精品解析：湖北省京山市部分学校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学教学质量监测

京山市部分学校2025年10月九年级数学教学质量监测 一、单选题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1. 一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，2 B. 6，2 C. ，2 D. 6x，2 2. 下列函数属于关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，（为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 5. 定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2＋b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52＋62﹣2×5×6﹣2＝﹣1，若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 6. 已知点（-1，y1），（2，y2），（4，y3）都在二次函数y=ax2-2ax+3的图象上，当x=1时，y＜3，则y1，y2，y3的大小比较正确的是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y2＜y3＜y1 7. 将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是（ ） A. B. C. D. 8. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有（　　） ①；②；③若m为任意实数，则有；④点，在其图象上，若，且，则一定有． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，合计15分） 11. 关于x的一元二次方程的解为_____． 12. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 13. 若关于的一元二次方程的一次项系数是，则__________． 14. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是_____． 15. 若关于x的函数与坐标轴仅有两个交点，则a的值可能是__________． 三、解答题（共9小题，合计75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，过，两点的直线． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标为 ； （2）当时，函数值的取值范围； （3）当时，自变量的取值范围． 18. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框去掉中间位置的数之后，用横向两个数的乘积减去纵向两个数的乘积，不难发现，差都是48． 例如：，． 设某个菱形框中间位置的数为． （1）请证明发现的规律； （2）若某菱形框框出的5个数中，最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 20. 如图，抛物线经过点，其对称轴为直线，抛物线与直线交于点和． （1）求抛物线的解析式； （2）求点与点的坐标． 21. 在代数的领域内，存在着一类具有独特性质的方程，它们被称为“单位根方程”．此类方程的特点在于至少具备一个解：． 例如：方程有解，所以为“单位根方程”． （1）下列方程是“单位根方程”的有_____（填序号即可） ① ② ③ （2）如图，抛物线与轴正半轴交于点A，B，与轴交于点，作直线，已知，且当时，关于的方程为“单位根方程”，求该抛物线的解析式． 22. 如图，抛物线与轴交于，两点（A在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在第四象限，点在线段上，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，求的值； （3）平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 京山市部分学校2025年10月九年级数学教学质量监测 一、单选题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1. 一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，2 B. 6，2 C. ，2 D. 6x，2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．方程整理为一般形式，确定出一次项系数和常数项即可． 【详解】解：方程整理得：， 则方程的一次项系数和常数项分别是6，2． 故选：B． 2. 下列函数属于关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、中是分式，不是二次函数，选项错误； B、，是一次函数，不是二次函数，选项错误； C、是二次函数，选项正确； D、当时，不是二次函数，选项错误； 故选：C． 3. 若，（为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用作差法比较式子的大小，完全平方公式的应用，熟知作差法比较式子大小的方法是解决问题的关键．利用作差法解答即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：C 4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，利用整体思想是解题关键．由一元二次方程解的定义可得，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故选：A 5. 定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2＋b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52＋62﹣2×5×6﹣2＝﹣1，若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到，即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2， ∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk， 整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，理解题意，灵活运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键． 6. 已知点（-1，y1），（2，y2），（4，y3）都在二次函数y=ax2-2ax+3的图象上，当x=1时，y＜3，则y1，y2，y3的大小比较正确的是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y2＜y3＜y1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线x=1，根据当x=1时，y＜3，得出抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵y=ax2-2ax+3， ∴图象的对称轴是直线x=-=1， ∵当x=1时，y＜3， ∴抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而增大， ∴点（-1，y1）关于直线x=1的对称点是（3，y1）， ∵2＜3＜4， ∴y2＜y1＜y3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 7. 将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 采用倒推的思想，利用平移的性质进行求函数解析式即可． 【详解】解：由先向右平移1个单位长度后解析式为， 再向上平移2个单位长度后解析式为， 故选：B． 8. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为：， 故选：C． 9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．对于每个选项，先根据二次函数的图象确定和的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：联立方程组得， 解得或， 一次函数与二次函数的交点为， A、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、三象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以A选项正确，不符合题意； B、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、三、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以B选项正确，不符合题意； C、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以C选项正确，不符合题意； D、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第二、三、四象限，且它们的一个交点横坐标为1，但另一个交点不在轴上，所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 10. 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有（　　） ①；②；③若m为任意实数，则有；④点，在其图象上，若，且，则一定有． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和图象得出的符号，即可判断①；由时，，即可判断②；最值判断③；根据二次函数性质可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴时，， 即， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大， ∴当m为任意实数时，则：， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为 ，，且， ∴点在对称轴右侧， 当时， 在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 又∵抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大， ∴， ∴图象上有两点和，若，且，则一定有， 故④正确； ∴结论正确的有个， 故选：． 二、填空题（共5小题，每小题3分，合计15分） 11. 关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 移项后因式分解即可． 【详解】解：， ， ， 或， ． 故答案为：． 12. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程的一次项系数是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解一元二次方程．一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），特别要注意的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 根据的一元二次方程的一次项系数是列关于k的方程，即可得答案． 【详解】解：∵的一元二次方程的一次项系数是， ∴． 解得，或． ∵， ∴． 故答案为：3． 14. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据可得二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，再根据取得最大值和取值最小值的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 若关于x的函数与坐标轴仅有两个交点，则a的值可能是__________． 【答案】0或1或2 【解析】 【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分三种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；③函数为二次函数，与y轴的交点也在x轴上，即图象经过原点．针对每一种情况，分别求出a的值． 【详解】解：∵关于x的函数的图象与坐标轴仅有两个交点， ∴可分如下三种情况： ①当函数为一次函数时，有， ∴，此时，与坐标轴有两个交点； ②当函数为二次函数时，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点， ∵函数与x轴有一个交点， ∴， ∴， 解得：； ③函数为二次函数时，与x轴有两个交点，与y轴的交点和x轴上的一个交点重合，即图象经过原点， ∴，解得， 当，此时，与坐标轴有两个交点． 故答案为：0或1或2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题． 三、解答题（共9小题，合计75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 解得． 17. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，过，两点的直线． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标为 ； （2）当时，函数值的取值范围； （3）当时，自变量的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括利用交点求函数解析式、求函数最值以及根据函数值大小确定自变量范围等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）对于求抛物线解析式，可利用抛物线与轴交点坐标，代入抛物线表达式求解系数，再将抛物线解析式化为顶点式求顶点坐标； （2）求函数值的取值范围，先分析抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定的范围确定函数值的最值情况； （3）求时自变量的取值范围，先求出直线的解析式，再联立抛物线与直线方程，求出交点横坐标，结合图像确定范围． 【小问1详解】 解：∵ 抛物线过、 ∴ 解方程组可得 ∴ 抛物线解析式为 ∵ ∴ 顶点坐标为 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵ 抛物线中 ∴ 抛物线开口向上，对称轴为 当时，取得最小值 当时， 当时， ∵ 距离对称轴的距离大于距离对称轴的距离 ∴ 当时，的取值范围是． 【小问3详解】 解：∵ 抛物线与轴交于点，令，则 ∴ ∵ 直线过、 ∴ 解得 ∴ 直线的解析式为 联立 即 解得， 由图像可知，当时，或． 18. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框去掉中间位置的数之后，用横向两个数的乘积减去纵向两个数的乘积，不难发现，差都是48． 例如：，． 设某个菱形框中间位置的数为． （1）请证明发现的规律； （2）若某菱形框框出的5个数中，最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】（1） 证明：设中间的数为n，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）29 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为n，则另外4个数可以用n的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 20. 如图，抛物线经过点，其对称轴为直线，抛物线与直线交于点和． （1）求抛物线的解析式； （2）求点与点的坐标． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）利用抛物线的对称轴求出，再利用抛物线经过点，求出，即可得到抛物线的解析式； （2）联立抛物线和直线解析式，即可求出交点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴为直线， ， 解得， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：抛物线与直线交于点和， 联立，整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 点在第三象限，点在第一象限， ，． 21. 在代数的领域内，存在着一类具有独特性质的方程，它们被称为“单位根方程”．此类方程的特点在于至少具备一个解：． 例如：方程有解，所以为“单位根方程”． （1）下列方程是“单位根方程”的有_____（填序号即可） ① ② ③ （2）如图，抛物线与轴正半轴交于点A，B，与轴交于点，作直线，已知，且当时，关于的方程为“单位根方程”，求该抛物线的解析式． 【答案】（1）①③ （2）抛物线的解析式为： 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根与系数的关系，二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据“单位根方程”的定义逐个计算即可判断得解； （2）先求得，根据已知可得，设，即，根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而根据是“单位根方程”，得出是方程的解，得出，联立得出的值，根据抛物线开口向上可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：①，解得，， ①是“单位根方程”； ②，解得，， ②不是“单位根方程”； ③，解得，， ③是“单位根方程”， 是“单位根方程”的有①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：由题意得，， ． ， 即， ． 设， ． 当时，关于的方程为“单位根方程”， 是方程的解， ， ． 又， ， 即， 整理得，， ， 解得，或， 抛物线的开口向上， ， ， 抛物线的解析式为：． 22. 如图，抛物线与轴交于，两点（A在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在第四象限，点在线段上，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将、两点代入即可求解； （2）设点，由，可得即可求解． 【小问1详解】 解：将、两点代入得， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由，令，即 解得：， ， ， ， 设点， 则，， ，，， ， ， ∵点P在第四象限， 则， 解得：，舍去， ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合应用—面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】（1）；（2）；（3）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）、设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）、设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）、设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可 【详解】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； （3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，求的值； （3）平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）将解析式配方得到顶点式，再根据顶点坐标求出的值，即可得到该抛物线的解析式； （2）由（1）所得函数解析式，得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，根据的取值范围与对称轴的位置，分四种情况分别求解即可； （3）先根据抛物线解析式，求出，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，则平移后的抛物线的顶点坐标为，进而得到平移后的抛物线解析式为，再分两种情况讨论：①当只有一个解时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点，利用二次函数与一元二次方程判别式关系求解；②当平移后的抛物线经过点时，求出或，再结合图象，确定的取值范围，即可得解． 【小问1详解】 解：，且顶点为， ，， ， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，抛物线的解析式为， 图象开口向上，对称轴为直线，顶点为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且， ①当时，则， 当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， 解得（舍）； ②当时，则， 当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， 解得或（舍）； ③当时，则， 当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， 解得或（舍）； ④当时， 当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， 解得（舍）； 综上可知，的值为或； 【小问3详解】 解：如图， 在中，令，则， ， 抛物线的解析式为直线，线段轴， ， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 平移后的抛物线的顶点的横坐标为，且顶点始终在直线上移动， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线解析式为， ①当只有一个解时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点， 此时有两个相等的实数解， ， 解得：； ②当平移后的抛物线经过点时， 将点代入得：， 解得：或， 由图象可知，当时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点， 综上可知，的取值范围是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数与一元二次方程等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $