专题05 一元一次不等式 章末易错必刷题型专训 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题05 一元一次不等式章末易错必刷题型专训（48题12个考点） 【易错必刷一 不等式的性质】 1．（25-26七年级下·河北承德·阶段检测）若，则□，其中□应该填入的符号是（     ） A． B． C．> D．< 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，熟记性质即可解题． 【详解】解：∵，不等式两边同时乘以，为负数，不等号方向改变， ∴， ∴□中应填入符号． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则__________（填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）利用不等式的基本性质证明：一个数加一个正数，所得的结果比原来的数大． 【答案】 证明：设原数为，所加的正数为， ∵是正数， ∴， 根据不等式的基本性质，不等式两边同时加同一个数，不等号的方向不变， 将不等式两边同时加，得，即， ∴一个数加一个正数，所得的结果比原来的数大． 【详解】略 4．（2026·浙江金华·模拟预测）问题呈现：已知实数、满足：，，求的取值范围． 解：由两边同乘以得， 的取值范围为：． 类比学习： (1)若实数、满足：，，求的取值范围； (2)若实数、满足：，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知的取值范围，不等式两边同乘得到的取值范围，再将的范围与的范围对应相加，即可得到的取值范围； （2）同（1）求出的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：由两边同乘以得，， ， 的取值范围为：； （2）解：由两边同乘以得，， ， ， 的取值范围为： ， 的最大值为． 【易错必刷二 不等式的解集】 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列实数中，是的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解与解集，掌握不等式的解都在它的解集的范围内是解题的关键． 根据大于的值才是不等式的解，逐个判定即可． 【详解】解：A、∵，而，∴不是的解，故此选项不符合题意； B、∵，而，∴不是的解，故此选项不符合题意； C、∵，而，∴不是的解，故此选项不符合题意； D、∵，而，∴是的解，故此选项符合题意； 故选：D． 6．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）写出一个解集为的一元一次不等式：______ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知中一元一次不等式的解集，写出符合的一元一次不等式即可． 【详解】解：写出一个解集为的一元一次不等式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集的定义，根据给出的解集写出正确的一元一次不等式是解题关键． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）在，，0，，1，3，5中，哪些值是的解？哪些是的解？ 【答案】不等式的解有，－1，0，；不等式的解有3，5． 【分析】解出第一个不等式的解集，分别找出满足两个解集的解即可． 【详解】解：不等式，可解得， ∵，，0，均小于1， ∴不等式的解有，－1，0，； ∵3，5均大于等于2， ∴不等式的解有3，5． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解题关键． 8．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 【易错必刷三 求一元一次不等式的整数解】 9．（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 10．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）不等式 的最大整数解是______． 【答案】 【分析】按解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再找出解集中的最大整数即可． 【详解】解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 即不等式的最大整数解为． 11．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 【答案】；数轴见解析；正整数解为：1，2，3，4． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得， 这个不等式的正整数解为：1，2，3，4． 12．（2026·河北邯郸·一模）整式． (1)当时，求M的值； (2)若M的取值范围如图所示，求x的负整数解． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）把代入代数式中进行计算即可； （2）根据数轴列出的不等式进行解答即可． 【详解】（1）解：把代入得： ； （2）解：由数轴知，， 即， 解得， ∵为负整数， ，． 【易错必刷四 在数轴上表示不等式的解集】 13．（25-26七年级下·广东广州·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解集，结合数轴即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 数轴表示如下所示： ． 14．（24-25八年级下·江西上饶·期末）规定新运算：▲，例如：2▲1，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，用数轴表示不等式的解集，根据不等式的解集求参数，根据新定义，列出不等式，求出不等式的解集，结合数轴，确定的值即可． 【详解】解：由题意，得：▲， 解得：， 由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为： 15．（25-26七年级下·北京·期末）解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】 【分析】按照一元一次不等式的常规求解步骤计算，系数化为1时注意不等号方向改变，最后将解集表示在数轴上即可. 【详解】解：原不等式为 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 将不等式的解集在数轴上表示为： ． 16．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）解二元一次方程组和解一元一次不等式． (1) (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴表示如图： 【详解】（1）解： 由得， 解得 将代入②得，，解得 ∴原方程组的解为； （2）解： 解得 ∴不等式的解集为． 数轴表示见答案． 【易错必刷五 解|x|≥a型的不等式】 17．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 18．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）若关于的不等式有解，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围． 【详解】解：由绝对值的几何意义可得， 把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和， ∴当x位于第8个点时，即当x=-4时， 的最小值为15， ∵， ∴当关于的不等式有解时， a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）写出不等式的两个不同的解． 【答案】和（答案不唯一） 【分析】先求出解集，再写出满足解集的任意两个不同的解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则两个不同的解为和（答案不唯一）． 20．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查求不等式的解集，熟练掌握题干中的求解方法，是解题的关键： （1）仿照题干，作答即可； （2）仿照题干，作答即可； （3）利用（2）中结论，得到①或②，进行求解即可． 【详解】（1）解：的解集是或； （2）当时，不等式的解集是或； （3）由（2）可知，不等式， 可化为①或②， 解①得，，解②得，． 故不等式的解集为：或． 【易错必刷六 求不等式组的解集】 21．（25-26七年级下·天津东丽·期末）如果关于的不等式组仅有四个整数解：，，，，那么满足这个不等式组的整数，组成的有序数对最多共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，再根据已知的四个整数解确定和的取值范围，找出范围内的整数，计算有序数对的个数即可． 【详解】解不等式组： 解不等式得；解不等式得； ∴不等式组的解集为 ∵不等式组仅有四个整数解，，，， ∴，， 解不等式，得， ∵是整数， ∴的取值为，，，共个， 解不等式，得， ∵是整数， ∴的取值为，，共个， ∴有序数对共有个． 22．（2026·西藏昌都·模拟预测）解不等式组：，解集为 ，所有的正整数解 _____． 【答案】，正整数解为，，， 【分析】分别解每一个不等式，求出不等式组的解集为，再求出此解集内的正整数即可． 【详解】解：， 由①可得， 由②可得， 不等式组的解集为， 所有的正整数为，，，， 23．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）解不等式组： 【答案】 【详解】解：解不等式得： 解不等式得：， 不等式组的解集为：． 24．（2026·山东济南·模拟预测）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1，2 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 整数解为，0，1，2． 【易错必刷七 求一元一次不等式组的整数解】 25．（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式组的整数解有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的公共解集，再找出解集范围内的整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：解得； 解得； ∴原不等式组的解集为， 该解集范围内的整数为，共个． 26．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）不等式组的整数解个数是________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，在解集中找出符合条件的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 不等式组的整数解有、、、， 不等式组的整数解的个数是． 27．（25-26七年级下·浙江温州·期末）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，所有整数解为 【分析】分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到解集后取公共部分，再从中找出整数解． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组解集：， 原不等式组的所有整数解：，，． 28．（25-26七年级下·吉林松原·期末）已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的整数的值． 【答案】满足的整数解有 【分析】根据关于，的二元一次方程组求得，再根据不等式组求出的取值范围，最终确定整数的值． 【详解】解：由题意，得， ①②，得， ②①，得， ∵， ∴，解得， 取整数， ∴满足的整数解有． 【易错必刷八 由一元一次不等式组的解集求参数】 29．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式含参问题．先正确的解出每一个不等式，然后根据口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到）或数轴来找参数的范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得：． 不等式组的解集为， ， 解得：． 30．（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式 ，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组无解 ∴根据不等式组解集“大大小小找不到”的原则，可得： 解得：． 31．（2026·河南平顶山·模拟预测）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的一元一次不等式组的解为， ∴． 32．（25-26八年级下·江西九江·期中）已知关于，的方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将关于，的方程组中两个方程相加得到，再由题意列出关于的不等式求解即可； （2）先解不等式组中不含参数的不等式解集，再由不等式组解集情况求解含参数的不等式，最后结合（1）中的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①②得， 则， ， ，解得； （2）解：， 解②得， 不等式组的解集为， 对于不等式①解集，只有当时，才有， 则， 取正整数， 或， 由（1）知，则． 【易错必刷九 不等式组和方程组结合问题】 33．（2026·湖南邵阳·二模）若方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组两个方程相加，表示出，代入求解即可； 【详解】解：， 得：， ， ， 即：， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解方程组与不等式组的步骤是解题关键． 34．（25-26七年级下·四川内江·期末）若，且，，设，则m的取值范围为________． 【答案】/ 【分析】先求出，再由，求出，求出，进而求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确根据题意求出x的取值范围是解题的关键． 35．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且，求k的取值范围． 【答案】 【分析】根据加减消元法得到，，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】解：， ：， 即， ：， 由题意：， 解得：． 36．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】（1）先求出方程的解为，再将代入不等式进行验证即可； （2）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （3）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出的取值范围﹒ 【详解】（1）解：由方程得：， 当时，， ∴方程与不等式的“梦想解”是． （2）解：解方程得， 解不等式得，故方程与不等式①没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式②没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式③的梦想解为﹒ （3）解：解二元一次方程组， 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 【易错必刷十 多个不等式连写变形出错问题】 37．（2025·陕西西安·模拟预测）下图是小明解不等式组的过程，开始出错的是（    ） 解不等式①，得，（1） 解不等式②，得，（2） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（3）原不等式组的解集为.（4） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．根据解一元一次不等式组的步骤解答，从而判断出从第二步开始出错． 【详解】解不等式①，得，（1） 解不等式②，得，（2） 所以从第（2）步开始错误， 故选：B. 38．（25-26七年级下·北京西城·期中）以下是一位同学求解不等式时的过程： 发现有错后，请你修改正确答案. 他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注“”或另作标记，提醒自己注意． ① “”内应修改的正确答案是____ ② “去分母”这步，依据的不等式基本性质是_______（请写明基本性质的具体内容） 【答案】 12 不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号开口方向不变 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质． ①根据去分母的方法进行求解即可； ②根据不等式的性质2：不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，求解即可． 【详解】 解：①“”内应修改的正确答案是12； ②“去分母”这步，依据的不等式基本性质是不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号开口方向不变． 故答案为：①12；②不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变． 39．（25-26七年级下·山西临汾·期末）下面是小颖解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 去分母，得    第一步 去括号，得      第二步 移项，得      第三步 合并同类项，得        第四步 将未知数的系数化为1，得    第五步 (1)任务一： 上述解不等式的过程第__________步出现了错误，其原因是____________________． (2)任务二：直接写出不等式的解集，并将不等式的解集在数轴上表示出来． (3)任务三：你认为本题中还有哪些易错点，请列举出一处． 【答案】(1)五；不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变 (2)， (3)去分母时，常数项容易漏乘公分母（答案不唯一） 【分析】（1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质得出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可； （3）从利用不等式的性质去分母的角度进行分析即可． 【详解】（1）解：上述解不等式的过程第五步出现了错误，其原因是不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变． （2）解：不等式的解集为， 将不等式的解集在数轴上表示出来：略． （3）解：易错点：去分母时，常数项容易漏乘公分母（答案不唯一）． 40．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．以下是亮亮同学在解不等式组的过程： 解不等式组 解：由①得，， 由得，， 不等式组的解为 辨认他的错误思路，请你即行即改，写出正确的解答过程． 【答案】 亮亮同学解不等式①去括号时，括号里面的减号未变号，解不等式时，去分母时不等号右边没有乘以3，正确的解答过程如下： 解不等式组 解：由①得，， ， 由得，， 不等式组的解为 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，先判断出亮亮同学在解不等式组过程中的错误地方，再分别解这两个不等式并求解集的公共部分即可． 【详解】略 【易错必刷十一 一元一次不等式实际问题综合应用】 41．（25-26七年级下·山西长治·期末）下列不等式能表示“的倍大于”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按题意翻译出对应不等式，再匹配选项即可． 【详解】解：的倍可表示为，要求该式大于，可得不等式． 42．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）由“的3倍与的和是正数”用不等式表示为________． 【答案】 【分析】先表示出的倍，再写出该数与的和，根据正数大于列出不等式即可． 【详解】解：的倍为，的倍与的和为， 因为和是正数，正数都大于， 因此可得不等式：． 43．（25-26八年级下·全国·课后作业）根据下列信息，写出有关不等式：2021年，我国自主研制的“海斗一号”全海深自主遥控潜水器打破了多项无人潜水器的世界纪录，包括最大下潜深度达到，海底连续作业时间超过，近海底航行距离超过． 【答案】 设下潜深度为，连续作业时间为，近海底航行距离为，对应的不等式为，， 【分析】先设定对应变量，再根据题干的不等关系，结合“最大”“超过”等关键词判断不等号方向，将文字描述转化为不等式即可； 【详解】解：设“海斗一号”的下潜深度为，海底连续作业时间为，近海底航行距离为， 根据最大下潜深度达到，可知下潜深度不超过，可得， 根据海底连续作业时间超过，可得， 根据近海底航行距离超过，可得． 44．（24-25七年级下·全国·期末）某校欲租用租赁公司的甲、乙两种型号的大巴车共8辆（两种车型都要租用），将部分师生送去植物园游玩，相关的租车信息如下： 信息一：若租用3辆甲型大巴、5辆乙型大巴共可载客435人； 若租用6辆甲型大巴、2辆乙型大巴共可载客390人． 信息二： 型号 甲型大巴 乙型大巴 租金/元 500 700 (1)求每辆甲型大巴、乙型大巴的载客量． (2)若此次游玩租车的总租金计划不超过4600元，则最少租用甲型大巴多少辆？此时可装载多少名师生去游玩？ 【答案】(1)每辆甲型大巴的载客量是45人，每辆乙型大巴的载客量是60人 (2)最少租用甲型大巴5辆，此时可装载405名师生去游玩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关知识点是解题的关键． （1）先设每辆甲型大巴的载客量是x人，每辆乙型大巴的载客量是y人，再结合题干条件计算列式计算，即可作答． （2）由（1）得每辆甲型大巴的载客量是45人，每辆乙型大巴的载客量是60人，且结合 此次游玩租车的总租金计划不超过4600元，进行列出不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设每辆甲型大巴的载客量是x人，每辆乙型大巴的载客量是y人， 根据题意， 得 解得 答：每辆甲型大巴的载客量是45人，每辆乙型大巴的载客量是60人． （2）解：设租用甲型大巴m辆，则租用乙型大巴辆， 根据题意，得， 解得， ∴m的最小值为5， 此时 答：最少租用甲型大巴5辆，此时可装载405名师生去游玩． 【易错必刷十二 一元一次不等式组实际问题综合应用】 45．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解． 【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为， 这箱苹果共个， 每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键． 46．（25-26七年级下·吉林长春·期中）小明用天平称量一个物体的质量，他将2个该物体放在天平的左边，右边分别放1个、2个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由天平平衡关系，直接列不等式组即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 47．（25-26七年级下·北京·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 【答案】有26本书，6个学生 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设有个学生，根据“每人分3本，还余8本”用含的代数式表示出书的本数；再根据“每人分5本，最后一人就分不到2本”列不等式． 【详解】解：设有个学生，那么共有本书，由题意得： ， 解得， 所以，共有本． 答：有26本书，6个学生． 48．（25-26七年级下·北京·课后作业）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式．某家电商场计划用万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台．三种家电的进价及售价如表． 品名 单价（台元） 电视机 5000 洗衣机 2000 空调 2400 在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？ 【答案】共有3 种方案：方案一：购进电视机8台，洗衣机8台，空调24台；方案二：购进电视机9台，洗衣机9台，空调22台；方案三：购进电视机10台，洗衣机10台，空调20台 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式即可求解．设购进电视机台，则购进洗衣机台、购进空调台，根据若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，且以及都是非负整数，即可确定的范围，从而确定进货方案． 【详解】解：设购进电视机台，则购进洗衣机台、购进空调台， 根据题意，得， 解得：． ∴共有3 种方案： 方案一：购进电视机8台，洗衣机8台，空调24台； 方案二：购进电视机9台，洗衣机9台，空调22台； 方案三：购进电视机10台，洗衣机10台，空调20台． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次不等式章末易错必刷题型专训（48题12个考点） 【易错必刷一 不等式的性质】 1．（25-26七年级下·河北承德·阶段检测）若，则□，其中□应该填入的符号是（     ） A． B． C．> D．< 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则__________（填“”或“”）． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）利用不等式的基本性质证明：一个数加一个正数，所得的结果比原来的数大． 4．（2026·浙江金华·模拟预测）问题呈现：已知实数、满足：，，求的取值范围． 解：由两边同乘以得， 的取值范围为：． 类比学习： (1)若实数、满足：，，求的取值范围； (2)若实数、满足：，，求的最大值． 【易错必刷二 不等式的解集】 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列实数中，是的解的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）写出一个解集为的一元一次不等式：______ ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）在，，0，，1，3，5中，哪些值是的解？哪些是的解？ 8．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【易错必刷三 求一元一次不等式的整数解】 9．（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）不等式 的最大整数解是______． 11．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 12．（2026·河北邯郸·一模）整式． (1)当时，求M的值； (2)若M的取值范围如图所示，求x的负整数解． 【易错必刷四 在数轴上表示不等式的解集】 13．（25-26七年级下·广东广州·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·江西上饶·期末）规定新运算：▲，例如：2▲1，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 15．（25-26七年级下·北京·期末）解不等式，并在数轴上表示解集． 16．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）解二元一次方程组和解一元一次不等式． (1) (2)，并把解集表示在数轴上． 【易错必刷五 解|x|≥a型的不等式】 17．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 18．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）若关于的不等式有解，则的取值范围是__________. 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）写出不等式的两个不同的解． 20．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 【易错必刷六 求不等式组的解集】 21．（25-26七年级下·天津东丽·期末）如果关于的不等式组仅有四个整数解：，，，，那么满足这个不等式组的整数，组成的有序数对最多共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 22．（2026·西藏昌都·模拟预测）解不等式组：，解集为 ，所有的正整数解 _____． 23．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）解不等式组： 24．（2026·山东济南·模拟预测）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【易错必刷七 求一元一次不等式组的整数解】 25．（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式组的整数解有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 26．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）不等式组的整数解个数是________． 27．（25-26七年级下·浙江温州·期末）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 28．（25-26七年级下·吉林松原·期末）已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的整数的值． 【易错必刷八 由一元一次不等式组的解集求参数】 29．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知不等式组无解，则的取值范围是________． 31．（2026·河南平顶山·模拟预测）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为______． 32．（25-26八年级下·江西九江·期中）已知关于，的方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【易错必刷九 不等式组和方程组结合问题】 33．（2026·湖南邵阳·二模）若方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26七年级下·四川内江·期末）若，且，，设，则m的取值范围为________． 35．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且，求k的取值范围． 36．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 【易错必刷十 多个不等式连写变形出错问题】 37．（2025·陕西西安·模拟预测）下图是小明解不等式组的过程，开始出错的是（    ） 解不等式①，得，（1） 解不等式②，得，（2） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（3）原不等式组的解集为.（4） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 38．（25-26七年级下·北京西城·期中）以下是一位同学求解不等式时的过程： 发现有错后，请你修改正确答案. 他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注“”或另作标记，提醒自己注意． ① “”内应修改的正确答案是____ ② “去分母”这步，依据的不等式基本性质是_______（请写明基本性质的具体内容） 39．（25-26七年级下·山西临汾·期末）下面是小颖解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 去分母，得    第一步 去括号，得      第二步 移项，得      第三步 合并同类项，得        第四步 将未知数的系数化为1，得    第五步 (1)任务一： 上述解不等式的过程第__________步出现了错误，其原因是____________________． (2)任务二：直接写出不等式的解集，并将不等式的解集在数轴上表示出来． (3)任务三：你认为本题中还有哪些易错点，请列举出一处． 40．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．以下是亮亮同学在解不等式组的过程： 解不等式组 解：由①得，， 由得，， 不等式组的解为 辨认他的错误思路，请你即行即改，写出正确的解答过程． 【易错必刷十一 一元一次不等式实际问题综合应用】 41．（25-26七年级下·山西长治·期末）下列不等式能表示“的倍大于”的是（     ） A． B． C． D． 42．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）由“的3倍与的和是正数”用不等式表示为________． 43．（25-26八年级下·全国·课后作业）根据下列信息，写出有关不等式：2021年，我国自主研制的“海斗一号”全海深自主遥控潜水器打破了多项无人潜水器的世界纪录，包括最大下潜深度达到，海底连续作业时间超过，近海底航行距离超过． 44．（24-25七年级下·全国·期末）某校欲租用租赁公司的甲、乙两种型号的大巴车共8辆（两种车型都要租用），将部分师生送去植物园游玩，相关的租车信息如下： 信息一：若租用3辆甲型大巴、5辆乙型大巴共可载客435人； 若租用6辆甲型大巴、2辆乙型大巴共可载客390人． 信息二： 型号 甲型大巴 乙型大巴 租金/元 500 700 (1)求每辆甲型大巴、乙型大巴的载客量． (2)若此次游玩租车的总租金计划不超过4600元，则最少租用甲型大巴多少辆？此时可装载多少名师生去游玩？ 【易错必刷十二 一元一次不等式组实际问题综合应用】 45．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 46．（25-26七年级下·吉林长春·期中）小明用天平称量一个物体的质量，他将2个该物体放在天平的左边，右边分别放1个、2个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量的取值范围是___________． 47．（25-26七年级下·北京·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 48．（25-26七年级下·北京·课后作业）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式．某家电商场计划用万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台．三种家电的进价及售价如表． 品名 单价（台元） 电视机 5000 洗衣机 2000 空调 2400 在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？ 学科网（北京）股份有限公司 $