精品解析：内蒙古赤峰市翁牛特旗部分校2026-2027学年高三上学期10月份月考数学试卷

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数（占35%左右）；导数，三角函数与三角恒等变换，平面向量（占65%左右）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，对集合中两个元素进行分类讨论，分别求出的值，再检验集合中元素的互异性即可得出的值. 【详解】由题可知，，则当时，集合中两个元素均为，不合题意； 当时，则或，又知不合题意，所以. 2. 已知平面向量，不共线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，由，不共线，零向量用，线性表示时，系数必须都为0，即可求出的值. 【详解】由平面向量，不共线，又，则，解得，所以. 3. 已知函数满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的运算法则先求导，再求即可. 【详解】由题意得：， 所以，解得， 故选：A. 4. 已知角的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为角的终边过点，则， 所以. 5. 已知直线是曲线的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，先由切线斜率求出切点横坐标，再将切点坐标代入曲线方程求. 【详解】设切点坐标为，因为，所以，解得. 将代入切线方程，得，因此切点坐标为. 将代入曲线方程得，解得 6. 已知一圆心角为的扇形的周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设扇形所在圆的半径为，弧长为，利用扇形的弧长公式，列出方程，求得的值，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 因为扇形的圆心角为，即圆心角为，可得， 将代入上式，可得，解得，则 所以扇形的面积为. 7. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质化简已知等式，得到的关系，再结合基本不等式求解目标式的最值. 【详解】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 8. 为打破美国芯片“卡脖子”问题，某企业研发的A，B两种芯片取得了成功，前期研发投入3亿元．现准备投入生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足；生产的B芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足．对于B芯片，投入1亿元时，毛利润为1亿元；投入4亿元时，毛利润为2亿元．现在企业计划投入30亿元生产A，B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润+B芯片的毛利润-研发投入资金．若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为（ ） A. 12亿元 B. 15亿元 C. 18亿元 D. 23.75亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据芯片投入资金与毛利润的对应关系求解的函数解析式，再设投入芯片的资金为亿元，建立纯利润关于的函数表达式，通过换元法转化为二次函数求最值，即可得到对应投入芯片的资金额. 【详解】∵ 生产芯片的毛利润与投入资金满足， 且投入亿元时毛利润为亿元，投入4亿元时，毛利润为2亿元. ∴ 代入可得，解得，即. 设投入芯片的资金为亿元，其中，则投入芯片的资金为亿元. 由纯利润的定义得，. 令，，则，. 代入的表达式得：. 该二次函数开口向下，对称轴为，在的取值范围内. ∴ 当时，取得最大值，此时，. 即投入芯片的资金为23.75亿元时，企业获得的纯利润最大. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质即可判断选项A和B；利用幂函数在上单调递增，即可判断选项C；利用作差法比较大小，即可判断选项D. 【详解】对于A，当时，由，则，选项A错误； 对于B，由，则，又， 所以，因此，选项B正确； 对于C，由幂函数在上单调递增， 又，所以，选项C正确； 对于D，因为， 又，所以，所以， 即，所以，选项D正确. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则在上的投影向量为 D. 若，的夹角为钝角，则m的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】由模长公式可求出可判断A；由垂直向量的坐标表示求出，可判断B；由投影向量的定义可判断C；由，的夹角为钝角可得，可判断D. 【详解】对于A，若，则，， ，，故A错误； 对于B，若，则，解得：或，故B正确； 对于C，若，则，，， 在上的投影向量为：，故C正确； 对于D，若，的夹角为钝角，则， 则，解得：， 所以m的取值范围为，故D错误. 11. 已知非零实数a，b，c满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设，可得，可判断A；由，分别求出，，作差可判断B；由结合指数的运算性质可得可判断C；取特值可判断D. 【详解】设，因为a，b，c为非零实数， 则且，，，， 对于A，，， ， 若，则，故A正确； 对于B，若，则， ，，， 因为，故，， 故，即，故B正确. 对于C，，， 若，则，即， 又因为，故，即，得， 这与b为非零实数矛盾，故C错误； 对于D，设，则， 因为，，，， 所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为奇函数，则实数________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先利用奇函数定义域关于原点对称的性质求得的候选值，再代入验证满足奇函数的定义即可. 【详解】由，解得， 由于奇函数的定义域关于原点对称，因此两个间断点和互为相反数，即，解得， 当时，，定义域为， 而 ，满足奇函数的定义， 故实数的值为. 13. 若命题“，”为假命题，则实数a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】对进行分类讨论，讨论在的不同范围时，原命题是否为假命题，进而得出的值. 【详解】当时，不等式化为，解得，不等式有解， 则原命题为真命题，不满足题意， 令，（）， 由，得方程的根为，， 当时，二次函数开口向下， 不等式一定有解，则原命题为真命题，不满足题意， 当，且时，，二次函数开口向上， 则不等式一定有解， 故原命题为真命题，不满足题意， 当时，，不等式无解，则原命题为假命题，满足题意， 综上所述，实数a的值为. 14. 如图，已知直线，E，F分别为，上的点，，A为线段的中点，B为上的动点，作，交于点C．若，则周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形的边角关系结合勾股定理求解出BC，进而表示周长，再利用函数性质和基本不等式求解周长最小值. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 因为，设， 则，，; 因为是直角三角形，所以, 故的周长为：， 时，，当且仅当时取等号， 同时，且，即时取等号， 所以，时周长最小，的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1） ． （2）因为，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 16. 已知函数． （1）求的最小值和单调递增区间； （2）将的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，求的最小值及最小时在上的值域． 【答案】（1）的最小值为，单调递增区间为； （2）的最小值为，此时在上的值域为. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦型函数的值域以及单调区间代入计算，即可得到结果；（2）先由三角函数的平移变换可得函数的解析式，再由其对称性即可得到，再由正弦型函数的值域，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，的最小值为，此时，， 令， 解得， 所以单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意可得， 因为的图象关于直线对称，所以， 解得， 又，故时，的最小值为， 此时， 当时，， 则，故. 17. 已知实数，且，函数． （1）若，解不等式； （2）若关于x的方程有解，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，易判断函数为偶函数，利用偶函数性质转化为，再结合指数函数和对数函数单调性可得到在上单调递增，最后求解不等式即可； （2）先将方程化为，进一步将问题转化为关于x的方程有解，等价于，即，对进行和两种情况讨论，即可求出a的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 所以，即为偶函数， 所以可以转化为， 对于函数，当时，， 所以在上单调递增． 又，在上单调递增， 由函数单调性的定义，可得在上单调递增， 所以由，得，即， 解得，所以，或， 所以的解集为； 【小问2详解】 由，得， 所以，所以，所以， 因为，且，所以，所以， 于是，问题转化为关于x的方程有解，等价于，即， 当时，，所以时不符合题意； 当时，，所以时符合题意， 故a的取值范围为． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的最小值； （3）若，，，求整数的最大值． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导后解不等式和即可得出单调区间； （2）代入值，利用第（1）问的单调性直接求极值点得到最小值； （3）先利用（1）的结论求出关于的最小值，转化为关于的单变量不等式恒成立，再通过构造函数并利用导数（隐零点技巧）求出的最小值范围，从而确定整数 的最大值. 【小问1详解】 由题意知，函数的定义域为， 求导得，令，解得， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值. 所以的最小值为. 【小问3详解】 由题意，对任意，，恒成立， 由（1）知，对于给定的，的最小值为， 所以只需对任意恒成立，化简得对任意恒成立， 令，求导得， 令，则，所以在上单调递增， 因为，， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以的最小值为， 因为，，所以， 所以， 要使恒成立，只需， 又因为为整数，且，所以的最大值为. 19. 已知函数（）． （1）若0为的极值点，求a的值； （2）若，求在上的最值； （3）当时，证明：． 【答案】（1）. （2）在上的最大值为；最小值为. （3）要证，即证，即证,函数的定义域为， 构造函数（）， 求导得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，当且仅当取等号. 令，得：, 因为，所以, 构造函数, 求导得, 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以, 由于上述不等式链中，等号不能同时成立，理由如下： 若，则；此时，而，要取等号需； 若，此时，故第一个不等号 严格成立， 所以严格成立， 所以得证. 【解析】 【分析】（1）利用极值点导数为零建立方程求出，并利用导数符号变化验证其为极值点； （2）代入值后，判断导函数在给定区间上的符号，得出函数单调性，进而求得最值； （3）通过将不等式转化为证明，巧妙利用常见切线不等式和 进行放缩，并说明等号不能同时成立完成证明. 【小问1详解】 由题意知，函数的定义域为， 求导得， 因为为的极值点，所以，即，解得. 检验：当时，，设，， 故在 上单调递减， 又，所以当时，；当时，，此时为极大值点，符合题意. 所以的值为. 【小问2详解】 当时，，其定义域为， 求导得， 当时，，所以； 又，所以， 所以在区间上单调递减， 所以在上的最大值为； 最小值为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数（占35%左右）；导数，三角函数与三角恒等变换，平面向量（占65%左右）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 2. 已知平面向量，不共线，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 4. 已知角的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线是曲线的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知一圆心角为的扇形的周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 为打破美国芯片“卡脖子”问题，某企业研发的A，B两种芯片取得了成功，前期研发投入3亿元．现准备投入生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足；生产的B芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足．对于B芯片，投入1亿元时，毛利润为1亿元；投入4亿元时，毛利润为2亿元．现在企业计划投入30亿元生产A，B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润+B芯片的毛利润-研发投入资金．若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为（ ） A. 12亿元 B. 15亿元 C. 18亿元 D. 23.75亿元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则在上的投影向量为 D. 若，的夹角为钝角，则m的取值范围为 11. 已知非零实数a，b，c满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为奇函数，则实数________． 13. 若命题“，”为假命题，则实数a的值为______． 14. 如图，已知直线，E，F分别为，上的点，，A为线段的中点，B为上的动点，作，交于点C．若，则周长的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 16. 已知函数． （1）求的最小值和单调递增区间； （2）将的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，求的最小值及最小时在上的值域． 17. 已知实数，且，函数． （1）若，解不等式； （2）若关于x的方程有解，求a的取值范围． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的最小值； （3）若，，，求整数的最大值． 19. 已知函数（）． （1）若0为的极值点，求a的值； （2）若，求在上的最值； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $