专题04 勾股定理与逆定理重难点题型专训（3个知识点+15大题型+自我检测）-2026-2027学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦勾股定理及逆定理，通过3个核心知识点+15类基础题型+4类提高题型的层级设计，构建"概念-证明-应用"的完整逻辑链，强化几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题型|15大题型（含勾股树、折叠、网格等）|方程思想解折叠问题、面积法验证定理、构造直角三角形证平方关系|从勾股定理定义（知识点1）到多元应用（如无理数表示、实际问题），逐步渗透数形结合| |提高题型|4类综合题（含最值、动态几何）|对称法求最值、分类讨论解动态问题、综合运用勾股定理与逆定理|衔接中考难点，强化知识迁移与数学建模能力| |自我检测|3知识点即时训练|针对勾股数特征、定理证明方法的专项突破|覆盖易混点，巩固基础概念的理解与辨析|

专题04 勾股定理与逆定理重难点题型专训（3个知识点+15大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、用勾股定理解三角形 1 题型二、勾股树（数）问题 2 题型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 3 题型四、勾股定理与网格问题 4 题型五、勾股定理与折叠问题 5 题型六、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 6 题型七、利用勾股定理证明线段平方关系 7 题型八、勾股定理的证明方法 8 题型九、以弦图为背景的计算题 9 题型十、用勾股定理构造图形解决问题 10 题型十一、勾股定理与无理数 11 题型十二、判断三边能否构成直角三角形 12 题型十三、在网格中判断直角三角形 13 题型十四、利用勾股定理的逆定理求解 14 题型十五、勾股定理逆定理的实际应用 15 第二部分·练提高题型 题型一、利用勾股定理的逆定理求长度、角度、面积 1 题型二、利用勾股定理求长度 2 题型三、勾股定理中的面积问题 3 题型四、勾股定理中的最值问题 4 第三部分・自我检测 知识点01 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 2．（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴. 知识点02 勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“赵爽弦图”是： 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 知识点03 勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理可得，相邻两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，依次相加即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， 同理可得，， ∴． 2．（2026·四川泸州·二模）周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是______ ． 【答案】 【分析】根据题意可得，勾为为偶数且，根据所给的二组数找规律可得结论． 【详解】解：根据题意可得，勾为为偶数且，则另一条直角边，弦． 则弦为．， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键． 【基础题型一 用勾股定理解三角形】 【例1】（26-27八年级上·广西南宁·期中）已知一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8，则另一直角边的长是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：∵一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8， ∴另一直角边的长是． 【例2】（26-27八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 【答案】5 【分析】先根据勾股定理，求得，接着利用折叠可得，，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】解：， ∴， ∴由翻折得，，， ∴，，， ∴， v即， 解得． 1．（26-27八年级上·浙江·单元测试）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合轴对称性质求解即可． 【详解】解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点D．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】过D点作于E点，则，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：过D点作于E点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， 由作法得平分， 而，， ∴． 3．（24-25八年级下·广东湛江·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【答案】 【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 【基础题型二 勾股树（数）问题】 【例1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列各组数据是勾股数的是（     ） A．0.3  0.4  0.5 B．     C．9  16  25 D．12  16  20 【答案】D 【分析】先利用勾股数为正整数的要求排除非整数选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：A．各数为小数，均不是正整数，故不是勾股数； B．各数为分数，均不是正整数，故不是勾股数； C．，，，故不是勾股数； D．，，且12，16，20均为正整数，故是勾股数． 【例2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 1．（2026·河南平顶山·二模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题图可知，第1个图形有1个正方形， 第2个图形中共有个正方形， 第3个图形中共有个正方形， 第4个图形中共有个正方形， 第5个图形中共有个正方形， …… 第2026个图形中共有个正方形． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长是、、、，则最大正方形的边长是___________ 【答案】 【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为 ，由勾股定理得出，即可求得最大正方形的边长． 【详解】设中间左，右两个正方形的边长分别为 ，最大正方形的边长为 ， 则由勾股定理得：， ， ， 即最大正方形的边长是． 3．（2025·广东·模拟预测）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，， 证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）略 （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 【基础题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 【答案】A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的面积为． 【例2】（26-27八年级上·陕西西安·期中）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）图①是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图①按图②所示“嵌入”长方形中，则该长方形的面积为（    ） A．60 B．100 C．110 D．121 【答案】C 【分析】延长交于点O，延长交于点P，证，得，同理，得，再证明，即可解决问题． 【详解】解：延长交于点O，延长交于点P，如图2所示： 根据题意可得， 四边形是正方形， ， ， 又中，， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ，即， ， ， 长方形的面积为：． 2．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为______． 【答案】13 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理及正方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得阴影部分的面积为． 故答案为：13． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【答案】证明：如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、．先根据证明，则可得，进而可得，同理可得，进而可得，从而可得． 【详解】略 【点睛】本题主要考查利用割补法和面积法证明勾股定理，证明， 是解题的关键． 【基础题型四 勾股定理与网格问题】 【例1】（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，网格中小正方形的边长均为1，点都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，圆的半径性质.由题意可得，然后在中通过勾股定理求出，最后根据计算即可． 【详解】解：由图可知，网格小正方形边长为，则，，，， ∵以点为圆心，为半径画弧，交于点， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 即， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在网格中，且，，都在格点处，现要找一格点，使得平分，甲乙两位同学给出了各自的作法，则下列说法正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】C 【分析】图甲中可证明，则由三线合一定理可得平分；图乙中可证明，则，再由平行线的性质得到，则可证明，即平分． 【详解】解：如图甲所示， 设小方格的边长为1， ∴，， ∴， 由网格的特点可知， ∴平分； 如图乙所示， 同理可得，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； 综上所述，甲乙都对． 2．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，正方形网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．若，则点N应是图中的点______． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算出，的长度，再根据全等三角形的性质可知对应边相等，可得，，再分别计算点到点的距离以及与点的距离，即可确定点的位置． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为， 由勾股定理得，，， ， ，， ∵，，，， 又， 点应是图中的点． 3．（25-26八年级下·新疆巴州·期中）如图，在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，设每个小正方形的边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图1中，画一条线段的长度为； (2)在图2中，画一个直角三角形，使它的斜边为． 【答案】(1)解：线段即为所求作； (2)解：即为所求作； 【分析】（1）根据网格特点以及即可画出图形； （2）根据网格特点以及即可画出图形． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型五 勾股定理与折叠问题】 【例1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 【例2】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，货车高，卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，则弯折点与地面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即弯折点与地面的距离为． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点E、F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处．若，，则线段的长为______，的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 由折叠可得，，，再根据，得出，在中，根据勾股定理可得；设，则，根据勾股定理可得，即，求得，即可得出． 【详解】解：由折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得 ∴ ∴． 故答案为：，． 3．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）在中，是上的动点，点在的三边上移动． (1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． (2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． (3)如图3，当点在上，时，若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，运用勾股定理得，再结合等面积法列式计算，即可作答． （2）先根据勾股定理得，又因为将沿折叠，点恰好落在边上的点处，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）先过点作，且，根据，，证明，整理得，再运用证明，得出，在中，运用勾股定理列式分析，即可作答． 【详解】（1）解：如图1，连接． 是的中点， ． 由勾股定理，得， ， ． （2）解： 由题意，知 ， ． 设，则． 在中，， ， 解得， ． （3）证明：如图2，过点作，且， 连接，． ，， ． 又 ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ． 在中，， ． 【基础题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（2026·陕西西安·三模）如图，在中，边上的中线交于点O，则的面积为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可求出的面积，根据三角形中线的性质即可求出的面积. 【详解】解：， ， 在中，， 是边上的中线， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【例2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在和中，，点在上．若，，，则__________． 【答案】5 【分析】根据勾股定理解得BC的长，再由全等三角形的对应边相等解题． 【详解】解：由题意得，中， 故答案为：5． 【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，某公园内的一块草坪是长方形，已知，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近道．一个人从A到C走比直接走多走了（    ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 【答案】B 【分析】由勾股定理解得AC的长，再比较AC与从的大小． 【详解】解：在长方形中， 从A到C走比直接走多走4米， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了勾股定理三角形，全等的判定和性质，三角形三边关系，①过点作于点，根据平行线间的距离相等可得，得出，根据中，为斜边，为直角边，得出，即可判断①；②根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据三角形三边关系得出，即可得出，判断②；③证明，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，即可得出，判断③，④． 【详解】解：①过点作于点，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边，为直角边， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即，故③正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 3．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，． ①求的周长； ②，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①24；②24 【分析】（1）连接，，，根据垂直平分线的性质可知，，进而得到，可知点D在的垂直平分线上； （2）①根据垂直平分线的性质可知，，则，； ②根据等边对等角得到，，进而根据角的和差得到，即是直角三角形且为斜边，根据勾股定理可知，结合①可知，根据完全平方公式得到，则，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：①∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为24； ②由①知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形且为斜边， ∵， ∴， 由①知，的周长为24， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【基础题型七 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）在三角形中，，边上有2018个不同的点，，…，，记，则________. 【答案】2018 【分析】由题意知三角形是等腰三角形，所以过点A作BC边上的高AD也是中线，在和中，分别用勾股定理得出等式，两式相减，再利用BD、DC、、线段间关系求得，从而得出所求式子答案. 【详解】过点A作，交BC于D 由题意知，三角形是等腰三角形 为BC的中点，即 在和中，分别用勾股定理得 两式相减得 等式右边可化为 ，即 . 【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，以及等腰三角形的性质（三线合一）. 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，得，结合正方形的面积求解即可； 【详解】解：因为是的边上的高， 所以， 所以， 根据正方形的面积，得， 故． 故． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点 D 在 BM 上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为 E，F，连接 EM．则下列结论中： ①BF＝CE； ②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE＝2ME；④DE2＋DF2＝2DM2； ⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF＝：1； 正确的有_______．（只填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF=EM，可判断③，同时得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；再证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN=，DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE=EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，则有，从而判断⑤； 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴∠BCF+∠ACE=90°， ∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ACE=∠CBF， 又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC， ∴△BCF≌△CAE（AAS）， ∴BF=CE，故①正确； 由全等可得：AE=CF，BF=CE， ∴AE-CE=CF-CE=EF， 连接FM，CM， ∵点M是AB中点， ∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB， 在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM， ∴∠DBF=∠DCM， 又BM=CM，BF=CE， ∴△BFM≌△CEM（SAS）， ∴FM=EM，∠BMF=∠CME， ∵∠BMC=90°， ∴∠EMF=90°，即△EMF为等腰直角三角形， ∴EF=EM=AE-CE，故③错误，∠MEF=∠MFE=45°， ∵∠AEC=90°， ∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确， 设AE与CM交于点N，连接DN， ∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°， ∴△DFM≌△NEM（ASA）， ∴DF=EN，DM=MN， ∴△DMN为等腰直角三角形， ∴DN=DM，而∠DEA=90°， ∴DE2+DF2=DN2=2DM2，故④正确； ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠CAB=45°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°， ∵∠DEM=45°， ∴∠EMD=67.5°，即DE=EM， ∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE， ∴△ADE≌△ACE（ASA）， ∴DE=CE， ∵△MEF为等腰直角三角形， ∴EF=EM， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 3．（2026·河南信阳·模拟预测）中，，，．点为边的中点，为直线上一动点，连接过点作交直线于点．连接．          (1)如图，当点为边的中点时，请直接写出、、之间的数量关系________． (2)当点在延长线上时，依题意把图补全；写出此时、、之间的数量关系并证明． (3)当时，请直接写出线段的长度________． 【答案】(1) (2) 证明：如图，作于，于 由（1）易证得是中点，是中点， ， ， 通过角的互余关系易证得，再由， ， ， 不妨设， 则，， ， ， 即， 而， ， ，得证. (3)或 【分析】本题是三角形的综合题目，考查了中位线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理表示直角三角形的三边长并用勾股定理解方程.（1）通过中点关系得到都是中位线，即可证明，故可由勾股定理得；（2）关键是作于，于，证明，通过相似关系表示出等边的长度，根据得到一个恒等关系，再表示出的长度，即可证明；（3）关键是分两种情况讨论：在延长线上或在上，对应线段关系在（2）中已证得，列方程求解即可. 【详解】（1）解：由为边的中点，为边的中点，得， ， ，则是中点， ， （2）略 （3）点位置一共有两种情况， ①在延长线上，如第二问图所示， 则由，得， ； ②在上，如下图所示 此时仍然成立，按照比例关系设， ， 解得， . 综上所述，或. 【基础题型八 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是______．    【答案】 【分析】先由正方形A的边长得到正方形A的面积，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形A的边长为， ∴正方形A的面积为45， ∴，整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，熟记公式是关键． 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】C 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意； B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意； C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意； D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，不符合题意； 2．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为____________ 【答案】60 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证得和是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，通过证明得到，同理可得，得到，再计算、的长，最后由长方形的面积公式计算得出总面积，然后减去三个正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ∵， ∴， ，， 长方形的面积为， ∴空白部分的面积为：， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【答案】解：选图1 ， ， ， ； 或选图2 ， ， ， ； 或选图3 ， ， ， ， ． 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可． 【详解】略 【基础题型九 以弦图为背景的计算题】 【例1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是即可． 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． ∴“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积为； ∵，， 所以“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 同理：“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是4． 【例2】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·重庆江津·期末）在北京召开的第届国际数学家大会会标（图）以“赵爽弦图”为原型设计，图是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，是的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，可得， ，，求解，，如图，连接，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 如图，连接，过作于， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图1所示，数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，则长方形的面积为____________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和整体代入是解题的关键，设，由题可得，，，，再利用勾股定理得，则，解出的值，即可得到长方形的面积． 【详解】解：如图所示： 设，则， ∴，，， ∵， ∴由勾股定理得：，则， 解得：， ∴， ∴长方形的面积为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． 请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ； （4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴ ∴ （2）； （3）； （4） 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）根据，即可求解； （3）根据外延的部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可； （4）延长交于点，延长交于点，则四边形是正方形，设，根据勾股定理得到，求得，，根据矩形的面积公式列方程得到，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴ ∴ 故答案为：． （3）如图3，由题意知，外延的部分全等，且， ， ， 这个风车的外围周长是， 故答案为：； （4）如图，延长交于点，延长交于点， 则四边形是正方形， 设， ，， ， ， ，， 矩形的面积为 ， 解得：或， 或， 当时，， 当时，， ． 故答案为：． 【基础题型十 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时，②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间． 【详解】解：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时： 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时： ， 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ∵， ∴最快需要． 【例2】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 【答案】 10 【分析】本题考查利用轴对称确定最短路线问题，运用数形结合思想和利用勾股定理等几何知识直观求解代数问题是解题的关键．（1）由，，即可得到；（2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点，当点与重合时，值最小，根据勾股定理求出． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点， 当与重合时，式子取等号，值最小． ， ． 1．（25-26八年级下·四川德阳·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则有，由题意易得，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：设，则有， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 2．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，有一只摆钟，将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，则钟摆的长度为________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 设，根据题意及题中图形，得到相关边的长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得，，， 设， 则， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 即， ， 则钟摆的长度为， 故答案为：． 3．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 (1)如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； (2)如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 (3)n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 【答案】(1)，，结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2) (3)①，；② 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，从而得出，即可得出结论； （2）由图可得行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为，按斜线计数每线棋子分别为，，，，，，，，，，，，，由两种方法的棋子数相等得出答案； （3）根据画出图形探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，即可得出结论． 【详解】（1）解：由图形可得，， ∴， ∴， ∴， 结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）解：行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为， 按下图的斜线的棋子数相加得， ∴； （3）解：当，时，如图，； 当，时，； 个三角形，共条边，其中边形的每边都只使用一次，其他边各使用两次，故边形内部共有条线段； 边形内部有个点时，其内部共有条线段，共分成个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，故边形内部有个点时，其内部共有条线段； 由， 化简得． 【基础题型十一 勾股定理与无理数】 【例1】（25-26八年级下·重庆·期中）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若三角形三边长满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，否则不能构成直角三角形，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、两短边平方和为，最长边平方为，，不能构成直角三角形，符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D 、，能构成直角三角形，不符合题意． 【例2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在数轴上点表示的实数是__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴在数轴上点表示的实数是． 1．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运用勾股定理求得线段的长，再计算出此题结果即可． 【详解】解：由题意得，， ， 点表示的数为． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，由勾股定理可得，从而求出点坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2)如图，点表示的实数为． 构造直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，，则，， 由勾股定理得， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则， ∴点表示的实数为． 【分析】（1）根据勾股定理求出，得到，即可解答； （2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由作图，可知， ∵点与数轴原点重合， ∴点表示的实数是； （2）略 【基础题型十二 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·广东江门·期末）以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】解：A选项：， 不能构成直角三角形． B选项：， 能构成直角三角形． C选项：， 能构成直角三角形． D选项：， 能构成直角三角形． 【例2】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：， ， 由勾股定理逆定理得是直角三角形，， 设，由垂直平分线的性质知， ， 在直角三角形中， 由勾股定理得，即， 解得，即． 1．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由折叠的性质可得，，，则，因此的周长等同于，当、、三点共线时，取得最小值．设，则，由勾股定理的逆定理可得，从而得到，在中，使用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，即得，进而由可得，最后根据勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（26-27八年级上·四川达州·期中）【问题解决】 (1)如图1，在中，为的中线，若，，请求出的取值范围． 【思考探究】 (2)如图2，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，为中点，连结，，．请判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)若将图2中的等腰绕点转至图3的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，，则的面积为 ． 【答案】(1) (2)解：E为等腰直角三角形，理由如下： 延长至点，使得，连结，，如图， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，，，， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形； (3)28 【分析】（1）延长至点，使得，连结，结合中线利用证明，则，在中利用三边关系得到，求得即可； （2）延长至点，使得，连结，，由等腰直角三角形得，，，，结合中点利用证明，则和，再次利用证明，即有和，可证明为等腰直角三角形，进一步证明为等腰直角三角形； （3）延长至点，使得，连结，，，同理可证，则有，，，设，求得，利用证明，即有，，，得到为等腰直角三角形，利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，且，即可证明，且有，，三点共线，利用面积公式求得，结合中点得到． 【详解】（1）解：延长至点，使得，连结，如图， ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：延长至点，使得，连结，，，如图， ∵为中点， 同理即可证明， ∴，， 设， ∵ ， ∴， ∵等腰直角， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴为直角三角形，且， ∴，， ∴，且有，，三点共线， ∴， ∴， ∵为中点， ∴． 【点睛】解题的关键是灵活应用中线倍长方法和等腰三角形的性质． 【基础题型十三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 【例2】（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 【答案】 【分析】连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长都是1个单位长度，以格点为顶点作三角形，下列说法错误的是（    ） A．可以画出三边长都是整数的直角三角形 B．可以画出三边长都是无理数的等腰直角三角形 C．可以画出三边长都是有理数的等边三角形 D．可以画出一个面积是8的正方形 【答案】C 【分析】根据题意，画出图形进行解答即可． 【详解】解：A、可以画出三边长都是整数的直角三角形，如图，边长分别为3，4，5； B、可以画出三边长都是无理数的等腰直角三角形，如图，边长为、、 ； C、不可以画出三边长都是有理数的等边三角形； D、可以画出一个面积是8的正方形，边长为，如图， 2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在由边长为1的小正方形组成的“”的网格中，线段，的端点都在格点上，两线所夹锐角的度数为________． 【答案】/45度 【分析】本题考查了格点中的直角三角形的构造和勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题关键． 建立格点三角形，利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可解答． 【详解】解：如图所示： 平移到，连接， ∴， ∴， 有图可知：，，， ，， ∴且， ∴为等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． 3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)解：是直角三角形，理由如下； 由（1）得，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）可证明，则可得到是直角三角形． 【详解】（1）解：由题意得，， ， （2）略 【基础题型十四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A．9 B．13 C．14 D．18 【答案】A 【分析】连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理证明是直角三角形，，然后根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 ． 【例2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，从而利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和求解即可. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴. 1．（25-26八年级下·河北邢台·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 【答案】B 【分析】根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ . 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形． 【详解】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，， ∴ 又测得， ∴ ∵，即， ∴不再是直角，木门已变形． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 【详解】略 【基础题型十五 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（25-26八年级下·四川广安·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 【例2】（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两角互余的三角形是直角三角形 B．有一个角是直角的三角形是直角三角形 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为，根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：设相邻两个结的距离为m，则此三角形三边的长分别为 ， ∵， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故选：D. 2．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为_______． 【答案】/96平方米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．根据勾股定理，求得，根据勾股定理逆定理，可判定是直角三角形，． 【详解】解：连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 中，； ∵， ∴， ∴． 故答案为： 3．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 【答案】(1)解：∵，，， ∴，， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴从村庄到公路，是距离最近的路； (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可说明； （2）利用勾股定理运算出的长，再作比较即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴在中，， ∴． 【提高题型一 利用勾股定理的逆定理求长度、角度、面积】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在中，是的中线．若，，，则______． 【答案】 【分析】先通过勾股定理逆定理得出，又是的中线，则，然后通过三角形内角和定理，等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1) (2)这架无人机向下飞行的距离的长为米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，． （2）解：设米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米，米，                         在中，， ，                                 解得， 答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架cm，cm，两轮轮轴的距离cm（购物车车轮半径忽略不计），、、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求点到所在直线的距离． 【答案】(1)， 理由：，， (2)点到所在直线的距离为cm 【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求解； （2）过点作于，过点作延长线于，即可知是等腰直角三角形，进而根据等面积法可知的长度， 【详解】（1）略 （2）过点作于，过点作延长线于，则点到所在直线的距离为， 的长度为， ， ， ∴是等腰直角三角形 又的长度为， cm ，，， 即， 解得cm， cm， 即点到所在直线的距离为cm． 3．（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）解决问题 (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理； (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长为______千米．（只填空） 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； (2)24； (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 【提高题型二 利用勾股定理求长度】 【例1】（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由尺规作图可知，是的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，所以点到的距离等于，在中利用勾股定理求出长即可． 【详解】解：如图，过点作于， 由作图步骤可知，射线是的平分线， ∵， 即， 又， ∴． 在中，， 由勾股定理：， ∴，即点到的距离为． 【例2】（26-27八年级上·广东深圳·期中）翠园东晓中学旧改工程顺利完成．举行竣工典礼时，在高，长的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图所示，则地毯的长度至少需要________m． 【答案】 【分析】将台阶的竖直部分平移至左侧，水平部分平移至下方，可知地毯的总长度等于直角三角形两直角边之和；已知斜边和一条直角边，利用勾股定理求出另一条直角边即可求解； 【详解】解：设台阶水平方向的总长度为， 由图可知，台阶剖面构成一个直角三角形，其中斜边长为，一条直角边（高度）长为， 根据勾股定理得：， 台阶水平方向的总长度为， 地毯铺在台阶面上，其长度等于所有台阶竖直高度之和与水平宽度之和， 地毯的长度至少为． 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，，． (1)用圆规和直尺作出点，使点在边上，且与、两边距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明）． (2)若在（1）的条件下，设点到的距离为，求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）因为到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以要作的角平分线，角平分线与边的交点即为点P． （2）先根据勾股定理求出的长度；因为角平分线上的点到角两边距离相等，所以，可设长为x，再用割补法通过的面积即可求得x． 【详解】（1）作的角平分线，交于点，点即为所求，保留角平分线的作图痕迹即可，原理：角平分线上的点到角两边的距离相等，符合要求． （2）解：，，， ， 由作图知，BP平分，，， ， 设， ， ， ， ，     解得． ． 2．（26-27八年级上·广东惠州·期中）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：由题意知，（米）， ∵开始时的长度是的倍， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，（米）， ∴处的游船到岸边的距离为米． （2）解：由题意知，（米）， 在中，（米）， ∵（米）， ∴游船向岸边移动的距离为米． 3．（2026·山东日照·模拟预测）在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据勾股定理，得出，再根据等腰三角形三线合一的性质，结合直角三角形性质得出，再根据中点的性质，得出，再根据勾股定理，即可得出的长度； （2）过点作交于点，根据勾股定理，得出，证明，得到，，然后证明，得到，然后等量代换即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵点恰好为中点， ∴， ∴； （2）略 【提高题型三 勾股定理中的面积问题】 【例1】（2026·广东潮州·一模）如图是一块正方形草地，在边上取定一个点E，经测量知，．则这块草地的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即这块草地的面积是． 【例2】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 1．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末） 如图，在四边形中，，，，且． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可知，根据勾股定理的逆定理可证，再根据角之间的关系求出的度数； （2）根据即可求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， ，， ， 在中，， 在中， ，   ， ， ；     （2）解： ． 2．（25-26七年级下·山东济南·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据正方形的面积公式，以及勾股定理求解即可； （2）由题意得，正方形的面积是，正方形的面积是，两式相加得到，即可得解； （3）设，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （4）设的两直角边分别为，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的面积是， 正方形的面积是， 正方形的面积是， 故答案为：，，； （2）解：正方形的面积是，正方形的面积是， ， ， ， ， ， 正方形的面积是， 正方形的边长为； （3）解：设，，则， ， ， ， ； （4）解：设的两直角边分别为，， ，的周长为， ， 在中，，， ，即， ， 的面积为． 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 即； (2)24 (3)1.2千米 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 【提高题型四 勾股定理中的最值问题】 【例1】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，以为边作，，点与点A在的两侧，则下列结论中正确的是（   ） A．有最小值，也有最大值 B．没有最小值，也没有最大值 C．若，，则的最小值为8 D．若，，则的最大值为8 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由勾股定理可得，再证明可得，然后再根据三角形的三边关系确定的最大值即可解答． 【详解】解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 当A，D，E三点共线时，有最大值， 的最大值，故选项D正确． 故选D． 【例2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在长方体盒子中，已知，，，长为的细直木棒恰好从小孔处插入，木棒的一端与底面接触，且端点可以在长方形内及边界上任意运动．    （1）长度的最大值为_____； （2）长度的最小值为_____． 【答案】 5 / 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）最小时，最大，当I运动到点C时，最小，据此求解即可； （2）当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）当最小时，最大，当I运动到点C时，最小， 此时长度的最大值为， 故答案为：5； （2）当最大时，最小，当I运动到点A时，最大， 此时， 而， ∴， ∴长度的最小值为． 故答案为：． 1．（2026八年级上·浙江宁波·模拟预测）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 【答案】（1）13；（2） 【分析】本题考查了最短路线问题，解答时涉及列代数式，勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，准确构造出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）构造矩形，取的中点C，作于点C，，可推出的值最大，需的值最大，即当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为，由点C是的中点，，可得出D是的中点，即，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； 故答案为：13； （2）构造图形如下，矩形，点C是的中点，于点C，， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∴， 要使的值最大，需的值最大， ∴当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为， ∵点C是的中点，， ∴D是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【答案】(1) 验证：在图中，， 在图中， ∴， ∴． (2)； (3) 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）思维启迪： （1）如图1，等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，易证，则___________（用“”“”或“”填空）． 思维探索： （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，，，连接，，，． ①求证：； ②求的长． 应用拓展： （3）如图3，要测量池塘两岸相对的两点，之间的距离，已经测得，米，，，直接写出，两点之间的距离（结果保留根号）． （4）如图4，在四边形中，，，若，，则线段的最大值为___________． 【答案】 （1）；（2）①详见解析；②9；（3）米；（4） 【分析】（1）由等腰三角形的性质，结合判定，即可得证； （2）①由等腰三角形的性质，结合判定，即可得证； ②由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解； （3）过作，且使，连接、、、，由勾股定理得，由全等三角形的性质得，即可求解； （4）过作，且使，连接、，由勾股定理得，由可判定，由得当、、三点共线时，此时，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）①证明：， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， （）； ②， ， 和都是等腰直角三角形， ， ， ， ； （3）解：过作，且使，连接、、、， ， （米）， ， （米）， 同理可证：， 米， 故，两点之间的距离为米； （4）解：过作，且使，连接、， ， ， ， ，， ， ， （）， ， ， 当、、三点共线时，此时，取得最大值， ， 线段的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，能添加恰当的辅助线构建全等三角形，并能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 1．（25-26八年级下·广东江门·期末）如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得到的长，再结合点在数轴负半轴即可得出答案． 【详解】解：点表示的数是， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 以为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点， ， 点C在数轴负半轴， 点表示的数为． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在中，，，， 以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．（25-26八年级下·广西百色·期末）某长方形零件尺寸（单位：）如图，则两圆孔中心和之间的距离为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形标注的尺寸，利用减法求出直角三角形的两条直角边和的长度，再利用勾股定理计算斜边的长即可． 【详解】解：由图可知，在中， ，， 根据勾股定理得：． 4．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则AC的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据垂直平分线的性质，得，，结合，确定，根据勾股定理计算即可．本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键. 【详解】连接， 根据垂直平分线的性质，得，， ∵， ∴， ∴, 解得，负的舍去， 故选C. 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）《九章算术》记载：“今有开门去阃（读kŭn，门槛的意思）一尺，不合二寸．问门广几何？”题目大意是：如图，推开双门，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），双门间隙的距离为2寸，问门的宽度是多少？计算得的长是(   )    A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 【答案】C 【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设尺，过D作于E，    则． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为101寸． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．（25-26七年级上·全国·期中）下面各组数中，是勾股数的是_____（填序号）． （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查勾股数，判断各组数是否为正整数，并验证是否满足勾股定理即可． 【详解】（1）三个数均为正整数，且，该组数为勾股数； （2）三个数均为正整数，且，该组数为勾股数； （3）三个数均为正整数，但，该组数不是勾股数； （4）三个数不是正整数，该组数不是勾股数． 故答案为：（1）（2）． 7．（2026七年级下·广西·模拟预测）如图，在四边形中，，则的度数为 ___________，四边形的面积为 ___________． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论；再由三角形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为； 四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 故答案为：， 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 【答案】a2+b2＝c2 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系． 【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2． 还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形．在直角中利用勾股定理即可求得的长，则、的横坐标可以求得，则点的纵坐标就是点的纵坐标，由此得出点的坐标；设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，从而求得的纵坐标． 【详解】解：在直角中，， 则，即、的横坐标是， 则点坐标为； 设，则， 在直角中，， ， 则， 解得：． 故的坐标是． 10．（24-25八年级下·山西晋中·期末）赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的基础知以及三角形中线的性质等知识，掌握求解的方法是关键； 连接，如图，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，进而可得，同理可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵点、、分别是、、的中点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵的面积为24， ∴； 故答案为：． 11．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代．如图是一块四边形的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，这块空地的，求这块空地的面积． 【答案】这块空地的面积为 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出，最后根据直角三角形的面积公式分别求出和的面积，即可求出这块空地的面积． 【详解】解：在中，， ∴， ； 在中，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； ∴， 答：这块空地的面积为． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形； (2)如图②，着色部分是长方形； (3)如图③，着色部分是半圆（保留）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：正方形的边长为， 正方形的面积为； （2）解：长方形的长为， 长方形的面积为； （3）解：半圆的直径为， 半圆的面积为． 13．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ∵垂直平分交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； (2) 【分析】（1）先结合垂直平分线的性质，得，再结合，，运用勾股逆定理得是直角三角形，则根据直角三角形的两个锐角互余，得是直角三角形，即可作答． （2）先理解题意，运用倍长中线法证明，根据邻余四边形的定义，得出，根据勾股定理，得，又因为，证明，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：延长至点，使得，连接 ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵四边形是邻余四边形，且和均为钝角， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股逆定理，新定义，垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 【答案】(1) 证明：根据题意，设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． (2)12 【分析】（1）利用直角三角形的面积，梯形的面积等于各个三角形的面积和，列式解答即可． （2）设，则，根据勾股定理，得，即，解方程即可． 本题考查了勾股定理的证明与应用，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理与逆定理重难点题型专训（3个知识点+15大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、用勾股定理解三角形 1 题型二、勾股树（数）问题 2 题型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 3 题型四、勾股定理与网格问题 4 题型五、勾股定理与折叠问题 5 题型六、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 6 题型七、利用勾股定理证明线段平方关系 7 题型八、勾股定理的证明方法 8 题型九、以弦图为背景的计算题 9 题型十、用勾股定理构造图形解决问题 10 题型十一、勾股定理与无理数 11 题型十二、判断三边能否构成直角三角形 12 题型十三、在网格中判断直角三角形 13 题型十四、利用勾股定理的逆定理求解 14 题型十五、勾股定理逆定理的实际应用 15 第二部分·练提高题型 题型一、利用勾股定理的逆定理求长度、角度、面积 1 题型二、利用勾股定理求长度 2 题型三、勾股定理中的面积问题 3 题型四、勾股定理中的最值问题 4 第三部分・自我检测 知识点01 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为__________． 知识点02 勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”） 知识点03 勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·二模）周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是______ ． 【基础题型一 用勾股定理解三角形】 【例1】（26-27八年级上·广西南宁·期中）已知一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8，则另一直角边的长是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（26-27八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 1．（26-27八年级上·浙江·单元测试）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点D．若，则的长为_________． 3．（24-25八年级下·广东湛江·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【基础题型二 勾股树（数）问题】 【例1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列各组数据是勾股数的是（     ） A．0.3  0.4  0.5 B．     C．9  16  25 D．12  16  20 【例2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 1．（2026·河南平顶山·二模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长是、、、，则最大正方形的边长是___________ 3．（2025·广东·模拟预测）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【基础题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 【例2】（26-27八年级上·陕西西安·期中）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）图①是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图①按图②所示“嵌入”长方形中，则该长方形的面积为（    ） A．60 B．100 C．110 D．121 2．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为______． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【基础题型四 勾股定理与网格问题】 【例1】（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，网格中小正方形的边长均为1，点都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在网格中，且，，都在格点处，现要找一格点，使得平分，甲乙两位同学给出了各自的作法，则下列说法正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 2．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，正方形网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．若，则点N应是图中的点______． 3．（25-26八年级下·新疆巴州·期中）如图，在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，设每个小正方形的边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图1中，画一条线段的长度为； (2)在图2中，画一个直角三角形，使它的斜边为． 【基础题型五 勾股定理与折叠问题】 【例1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，货车高，卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，则弯折点与地面的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点E、F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处．若，，则线段的长为______，的面积为______． 3．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）在中，是上的动点，点在的三边上移动． (1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． (2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． (3)如图3，当点在上，时，若，，求证：． 【基础题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（2026·陕西西安·三模）如图，在中，边上的中线交于点O，则的面积为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 【例2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在和中，，点在上．若，，，则__________． 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，某公园内的一块草坪是长方形，已知，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近道．一个人从A到C走比直接走多走了（    ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 3．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，． ①求的周长； ②，求的面积． 【基础题型七 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）在三角形中，，边上有2018个不同的点，，…，，记，则________. 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点 D 在 BM 上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为 E，F，连接 EM．则下列结论中： ①BF＝CE； ②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE＝2ME；④DE2＋DF2＝2DM2； ⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF＝：1； 正确的有_______．（只填序号） 3．（2026·河南信阳·模拟预测）中，，，．点为边的中点，为直线上一动点，连接过点作交直线于点．连接．          (1)如图，当点为边的中点时，请直接写出、、之间的数量关系________． (2)当点在延长线上时，依题意把图补全；写出此时、、之间的数量关系并证明． (3)当时，请直接写出线段的长度________． 【基础题型八 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【例2】（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是______．    1．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 2．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为____________ 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【基础题型九 以弦图为背景的计算题】 【例1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例2】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 1．（25-26八年级下·重庆江津·期末）在北京召开的第届国际数学家大会会标（图）以“赵爽弦图”为原型设计，图是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，是的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图1所示，数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，则长方形的面积为____________． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． 请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ； （4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 【基础题型十 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 1．（25-26八年级下·四川德阳·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，有一只摆钟，将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，则钟摆的长度为________． 3．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 (1)如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； (2)如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 (3)n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 【基础题型十一 勾股定理与无理数】 【例1】（25-26八年级下·重庆·期中）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在数轴上点表示的实数是__________． 1．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 3．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【基础题型十二 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·广东江门·期末）以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 1．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 3．（26-27八年级上·四川达州·期中）【问题解决】 (1)如图1，在中，为的中线，若，，请求出的取值范围． 【思考探究】 (2)如图2，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，为中点，连结，，．请判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)若将图2中的等腰绕点转至图3的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，，则的面积为 ． 【基础题型十三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【例2】（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长都是1个单位长度，以格点为顶点作三角形，下列说法错误的是（    ） A．可以画出三边长都是整数的直角三角形 B．可以画出三边长都是无理数的等腰直角三角形 C．可以画出三边长都是有理数的等边三角形 D．可以画出一个面积是8的正方形 2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在由边长为1的小正方形组成的“”的网格中，线段，的端点都在格点上，两线所夹锐角的度数为________． 3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【基础题型十四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A．9 B．13 C．14 D．18 【例2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 1．（25-26八年级下·河北邢台·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【基础题型十五 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（25-26八年级下·四川广安·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两角互余的三角形是直角三角形 B．有一个角是直角的三角形是直角三角形 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 2．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为_______． 3．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 【提高题型一 利用勾股定理的逆定理求长度、角度、面积】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【例2】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在中，是的中线．若，，，则______． 1．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长．                                             2．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架cm，cm，两轮轮轴的距离cm（购物车车轮半径忽略不计），、、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求点到所在直线的距离． 3．（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）解决问题 (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理； (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长为______千米．（只填空） 【提高题型二 利用勾股定理求长度】 【例1】（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（26-27八年级上·广东深圳·期中）翠园东晓中学旧改工程顺利完成．举行竣工典礼时，在高，长的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图所示，则地毯的长度至少需要________m． 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，，． (1)用圆规和直尺作出点，使点在边上，且与、两边距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明）． (2)若在（1）的条件下，设点到的距离为，求的长． 2．（26-27八年级上·广东惠州·期中）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 3．（2026·山东日照·模拟预测）在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：． 【提高题型三 勾股定理中的面积问题】 【例1】（2026·广东潮州·一模）如图是一块正方形草地，在边上取定一个点E，经测量知，．则这块草地的面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 1．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末） 如图，在四边形中，，，，且． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 2．（25-26七年级下·山东济南·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【提高题型四 勾股定理中的最值问题】 【例1】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，以为边作，，点与点A在的两侧，则下列结论中正确的是（   ） A．有最小值，也有最大值 B．没有最小值，也没有最大值 C．若，，则的最小值为8 D．若，，则的最大值为8 【例2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在长方体盒子中，已知，，，长为的细直木棒恰好从小孔处插入，木棒的一端与底面接触，且端点可以在长方形内及边界上任意运动．    （1）长度的最大值为_____； （2）长度的最小值为_____． 1．（2026八年级上·浙江宁波·模拟预测）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）思维启迪： （1）如图1，等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，易证，则___________（用“”“”或“”填空）． 思维探索： （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，，，连接，，，． ①求证：； ②求的长． 应用拓展： （3）如图3，要测量池塘两岸相对的两点，之间的距离，已经测得，米，，，直接写出，两点之间的距离（结果保留根号）． （4）如图4，在四边形中，，，若，，则线段的最大值为___________． 1．（25-26八年级下·广东江门·期末）如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，点表示的数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广西百色·期末）某长方形零件尺寸（单位：）如图，则两圆孔中心和之间的距离为（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则AC的长为（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）《九章算术》记载：“今有开门去阃（读kŭn，门槛的意思）一尺，不合二寸．问门广几何？”题目大意是：如图，推开双门，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），双门间隙的距离为2寸，问门的宽度是多少？计算得的长是(   )    A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 6．（25-26七年级上·全国·期中）下面各组数中，是勾股数的是_____（填序号）． （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 7．（2026七年级下·广西·模拟预测）如图，在四边形中，，则的度数为 ___________，四边形的面积为 ___________． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是_________． 10．（24-25八年级下·山西晋中·期末）赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是___________． 11．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代．如图是一块四边形的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，这块空地的，求这块空地的面积． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形； (2)如图②，着色部分是长方形； (3)如图③，着色部分是半圆（保留）． 13．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 14．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $