证明结论； （2）如图，延长至N，使，连接、，先证明，可得是线段的线段垂直平分线，得出，则是等腰直角三角形，从而证得，再证明，从而得出，如图：延长交于E，则，易得，最后由勾股定理得出，进而完成解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的值是定值． 如图，延长至N，使，连接、， 在与中， ， ， ，； ， ∴是线段的线段垂直平分线， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ∵四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， ∵ ； 如图：延长交于E，则， ， ， 四边形内角和为，， ， 在中，， ，即 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判的性质，菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度九年级综合素养评估（三） 数学 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的） 1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，分别是的平分线．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，这是由长方体和圆柱组成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是“小孔成像”的示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为，．若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度呈反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度， B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体密度 D. 当液体密度时，浸在液体中的高度 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，与的周长比为．若，则的长为_______． 12. 若是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______． 14. 如图，在中，点、分别在边、上，，，，则的长为______． 15. 已知反比例函数，对于正数m，当自变量x满足时，函数y的最小值为a，则当时，函数y的最小值为_______，最大值为_______．（用含a的式子表示） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点． （1）以原点O为位似中心，相似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形． （2）若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_______． 19. 如图，一个质地均匀的转盘，被分成面积相等的三个扇形，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数字（若指针正好指向分界线，则重新转一次，直至指针指向区域内的数字）． （1）转动转盘一次，则转出的数字是非负数的概率为_______； （2）转动转盘两次，求两次转动转盘指针指向的数字之积为零的概率． 20. 若干个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示对应位置小正方体的个数： （1）请画出该几何体的主视图与左视图． （2）现在还有一些相同的小正方体，如果要保持俯视图和主视图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 21. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图，这是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息，解答下列问题． （1）求段的函数表达式，并写明自变量的取值范围． （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为14℃到20℃的条件下最适合生长．若某天恒温系统开启前的温度是10℃，则这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）填空：_______，_______； （2）求点B的坐标； （3）连接并延长，交双曲线的另一支于点D，点E在x轴的负半轴上．若以O，E，D为顶点的三角形与相似，求点E的坐标． 23. 综合与探究 如图1，在平行四边形中，，P是边上的一动点，连接，将绕点P顺时针旋转α，得到，连接． （1）①求证：． ②若四边形为菱形，延长至点M，使得，连接．求证：． （2）如图2，若四边形为正方形，，连接，则的值是否是该定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $