精品解析：浙江温州市南浦实验中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026学年九年级（上）第一次月考练手卷 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列事件中，一定会发生的是（ ） A. 从只有白球的袋中摸出白球 B. 明天一定会下雨 C. 随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数 D. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断选项，选出一定会发生的事件． 【详解】解：A选项中袋中只有白球，因此从袋中摸球一定只能摸出白球，该事件一定会发生． B选项明天是否下雨是不确定的，属于随机事件，不一定发生． C选项随意翻页得到的页码可能是奇数也可能是偶数，属于随机事件，不一定发生． D选项正方体骰子向上一面的点数最大为，不可能得到点数，属于不可能事件，一定不会发生． 2. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，根据求抛物线与y轴的交点，只需令，代入解析式计算y的值，即可解答． 【详解】解：∵ y 轴上的点横坐标为0， ∴令，代入， 得， ∴抛物线与 y 轴交点坐标为． 故选：D． 3. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键． 根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 【详解】解：A、由得，故选项符合题意； B、由得，故选项不符合题意； C、由得，故选项不符合题意； D、由得，故选项不符合题意． 故选：A． 4. 中秋佳节，小明妈妈准备了2个五仁月饼，4个莲蓉蛋黄月饼，3个奶黄月饼，小明任意选取一个，选到五仁月饼的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．计算选到五仁月饼的概率，即五仁月饼数量与总月饼数的比值． 【详解】解：∵总月饼数，五仁月饼有2个， ∴选到五仁月饼的概率． 故选：A． 5. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行线分线段成比例，可知，然后结合已知条件，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，位似中心是原点O．若，，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出位似比，再利用位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵与是位似图形，位似中心是原点O， ∴， ∴， ∵， ∴点B的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，用勾股定理解三角形，利用相似求坐标，求两个位似图形的相似比等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 8. 2023年10月25日，国务院办公厅发文，同意辽宁承办2028年第15届全国冬季运动会．2024年第14届全国冬季运动会于2月17日-27日在内蒙古举办．为弘扬体育精神，贵阳某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“米”与“米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：分别用来表示“跳高”“跳远”“米”“米”．根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中选择“米”“米”的结果有2种，故所求概率为． 故选：C． 9. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，根据二次函数的性质，抛物线开口向下，对称轴为，顶点处y值最大；距离对称轴越远，y值越小． 【详解】解：∵ 抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，取得最大值， ∵ 在对称轴上， ∴ 最大， 又∵和在抛物线上， 到对称轴的距离为， 到对称轴的距离为， ∵ 开口向下，距离对称轴越远，值越小， ∴ ， 因此． 故选：A． （多选题） 10. （多选题）如图，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得，当菱形与菱形重合时，重叠部分的面积最大，此时点与点重合，点与点重合，，重合部分的面积是菱形的面积，可得，，可判断A；根据菱形的面积公式确定，如图，连接交于点，根据菱形的性质得，，，再根据勾股定理得，可判断B；先确定菱形与菱形全等，得，，推出点与点重合，如图所示，设与相交于点，与相交于点，连接交于点，证明四边形是菱形，推出，证明得，求出，可得，可判断C；结合图象，确定当时，的值，可判断选项D． 【详解】解：由题意可得，当菱形与菱形重合时，重叠部分的面积最大，此时点与点重合，点与点重合，，重合部分的面积是菱形的面积， 由图象可得，此时：，， ∴，，故选项A正确，符合题意； 如图，连接交于点， ∵，即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，，故选项B错误，不符合题意； 当时，， ∵在菱形与菱形中，，且， ∴，， ， ∴菱形与菱形全等， ∴， ∴， ∴点与点重合，如图所示， 设与相交于点，与相交于点，连接交于点， 在菱形和菱形中，，， 又∵， ∴，， ∴，， 在菱形中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即，故选项C正确，符合题意； 由图象可得，当时，，故选项D错误，不符合题意， 综上所述，选项正确的是AC． 11. 如图，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数图象获取最大面积及的取值范围，确定菱形的对角线长及面积，进而求出另一条对角线长；根据时点的位置，利用相似比或几何性质求出重叠部分面积． 【详解】解：由图2可知，当两菱形重合时，取最大值12，此时为长， 当时，，此时点与点重合，点在点右侧， ∴， ∵菱形与菱形全等， ∴， ∴，即， ∴，故A选项错误； 当时，， ∴， ∵， ∴点为中点， 此时重叠部分为菱形，且与原菱形相似， 相似比为， ∴，故C选项正确； 由图象可知，当时，，故D选项错误； ∴， 当时，， 故B选项正确． 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 12. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的含义可直接得出顶点坐标． 【详解】解：由题中所给解析式y=2 +3中的可知顶点横坐标为1，再由后面常数项可知顶点纵坐标为3， 因此顶点坐标为（1，3）． 故答案为：（1，3）． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数顶点式各部分的含义是解题的关键． 13. 一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察统计图得出频率稳定的数值即可． 【详解】解：观察折线统计图，随着试验次数的增加，黑色小球出现的频率波动逐渐变小. 频率最终稳定在附近， 摸到黑球的概率约为． 14. 一个布袋里有个只有颜色不同的球，其中个红球，个白球．从布袋里摸出个球不放回，再摸出个球，摸出的个球都是红球的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： ， 一共6种可能，两次都摸到红球的有2种情况， ∴摸出的个球都是红球的概率是 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 在一个不透明的袋子中装有8个白球，个红球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则___________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了概率公式． 根据概率公式，摸到红球的概率等于红球数量与总球数的比值，列出方程求解． 【详解】解：总球数为，摸到红球的概率为． ， ， ． 经检验，是原方程的解． 故答案为2． 16. 已知二次函数，当时，该函数取得最小值为3，则m的值为______． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的性质，分两种情况讨论：当对称轴在区间内时，最小值为顶点纵坐标；当对称轴不在区间内时，最小值为边界值．分别求解方程得到m的值． 【详解】解：二次函数为 ，开口向上，对称轴为 ， 分以下两种情况讨论： 情况一：当时，对称轴在区间内，最小值在顶点处，顶点纵坐标为 ， 因最小值为3，则，满足； 情况二：当时，对称轴不在区间内，函数在上递减，最小值在处，代入得， 设最小值为3，则，即， 解得或， 其中 不满足，舍去；满足． 综上，或． 故答案为：3或． 17. 如图，在菱形中，点E为对角线上一点，将沿折叠，使得点A的对应点F落在边上，交于点G． （1）若，则的度数为______． （2）若设，则的值为______．（用含k的代数式表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和折叠的性质可求得，，进而得到，推出，从而求得，最后利用三角形内角和定理即可求得的度数； （2）由（1）可推出，，，得到，然后由，，可证得，进而得到，推出，，据此进一步计算即可得到答案． 【详解】解：（1）∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴，， ∵将沿折叠，使得点A的对应点F落在边上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由（1）可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 三．解答题（本题有7小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 18. 计算： （1）已知线段，，求线段a，b的比例中项线段c； （2）已知，求的值． 【答案】（1）6 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了比例线段和比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案； （2）根据比例的性质设，，代入计算，于是得到结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，， ∴． 19. 某校文学社开展“与课本人物面对面”活动，学生通过抽取课本人物参与对应的“大咖对话”活动．现有三张人物卡片如下图所示，卡片背面都相同，现将卡片背面朝上，参与同学可从中任意抽取一张卡片再放回．其中七（3）班有甲和乙两名学生参加活动． （1）甲抽到“鲁迅”卡片的概率为 ． （2）请用画树状图法或列表法，求甲和乙抽到不同人物卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单概率计算，画树状图法或列表法求概率，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）由甲抽一张卡片，可能出现的人物有3种可能性，而且每张卡片出现的可能性相等，抽到的卡片上的人物为“鲁迅”的只有1种，然后直接利用概率公式求解即可得到答案； （2）先根据题意列表，由表格求得所有等可能的结果，以及甲和乙抽到不同人物卡片的事件数，再按照概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵甲抽一张卡片，可能出现的人物有3种可能性，而且每张卡片出现的可能性相等，抽到的卡片上的人物为“鲁迅”的只有1种， ∴甲抽到“鲁迅”卡片的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 甲 乙 A B C A AA BA CA B AB BB CB C AC BC CC ∵共有9种等可能的结果，甲和乙抽到不同人物卡片的有6种情况， ∴甲和乙抽到不同人物卡片的概率为． 20. 如图，已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）二次函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出二次函数的解析式是解决本题的关键． （1）利用待定系数解答，即可求解； （2）先求出二次函数的图象与x轴的交点，再根据该抛物线的开口向上，即可求解． 【小问1详解】 解：将和代入解析式， 得， 解得：， ∴该二次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：或， 由图可得，该抛物线的开口向上， ∴当时，x的取值范围为． 21. 如图，在中，，是边上一点，且，过点作，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边对等角可得，再结合对顶角相等可得，即；再说明，进而证明结论； （2）由勾股定理可得，即，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，． ∴， ∵， ∴，即，解得：． 22. 一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不同的红球与白球． （1）若盒中有个红球和个白球，从中任意摸出两个球，恰好是一红一白的概率是多少？请用画树状图或列表的方式说明； （2）若先从盒中摸出个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验．摸球试验的要求：每次摸球前先搅拌均匀，摸出一个球，记录颜色后放回盒中，再继续，一共做了次．统计结果如下表： 球的颜色 无记号 有记号 红色 白色 红色 白色 摸到的次数 由上述摸球试验的结果，估算盒中红球、白球各占总球数的百分之几； （3）在（2）的条件下，估算盒中红球的个数． 【答案】（1）解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，从中任意摸出两个球恰好是一红一白的有种情况， ∴（恰好是一红一白）， 即从中任意摸出两个球，恰好是一红一白的概率是； （2）红球占总球数的，白球占总球数的 （3）个 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中任意摸出两个球恰好是一红一白的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）根据题意得次摸球试验活动中，出现红球次，白球次，继而求得答案； （3）由题意可知，次摸球试验活动中，出现有记号的球次，则可求得总数，继而求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可知，次摸球试验活动中，出现红球次，白球次， ∴红球所占百分比为， 白球所占百分比为， 答：红球占总球数的，白球占总球数的； 【小问3详解】 解：由题意可知，次摸球试验活动中，出现有记号的球次， ∴总球数为， ∴红球数为（个）， 答：盒中红球有个． 23. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为或1 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）根据平移规律得到平移后点的坐标，代入函数表达式列方程求解； （3）结合二次函数开口方向与对称轴，分对称轴在区间右侧，左侧，中间三种情况讨论，根据最值差为3列方程求解n． 【小问1详解】 解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线， ∴，解得 ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：点向上平移3个单位长度，向左平移个单位长度后，坐标为 ∵该点在二次函数的图像上， ∴， 解得或， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：二次函数，开口向上，对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为． ①当时，函数在上随着的增大而减小， ∴当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得； ②当，即时，函数在上随着的增大而增大， ∴当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得； ③当，即时，函数最小值为2， 由最大值与最小值的差为3，得到最大值为． 若当时，y有最大值，则， 解得， ∵， ∴均不符合，故舍去． 若当时，y有最大值，则， 解得， ∵， ∴均不符合，故舍去． 综上所述，的值为或1． 24. 如图，为矩形的对角线，于点，交边于点，且． （1）求的值； （2）已知，如图，为线段延长线上一点，连接． ①连接，若有一个角等于，求所有符合条件的的长． ②求的最大值． 【答案】（1） （2）①或7； ② 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，相似三角形的判定和性质，得到，即可解答； （2）①由（1）的结论可得到对角线的长度，进而证得，整理得：，再通过勾股定理即可求得矩形的边长，有一个角等于，此时分情况讨论：（i）当时；（ii）当时；（iii）当时，通过相似三角形的判定与性质，勾股定理及等腰三角形的性质分别求出相关线段的长度，最终可得到的长度； ②过点C作交于点K，通过勾股定理求出的长度，设，则，利用勾股定理表示出的长度表达式，将的式子进行化简，利用二次函数的最值即可求得最终结果． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴； ∴，， 在中，， ∴， ∵有一个角等于， 此时分情况讨论： （i）当时， 如图，过点E作交于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （ii）当时， ∵点P是延长线上一点， ∴， 如图，过点C作交延长线于点H， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （iii）当时， 由图可知，，且和均为定角，此时无符合条件的， 综上所述，的长为或7； ②如图，过点C作交于点K， 由①可知，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 分子分母同时除以m，得：， 令， ∴， ∵， 当时，最小值为， ∴， 即的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年九年级（上）第一次月考练手卷 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列事件中，一定会发生的是（ ） A. 从只有白球的袋中摸出白球 B. 明天一定会下雨 C. 随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数 D. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7 2. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 中秋佳节，小明妈妈准备了2个五仁月饼，4个莲蓉蛋黄月饼，3个奶黄月饼，小明任意选取一个，选到五仁月饼的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，位似中心是原点O．若，，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 2023年10月25日，国务院办公厅发文，同意辽宁承办2028年第15届全国冬季运动会．2024年第14届全国冬季运动会于2月17日-27日在内蒙古举办．为弘扬体育精神，贵阳某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“米”与“米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. （多选题） 10. （多选题）如图，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 11. 如图，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 12. 抛物线的顶点坐标是________． 13. 一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 14. 一个布袋里有个只有颜色不同的球，其中个红球，个白球．从布袋里摸出个球不放回，再摸出个球，摸出的个球都是红球的概率是____． 15. 在一个不透明的袋子中装有8个白球，个红球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则___________ 16. 已知二次函数，当时，该函数取得最小值为3，则m的值为______． 17. 如图，在菱形中，点E为对角线上一点，将沿折叠，使得点A的对应点F落在边上，交于点G． （1）若，则的度数为______． （2）若设，则的值为______．（用含k的代数式表示） 三．解答题（本题有7小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 18. 计算： （1）已知线段，，求线段a，b的比例中项线段c； （2）已知，求的值． 19. 某校文学社开展“与课本人物面对面”活动，学生通过抽取课本人物参与对应的“大咖对话”活动．现有三张人物卡片如下图所示，卡片背面都相同，现将卡片背面朝上，参与同学可从中任意抽取一张卡片再放回．其中七（3）班有甲和乙两名学生参加活动． （1）甲抽到“鲁迅”卡片的概率为 ． （2）请用画树状图法或列表法，求甲和乙抽到不同人物卡片的概率． 20. 如图，已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，求的取值范围． 21. 如图，在中，，是边上一点，且，过点作，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不同的红球与白球． （1）若盒中有个红球和个白球，从中任意摸出两个球，恰好是一红一白的概率是多少？请用画树状图或列表的方式说明； （2）若先从盒中摸出个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验．摸球试验的要求：每次摸球前先搅拌均匀，摸出一个球，记录颜色后放回盒中，再继续，一共做了次．统计结果如下表： 球的颜色 无记号 有记号 红色 白色 红色 白色 摸到的次数 由上述摸球试验的结果，估算盒中红球、白球各占总球数的百分之几； （3）在（2）的条件下，估算盒中红球的个数． 23. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 24. 如图，为矩形的对角线，于点，交边于点，且． （1）求的值； （2）已知，如图，为线段延长线上一点，连接． ①连接，若有一个角等于，求所有符合条件的的长． ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $