专题01不等式的基本性质及一元一次不等式及其解法重难点题型专训（2个知识点+9大题型+自我检测）-2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题01 不等式的基本性质及一元一次不等式及其解法重难点题型专训（2个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、不等式的定义 1 题型二、不等式的性质 2 题型三、一元一次不等式的定义 3 题型四、不等式的解集 4 题型五、求一元一次不等式的解集 5 题型六、求一元一次不等式的整数解 6 题型七、在数轴上表示不等式的解集 7 题型八、求一元一次不等式解的最值 8 题型九、解|x|≥a型的不等式 9 第二部分·练提高题型 题型一、不等式变形问题 1 题型二、含参数不等式计算 2 题型三、一元一次不等式解的新定义运算 3 第三部分・自我检测 知识点01 不等式的有关概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个不等式所有解的全体。 解不等式：求不等式解集的过程 【即时训练】 1．（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的定义和等式的定义解答即可． 【详解】解：A. ＜0是不等式，故此选项不符合题意； B. 是等式，故此选项符合题意； C. 2x+3≥1是不等式，故此选项不符合题意； D.是不等式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数：______________； （2）与的积小于7：______________； （3），两数的平方和大于10：______________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】解：（1）的4倍与3的差是正数：， 故答案为：． （2）与的积小于7：， 故答案为：． （3），两数的平方和大于10：， 故答案为：． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （3）移项； 移项时不要忘记变号； （4）合并同类项； （5）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【即时训练】 1．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式 的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得. 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得：． 【基础题型一 不等式的定义】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，含有不等号的表达式是不等式．选项A含有“”，因此是不等式；其他选项不符合定义． 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的概念是解题的关键． 【详解】解：A、表达式中含有，是不等式，符合题意； B、是代数表达式，无不等号，不符合题意； C、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； D、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； 故选：A． 【例2】 （24-25八年级上·浙江衢州·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意写出的范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不超过的最大整数是， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）若不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案． 【详解】解：不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为______． 立即送出 送达 【答案】 【分析】此题考查了不等式的应用，根据题意正确列出不等式即可． 【详解】解：∵小明中午在订餐软件下单订餐，立即送出，在送达， ∴小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为， 故答案为； 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元； (2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积； (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题重点考查根据实际问题列不等关系 （1）根据题意直接列出不等式即可． （2）根据长方形以及正方形的面积列出不等式即可． （3）根据总座位数为，以及有一些人没有座位即人数大于座位上列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： （2）解：根据题意可知： （3）解：根据题意可知： 【基础题型二 不等式的性质】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若实数、满足，则下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用不等式基本性质及举反例法判断各选项． 【详解】解：∵， ∴两边同乘，得，故A错误； 两边同乘，得，故C错误； ∵， ∴两边同减，得，故B正确； 取，，满足，此时，，即，故D错误． 【例2】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）小明在写解不等式的过程时，写下了：“将变形为”小明这一步骤改变不等号方向的依据是_______． 【答案】不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【分析】根据不等式变形过程，判断系数正负，即可确定不等号变向的依据． 【详解】解：对系数化为1时，不等式两边同时除以，为负数，因此需要改变不等号方向， 该步骤的依据是不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，A错误． ，B错误． ，C正确． ，D错误． 2．（2026·重庆·模拟预测）已知m为正整数，若，则________． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，再推导的取值范围，结合已知条件和为正整数，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ，为正整数， ． 3．（25-26七年级下·江苏南京·期末）证明：如果，，那么． (1)请补全小明的证明过程； (2)再用一种不同的方法证明． 【答案】(1)； (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）根据不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 【基础题型三 一元一次不等式的定义】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列式子是一元一次不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式，逐一判断选项即可． 【详解】根据一元一次不等式的定义判断： 选项A、 中没有未知数，不符合定义，A错误； 选项B、 中未知数的最高次数为2，不符合定义， B错误； 选项C、 只含有1个未知数，且的次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义， C正确； 选项D、 中含有2个未知数，不符合定义，D错误． 【例2】（2026七年级下·全国·专题练习）若是关于x的一元一次不等式，则________． 【答案】4 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：． 故答案为：． 1．（2025·浙江·模拟预测）已知关于的不等式的所有解都小于．若是整数，但不是正数，则满足条件的的值为（　　） A．， B．，， C．，，， D．，，，， 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，和一元一次不等式的解，熟练根据题意将“所有解都小于”转化为不等式是解题的关键．先解不等式得，由所有解都小于，得，求解并结合是整数，但不是正数，即可得． 【详解】解：解不等式， 得：， ∵所有解都小于， ∴， ∴， ∵是整数，但不是正数， ∴，且是整数， ∴满足条件的的值为，，，， 故选：C． 2．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）若是关于x的一元一次不等式，则n的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明． 【答案】 ∵当系数等于0时，不等式中x无论取何值，不等式的解集均为全体实数或无解， 此时不等式中不含有未知数，  例如：若不等式为：，当x的系数时，此时，不等式变为，无论x取何值，此不等式均不成立． 【分析】根据一元一次不等式的定义举例说明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的是一元一次不等式应具备系数不为条件，因为系数为时，不等式的解集均为全体实数或无解，此时不等式中不含有未知数． 【基础题型四 不等式的解集】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）以下各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 不等式的解为所有小于的数， 又∵ ， ∴ 是该不等式的解． 【例2】（25-26七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·北京·期末）若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解． 【详解】解：由不等式，得， 都能使不等式成立， 当，即时，则都能使恒成立； 当时，不等式的解集为，不符合题意， ，即， 不等式的解集为， 都能使不等式成立， ， 解得：， ∴此时 综上，实数m的取值范围是， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）在，，，0，1，3中，是不等式的解的有__________，是不等式的解的有__________． 【答案】 ，0，1，3 ，，，0，1 【详解】分别代入即可， 故答案为：，0，1，3     ，，，0，1 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各数中，哪些是不等式的解？哪些不是？ ，，，，，，，． 【答案】是不等式的解，不是不等式的解 【分析】将每个数代入不等式，能使得不等式成立的数就是不等式的解． 【详解】解：当时，，故不是不等式的解， 当时，，故不是不等式的解， 当时，，故不是不等式的解， 当时，，故不是不等式的解， 当时，，故不是不等式的解， 当时，，故不是不等式的解， 当时，，故不是不等式的解， 当时，，故是不等式的解， 当时，，故是不等式的解， 当时，，故是不等式的解． 【基础题型五 求一元一次不等式的解集】 【例1】（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）关于的不等式的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，再根据已知解集列一元一次方程，即可求解的值． 【详解】解：， 去分母，两边同乘得：， 去括号得：， 移项整理得：， 两边同乘，不等号方向改变，得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 【例2】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）关于的方程的解是负数，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解出方程用参数表示，再根据解为负数列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 移项得， 系数化为得， 方程的解是负数， ， 解得：． 1．（25-26七年级下·山东滨州·期末）若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，根据题意第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，得到两个解集端点的大小关系，列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式得． 解不等式得． ∵所有满足的都满足， ∴， 解得：． 2．（25-26七年级下·河北保定·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行一次就停止，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据程序流程图表示出第一次操作的结果，由题意“恰好进行一次就停止”可知第一次操作的结果大于190，据此列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，第一次操作的结果为：， ∵操作恰好进行一次就停止， ∴， 解得：． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】； 【详解】解：去分母，得，     移项、合并同类项，得，     系数化为1，得， ∴不等式的解集为．     【基础题型六 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 因为小于的最大整数是， 所以不等式的最大整数解是． 【例2】 （25-26七年级下·甘肃天水·期中）对于x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，则满足的x的整数解是________． 【答案】9 【分析】根据题意列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴x的整数解是9． 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要考查取整函数，利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于100的正整数中6的倍数的个数． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的负整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解不等式得到解集，再找出负整数解，代入方程求解a． 【详解】解：解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴负整数解为， 将代入方程， 得，即， 解得． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解不大于0，求满足条件的正整数m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，以及解一元一次不等式，掌握相关解法和步骤是解题关键．先解一元一次方程得到，再根据解不大于0，得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：， 移项得， 解得． ∵方程的解不大于0，即， ∴，解得． ∴正整数m的取值为． 【基础题型七 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（25-26七年级下·北京房山·期末）不等式的解集在数轴上表示如图所示，该不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：数轴上的折线从4开始向右延伸，且在4处是实心圆点， 则该不等式的解集为：． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·阶段检测）已知不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．根据数轴可得不等式的解集为，则． 【详解】解：由数轴可知不等式的解集为：， ∴， 故答案为：2． 1．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个非负整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据数轴确定不等式的解集，再根据不等式有3个非负整数解，确定该不等式的非负整数解，从而确定的取值范围． 【详解】解：由数轴可得该不等式的解集为， ∵该不等式恰好有3个非负整数解， ∴该不等式的非负整数解为0，1，2， ∴． 2．（2025·广东·二模）进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为________． 【答案】 【分析】本题通过数轴来表示胸外心脏按压速度（单位：次 ）的取值范围，需要我们根据数轴上的信息准确确定的取值范围．本题考查数轴与不等式的关系这一知识点．解题关键在于准确理解数轴上实心点（表示包含该点对应数值）和空心点（表示不包含该点对应数值）的含义，通过观察数轴端点情况来确定变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 【答案】；数轴见解析；正整数解为：1，2，3，4． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得， 这个不等式的正整数解为：1，2，3，4． 【基础题型八 求一元一次不等式解的最值】 【例1】 （25-26七年级下·福建福州·期末）已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【答案】B 【分析】先根据已知等式将b，c用含a的代数式表示，再代入不等式求出a的取值范围，最后将所求整理为关于a的一次式，结合a的范围计算最大值即可． 【详解】解：，， ，， ， ∴，解得， ， ， ， 即的最大值为41． 【例2】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段检测）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2026·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 【基础题型九 解|x|≥a型的不等式】 【例1】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段检测）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为， 无解， ， 故选：D． 【例2】（2026八年级上·四川·专题练习）如果｜x｜＞3，那么x的范围是___________ 【答案】或 【分析】首先算出|x|=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ． 【详解】解：由绝对值的意义可得： x=3或x=-3时，|x|=3， ∴根据“大于取两边”即可得到｜x｜＞3的解集为：x>3或 x<−3（如图）， 故答案为：x>3或 x<−3．　　 【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴能使不等式成立的为①；④5． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知（是整数），则的值是_____． 【答案】或或或0或1或2或3 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，解不等式可得，再根据x是整数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x是整数， ∴x的值是或或或0或1或2或3， 故答案为：或或或0或1或2或3． 3．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据绝对值几何意义：表示数轴上数对应的点到原点0的距离；即点到原点距离大于2，数轴上原点左侧小于-2、右侧大于2的区域满足条件． （2）表示数轴上点到定点的距离；距离小于等于，则在往左个单位、往右个单位之间，转化为不含绝对值的一次不等式组求解． （3）根据不同取值分情况解得不等式解集． 【详解】（1）解：由绝对值定义，等价于或， 解集为或． （2）解：根据绝对值不等式规律：，， ， 三边同时加： ， ， 不等式解集为． （3）解：当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 不等式的解集为或． 【提高题型一 不等式变形问题】 【例1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）若，下列变形错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴，，，， ∴四个选项中，只有D选项中的式子变形错误，符合题意． 【例2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）把不等式变形得到，其依据是不等式的性质_______，即不等式的两边都_______，不等号的方向_______． 【答案】 1 减去2 不变 【分析】本题主要考查了不等式性质， 根据不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，据此解答即可． 【详解】解：不等式变形得到，即， 其依据是不等式的性质1，即不等式的两边都减去2，不等号的方向不变． 故答案为：，减去2，不变． 1．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，不等式的两边同时加上，不等号方向不变，得到， (2)，不等式的两边同时加上2，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； (3)，不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； (4)，不等式的两边同时减去，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘2，不等号方向不变，得到． 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可； （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)，，若，求，的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为任意实数，的取值范围为 【分析】本题考查整式的加减，不等式的基本性质，解题的关键是正确理解“求差法”． （1）求差、变形，结合已知条件确定差的符号，即可完成比较大小； （2）整体代入，进行整式加减运算，解不等式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的取值范围为任意实数，的取值范围为． 3．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为，所以． 当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴． 【分析】（1）根据材料的方法求解即可； （2）根据整式的乘法分别表示出，，计算，根据材料的方法判断的正负性，即可解答． 【详解】（1）解：， 因为，所以． 当时，， 所以A的最小值为． （2）略 【提高题型二 含参数不等式计算】 【例1】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）已知实数x、y、m满足，且对于任意满足条件的，均为负数，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将用含的式子表达出来，再结合为负数的条件列出不等式分析求解． 【详解】解：由，得， 由二次根式有意义的条件，得，即． 为负数， ，代入的表达式得， 移项得， 需要找到的最大值． 设，， 在时随的增加而增加， 在时随的增加而减少， 又在时也随的增加而减少， 在时随的增加而减少， 当时，取得最大值， ． 【例2】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式两边除以后不等号方向改变，可得为负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵不等式两边同时除以，不等号方向改变，得到， ∴， 解得． 1．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）先化简，再求值：，其中是满足不等式的正整数解． 【答案】化简结果为，原式的值为 【详解】解： ， 解不等式得，其正整数解为， ∵， ∴， ∴原式． 2．（25-26七年级下·河南漯河·期末）阅读理解题 【阅读材料】把形如（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“关联一次方程”．当时，中的值就称为“关联一次方程”的“和谐值”．例如：当时，“关联一次方程”化为，其“和谐值”为． 【解决问题】 (1)“关联一次方程”的“和谐值”是________． (2)已知“关联一次方程”的“和谐值”满足不等式，求的取值范围． (3)若“关联一次方程”的“和谐值”为，且关于的不等式的解集为．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知得到式子，求出x即可； （2）由已知可得，解不等式得，则，据此求解即可； （3）根据题意得到方程组，据此求解即可． 【详解】（1）解：“关联一次方程”化为， 解得； ∴“和谐值”为； （2）解：当时，方程化为，则， 解不等式得， ∴， 解得； （3）解：当时，方程化为， ∵和谐值为， ①， 解不等式得， ∵解集为得②， 联立①②得方程组， ①②得， ， 的值为 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法． 解：  又，， 又，．① 同理，得② 由，得． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，求的取值范围； (2)已知，，若，求的取值范围（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干方法，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加得到的取值范围； （2）仿照题干方法，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加得到的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 又， ①， 同理，得②， 由得， ； （2）解：， ， 又， ， ， 又， ①， 同理，得②， 由得， 整理得． 【提高题型三 一元一次不等式解的新定义运算】 【例1】（25-26七年级下·广西·阶段检测）定义新运算：对于任意实数，都有，如：，那么不等式的正整数解的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义列出关于的一元一次不等式，解不等式可得． 【详解】解：根据题意，原不等式转化为：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为，得：， 正整数解有个，为，，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【例2】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据新定义可得不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）定义新运算“”如下：当时，；当时，． (1)求的值； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义分情况列不等式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴当，即时，解得，； 当，即时，解得，； 综上所述，的取值范围是． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是或 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据的定义，可得，求解即可； （2）根据题意，分情况讨论，即时和时，分别求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：． （2）解：分情况讨论： ①当，即时， ， 解得：； ②当，即时， ， 解得：， 综上，的取值范围是或； 3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在不等式的专题拓展学习中，杨老师给出一个新定义：对于同一个未知数的两个不等式，如果它们的解集完全相同，则称这两个不等式为同解不等式．同解不等式在方程、函数、最值问题中有着广泛的作用，是连接等式与不等式的重要桥梁．根据定义，完成下列探究： (1)不等式与______同解不等式；（填“是”或者“不是”） (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，请求出a的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，请求出，的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或或 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义判断即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义列方程求解即可； （3）先分别求出两个不等式的解集，进而得到，的关系，根据，是正整数求解即可． 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∵两个不等式解集相同， ∴不等式与是同解不等式； （2）解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 解得； （3）解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 整理得． ，是正整数， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，结果为或或． 1．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段检测）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：A、不是不等式，故A选项不符合题意； B、不是不等式，故B选项不符合题意； C、是不等式，故C选项符合题意； D、不是不等式，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）下列变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项变形，即可找出错误项. 【详解】解：对于A，不等式两边同乘时，未确定的符号与取值，当时，不成立，故A变形错误. 对于B，，不等式两边同除以，不等号方向改变，，故B变形正确. 对于C，，不等式两边同时加，不等号方向不变，，故C变形正确. 对于D，，可得，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，，故D变形正确. 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是不等式的解，的值可以是（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，解不等式，熟练掌握不等式的解是解题的关键．先把代入不等式，得出关于的不等式，解之得到的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：是不等式的解， ， ． 故选：A． 4．（25-26七年级下·河南新乡·阶段检测）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元一次不等式，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解得：， ∴这个不等式的解集在数轴上表示为： 5．（24-25八年级上·重庆·期末）已知两个多项式，，下列结论正确的有（   ）个． ①若关于的代数式不含一次项，则； ②若，则； ③若，则或； ④若关于x的方程的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，负整数的概念．熟练掌握解方程的步骤与方法是解题关键． ①，代入多项式A，B，根据不含一次项，使一次项系数为0，解方程求解即可判断①； ②，先代入多项式A，B，化简，变形，即可判断②； ③，代入多项式A，B，列绝对值方程求解即可判断③； ④，代入多项式A，B，化简，根据方程解为负整数，求不等式的负整数解，即可判断④． 【详解】解：①∵，， 关于的代数式 不含一次项， ∴， ∴， ∴①不正确； ②若， 则， ∴， ∴②正确； ③若 ， 则或， ∴③正确； ④∵关于x的方程 的解为负整数， ∴， ∴， ∵a为非负整数， ∴符合条件的a有0、20，共2个， ∴④不正确 ∴正确的有②③，共2个． 故选：B． 6．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）的2倍与的差大于1，可列不等式：___________． 【答案】 【详解】解：根据题意，可列不等式为． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是____________． 【答案】21 【分析】分两种情况：当为偶数时，则，当为奇数时，则，解不等式求出对应情况中的取值范围，从而确定的最小值，比较即可得到答案． 【详解】解：当为偶数时，则， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为22； 当为奇数时，则， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为21； ∵， ∴输入的最小正整数是． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若不等式的解都能使不等式成立，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解． 【详解】解不等式，得， 都能使不等式成立， 当，即时，则都能使恒成立； 当时，不等式的解集为，不符合题意， ，即， 不等式的解集为， 都能使不等式成立， ， 解得， 综上，实数m的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键． 11．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知，当时，． (1)求k与b的数量关系； (2)当时，证明不等式成立． 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，      ． ， ．     ，， ，     ． 【分析】（1）把，代入，即可解答； （2）先将代入不等式的左边，得出，再根据，，得出，即可得证． 【详解】（1）解：当时，， ，     即． （2）略 12．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）定义一种运算※：，如． (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集与的解集相同，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据新定义运算列出不等式即可求解； （）分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同即可求解 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：解不等式得，， 由得，， ∴， ∵不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 13．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下面是小李同学求不等式解集并在数轴上表示解集的解答部分过程： 第一步：； 第二步：________； 第三步：； 第四步：； 第五步：________． (1)请将第二步、第五步补充完整． (2)在数轴上表示这个不等式的解集： 【答案】(1)， (2)解：如图所示，即为所作， 【详解】（1）解：第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：； 第五步：． （2）略 15．（2026七年级·全国·模拟预测）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【详解】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 不等式的基本性质及一元一次不等式及其解法重难点题型专训（2个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、不等式的定义 1 题型二、不等式的性质 2 题型三、一元一次不等式的定义 3 题型四、不等式的解集 4 题型五、求一元一次不等式的解集 5 题型六、求一元一次不等式的整数解 6 题型七、在数轴上表示不等式的解集 7 题型八、求一元一次不等式解的最值 8 题型九、解|x|≥a型的不等式 9 第二部分·练提高题型 题型一、不等式变形问题 1 题型二、含参数不等式计算 2 题型三、一元一次不等式解的新定义运算 3 第三部分・自我检测 知识点01 不等式的有关概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个不等式所有解的全体。 解不等式：求不等式解集的过程 【即时训练】 1．（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数：______________； （2）与的积小于7：______________； （3），两数的平方和大于10：______________． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （3）移项； 移项时不要忘记变号； （4）合并同类项； （5）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【即时训练】 1．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式 的解集是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【基础题型一 不等式的定义】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级上·浙江衢州·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）若不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为______． 立即送出 送达 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元； (2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积； (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 【基础题型二 不等式的性质】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若实数、满足，则下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）小明在写解不等式的过程时，写下了：“将变形为”小明这一步骤改变不等号方向的依据是_______． 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B．2 C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）已知m为正整数，若，则________． 3．（25-26七年级下·江苏南京·期末）证明：如果，，那么． (1)请补全小明的证明过程； (2)再用一种不同的方法证明． 【基础题型三 一元一次不等式的定义】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列式子是一元一次不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（2026七年级下·全国·专题练习）若是关于x的一元一次不等式，则________． 1．（2025·浙江·模拟预测）已知关于的不等式的所有解都小于．若是整数，但不是正数，则满足条件的的值为（　　） A．， B．，， C．，，， D．，，，， 2．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）若是关于x的一元一次不等式，则n的值为______． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明． 【基础题型四 不等式的解集】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）以下各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 1．（25-26七年级下·北京·期末）若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）在，，，0，1，3中，是不等式的解的有__________，是不等式的解的有__________． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各数中，哪些是不等式的解？哪些不是？ ，，，，，，，． 【基础题型五 求一元一次不等式的解集】 【例1】（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）关于的不等式的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）关于的方程的解是负数，则的取值范围是________． 1．（25-26七年级下·山东滨州·期末）若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北保定·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行一次就停止，那么的取值范围是_____． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式，并将解集表示在如图所示的数轴上．       【基础题型六 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26七年级下·甘肃天水·期中）对于x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，则满足的x的整数解是________． 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 2．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为________． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解不大于0，求满足条件的正整数m的值． 【基础题型七 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（25-26七年级下·北京房山·期末）不等式的解集在数轴上表示如图所示，该不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·阶段检测）已知不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为___________． 1．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个非负整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·二模）进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为________． 3．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 【基础题型八 求一元一次不等式解的最值】 【例1】 （25-26七年级下·福建福州·期末）已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【例2】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段检测）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 1．（2026·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 3．（25-26七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 【基础题型九 解|x|≥a型的不等式】 【例1】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段检测）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026八年级上·四川·专题练习）如果｜x｜＞3，那么x的范围是___________ 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知（是整数），则的值是_____． 3．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【提高题型一 不等式变形问题】 【例1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）若，下列变形错误的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）把不等式变形得到，其依据是不等式的性质_______，即不等式的两边都_______，不等号的方向_______． 1．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)，，若，求，的取值范围． 3．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为，所以． 当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由． 【提高题型二 含参数不等式计算】 【例1】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）已知实数x、y、m满足，且对于任意满足条件的，均为负数，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是______． 1．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）先化简，再求值：，其中是满足不等式的正整数解． 2．（25-26七年级下·河南漯河·期末）阅读理解题 【阅读材料】把形如（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“关联一次方程”．当时，中的值就称为“关联一次方程”的“和谐值”．例如：当时，“关联一次方程”化为，其“和谐值”为． 【解决问题】 (1)“关联一次方程”的“和谐值”是________． (2)已知“关联一次方程”的“和谐值”满足不等式，求的取值范围． (3)若“关联一次方程”的“和谐值”为，且关于的不等式的解集为．求的值． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法． 解：  又，， 又，．① 同理，得② 由，得． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，求的取值范围； (2)已知，，若，求的取值范围（结果用含的代数式表示）． 【提高题型三 一元一次不等式解的新定义运算】 【例1】（25-26七年级下·广西·阶段检测）定义新运算：对于任意实数，都有，如：，那么不等式的正整数解的个数是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的解集为_________． 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）定义新运算“”如下：当时，；当时，． (1)求的值； (2)若，求x的取值范围． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在不等式的专题拓展学习中，杨老师给出一个新定义：对于同一个未知数的两个不等式，如果它们的解集完全相同，则称这两个不等式为同解不等式．同解不等式在方程、函数、最值问题中有着广泛的作用，是连接等式与不等式的重要桥梁．根据定义，完成下列探究： (1)不等式与______同解不等式；（填“是”或者“不是”） (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，请求出a的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，请求出，的值． 1．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段检测）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）下列变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是不等式的解，的值可以是（   ） A． B．4 C．0 D． 4．（25-26七年级下·河南新乡·阶段检测）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）已知两个多项式，，下列结论正确的有（   ）个． ①若关于的代数式不含一次项，则； ②若，则； ③若，则或； ④若关于x的方程的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）的2倍与的差大于1，可列不等式：___________． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 8．（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是____________． 9．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若不等式的解都能使不等式成立，则实数m的取值范围是__________． 11．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知，当时，． (1)求k与b的数量关系； (2)当时，证明不等式成立．            12．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）定义一种运算※：，如． (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集与的解集相同，求a的值． 13．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下面是小李同学求不等式解集并在数轴上表示解集的解答部分过程： 第一步：； 第二步：________； 第三步：； 第四步：； 第五步：________． (1)请将第二步、第五步补充完整． (2)在数轴上表示这个不等式的解集： 15．（2026七年级·全国·模拟预测）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 学科网（北京）股份有限公司 $