专题05 平方根与实数 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题05平方根与实数期中复习讲义 1.理解平方根、算术平方根的含义，分清二者区别，掌握平方根的性质，会求非负数的平方根与算术平方根。 2.认识无理数，明白实数的分类，知道实数和数轴上的点一一对应。 3.会比较实数大小，掌握实数简单运算，留意根号里被开方数必须是非负数这个易错点。 4.能运用平方根的相关知识解决简单实际问题。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 ★★★ 题型五 算术平方根的实际应用 ★★ 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★ 题型七 平方根的应用 ★★ 题型八 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★ 题型九 无理数 ★ 题型十 无理数的大小估算 ★★ 题型十一 无理数整数部分的有关计算 ★★★ 题型十二 实数分类与性质 ★ 题型十三 实数与数轴 ★★ 题型十四 实数的大小比较 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：基础概念（课堂板书核心） 1. 平方根定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（二次方根）。 2. 开平方运算 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方； 平方与开平方互为互逆运算，可互相检验计算结果。 3. 算术平方根定义 正数a的正的平方根称为a的算术平方根，记作； 规定：0 的算术平方根是 0，即=0。 4. 标准符号书写规范 （1）a的平方根：，一正一负两个根； （2）a的算术平方根：，仅非负根； （3）：根号；a：被开方数； （4）取值硬性要求：a 0，当a<0时，无实数意义。 5. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02：平方根三大性质（课堂重点，必背） 正数：有两个平方根，二者互为相反数，正根为算术平方根； 0：仅有一个平方根，就是 0 本身，算术平方根也为 0； 负数：不存在平方根，无算术平方根。 核心结论：被开方数 a 必须是非负数，即 a0。 知识点03：核心恒等公式（板书重点，易混区分） 1.()2=a (a0) 含义：先开方再平方，结果等于被开方数，前提被开方数非负。 含义：先平方再开方，结果一定是非负数，必须加绝对值化简； 易错示例：-6，正确结果|-6|=6。 3.拓展性质：若一个正数的两个平方根分别为m、n，m+n=0（互为相反数），是参数求值题型核心等量关系。 知识点04:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 3.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 知识点05：算术平方根非负性（高频重难点） 基础结论： (a)，算术平方根恒为非负数； 初中三大非负数集合：、|a|0、a20； 核心解题定理：若若干个非负数相加和为 0，则每一项单独等于 0； 标准题型示例：已知+(y+4)2=0，可得x-2=0，y+4=0，求解字母值 知识点06无理数与有理数 1.有理数 整数（正整数、0、负整数）和分数统称为有理数；从小数角度：有限小数、无限循环小数都能化为分数，属于有理数。 2.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型： （1）开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 （2）含π的数：如π、2π、π-1等。 （3）特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 （4）特殊根式组合：+2。 3.无理数与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点07.实数分类 定义：有理数和无理数统称为实数 分类： 知识点08：实数与数轴的关系 · 一一对应关系：每一个实数都可以用数轴上唯一一点表示；数轴上每一个点都对应唯一实数。有理数填满数轴，无理数填补空隙。 · 数轴比较大小：数轴上右边的数总大于左边的数；正数＞0＞负数。 · 理数在数轴表示：利用正方形边长、勾股定理，以单位长度为直角边作直角三角形，斜边长度对应无理数，用圆规截取到数轴。 知识点09:实数的相关概念 知识点10:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点11:实数的简单运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 题型一 求一个数的算术平方根 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．观察下表： 已知，，则________． 3．下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 题型二 利用算术平方根的非负性解题 4．已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是___________． 6．已知x，y为实数，且，则的平方根为（　　） A． B．2 C． D． 题型三 估计算术平方根的取值范围 7．下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 9．一个正方形的面积为29，则它的边长应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 10．若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 11．已知是的整数部分，是的小数部分，求___________． 12．根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 题型五 算术平方根的实际应用 13．“以形助数”是借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为8与2，下列等式可解释它们边长之间的关系是（    ） A． B． C． D． 14．如图，方格图中每个小正方形的边长均为，将方格图中的涂色部分剪下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是______． 15．十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 16．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 17．已知，那么的值约为______． 18．将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 题型七 平方根的应用 19．若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 20．如果两个整数，的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有___________对． 21．若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 题型八 已知一个数的平方根，求这个数 22．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A．4 B．9 C．16 D．25 23．若与是同一个正数a的平方根，则a为______ 24．若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 题型九 无理数 25．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 26．在①，②，③，④，⑤（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有______（横线上填序号）． 27．在，，，，，0，，，中，无理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型十 无理数的大小估算 28．如图，数轴上表示实数的点可能是（     ） A． B． C． D． 29．黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数和n之间，则n的值是__________． 30．若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型十一 无理数整数部分的有关计算 31．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，如，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．已知是的整数部分，是的小数部分，则________． 33．已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十二 实数分类与性质 34．下列各数是有理数的是（     ） A． B． C． D．2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 35．下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若互为相反数，则；③若a为任意有理数，则；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得______分． 37．下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 题型十三 实数与数轴 38．如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 39．如图，四边形是正方形，其顶点均在小正方形的格点上，若点在数轴上表示的数是，以为圆心，的长为半径画圆弧，与数轴的右半部分交于点，则点所表示的数是___________． 40．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型十四 实数的大小比较 41．在0、1、、这四个数中，最小的数是（     ） A．0 B．1 C． D． 42．比较大小，填“”或“”号， ______ ， ______， ______ 43．下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 解答题 44．请把下列各数的序号填入相应的集合中． ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦2.121121112...（每两个2之间多一个1），⑧． (1)整数集合：______________________ ； (2)负有理数集合：______________________ ； (3)无理数集合：______________________． 45．若实数，满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 46．动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖怪的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是________； (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 47．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 48．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 49．我们知道，如果一个正数a不是完全平方数，那么它的算术平方根介于两个连续整数之间． 例如：因为，，所以；的整数部分是1， (1)的整数部分是______，的整数部分是______． (2)若的整数部分是5，写出一个符合条件的m的值：______． (3)已知正整数n满足与的整数部分相同． ①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2，所以只可能是，即只可能是．同时满足这两个条件，得到______． ③如果它们的整数部分都是3：同时满足这两个条件，得到______． ④观察上面得到的n的值，你能发现规律吗？当与的整数部分为k时，请用含k的表达式写出正整数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平方根与实数期中复习讲义 1.理解平方根、算术平方根的含义，分清二者区别，掌握平方根的性质，会求非负数的平方根与算术平方根。 2.认识无理数，明白实数的分类，知道实数和数轴上的点一一对应。 3.会比较实数大小，掌握实数简单运算，留意根号里被开方数必须是非负数这个易错点。 4.能运用平方根的相关知识解决简单实际问题。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 ★★★ 题型五 算术平方根的实际应用 ★★ 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★ 题型七 平方根的应用 ★★ 题型八 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★ 题型九 无理数 ★ 题型十 无理数的大小估算 ★★ 题型十一 无理数整数部分的有关计算 ★★★ 题型十二 实数分类与性质 ★ 题型十三 实数与数轴 ★★ 题型十四 实数的大小比较 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：基础概念（课堂板书核心） 1. 平方根定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（二次方根）。 2. 开平方运算 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方； 平方与开平方互为互逆运算，可互相检验计算结果。 3. 算术平方根定义 正数a的正的平方根称为a的算术平方根，记作； 规定：0 的算术平方根是 0，即=0。 4. 标准符号书写规范 （1）a的平方根：，一正一负两个根； （2）a的算术平方根：，仅非负根； （3）：根号；a：被开方数； （4）取值硬性要求：a 0，当a<0时，无实数意义。 5. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02：平方根三大性质（课堂重点，必背） 正数：有两个平方根，二者互为相反数，正根为算术平方根； 0：仅有一个平方根，就是 0 本身，算术平方根也为 0； 负数：不存在平方根，无算术平方根。 核心结论：被开方数 a 必须是非负数，即 a0。 知识点03：核心恒等公式（板书重点，易混区分） 1.()2=a (a0) 含义：先开方再平方，结果等于被开方数，前提被开方数非负。 含义：先平方再开方，结果一定是非负数，必须加绝对值化简； 易错示例：-6，正确结果|-6|=6。 3.拓展性质：若一个正数的两个平方根分别为m、n，m+n=0（互为相反数），是参数求值题型核心等量关系。 知识点04:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 3.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 知识点05：算术平方根非负性（高频重难点） 基础结论： (a)，算术平方根恒为非负数； 初中三大非负数集合：、|a|0、a20； 核心解题定理：若若干个非负数相加和为 0，则每一项单独等于 0； 标准题型示例：已知+(y+4)2=0，可得x-2=0，y+4=0，求解字母值 知识点06无理数与有理数 1.有理数 整数（正整数、0、负整数）和分数统称为有理数；从小数角度：有限小数、无限循环小数都能化为分数，属于有理数。 2.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型： （1）开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 （2）含π的数：如π、2π、π-1等。 （3）特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 （4）特殊根式组合：+2。 3.无理数与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点07.实数分类 定义：有理数和无理数统称为实数 分类： 知识点08：实数与数轴的关系 · 一一对应关系：每一个实数都可以用数轴上唯一一点表示；数轴上每一个点都对应唯一实数。有理数填满数轴，无理数填补空隙。 · 数轴比较大小：数轴上右边的数总大于左边的数；正数＞0＞负数。 · 理数在数轴表示：利用正方形边长、勾股定理，以单位长度为直角边作直角三角形，斜边长度对应无理数，用圆规截取到数轴。 知识点09:实数的相关概念 知识点10:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点11:实数的简单运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 题型一 求一个数的算术平方根 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误. 2．观察下表： 已知，，则________． 【答案】 【分析】本题先根据表格总结算术平方根的变化规律，再将所求被开方数变形，结合已知条件计算结果． 【详解】解：由表格可得规律：被开方数的小数点向右移动两位，算术平方根的小数点向右移动一位． ∴． 3．下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据算术平方根有意义的条件以及平方根、算术平方根的定义，即可判断． 【详解】解：（1），故（1）正确； （2），故（2）错误； （3）无意义，故（3）错误； （4），故（4）错误； （5），故（5）错误； 综上所述，错误的共个． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 4．已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据非负性可得到的值，将的值代入已知式子可求得的值，从而根据平方根的定义求解的平方根． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 的平方根是． 5．已知，则的值是___________． 【答案】12 【分析】本题考查了二次根式和绝对值的非负性．根据二次根式和绝对值的非负性，结合已知条件求出x和y的值，从而求得的值． 【详解】解：∵， 又∵且， ∴且， ∴且， 即且， ∴． 6．已知x，y为实数，且，则的平方根为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性，求出x，y的值，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵x，y满足， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故选：D． 题型三 估计算术平方根的取值范围 7．下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据算术平方根的估算方法求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个整数中，与最接近的是4． 8．已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 【答案】4 【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值． 【详解】解：， ，即， ，且为整数， ． 9．一个正方形的面积为29，则它的边长应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】一个正方形的面积为29，那么它的边长为，可用“夹逼法”估计的近似值，从而解决问题． 【详解】解：∵正方形的面积为29， ∴它的边长为， 而＜＜， 5＜＜6． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 10．若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先找出与11相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可对应得到整数的值． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 又∵，为整数， ∴． 11．已知是的整数部分，是的小数部分，求___________． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，得到整数的值，再估算出的取值范围，得到小数部分的值，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， ∵ 是的整数部分， ∴ ， 不等式两边同时加，得 ， ∵ 是的小数部分， ∴ ， ∴ ． 12．根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 先确定的整数部分m和小数部分n，然后计算的值． 【详解】解：∵  ， ∴， ∴． 故选：A． 题型五 算术平方根的实际应用 13．“以形助数”是借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为8与2，下列等式可解释它们边长之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 则它们边长之间的关系是． 14．如图，方格图中每个小正方形的边长均为，将方格图中的涂色部分剪下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是______． 【答案】 【分析】求出涂色部分的面积，再根据正方形的面积公式解答即可． 【详解】解：观察图形可知，涂色部分由下方的一个正方形和上方的一个梯形组成， 下方正方形的边长为，面积为，上方梯形的上底为，下底为，高为，上方梯形的面积为， ∴涂色部分的总面积为， 设拼成的正方形的边长为，则， ， ， 即所拼成的正方形的边长应是． 15．十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用．利用算术平方根的定义分别求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长，继而求得其左边两个小正方形的边长之和，大正方形中左下角和右下角两个正方形的边长，继而求得答案．结合已知条件求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：∵图中所给的三个小正方形的面积分别为，和， ∴可得三个正方形的边长分别为，，， ∴最中间的小正方形的边长为， ∴面积为的正方形左下角小正方形的边长为， ∴面积为的正方形的左边两个小正方形的边长之和为， ∴大正方形中左下角的正方形的边长为， ∴大正方形中右下角的正方形的边长为， ∴大正方形的边长为， 故选：C． 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 16．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 【详解】解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 17．已知，那么的值约为______． 【答案】 13.12 【分析】利用被开方数扩大为原来的100倍，算术平方根扩大为原来的10倍的规律，结合已知条件计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 18．将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第n行第列：n为偶数时，n为奇数时，由此规律即可求解． 【详解】解：第2行第1列， 第3行第2列， 第4行第3列， 第5行第4列， …… 第n行第列： n为偶数时， n为奇数时， 当时，第101行第100列为． 故选：B． 题型七 平方根的应用 19．若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根定义，正数有两个平方根，它们是互为相反数，即可求出的值，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴，解得：， 故选：． 20．如果两个整数，的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有___________对． 【答案】7 【分析】首先根据题意列得方程：，由两个整数,可得是的倍数，设，代入方程，分析求解即可． 【详解】解：∵两个整数的和、差、积、商的和等于100， ∴ 即 ∴是的倍数，设， 则：， ， ∴或4或25或100， ∴或4或1或-11或-6或-3或-2（0舍去） ∴这样的整数有或或或 ； 故共有7对． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了数的整除性问题．由，得到是的倍数是解此题的关键．此题难度较大，要注意合理应用分类讨论思想． 21．若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， （舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 题型八 已知一个数的平方根，求这个数 22．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴，解得， ∴， ∴这个正数为． 23．若与是同一个正数a的平方根，则a为______ 【答案】4或 【分析】本题考查平方根的定义、互为相反数的两个数和为0，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据与是同一个正数a的平方根，所以或，解得或，即可得或，最后平方得到a的值． 【详解】由与是同一个正数a的平方根， 或， 解得或， 或， 或， 故答案为：4或． 24．若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 题型九 无理数 25．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，均为整数，属于有理数， A、C选项不符合题意； 是分数，属于有理数， B选项不符合题意； 是无理数， 是无理数，D选项符合题意． 26．在①，②，③，④，⑤（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有______（横线上填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了无理数的定义、算术平方根等知识点，掌握无理数是无限不循环小数成为解题的关键． 根据无理数以及算术平方根的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是开方不尽的数，且无限不循环，是无理数； ②是循环小数，可化为分数，是有理数； ③π是圆周率，无限不循环，是无理数； ④是分数，是有理数； ⑤虽有一定规律，但无限不循环，是无理数． 所以无理数有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 27．在，，，，，0，，，中，无理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数求解即可． 【详解】解：， ∴在，，，，，0，，，中，无理数有：，共 4 个， 故选：B． 题型十 无理数的大小估算 28．如图，数轴上表示实数的点可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】估算出实数的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即表示实数的点在2和3之间， ∴数轴上表示实数的点可能是Q． 29．黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数和n之间，则n的值是__________． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的估算，通过估算的值，利用夹逼法确定的范围，从而求出整数即可． 【详解】解：∵，即， ∴，即介于整数和之间， ∴； 故答案为：2 30．若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先找到，取值范围，进而可求的最大值即可． 【详解】解：∵，即； ，即， 又，均为正整数，且要使最大， 最大取3，最大取2， 的最大值是5， 故选：B． 题型十一 无理数整数部分的有关计算 31．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，如，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算出的大致范围是解题的关键． 先估算的大小，再得到的整数部分，最后依据定义求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 32．已知是的整数部分，是的小数部分，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，根据得出结论即可． 【详解】解：，是的整数部分，是的小数部分， ，． ． 故答案为：． 33．已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数的取值范围是解题的关键． 先估算的整数部分，再求的小数部分，最后计算即可． 【详解】∵，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分， ∴， 故选D． 题型十二 实数分类与性质 34．下列各数是有理数的是（     ） A． B． C． D．2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 【答案】C 【分析】依据有理数包含整数和分数的特点，先筛选分数类选项，再排除无理数选项． 【详解】解：∵ ，，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）均为无理数， ∴ 选项A、B、D不符合题意. ∵ 是有理数， ∴选项C符合题意． 35．下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若互为相反数，则；③若a为任意有理数，则；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义和倒数的定义可判断①；根据相反数的定义和0不能做分母可判断②；根据绝对值的性质可判断③；根据有理数的大小比较方法可判断④． 【详解】解：①无理数的倒数还是无理数，正确； ②当时，无意义，故若互为相反数，则说法错误； ③若a为任意有理数，则，正确； ④两个负数比较，绝对值大的反而小，故原说法错误． 综上可知正确的有①③共两个． 故选B． 【点睛】本题考查无理数的定义，倒数的定义，相反数的定义，0不能做分母，绝对值的性质，有理数的大小比较．熟练掌握上述知识是解题关键． 36．甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得______分． 【答案】5 【分析】此题考查最佳对策问题，实数，注意比赛的规则和数据的特点，灵活选用适当的方法解答； 通过分析可知：，甲要划掉4个连续的自然数一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．这样甲的得分就可以保证至少5分， 【详解】，甲要划掉4个连续的自然数．一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的． 而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数． 甲第一次勾掉这2个数，将剩下的数两两配对：，同一对两数之差为5．在每次勾掉2个数之后，甲的策略是甲勾掉的2个数与乙勾掉的2个数恰好组成上述3对数中的2对，这样一来，余下的两个数必须是上述3对数中的一对，这两个数之差必为5．可见甲可保证自己得5分． 故答案为：5． 37．下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 题型十三 实数与数轴 38．如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】根据，结合数轴求解即可； 【详解】解：， ， 根据数轴的意义，得落在段②； 39．如图，四边形是正方形，其顶点均在小正方形的格点上，若点在数轴上表示的数是，以为圆心，的长为半径画圆弧，与数轴的右半部分交于点，则点所表示的数是___________． 【答案】/ 【分析】先用面积法求出正方形的面积，然后根据算术平方根的意义求出正方形的边长，即可求解点所表示的数． 【详解】解：由图可得，正方形的面积为， ∴其边长 ∵点在数轴上表示的数是， ∴点所表示的数是． 40．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出正方形对角线长，确定点表示的数，再根据的位置确定整数点表示的数，最后利用数轴上两点间距离公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，正方形的边长为1， 根据勾股定理，正方形的对角线长为， 点表示的数为， ∵，且是右侧最近的整数点， ∴点表示的数为2， ∴的长为． 题型十四 实数的大小比较 41．在0、1、、这四个数中，最小的数是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据实数比较大小的规则，负数小于0、正数大于0，两个负数绝对值大的数更小，排出四个数的顺序找到最小值． 【详解】解：， ， 最小的数是． 42．比较大小，填“”或“”号， ______ ， ______， ______ 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，实数的大小比较的应用，根据根式的性质把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：，，． 43．下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，无理数的估算， 根据，再结合实数的大小比较方法即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴. ∵0， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴，. ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 解答题 44．请把下列各数的序号填入相应的集合中． ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦2.121121112...（每两个2之间多一个1），⑧． (1)整数集合：______________________ ； (2)负有理数集合：______________________ ； (3)无理数集合：______________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 根据整数的定义分类即可； （2）根据负有理数的定义分类即可； （3）根据无理数的定义分类即可． 【详解】（1）解：，，， 整数集合：{②③④⑤}； （2）解：负有理数集合：{②⑥}； （3）解：无理数集合：{①⑦}． 45．若实数，满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据绝对值、算术平方根的非负性和非负数的性质即可求解； （2）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． （2）解：由（1）可知， ∴的算术平方根为． 46．动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖怪的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是________； (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) 混天绫的总长度是； (2) 足够，理由： 设宽为，则长为． 根据题意可得，即， 解得（舍去负根）， 则长为， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 【分析】（1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：，则正方形的边长为． 正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是； （2）略 47．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义列方程可求a，b，根据可求c的值； （2）根据平方根的定义代入计算即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， ； 的平方根是， ， ， ； ，c是的整数部分， ． （2）解：的平方根为． 48．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 【分析】（1）利用结合作差法比较与的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 49．我们知道，如果一个正数a不是完全平方数，那么它的算术平方根介于两个连续整数之间． 例如：因为，，所以；的整数部分是1， (1)的整数部分是______，的整数部分是______． (2)若的整数部分是5，写出一个符合条件的m的值：______． (3)已知正整数n满足与的整数部分相同． ①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2，所以只可能是，即只可能是．同时满足这两个条件，得到______． ③如果它们的整数部分都是3：同时满足这两个条件，得到______． ④观察上面得到的n的值，你能发现规律吗？当与的整数部分为k时，请用含k的表达式写出正整数的取值范围． 【答案】(1)3；4 (2)30 (3)①1②4，5，6③9，10，11，12，13④ 【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案； （2）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案； （3）①直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；②直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；③直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；④直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3； ∵， ∴， ∴的整数部分是4； （2）解：∵的整数部分是5， ∴， ∴， ∴可以取30； （3）解：①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1， 所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2， 所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2， 所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到，5，6． ③因为的整数部分是3， ∴， ∴； 又的整数部分是3， ∴， ∴， ∴， 所以同时满足两个条件的正整数； ④当与的整数部分为k时， 由当的整数部分为k时，得； 由的整数部分为k时，得，即， 取两者的公共部分可得，正整数的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $