精品解析：内蒙古赤峰二中2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试题

赤峰二中2024级高三第二次月考 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. “函数的图象关于原点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 13 5. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题 9. 在中，角的对边分别是，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 10. 已知平面向量，满足，且．设实数，，，则（ ） A. B. C. ，的夹角为钝角 D. 的最大值为2 11. 已知函数，点在函数的图象上，且，的最小值为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调递减区间是， C. 将的图象向右移动个单位长度后，所得到的图象关于轴对称 D. 若在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是 三、填空题 12. 已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则________． 13. 已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 14. 若不等式（）对任意的恒成立，则的最大值为 ______________________ 四、解答题 15. 已知中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）若，求的面积. 16. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间. （1）求d与时间t（单位：s）之间函数关系 （2）在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，画出在上的图象 17. 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同 （1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用表示摸出的4个球中白球的个数，求的分布列和数学期望： （2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球，计算在乙盒中摸出的是黑球的概率． 18. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 19. 已知函数，. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，是否存在，，使得，若存在，试比较与的大小关系；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰二中2024级高三第二次月考 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以. 3. “函数的图象关于原点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】函数的图象关于原点对称，函数为奇函数； 当时，，即，解得. 当为偶数时，令，则； 当为奇数时，令，则； 函数的图象关于原点对称时，不一定等于， 则“函数的图象关于原点对称”不能推出“”，充分性不成立. 当，则； ， 函数是奇函数，其图象关于原点对称； “”可以推出“函数的图象关于原点对称”，则必要性成立. 综上，“函数的图象关于原点对称”是“”的必要不充分条件. 4. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 13 【答案】B 【解析】 【详解】已知正实数满足，由于，，等式两边同时除以， 化简得， 通过“1”的代换得. 由于，因此，当且仅当即时等号成立. 将代入，解得，满足正实数条件， 因此的最小值为. 5. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式、两角和的正切公式、及余弦二倍角公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断. 【详解】 ， ， ， 由在的单调性可知：. 6. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据，得， 所以， 所以. 7. 下列函数中，是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的定义以及函数的单调性依次判断选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，由于， 所以函数为偶函数，不满足题意，故A不正确； 对于B，函数，由，得定义域为R， 而，则为奇函数， 令，由于在上单调递增， 所以在上单调递减， 根据复合函数单调性可得在上单调递减， 由于为奇函数，所以在上单调递减， 因为在上为连续函数，任取，都有 所以在上单调递减，故是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的，故B正确； 对于C，函数定义域为R，，即函数是奇函数， 又和是上的增函数，因此是增函数， 所以函数图像上任意两点的直线斜率均为正，故C不正确 对于D，函数的定义域为，，即函数是奇函数， 由于，所以不满足函数图像上任意两点的直线斜率均为负，故D选项错误. 8. 函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】求得，令，求得，得到在上单调递减，由且，得到存在唯一的，使得，得出的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【解答过程】函数，求导可得， 令，可得， 当时，. 当时，可得，在上单调递减， 又因为， 所以存在唯一的，使得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间且上存在极值， 所以的最大值为. 故选：B. 二、多选题 9. 在中，角的对边分别是，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由余弦定理得：，（负值舍掉），A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由正弦定理得：，C错误； 对于D，由余弦定理得：，，D正确. 10. 已知平面向量，满足，且．设实数，，，则（ ） A. B. C. ，的夹角为钝角 D. 的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断BCD. 【详解】对于A，，故正确； 对于B， 所以，即，故正确; 对于C， 因为，，故与夹角为锐角，不是钝角，故错误; 对于D，因为，开口向下，对称轴， 所以,故正确. 11. 已知函数，点在函数的图象上，且，的最小值为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调递减区间是， C. 将的图象向右移动个单位长度后，所得到的图象关于轴对称 D. 若在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用函数过点求，再由相邻最大值点的最小距离求周期和，得到函数解析式，结合余弦型函数的性质及函数图象的平移变换逐项分析判断即可. 【详解】选项A：将代入得，即，又，所以. 因为是函数的最大值，的最小值为， 所以最小正周期，则，A正确； 因此. 选项B：余弦函数的单调递减区间为， 令，则，解得，B正确； 选项C：向右平移个单位后得函数， 是奇函数，图象关于原点对称，不关于轴对称，C错误； 选项D：极值点满足，即. 时的极值点依次为，恰有3个极值点则，D错误. 三、填空题 12. 已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则________． 【答案】 【解析】 【详解】角终边过，P到坐标原点的距离为， 故，，， 又，，， 原式. 13. 已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 14. 若不等式（）对任意的恒成立，则的最大值为 ______________________ 【答案】## 【解析】 【分析】设，将问题转化为，利用导数求出且，再转化为，设，利用导数求出即可. 【详解】设，则对任意的恒成立， ，若，则，所以在单调递增， 当时，，不合题意； 所以，令得，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，所以， 设，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 所以，即的最大值为，此时. 四、解答题 15. 已知中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由代入即可求解； （2）由（1）结合正弦定理可得，再由面积公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理可得：，即， ； 【小问2详解】 由正弦定理可得：， 则， 解得 16. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间. （1）求d与时间t（单位：s）之间函数关系 （2）在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，画出在上的图象 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出的值，再利用特殊点求出，即可得函数的关系式； （2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象. 【小问1详解】 由题意， 所以，， 因为逆时针方向每分转2圈，所以, 因为时，，所以，即， 又，所以 ，所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数， 列表如下 x 0 1 0 0 描点连线，图象如图. 17. 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同 （1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用表示摸出的4个球中白球的个数，求的分布列和数学期望： （2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球，计算在乙盒中摸出的是黑球的概率． 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望； （2）。 【解析】 【分析】（1）先确定随机变量的所有可能取值，利用古典概型计算各取值对应的概率，列出分布列后计算数学期望； （2）构造样本空间的互斥划分，结合全概率公式计算从乙盒摸出黑球的概率. 【小问1详解】 依题意，随机变量的所有可能取值为，根据古典概型概率公式计算各取值概率： ，，，， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望； 【小问2详解】 设事件“从甲盒中摸出2个白球”，“从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”， “从甲盒中摸出2个黑球”，“从乙盒中摸出1个黑球”， 显然两两互斥，且（样本空间）， ，，， 条件概率：，，， 由全概率公式可得. 18. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）由（1）知，所以右焦点， 设过点的直线方程为（），交椭圆于， 将直线方程代入椭圆方程， 得，化简得， 由判别式，得 ， 根据韦达定理， 直线的斜率分别为， 因为， 所以， 分子为，所以为定值； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，结合求出即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）由（1）可知右焦点，设直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示交点的坐标关系，再计算斜率和，即可得证； （ii）三角形面积可以表示为，其中，利用韦达定理将用表示，通过换元求最值. 【小问1详解】 由离心率，得， 所以，即， 将点代入椭圆方程，得， 将代入上式，得 ， 从而， 所以椭圆 的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略； （ii）由于 在轴上，，直线过点，如图所示， 的面积为， ， 令，则，，， 由基本不等式，当且仅当（即）时取等号， 此时， 所以面积的最大值为. 19. 已知函数，. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，是否存在，，使得，若存在，试比较与的大小关系；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数确定单调性求出最大值. （2）等价变形不等式并构造函数，利用导数并按分段确定单调性，进而求出范围. （3）把代入，由（2）的信息确定的零点，再利用换元法确定函数的零点范围即可比较大小. 【小问1详解】 当时，函数，求导得， 当时，，函数在区间上单调递减， 所以在区间上的最大值为. 【小问2详解】 不等式，令， 求导得，令函数， 求导得， ①当时，， ，函数在区间上单调递减， 因此，即恒成立，符合题意； ②当时，，则，函数在区间上单调递减， 又，，因此存在唯一的，使得. 当时，，单调递增，则，不符合题意， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 存在且，理由如下， 一方面：由（2）知，求导得， 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，，因此存在唯一的，使得； 另一方面：当时，令， ， 令，，则， 求导得，显然， 因此存在唯一的，使得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，，则， 于是存在唯一的，使得， 此时，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $