精品解析：浙江省金华市婺城区浙江师范大学婺州外国语学校2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题

浙师婺外2025学年第一学期12月作业检测 九年级（数学）试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次函数的定义，形如的函数是二次函数，根据定义判断即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是1，不符合定义； B、未知数的最高次数是1，不符合定义； C、符合定义； D、含有分式，不符合定义； 故选：C． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由物体上方向下做正投影得到的视图叫做俯视图，据此求解即可． 【详解】解：最上方的圆形桌面在俯视图中体现为一个大圆，因从上往下看时可见，所以用实线表示； 下方的圆形面及四个圆柱形桌腿在俯视图中体现为一个较大的圆和四个小圆，因从上往下看时不可见，所以用虚线表示； 观察四个选项可知，只有D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查三视图，解题的关键是掌握俯视图的定义，注意看到的线用实线表示，看不到的线用虚线表示． 4. 的半径为，点A到圆心O的距离，则点A与的位置关系为（　　） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内，据此即可解答． 【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离， ∴， ∴点A与内． 故选：A． 5. 正十边形的每一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的外角和为360度，据此可求出正十边形一个外角的度数，再根据正十边形一个外角的度数和一个内角的度数之和为180度即可求出答案． 【详解】解：∵正十边形的一个外角的度数为， ∴正十边形的每一个内角的度数为， 故选：D． 6. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，即可证明是直角三角形，利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：连接，则，，， ，，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，正确证明是直角三角形是解决本题的关键． 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点C、点O、点C′三点在同一直线上 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案． 【详解】∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点C、点O、点C′三点在同一直线上，， ， ∴C选项错误，符合题意． 故选C． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键． 8. 如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线的交点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得到抛物线y=-x2+x+8与y轴的交点坐标为（0，8），根据轴对称的性质得到新图象与y轴的交点坐标为（0，-8），于是得到结论． 【详解】解：如图，∵y=-x2+x+8中，当x=0时，y=8， ∴抛物线y=-x2+x+8与y轴的交点坐标为（0，8）， ∵将抛物线y=-x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变， ∴新图象与y轴的交点坐标为（0，-8）， ∴新图象与直线y=-8的交点个数是4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键． 9. 如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（ ） A. 2.5 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接AO，作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．利用菱形的面积公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AO，作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E． ∵菱形ABCD的边AB=10，面积为80， ∴AB•DH=80， ∴DH=8， 在Rt△ADH中，， ∴HB=AB-AH=4， 在Rt△BDH中，， 设⊙O与AB相切于F，与AD相切于J，连接OF，OJ，则OF⊥AB，OJ⊥AD，OF=OJ， ∴OA平分∠DAB， ∵AD=AB， ∴AE⊥BD， ∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°， ∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°， ∴△AOF∽△DBH， ∴， ∴， ∴OF=． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连接相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，过点作交于点，设交于点，设，由全等三角形的性质得，即得，进而可得，再分别由、可得，，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，设交于点， ∵正方形由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键；根据所给抛物线的解析式即可得解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，直接根据概率公式解答即可．熟知概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 【详解】解：一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球， 从布袋里任意摸出1个球，摸出的球是红球的概率． 故答案为：． 13. 底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积为_______． 【答案】24π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：由题意得：圆锥的侧面积＝2π×4×6÷2＝24πcm2. 故答案为：24π． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 14. 如图，为的直径，交于点，点是弧的中点，连接．若，，则阴影部分的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 连接，，，交于，由圆周角定理可，，可知和均为等边三角形，继而可知，可得，则，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，交于， ∵点是弧的中点， ， ， ， ， ∴和均为等边三角形． ． ． ． ． 故答案为：． 15. 如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据勾股定理、垂径定理求出的长是解题的关键． 过O作于H，由垂径定理得到，由勾股定理求出，当C和H重合时，的最小值是，当是圆直径时，的值最大是，即可得到的取值范围． 【详解】解：过O作于H， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是， 当是圆直径时，的值最大是， ∴的取值范围是． 故答案为：． 16. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为﹣1，则a的取值范围是_______． 【答案】﹣3≤a≤2 【解析】 【分析】求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝2， 当a＜2＜a+5时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝2时有最小值﹣1， 当a≥2时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝a时有最小值﹣1， ∴a2﹣4a+3＝﹣1， 解得a＝2， 当a+5≤2时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝a+5时有最小值﹣1， ∴（a+5）2﹣4（a+5）+3＝﹣1， 解得a＝﹣3， ∴a的取值范围是﹣3≤a≤2， 故答案为：﹣3≤a≤2． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，和化简绝对值，掌握知识点，正确计算是解题的关键． 先计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，和计算负整数指数幂，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解： ． 18. 已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值． 【答案】18 【解析】 【分析】设，得出x=2k，y=3k，z=4k，再根据2x+3y-z=18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y+z的值． 【详解】解：设，则x=2k，y=3k，z=4k， ∵2x+3y-z=18， ∴4k+9k-4k=18， ∴k=2， ∴x=4，y=6，z=8， ∴x+y+z=4+6+8=18． 【点睛】本题考查比例的性质，关键是设，得出k的值． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有，点A、B、C均在小正方形的顶点上． （1）将绕着点C顺时针旋转得到（点A、B的对应点分别为D、E），画出； （2）在正方形网格的格点上找一点F，连接，使的面积等于的面积，并直接写出线段的长． 【答案】（1） 如下图： （2）都为所求，如下图；的长为或 【解析】 【分析】本题考查了作图：旋转变换，三角形的面积问题． （1）根据旋转的性质可知，对应角都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形； （2）三角形面积相等时，本题要充分利用等底等高的三角形面积相等这一性质即可构造，再根据网格求线段长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平移使它过点C，则可得到格点，然后找关于点的对称点，都为所求，如下图： ， ， ． 20. 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》，某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了2个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）①在第2小组得分扇形统计图中，1分所对应扇形的圆心角度数是 °； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）表中a＝ ，b＝ ； （3）从第2小组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）①18； ②补全第1小组得分条形统计图如下∶ （2）5， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图，众数和平均数、概率的计算等知识点，从统计图中获取所需信息成为解题的关键． （1）①用乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图； （2）根据众数、平均数的定义求解即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 ， 故答案为：18； ②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人）， 【小问2详解】 解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则， 第2小组获得1分的学生所占百分比为， 第2小组的平均分为（分）， 则， 故答案为：5，； 【小问3详解】 由题意，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． （1）求的度数； （2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：）． 【答案】（1）的度数为 （2）这棵大树折断前的高度约为9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键； （1）将延长交于点，根据三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解； （2）过点作于点，得出，，分别求得，进而求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，将延长交于点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，， ， ，， 在中，，， 在中，， 答：这棵大树折断前的高度约为9米． 22. 如图，在⊙O中，，弦AB与CD相交于点M． （1）求证：． （2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径．求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵AD是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题即可； （2）利用圆周角定理可得，再利用三角形外角性质可得，根据直径所对的圆周角为90°可得，进而根据三角形内角和定理和等量代换可证结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系、三角形内角和定理、三角形外角性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为90°，解题的关键是熟练掌握并灵活运用所学相关知识． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线 过点 （1）请用含 的代数式表示 ． （2）若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． （3）当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图像的性质， （1）将两个点的坐标代入关系式，整理可得答案； （2）先求出对称前该抛物线经过点，再设抛物线的关系式为，然后将点代入可得答案； （3）由（1）可得，进而得出 ，接下来求出抛物线的对称轴，再分两种情况：当 时，当 时，随的增大而增大，再将时代入关系式，可得答案；当时，当时，随的增大而减小，将代入关系式，可得答案. 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：该抛物线关于y轴对称后的图象经过，则对称前该抛物线经过点． 设 ， 将代入，得 ， 解得, 该抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由（1），得， ∴． 由，得，记作 ， 抛物线的对称轴为直线 . 当 时，如图 1，当 时，随的增大而增大． 当时，，则 成立， 即 ， 解得， 所以． 当时，如图2，当时，随的增大而减小， 当时，，则成立， 即 恒成立． 所以或时，始终成立． 24. 定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”． 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点D，以AB为直径，在x轴上方作半圆交y轴于点C，半圆的圆心记为M，此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆”． （1）直接写出点A，B，C的坐标及“蛋圆”弦CD的长； A　 　，B　 　，C　 　，CD＝　 　； （2）如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线． ①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式； ②求经过点D的“蛋圆”切线的解析式； （3）由（2）求得过点D的“蛋圆”切线与x轴交点记为E，点F是“蛋圆”上一动点，试问是否存在S△CDE＝S△CDF，若存在请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （4）点P是“蛋圆”外一点，且满足∠BPC＝60°，当BP最大时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，），CD＝3+；（2）①；②y＝﹣2x﹣3；（3）F′（，），F′′（，）；（4）点P的坐标为（1，2）． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与一元二次方程的关系以及勾股定理解答； （2）运用待定系数法求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式；运用二元二次方程组、一元二次方程根的判别式求出过点D的“蛋圆”切线的解析式； （3）根据题意求出点E的坐标，根据同底等高的两个三角形面积相等解答； （4）根据∠BPC＝60°保持不变，点P在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可． 【详解】（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 当x＝0时，y＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），OD＝3， 如图1，连接MC，由题意得，OM＝1，MC＝2， ∴OC＝， ∴C（0，），CD＝3+， 故答案为：（﹣1，0）；（3，0）；（0，）；3+； （2）①如图2，NC⊥CM， ∵∠CMO=∠NMC， ∴， ∴，即， ∴， ∴N的坐标为（﹣3，0）， 设NC的解析式为， ∴， ∴， ∴经过点C的“蛋圆”切线的解析式为：， ②过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝kx﹣3， 由， 得：x2﹣（2+k）x＝0，即：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴，即k＝﹣2， ∴经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝﹣2x﹣3． （3）如图3，∵经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝﹣2x﹣3， ∴E点坐标为（，0）， ∵S△CDE＝S△CDF， ∴F点的横坐标为， 在Rt△MQF1中 ，， ∴， 把x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，可求得y＝． ∴F′（，），F′′（，）； （4）如图4，∵∠BPC＝60°保持不变， 因此点P在一圆弧上运动． 此圆是以K为圆心（K在BC的垂直平分线上，且∠BKC＝120°），BK为半径． 当BP为直径时，BP最大． ∵B（3，0），C（0，）， ∴OB=，OC， ∴， ∵BP为直径， ∴∠PCB＝90°， ∵∠BPC＝60° ∴ ，，即：， ∴， 过点P作PR⊥y轴于点R， ∵∠RCP+∠PCB+∠OCB＝180， ∴∠RCP+∠OCB＝90， ∠OBC+∠OCB＝90， ∴∠RCP＝∠OBC， ∴ ∴ ∴ ∴PR＝1，RC＝． 所以点P的坐标为（1，2）． 【点睛】 本题考查的是圆与二次函数知识的综合运用，正确理解“蛋圆”的概念、掌握圆周角定理、二次函数的图象和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，注意辅助线的作法要正确． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙师婺外2025学年第一学期12月作业检测 九年级（数学）试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 4. 的半径为，点A到圆心O的距离，则点A与的位置关系为（　　） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 无法确定 5. 正十边形的每一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点C、点O、点C′三点在同一直线上 C. D. 8. 如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线的交点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（ ） A. 2.5 B. C. D. 3 10. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连接相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是__________． 12. 一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为________． 13. 底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积为_______． 14. 如图，为的直径，交于点，点是弧的中点，连接．若，，则阴影部分的面积是______． 15. 如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 16. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为﹣1，则a的取值范围是_______． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： 18. 已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有，点A、B、C均在小正方形的顶点上． （1）将绕着点C顺时针旋转得到（点A、B的对应点分别为D、E），画出； （2）在正方形网格的格点上找一点F，连接，使的面积等于的面积，并直接写出线段的长． 20. 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》，某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了2个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）①在第2小组得分扇形统计图中，1分所对应扇形的圆心角度数是 °； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）表中a＝ ，b＝ ； （3）从第2小组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． （1）求的度数； （2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：）． 22. 如图，在⊙O中，，弦AB与CD相交于点M． （1）求证：． （2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径．求证：． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线 过点 （1）请用含 的代数式表示 ． （2）若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． （3）当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 24. 定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”． 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点D，以AB为直径，在x轴上方作半圆交y轴于点C，半圆的圆心记为M，此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆”． （1）直接写出点A，B，C的坐标及“蛋圆”弦CD的长； A　 　，B　 　，C　 　，CD＝　 　； （2）如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线． ①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式； ②求经过点D的“蛋圆”切线的解析式； （3）由（2）求得过点D的“蛋圆”切线与x轴交点记为E，点F是“蛋圆”上一动点，试问是否存在S△CDE＝S△CDF，若存在请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （4）点P是“蛋圆”外一点，且满足∠BPC＝60°，当BP最大时，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $