专题02 等腰三角形的性质与判定重难点题型专训（3个知识点+13大题型+自我检测）-2026-2027学年浙教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

**基本信息** 以“性质-判定-特殊化”为逻辑主线，通过13类基础题型与4类提高题型系统构建等腰三角形解题方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个核心知识点+即时训练|性质判定互化、三线合一应用、等边三角形特殊性质|从定义到性质（等边对等角），再到判定（等角对等边），特殊化为等边三角形| |基础题型|13大题型（含作图、计算、证明）|分类讨论（边长/角度）、格点作图技巧、等角转化策略|覆盖概念辨析到简单应用，突出与全等、尺规作图的结合| |提高题型|4类动态问题（旋转/翻折等）|动态图形不变量分析、辅助线构造（截长补短）|从静态到动态，衔接中考高频压轴题型，培养空间观念|

专题02 等腰三角形的性质与判定重难点题型专训（3个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、等腰三角形的定义 1 题型二、作等腰三角形(尺规作图) 2 题型三、等边对等角 3 题型四、等边三角形的性质 4 题型五、三线合一 5 题型六、根据等角对等边证明等腰三角形 6 题型七、根据等角对等边证明边相等 7 题型八、根据等角对等边求边长 8 题型九、格点图中画等腰三角形 9 题型十、找出图中的等腰三角形 10 题型十一、等腰三角形的性质和判定 11 题型十二、等边三角形的判定 12 题型十三、等边三角形的判定和性质 13 第二部分·练提高题型 题型一、根据等边三角形的性质求角度 1 题型二、根据等边三角形的性质求长度 2 题型三、等腰三角形旋转问题 3 题型四、等腰三角形翻折问题 4 第三部分・自我检测 知识点01等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD. 在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”. 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）已知等腰三角形底角的度数为，则它的顶角度数为________． 知识点02 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，平分若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 知识点03 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． 【基础题型一 等腰三角形的定义】 【例1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【例2】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如果等腰三角形一边长为3，周长为13，那么此三角形的腰长为______． 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（   ） A．17 B．18.5 C．20 D．25 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知等腰三角形周长为25． (1)若一边长为9，则另两边长分别为 ． (2)若一边长为1，则另两边长分别为 ． 3．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【基础题型二 作等腰三角形（尺规作图）】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，线段，请利用圆规和无刻度直尺作等腰，，使得的面积为． 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，．请用尺规作图法，在四边形内求作一点E，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，． 求作：等腰，使得点，分别在，上，且底边上的高为． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）作图题 (1)如图（1），已知和线段a，请用尺规作一个等腰三角形，使它的一个内角等于，腰长等于a． (2)在（1）中，如果把变成图（2）中的，其他条件不变呢？ 【基础题型三 等边对等角】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图所示，，有以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例2】（26-27八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，则________． 1．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，是等腰三角形，已知，点在点的正西方向上，点在点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．北偏东方向上 D．东偏北方向上 2．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，则的度数为________． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点（点在点右侧），直线与直线相交于点，过点作于点，连接，，，，． (1)若，求的度数； (2)若的周长为24，求的长． 【基础题型四 等边三角形的性质】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 【例2】（25-26七年级下·山西太原·期末）请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 1．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边中，点，分别为边，上的点，在上取点，在上取点，使，，连结，并交于点．若，且四边形的周长比四边形的周长大7，则的长为_____________． 3．（25-26七年级下·四川成都·期末）按要求解答下列问题： (1)【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； (2)【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； (3)【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 【基础题型五 三线合一】 【例1】（26-27八年级上·福建福州·期中）如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【例2】（2026·山东临沂·模拟预测）如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 1．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 2．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，等腰面积为21，底边，点D，F分别是，的中点，交于H，点E是上一动点，则的周长的最小值为__________． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）在如图所示的三角测平架中，，在边的中点D处挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上．试问：此时是否正好处于水平位置？为什么？ 【基础题型六 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，，若某个直角三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【例2】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，若，则的长为________． 1．（2026八年级·全国·模拟预测）如下图，的三条高相交于点为角平分线，已知，则图中的等腰三角形共有（    ）． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠B＝58°，则∠1的度数是 ____． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如图①，是等边三角形，，分别交，于点，． (1)请补全证明过程． 证明：是等边三角形， ，． ， ， ， ， （ ）． 是等腰三角形． 又，是等边三角形． (2)如图②，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得．求证：是等边三角形． 【基础题型七 根据等角对等边证明边相等】 【例1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，已知：，，则①；②；③；④；⑤，上面结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，若，请你添加一个条件：__________，使． 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） 如图，已知，点、、、…在射线上，点、、、 A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，则的长度是__________ 3．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，点是的中点，且，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，已知． (1)求证：是等边三角形，请完成以下证明过程； 证明：点是的中点，________， 垂直平分， ________________， 又，， ________________， 是等边三角形． (2)判断线段与的大小关系，并说明理由． 【基础题型八 根据等角对等边求边长】 【例1】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，在正中，点分别在边上，且，与相交于．若，则___________，连接，若，且，则的长为___________． 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）爱思考的小明同学发现：当题目条件出现三角形的角平分线时，往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在中，是的角平分线，，，，求的长．小明同学的解决方法为：如图2，在边上截取，连接，可得，且是等腰三角形，由此即可得的长为10．试通过小明同学的方法解决问题：如图3，在中，是的角平分线，且，．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 3．（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【基础题型九 格点图中画等腰三角形】 【例1】（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有 _______个． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点，在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． (1)在图①中，以为腰作等腰三角形，使得点在格点上． (2)在图②中，以为底作等腰三角形，使得点在格点上． 【基础题型十 找出图中的等腰三角形】 【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级上·广东韶关·期末）如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有_____个 3．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【基础题型十一 等腰三角形的性质和判定】 【例1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在中，，现将沿着的方向平移到的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为______． 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，交于点；再以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，连接，，则下列说法不正确的是（   ） A． B．周长为10 C． D． 2．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，平分，过点作，垂足为点，为的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值是______． 3．（26-27八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【基础题型十二 等边三角形的判定】 【例1】（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上___________填上一个适当的条件． 1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是等腰三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均不对 D．甲、乙均对 2．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是___________． 3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【基础题型十三 等边三角形的判定和性质】 【例1】（2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从地运动到地，他们所走的路程分别记为．对于，它们之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，已知C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作等腰和等腰，使，，．连接，交于点G，连接，分别交，于点F，H．下列结论： ①； ②若C是的中点，则； ③若，则； ④若，则． 正确的是________．（填写序号） 3．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 【提高题型一 根据等边三角形的性质求角度】 【例1】（2026·河南南阳·三模）燃气进村入户是助推乡村振兴的惠民工程．为落实管道燃气“村村通”工程，管道从村沿北偏西方向铺设到村，如图，若，，三个村庄之间的直线距离两两相等，则管道从村铺设到村时，铺设方向应为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【例2】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，直尺的一边经过含（）的直角三角板的顶点，对边与三角板的和边分别交于点，，若，则的度数是______． 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在 中，，，垂足为 ． 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，． (1)求 的度数 (2)若 ，求 的长度 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，是等边三角形，以为一边作等腰三角形，使，且点在的左侧，设． (1)求作的对称轴； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，分别交，于点E，F． ①求的度数； ②求证：． 【提高题型二 根据等边三角形的性质求长度】 【例1】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，，，分别是，的垂直平分线，，则_____． 1．（26-27八年级·全国·阶段练习）如图，在中，，，、分别为、的中点，且，，点、在上，，求线段的长． 2．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题提出】 如图1，等边的边长为4，点P在边上，作于点E，Q为边延长线上一点，且，连接交于D，求的长． 小明同学经过思考后认为，过点P作的平行线可以使问题得到解决．请你根据小明同学的思路，求出的长． 【问题拓广】 如图2，等边边长为a，点P在边的延长线上，作的延长线于点E，Q为边上一点，且，连接交于D．求的长． 【提高题型三 等腰三角形旋转问题】 【例1】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点处，绕点任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点，（点与点不重合），连接，下列结论：①与有可能全等，②，③四边形的面积等于的面积的，④的周长等于的周长的．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，中，，；是一个足够大的等腰直角三形，，且可绕着点旋转，边、分别交线段于、两点；当 ______时，为等腰三角形？ 1．（25-26八年级上·山东威海·期末）在和中，，，，点是的中点，连接，． (1)如图Ⅰ，当点，分别在边，上时，线段和存在怎样的关系？直接写出结论：（不要求证明） (2)将图Ⅰ中的绕点逆时针方向旋转一定角度得到图Ⅱ，（1）中的结论是否成立？如果成立．请给予证明：如果不成立，写出新的关系及理由． 2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与实践 数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线和之间． 探究：（1）如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，直接写出的度数； 类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与EF所夹锐角为，求的度数； 迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，直接写出射线与所夹锐角的度数． 3．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图①，是线段上一点，与是等边三角形（三边相等，三个角都为的三角形）． (1)请你判断：与相等吗？并说明理由； (2)如图②，若绕点旋转一定角度，（1）中的结论还成立吗？ 【提高题型四 等腰三角形翻折问题】 【例1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图是折叠晾衣架的示意图，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏南京·期中）如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是_________平方厘米． 1．（2026·浙江舟山·二模）如图，四边形纸片，点在上，小明将纸片沿折叠，发现点与点重合；继续把纸片沿（点在上，点在上）折叠，使叠合在射线上，此时他发现恰好叠合在射线上． (1)求证：． (2)求证：． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 3．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，四边形是长方形（，；，），把沿对角线折叠，使点落在点处，与相交于点， (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，则的面积为 ．（不用写过程） 1．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如果等腰的一个内角为，那么底角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．（2026·山东威海·模拟预测）已知．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，是的中线，为边上一点，连接交于点．若，，，则的长度为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26八年级下·广西贵港·阶段检测）等腰三角形的周长是26，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为4，则等腰三角形的底边长是______． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为________ 8．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_________海里． 9．（25-26八年级下·福建三明·期末）将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，对应的刻度分别为，，则的周长为________． 10．（25-26八年级上·北京丰台·期末）右图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为，点均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标_______；满足条件的点一共有_______个． 11．（25-26七年级下·上海·期末）已知等腰三角形的顶角是，求一腰上的高与底边的夹角． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是边上的中点，． (1)求的度数； (2)求的度数． 13．（25-26八年级上·江苏南通·期末）按要求完成下列各题： (1)如图1，中，，求证：． (2)如图2，，此时成立吗？请说明你的理由． 14．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）解答以下问题 (1)【问题初探】 在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图1，点E在上，，连接，求的度数．智慧小组的同学经过研究得到的解题思路是：在上截取，连接，通过证明，就可以解答这个问题．请你按智慧小组的思路，在图1上画出辅助线并写出解题过程； (2)【类比分析】 如图2，点E在上， ，连接，请直接写出的度数． (3)【学以致用】是等边三角形，周长为6，面积为，点D在边上，，，连接，求周长的最小值． 15．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【阅读理解】 截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． (1)如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系，根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是_______________． (2)【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图2，在中，，，是内部一点，且，求证：． (3)【拓展提升】如图3，已知在中，，的平分线交于点．若，，则为_____________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等腰三角形的性质与判定重难点题型专训（3个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、等腰三角形的定义 1 题型二、作等腰三角形(尺规作图) 2 题型三、等边对等角 3 题型四、等边三角形的性质 4 题型五、三线合一 5 题型六、根据等角对等边证明等腰三角形 6 题型七、根据等角对等边证明边相等 7 题型八、根据等角对等边求边长 8 题型九、格点图中画等腰三角形 9 题型十、找出图中的等腰三角形 10 题型十一、等腰三角形的性质和判定 11 题型十二、等边三角形的判定 12 题型十三、等边三角形的判定和性质 13 第二部分·练提高题型 题型一、根据等边三角形的性质求角度 1 题型二、根据等边三角形的性质求长度 2 题型三、等腰三角形旋转问题 3 题型四、等腰三角形翻折问题 4 第三部分・自我检测 知识点01等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD. 在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”. 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形顶角为， ∴底角度数为． 2．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）已知等腰三角形底角的度数为，则它的顶角度数为________． 【答案】 【详解】解：该三角形是等腰三角形，底角度数为， 等腰三角形的两个底角相等，即两个底角和为， 又三角形内角和为， 顶角度数． 知识点02 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，平分若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，平分，得到是底边上的中线，继而得到的长度． 【详解】解：，平分， 是等腰底边上的中线， ． 2．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故答案为：等腰三角形的“三线合一”． 知识点03 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】证明出是等边三角形，得到，然后求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 2．（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． 【答案】5 【分析】由平移可得，，，然后证明为等边三角形，再求出四边形的各边长，再相加即可． 【详解】解：∵等边， ∴， 由平移可得，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∴四边形的周长为：． 【基础题型一 等腰三角形的定义】 【例1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题需分两种情况讨论，分别讨论为腰长和为底边长的情况，计算后根据三角形三边关系验证能否构成三角形即可． 【详解】解：分两种情况讨论：情况1：当为腰长时 ∵等腰三角形周长为 ∴底边长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为； 情况2：当为底边长时， ∵等腰三角形周长为 ∴腰长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为， 综上，腰长为或． 【例2】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如果等腰三角形一边长为3，周长为13，那么此三角形的腰长为______． 【答案】 【分析】由于条件未明确该边是腰还是底边，因此需要分情况讨论，再利用三角形三边关系验证能否构成三角形即可． 【详解】解：分两种情况： 当边长为腰长时，底边长为， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去； 当边长为底边长时，腰长为， 此时满足三角形三边关系，能构成三角形， 因此腰长为． 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（   ） A．17 B．18.5 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线、作垂线，全等三角形的判定与性质等知识；由作图知，平分，，则可证明有则则的周长等于从而求解. 【详解】解：由作图可知，平分，， 的周长等于 故选：C. 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知等腰三角形周长为25． (1)若一边长为9，则另两边长分别为 ． (2)若一边长为1，则另两边长分别为 ． 【答案】(1)，或， (2)， 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系计算即可得出结果； （2）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系计算即可得出结果． 【详解】（1）解：当腰长为时，底边长为，此时三边分别为，，，符合三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 综上所述，若一边长为9，则另两边长分别为，或，； （2）解：当腰长为1时，底边长为，此时三边分别为，，，不符合三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 综上所述，若一边长为1，则另两边长分别为，． 3．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； (2)，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，即． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，然后求解即可； （2）延长，分别交、于F、G，证明，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型二 作等腰三角形（尺规作图）】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，根据基本尺规作图，利用等角对等边和线段垂直平分线的性质、平行线的性质推理解答即可． 【详解】解：图①中，则，符合题意； 图②中，不符合题意； 图③中根据平行线和角平分线的作图可得，则，符合题意； 图④中作图为垂直平分线，可得，不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，线段，请利用圆规和无刻度直尺作等腰，，使得的面积为． 【答案】如图，即为所求． 【分析】由面积得边上的高为，先作线段的垂直平分线交于点，再截取即可． 【详解】解：设边上的高为， 的面积为． ，即， 解得， 故作线段的垂直平分线，并在垂直平分线上截取即可． 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，．请用尺规作图法，在四边形内求作一点E，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图所示，点为所求点． 【分析】根据可知，点在线段的垂直平分线上，所以作线段的垂直平分线；因为，所以点在以为直角边的等腰直角三角形的斜边上，作以为直角边的等腰直角三角形，该等腰直角三角形的斜边与线段的垂直平分线的交点即为所求点． 【详解】解：见答案 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，． 求作：等腰，使得点，分别在，上，且底边上的高为． 【答案】如图，即为所求； 【分析】先作的平分线，再在角平分线上截取，再过作角平分线的垂线，交于即可. 【详解】解：作图依据：由作图可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）作图题 (1)如图（1），已知和线段a，请用尺规作一个等腰三角形，使它的一个内角等于，腰长等于a． (2)在（1）中，如果把变成图（2）中的，其他条件不变呢？ 【答案】(1)和都是所求三角形 (2)是所求三角形 【分析】（1）这样的等腰三角形有两种情况：①锐角为等腰三角形底角时：作法：作，截取．以为圆心，为半径画弧交于点，连接，则即为以为底角，为腰的等腰三角形．②锐角为等腰三角形顶角时：作法：作，在角的两边上分别截取．连接，即为以为顶角，为腰的等腰三角形． （2）这样的等腰三角形只有一个，此时是等腰三角形的顶角．作法：作，分别截取．连接，即为以为顶角，为腰的等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型三 等边对等角】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图所示，，有以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】利用全等三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义以及等量代换推导即可． 【详解】解：， ，，，，故①正确； ，， ，，故②正确； 平分，故④正确； 无法判断出，故③错误； 综上所述，正确的有个． 【例2】（26-27八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，则________． 【答案】/度 【分析】设，，则有与，联立方程解方程组即可． 【详解】解：依题意，设，， ①， ②， 由得， ∴． 1．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，是等腰三角形，已知，点在点的正西方向上，点在点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．北偏东方向上 D．东偏北方向上 【答案】A 【分析】由，可得，则，可得，即可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在点的北偏东方向上． 2．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】三角形的内角和定理求出，等边对等角，结合平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点（点在点右侧），直线与直线相交于点，过点作于点，连接，，，，． (1)若，求的度数； (2)若的周长为24，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质可得，，进而可得，，根据三角形内角和定理确定，易得，进而求解即可； （2）首先根据垂直平分线的性质可得，，，结合“的周长为24”可得，进而可得，即，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵直线垂直平分，直线垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵直线垂直平分，直线垂直平分， ∴，，， ∵的周长为24， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【基础题型四 等边三角形的性质】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】证明以及所有的小等边三角形全等，进而解题． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ． 【例2】（25-26七年级下·山西太原·期末）请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 【答案】9 【分析】根据点是等边三角形内任意一点，且最终结果为确定值，求出当点为等边三角形的三条高线的交点时，的值即可. 【详解】解：由题意，当点为等边三角形的三条高线的交点时， 由三线合一可知：为等边三角形三边的中点， ∴， ∴的值为9. 1．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交于点，首先根据等边三角形的性质可得，结合平行线的性质确定，进而可得，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案． 【详解】解：如下图，设直线交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边中，点，分别为边，上的点，在上取点，在上取点，使，，连结，并交于点．若，且四边形的周长比四边形的周长大7，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练利用线段的和差是解题的关键． 证明，可得，根据图形可得，四边形的周长为，四边形的周长为，再利用线段的转换和线段的和差，最终可得，则可得的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， 根据图形可得，四边形的周长为，四边形的周长为， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·四川成都·期末）按要求解答下列问题： (1)【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； (2)【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； (3)【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 【答案】(1)证明：∵，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)证明：如图，在上截取，连接， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ∵是等边三角形， ∴， ，即， ． (3)； 【分析】（1）证即可得证； （2）在上截取，构造，从而证得，，再用线段的和与差即可证得； （3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明平分，即可得出点的运动轨迹，再利用面积法求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ， 是等边三角形， ，， ，且， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， 即， ， 平分， ∴如图所示，点E在的内角的角平分线上上运动． ∴点E的运动路程也就是的长度， 是等边三角形，是角平分线， ， ， ∵， ， 即点E的运动路程为． 【基础题型五 三线合一】 【例1】（26-27八年级上·福建福州·期中）如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质逐一判断． 【详解】解：， ，故A正确； ，是的中点， ，平分，故B、C正确； 与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意． 【例2】（2026·山东临沂·模拟预测）如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【答案】 【分析】首先根据在中，，于点，得到是的中线，进而得到，再利用不同的方式表示的面积，化简即可得到与的关系，最后进行求解得到答案． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，等腰面积为21，底边，点D，F分别是，的中点，交于H，点E是上一动点，则的周长的最小值为__________． 【答案】10 【分析】连接，，由等腰面积为21，底边，求出，根据点是的中点，，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，得出，根据当、E、F三点在同一直线上时，最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵F为的中点，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵等腰面积为21，底边， ∴， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵当、E、F三点在同一直线上时，最小， ∴此时最小，且最小值为， 即最小，最小值为， ∴的周长的最小值为10． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）在如图所示的三角测平架中，，在边的中点D处挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上．试问：此时是否正好处于水平位置？为什么？ 【答案】正好处于水平位置，理由如下： ∵在三角测平架中，，D是的中点， ∴（三线合一）， 又∵自然下垂，即与水平线垂直， ∴处于水平位置． 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：略 【基础题型六 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，，，若某个直角三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形，考虑以为腰的等腰三角形即可． 【详解】解：把分别沿边翻折，有两种等腰三角形，还有两种情况如下图所示； 左图中，则， ∴； 右图中，则， ∴． 综上，共有4种拼法； 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（2026八年级·全国·模拟预测）如下图，的三条高相交于点为角平分线，已知，则图中的等腰三角形共有（    ）． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质求角度，根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴，，， ∵，，，， ∴是等腰三角形， ∵，为角平分线， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，即共有8个等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线，三角形外角的性质．熟练掌握三角形内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线，三角形外角的性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠B＝58°，则∠1的度数是 ____． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，根据角的和差解答即可． 【详解】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEC， ∴AC=CD，∠CDE=∠BAC， ∵∠B=58°，∠ACB=90°， ∴∠BAC=32°， ∴∠CDE=32°， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠ADC=45°， ∴∠1=∠ADC-∠CDE=13°， 故答案为：13°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如图①，是等边三角形，，分别交，于点，． (1)请补全证明过程． 证明：是等边三角形， ，． ， ， ， ， （ ）． 是等腰三角形． 又，是等边三角形． (2)如图②，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得．求证：是等边三角形． 【答案】(1)，，等角对等边 (2) 证明：是等边三角形， ． 是的平分线，是的平分线， ，， ． 是的外角， ． ， 是等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的性质，外角定理，掌握等边三角形的角为，有一个角为的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． （1）利用平行线的同位角相等，结合等边三角形的角为，得到，从而由等角对等边得，再结合判定等边三角形； （2）利用等边三角形角平分线的性质求出和的度数，通过外角定理得，结合判定等边三角形． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴（等角对等边） ∴是等腰三角形 ∵ ∴是等边三角形 （2）略 【基础题型七 根据等角对等边证明边相等】 【例1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，已知：，，则①；②；③；④；⑤，上面结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角等知识，解题的关键是证明．先证明，即可证明①②⑤正确，由等边对等角得到则，可证明③正确，再证明，即可判断④正确． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，，故①②⑤正确；     ∴ ∴，故③正确； 又∵， ∴，故④正确； 综上可知，①②③④⑤都正确， 故选：D 【例2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，若，请你添加一个条件：__________，使． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据等角对等边可得，结合对顶角，若添加，可根据判定 ． 【详解】解：添加：， ， （等角对等边）， 在和中， ， 亦可添加或者等． 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） 如图，已知，点、、、…在射线上，点、、、 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．利用等边三角形的性质得到，结合可得，即有，利用同样的方法得到，，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的边长：， 同理可得， 的边长：， 的边长：， …， 可归纳得的边长， ∴的边长为． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，则的长度是__________ 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边，根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案． 【详解】解：作，， 由题意可得，如图所示， ，，， ， ， ， ， ， 点、在这把直尺上的刻度读数分别是、， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，点是的中点，且，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，已知． (1)求证：是等边三角形，请完成以下证明过程； 证明：点是的中点，________， 垂直平分， ________________， 又，， ________________， 是等边三角形． (2)判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2) 解：．理由： 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又是的中点， ， ． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可证得结论； （2）由等边三角形的性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由对顶角相等，结合已知可得，可得，即可得线段与的大小关系． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，等角对等边． 【基础题型八 根据等角对等边求边长】 【例1】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，根据等角对等边得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而求得的长． 【详解】解：连接，如图 ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 即点A，E之间的距离为4． 【例2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，在正中，点分别在边上，且，与相交于．若，则___________，连接，若，且，则的长为___________． 【答案】 /度 8 【分析】先根据等边三角形的性质证明，再结合三角形的外角性质求解的度数；在线段上取点，使得，连接，证明，然后导角证明即可． 【详解】解：①如图， ∵是正三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②在线段上取点，使得，连接， ∵，， ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）爱思考的小明同学发现：当题目条件出现三角形的角平分线时，往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在中，是的角平分线，，，，求的长．小明同学的解决方法为：如图2，在边上截取，连接，可得，且是等腰三角形，由此即可得的长为10．试通过小明同学的方法解决问题：如图3，在中，是的角平分线，且，．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在边上取点，使，连接，在边上取点，使，连接，再结合全等三角形的性质可得，进一步可得结论． 【详解】解： 如图，中，，， ，， 平分， ，， 在边上取点，使，连接， 在和中， ∴， ，， ， 在边上取点，使，连接， 同理可证， ，，， ， ， ， ， ∴的周长为． 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 3．（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 【基础题型九 格点图中画等腰三角形】 【例1】（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 【例2】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 【答案】8 【详解】解：如图，点，，，，，，，即为所求． ∴满足条件的点C的位置有8处． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，连接，，，，，，然后分五种情形判断可得结论． 【详解】解：连接，，，，，，如图， 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有 _______个． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、格点图中画等腰三角形，分情况讨论是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和判定，分三种情况讨论：当时；当时；当时．分别作出符合条件的图即可解答． 【详解】解：如图： 分情况讨论： 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为，，，． 综上所述：若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有8个． 故答案为：8． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点，在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． (1)在图①中，以为腰作等腰三角形，使得点在格点上． (2)在图②中，以为底作等腰三角形，使得点在格点上． 【答案】(1) 如图，即为所求（答案不唯一）． (2) 如图，即为所求． 【分析】（1）利用网格，取格点，使即可； （2）利用网格，取格点，使即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图、等腰三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 【基础题型十 找出图中的等腰三角形】 【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 2．（25-26八年级上·广东韶关·期末）如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有_____个 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，然后根据等腰三角形的判定可得结论． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即，， 则、、都是等腰三角形，有3个， 故答案为：3． 3．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【答案】(1)图中共有5个等腰三角形 (2)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． （2）略 【基础题型十一 等腰三角形的性质和判定】 【例1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，先根据已知条件可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，，进一步可得的面积． 【详解】解：延长交于点，如图， 平分，， ，， ， ， ， ， ，， ， 的面积为， 的面积为． 【例2】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在中，，现将沿着的方向平移到的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 10 【分析】根据平移的性质可知，，，，阴影部分的面积等于的面积减去的面积，利用等腰直角三角形的性质求出的长即可解答； 【详解】解：， 是等腰直角三角形，， 由平移的性质可知，，，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ． 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，交于点；再以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，连接，，则下列说法不正确的是（   ） A． B．周长为10 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，，即可判断AB正确；由等边对等角得出，，结合三角形内角和定理求出，即可判断D正确；根据已知条件无法说明，即可判断C错误． 【详解】解：由题意可得：，，，故A正确，不符合题意； ∴周长，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 根据已知条件无法说明，故C错误，符合题意． 2．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，平分，过点作，垂足为点，为的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值是______． 【答案】 【分析】延长交延长线于点，设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，由两个阴影部分面积之差为，当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交延长线于点，设交于点，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为． 3．（26-27八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1)证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：结论：是等腰三角形， 理由：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (3)4 【分析】（1）利用折叠性质得到，结合直角推导出一组夹角相等，再匹配两组对应边相等，用证明全等； （2）先由等腰直角三角形求出，借助第（1）问的全等转移角，然后通过三角形内角和计算，得到两角相等，判定等腰三角形； （3）倍长中线构造平行四边形，转化边与角的关系，然后证明是等腰三角形的角平分线，由三线合一得到垂直平分线，完成线段等量代换，最后利用（1）的全等，把转化成求出长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到，使得，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 【基础题型十二 等边三角形的判定】 【例1】（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，根据折叠得到，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴当时，为等边三角形；故A选项不符合题意； 当时，则：，为等边三角形；故B选项不符合题意； 当时，则， 故为等边三角形；故C选项不符合题意； 当时，无法得到为等边三角形；故D选项符合题意； 故选D． 【例2】（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上___________填上一个适当的条件． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的判定定理． 利用等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加，理由如下： ∵为等腰三角形，， ， ∴为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是等腰三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均不对 D．甲、乙均对 【答案】D 【分析】根据等边三角形或等腰三角形定义作答即可． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴甲、乙说法都正确． 2．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等边三角形的判定；三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：①当或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②当或或时， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：平分，，， ∴， ∴； (2) 解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由（）可知， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查了角平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由角平分线性质可得，然后通过等边对等角即可求证； （）由，，可得，所以，由（）可知，从而可得，则有，最后由等边三角形的判定方法即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型十三 等边三角形的判定和性质】 【例1】（2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从地运动到地，他们所走的路程分别记为．对于，它们之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为， ， 是等边三角形， 根据等边三角形的性质得，； 同理和是等边三角形， 设的边长为， 可得，， 根据等边三角形的性质得，； 丙路程中，延长与，交于点（如图）， ，两边同加得， ， ， ， ， 综上所述，． 【例2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 【答案】/88度 【分析】先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明为等边三角形，可得，，，从而得到为等边三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，已知C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作等腰和等腰，使，，．连接，交于点G，连接，分别交，于点F，H．下列结论： ①； ②若C是的中点，则； ③若，则； ④若，则． 正确的是________．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】证明可得，据此可判断①；若C是的中点，则，则可证明，进而可证明得到，据此可判断②；若，则，可证明，进而可证明是等边三角形，得到，据此可判断③；若，则，可证明，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即，故①正确； 若C是的中点，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； 若，则， ∴， ∵，， ∴，故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 3．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）略； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 【提高题型一 根据等边三角形的性质求角度】 【例1】（2026·河南南阳·三模）燃气进村入户是助推乡村振兴的惠民工程．为落实管道燃气“村村通”工程，管道从村沿北偏西方向铺设到村，如图，若，，三个村庄之间的直线距离两两相等，则管道从村铺设到村时，铺设方向应为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】连接，由等边三角形的判定与性质、平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，三个村庄之间的直线距离两两相等， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴管道从村铺设到村时，铺设方向应为北偏东． 【例2】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，直尺的一边经过含（）的直角三角板的顶点，对边与三角板的和边分别交于点，，若，则的度数是______． 【答案】 【分析】易得为等边三角形，根据平行线的性质，即可得出结果. 【详解】解：由题意，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴. 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在 中，，，垂足为 ． 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，． (1)求 的度数 (2)若 ，求 的长度 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，结合，得出，根据三角形内角和定理求得，进而求得； （2）先证明是等边三角形，得出，结合得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， （2）∵ ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，是等边三角形，以为一边作等腰三角形，使，且点在的左侧，设． (1)求作的对称轴； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，分别交，于点E，F． ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1) 如图1，射线就是所求作： (2)①； ②证明：如图2，在上截取，连接交于点， 由（2）得，              由（2）得， ∴在Rt中，         是等边三角形， ，             ， 即 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质． （1）作线段的垂直平分线交于点即可； （2）①由（1）得是的对称轴，求出，，根据即可求出答案；②在上截取，连接交于点，证明，则，再证明，根据即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）①如图2，由（1）得是的对称轴， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②略 【提高题型二 根据等边三角形的性质求长度】 【例1】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接，利用邻补角定义求出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 【例2】（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，，，分别是，的垂直平分线，，则_____． 【答案】4 【分析】连接，证明，从而证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 1．（26-27八年级·全国·阶段练习）如图，在中，，，、分别为、的中点，且，，点、在上，，求线段的长． 【答案】 【分析】连接、，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，同理求出，从而判断出，为等边三角形，再根据等边三角形三边都相等列式求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 为中点，， ， 为等腰三角形， ，， ， ， ， 同理可证：， 为等边三角形， ， ，， ， ， ． 2．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题提出】 如图1，等边的边长为4，点P在边上，作于点E，Q为边延长线上一点，且，连接交于D，求的长． 小明同学经过思考后认为，过点P作的平行线可以使问题得到解决．请你根据小明同学的思路，求出的长． 【问题拓广】 如图2，等边边长为a，点P在边的延长线上，作的延长线于点E，Q为边上一点，且，连接交于D．求的长． 【答案】【问题提出】2；【问题拓广】 【分析】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的综合，辅助线是解题关键． 【问题提出】过点P作交于点F，得出，，，证明为等边三角形，得出，再证明，证明，得出，进而可得出答案； 【问题拓广】过点P作交的延长线于点F，得出，，，证明为等边三角形，得出，再证明，证明，得出，进而可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点P作交于点F， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 又 ， ， 又，， ， ， ； （2）过点P作交的延长线于点F， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 又 ， ， 又，， ， ， ． 【提高题型三 等腰三角形旋转问题】 【例1】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点处，绕点任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点，（点与点不重合），连接，下列结论：①与有可能全等，②，③四边形的面积等于的面积的，④的周长等于的周长的．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，先证明，根据全等三角形的性质得到，，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：如图，连接，       ∵在等腰中，，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故②正确； ∴的周长 ∵的周长 ∵不一定相等， ∴的周长不一定等于的周长的一半，故④错误； ∵ ∴是直角三角形 ∵，点E，F与点A，B，C不重合 ∴ ∴当时， ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴， ∴，故③正确； 综上所述，其中正确的结论是①②③． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，中，，；是一个足够大的等腰直角三形，，且可绕着点旋转，边、分别交线段于、两点；当 ______时，为等腰三角形？ 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解决本题的关键是利用分类讨论思想解决问题．为等腰三角形可以分为，，三种情况讨论，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可求解． 【详解】解：，， ， 是等腰直角三角形，， ， 当时， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ； 综上所述：当为或或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 1．（25-26八年级上·山东威海·期末）在和中，，，，点是的中点，连接，． (1)如图Ⅰ，当点，分别在边，上时，线段和存在怎样的关系？直接写出结论：（不要求证明） (2)将图Ⅰ中的绕点逆时针方向旋转一定角度得到图Ⅱ，（1）中的结论是否成立？如果成立．请给予证明：如果不成立，写出新的关系及理由． 【答案】(1)， (2) （1）中的结论成立，证明如下： 如图所示，延长交于点H，设交于点O， ∵，， ∴； ∵点是的中点， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质及其判定定理，等腰直角三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）延长交于点H，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，，再导角证明，可得； （2）延长交于点H，设交于点O，证明是等腰直角三角形，得到；证明，得到，再导角证明，得到，则，． 【详解】（1）解：如图所示，延长交于点H， ∵，， ∴； ∵点是的中点， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴，； （2）略 2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与实践 数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线和之间． 探究：（1）如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，直接写出的度数； 类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与EF所夹锐角为，求的度数； 迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，直接写出射线与所夹锐角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【分析】1）根据平行线的性质可得，即可求解． （2）过点E作，得到，求出的度数即可求解． （3）根据题意分两种情况进行讨论，点E在上方和在下方两种情况求解即可． 本题考查平行线的性质和等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题关键． 【详解】解：∵， ， ， ； （2）过点E作，如图， ∴， ， ， ， ； （3）存在，有两种情况； ①当点E在上方时，如图； ∴， ， ， 射线与所夹锐角的度数为； ②当点E在下方时，如图； ， ， 即， ， 射线与所夹锐角， 综上所述射线与所夹锐角的度数为或． 3．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图①，是线段上一点，与是等边三角形（三边相等，三个角都为的三角形）． (1)请你判断：与相等吗？并说明理由； (2)如图②，若绕点旋转一定角度，（1）中的结论还成立吗？ 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）． (2)成立 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形三个角都是，三条边都相等得出，，，推得，根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据等边三角形三个角都是，三条边都相等得出，，，推得，根据全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：条件改变，结论仍然成立．理由如下： ∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）． 【提高题型四 等腰三角形翻折问题】 【例1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图是折叠晾衣架的示意图，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【例2】（25-26七年级上·江苏南京·期中）如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是_________平方厘米． 【答案】32 【分析】根据折叠易得，长，利用等腰直角三角形的性质求得的长度，的面积． 【详解】解：由折叠的性质知，第二个图中，， ∴， 第三个图中， ∴，则， ∴， ∴的面积(平方厘米)． 1．（2026·浙江舟山·二模）如图，四边形纸片，点在上，小明将纸片沿折叠，发现点与点重合；继续把纸片沿（点在上，点在上）折叠，使叠合在射线上，此时他发现恰好叠合在射线上． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质以及平行线的判定证明即可； （2）由第一次折叠可得，再由平行线的性质证明即可． 【详解】（1）证明：由第二次折叠可得，， ∴， ∴； （2）证明：由第一次折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【答案】(1) 证明：由折叠可知 ∵， ∴， ∴． (2) 解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在射线上． ③展平纸片，得到折痕． (3) 解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在的处，展平纸片，得到折痕． ③过点再次折叠纸片，使得点落在射线上．展平纸片，得到折痕即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，四边形是长方形（，；，），把沿对角线折叠，使点落在点处，与相交于点， (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，则的面积为 ．（不用写过程） 【答案】(1) 证明：由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， (2) 【分析】本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定及三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质与长方形的平行关系推导角相等是解题的关键． （1）利用折叠的性质得到角相等，结合长方形的平行关系推导角相等，进而得出边相等，证明等腰三角形； （2）结合长方形的边长与三角形的底、高，利用三角形面积公式计算． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵四边形是长方形， ∴点到的高等于的长度， ∴的面积：． 1．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如果等腰的一个内角为，那么底角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 分两种情况讨论：为顶角或为底角，分别计算底角． 【详解】解：∵ 等腰三角形两底角相等， 情况一：若为顶角， 则底角； 情况二：若为底角， 则底角为。 ∴ 底角为或， 故选：B． 2．（2026·山东威海·模拟预测）已知．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等三角形性质可得，由等腰三角形性质可求的度数，结合角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定； 连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接、， ∵点为角平分线交点， ∴和分别平分和， ∴， ∵将平移，使其顶点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即图中阴影部分的周长为． 故选：D ． 4．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，是的中线，为边上一点，连接交于点．若，，，则的长度为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，延长到点H，使得，连接，证明得到，再证明，得到，求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点H，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 6．（25-26八年级下·广西贵港·阶段检测）等腰三角形的周长是26，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为4，则等腰三角形的底边长是______． 【答案】6或 【分析】分两种情况画出图形，设，则，，根据题意列出方程，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图，，是边上的中线，即 设，则，， ①当时， ， ∴，， 此时三边长为10，10，6，符合三角形三边关系定理； ②当时， ， ∴，， 此时三边长为，，，符合三角形三边关系定理； 综上：等腰三角形的底边长是6或． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为________ 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①时，，则； ②当时，或； ③当时，，则， 综上：当是等腰三角形时，它的顶角的度数为或或． 8．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_________海里． 【答案】90 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键． 根据已知条件求得，，即可得到，即可得解． 【详解】由题可得：海里， 点在灯塔P的南偏东方向处，点位于灯塔P的北偏东处， ，， 是等腰三角形， 海里； 故答案是． 9．（25-26八年级下·福建三明·期末）将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，对应的刻度分别为，，则的周长为________． 【答案】21 【分析】根据题意得，，，，得出，进一步得出，结合得出，得到是等边三角形，得到，故可求出的周长． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点，对应的刻度分别为，， ∴ ∴， ∴的周长． 10．（25-26八年级上·北京丰台·期末）右图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为，点均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标_______；满足条件的点一共有_______个． 【答案】 （答案不唯一，符合题意即可） 8 【分析】分别以A，B为圆心，AB为半径作圆弧，寻找在圆弧上的格点即可． 【详解】①如图，以A为圆心，AB为半径作圆弧，符合题意的格点有5个； ②如图，以B为圆心，AB为半径作圆弧，符合题意的格点有3个； ③如图，在AB的垂直平分线上时，无符合题意的格点； 综上，符合题意的格点共有8个， 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；8． 【点睛】本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键． 11．（25-26七年级下·上海·期末）已知等腰三角形的顶角是，求一腰上的高与底边的夹角． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的定义和三角形内角和定理得出，由题意可知，最后再由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：根据题意如下图， ∵， ∴， ∵， ∴． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是边上的中点，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三线合一的性质求解即可； （2）先根据等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，然后根据三线合一的性质求解即可. 【详解】（1）解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，点D是边上的中点， ∴. 13．（25-26八年级上·江苏南通·期末）按要求完成下列各题： (1)如图1，中，，求证：． (2)如图2，，此时成立吗？请说明你的理由． 【答案】(1)见解析； (2)成立，见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的知识，合理作出辅助线证明三角形全等是关键， （1）延长至E，使，连接证明，结合题意得到，，由此即可求解； （2）延长至F，使，连接，证明，结合题意得到，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：延长至E，使，连接，如图1所示： ∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 延长至F，使，连接，如图2所示： ∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）解答以下问题 (1)【问题初探】 在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图1，点E在上，，连接，求的度数．智慧小组的同学经过研究得到的解题思路是：在上截取，连接，通过证明，就可以解答这个问题．请你按智慧小组的思路，在图1上画出辅助线并写出解题过程； (2)【类比分析】 如图2，点E在上， ，连接，请直接写出的度数． (3)【学以致用】是等边三角形，周长为6，面积为，点D在边上，，，连接，求周长的最小值． 【答案】(1)解：如图1，在上截取，连接， 又 ∵ ∴ ，即， ∴， ∴ ∵，点E在上， ∴， 又 ∵， ∴ ∴． (2) (3) 【分析】（1）在上截取，连接，根据线段的和差关系得出，再由等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理得出，进而求出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）在上取一点G，使，连接，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，进而求出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （3）根据题意得出的边长为2，的高为，在上截取，连接，同（1）可得出，，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则，周长，要使周长最小，则需要取最小值，当时，最小，此时，进而可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在上取一点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又 ∵， ∴ ∴． （3）解：∵是等边三角形，周长为6 ∴的边长为2，， ∵面积为， ∴的高， 在上截取，连接， 与（1）同理可证， ∴， 与（1）同理可证，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴周长， ∵是定值，要使周长最小，则需要取最小值， ∴当时，最小，此时， ∴周长的最小值为． 15．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【阅读理解】 截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． (1)如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系，根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是_______________． (2)【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图2，在中，，，是内部一点，且，求证：． (3)【拓展提升】如图3，已知在中，，的平分线交于点．若，，则为_____________． 【答案】(1) (2)证明：如图，在线段上取点，使得，连接， ∵， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，得出，，再证明是等腰直角三角形，得出，即可得证； （3）连接，在上取一点，使得，连接，由题意可得，，平分，证明，得出，，从而可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：延长到点使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）略； （3）解：如图，连接，在上取一点，使得，连接， ∵，的平分线交于点． ∴，，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $