专题06 三角形 章末易错必刷题型专训 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形章节21个易错考点，63题分层覆盖概念辨析、性质应用及推理证明，以典型错题构建知识网络，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的个数问题|3题|图形计数|从基本图形识别到复杂图形分解| |构成三角形的条件|3题|选择/填空/解答|三边关系的直接应用与拓展| |画三角形的高|3题|识图与作图|高的定义与不同三角形高的位置| |全等三角形判定|9题|条件补充与证明|从性质到判定的逻辑推导| |角平分线性质|3题|计算与证明|角平分线性质与面积结合应用|

专题06 三角形章末易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 三角形的个数问题】 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图中三角形的个数共有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26八年级上·河南焦作·阶段检测）图中以为边的三角形共有______个． 3．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【易错必刷二 构成三角形的条件】 4．（25-26七年级下·福建泉州·期中）在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作______个不同的三角形． 6．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在一个四边形各边上任意取一点，并顺次连接它们．想一想，你得到的图形周长与原四边形周长哪一个大？为什么？如果是一个五边形呢？六边形呢？ 【易错必刷三 画三角形的高】 7．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示：在Rt△ABC中，∠A＝90°，边AB上的高是___． 9．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，在中，，，，． (1)画出中边上的高； (2)求的长． 【易错必刷四 确定第三边的取值范围】 10．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知某三角形的三边长分别为2，5，m，则m的值可以是（     ） A．3 B．6 C．7 D．10 11．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）三角形的三边长分别为2，7，a，则奇数a的值是___________． 12．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 【易错必刷五 重心的概念】 13．（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 14．（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）如图，点是的三条中线的交点，则___________．（填“”“”或“”） 15．（25-26七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【易错必刷六 三角形角平分线的定义】 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，      （1）的高线是___________； （2）是三角形_________的角平分线． 18．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知，． (1)作图：在图1中，延长和，相交于点M； (2)在图1中，求证： (3)如图2，连，若同时平分和，求证：． 【易错必刷七 根据三角形中线求长度与面积】 19．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 20．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（　  　） A． B． C． D． 21．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【易错必刷八 判断命题真假】 22．（25-26七年级下·北京西城·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．相等的角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 23．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，如果________，那么（请添加一个适当的条件，使该命题为真命题）． 24．（25-26七年级下·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)一个锐角与一个钝角的和是； (2)若，则或； (3)若，则； (4)有公共顶点且相等的角是对顶角； (5)倒数等于它本身的数是1． 【易错必刷九 举反例】 25．（25-26八年级上·浙江·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题而所举的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．（24-25八年级上·浙江金华·期中）判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是______．（填写一个符合条件的的值）． 27．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）请判断命题“若三条线段、、满足，则这三条线段、、能够组成三角形”的真假性．若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例说明． 【易错必刷十 逻辑推理与论证】 28．（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）有红、白、黄、蓝、黑5种颜色的花，将其中两种花色插一瓶，共有（　　）种不同的选法． A．5 B．8 C．10 D．15 29．（25-26七年级下·北京西城·期中）刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是：______． ①只有两个数字正确且位置正确； ②只有两个数字正确但位置都不正确； ③四个数字都不正确； ④只有三个数字正确但位置都不正确． 30．（25-26八年级上·全国·单元测试）[逻辑推理]如图是某汽车维修公司的维修点在环形公路上的分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次为多少？说明理由．(注：n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n) 【易错必刷十一 三角形的外角的定义及性质】 31．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，分别平分和，，则的度数是________        33．（25-26八年级上·西藏林芝·期中）如图，在中，，，求的外角的度数． 【易错必刷十二 图形的全等】  34．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）与图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期中）请观察图中的5组图案，其中是全等形的是________（填序号）；    36．（25-26七年级下·全国·课后作业）找出下列图形中的全等图形． 【易错必刷十三 全等三角形的概念】   37．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 38．（2026八年级·全国·模拟预测）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________． 39．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【易错必刷十四 全等三角形的性质】 40．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，已知，其中．在下列结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，，，则_______． 42．（25-26八年级上·河南许昌·阶段检测）如图，，，． (1)求的长； (2)若A、B、C在一条直线上，则与垂直吗？为什么？ 【易错必刷十五 用SAS证明三角形全等（SAS）】 43．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点，在上，且，，，则，其依据是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件：___________．（写出一种即可） 45．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图，点，，，在同一直线上，并且．若，． (1)证明：； (2)探索线段与的关系，并说明理由． 【易错必刷十六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 46．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 47．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由A走到B的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，垂足为D．已知米．根据上述信息，可知标语的长度为______米． 48．（25-26八年级上·海南儋州·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【易错必刷十七 用SSS证明三角形全等（SSS）】 49．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，四边形（四边都在一平面内）框架是一个作角平分线的简易工具，其中，，将点A移至某角的顶点处，再使和张大到与这个角的两边分别重合时，连接，射线即是该角的角平分线．它的原理是利用，得到，从而证明是角平分线，那么判定三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，用三角形全等的判定“SSS”可证明___________或___________．    51．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由． 【易错必刷十八 添加条件使三角形全等】 52．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，要证明，还需补充的条件是（ ） A． B． C． D． 53．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_________．(写出一个即可) 54．（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，，是边上的一点，，，垂足分别为，添加一个条件，使，并说明理由． 解：需添加条件是______． 【易错必刷十九 线段垂直平分线的性质】 55．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长为（   ） A．11 B．8 C．13 D．12 56．（25-26八年级上·吉林辽源·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的长为________． 57．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【易错必刷二十 作垂线(尺规作图)】 58．（24-25八年级上·福建泉州·期末）观察图中尺规作图的痕迹，可知线段一定是（   ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高线 D．边的中垂线 59．（2026·四川成都·二模）如图，在中，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，连接，若的面积为4，则的面积为___________． 60．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，钝角中，点在射线上． (1)画直线，垂足为； (2)画直线． 【易错必刷二十一 角平分线的性质定理】 61．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分于点，的面积是，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 62．（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为_____． 63．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中， (1)过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明） (2)若，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形章末易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 三角形的个数问题】 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图中三角形的个数共有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】解：三角形有：， 故三角形的个数是5个． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．（25-26八年级上·河南焦作·阶段检测）图中以为边的三角形共有______个． 【答案】3 【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：根据图示知，图中以AB为边的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC．共有3个； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“图中以AB为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”． 3．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【答案】4个三角形,三角形的个数与四边形的边数相等 【分析】本题主要考查的是图形的规律性问题，根据图形得到一般规律是解题的关键．首先观察图形，结合三角形的定义及识别方法得到三角形的个数；然后再结合三角形的个数与多边形的边数进行分析，即可完成解答． 【详解】解：为四边形内一点，连接、、、可以得到4个三角形； 三角形的个数与四边形的边数相等． 【易错必刷二 构成三角形的条件】 4．（25-26七年级下·福建泉州·期中）在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 【答案】A 【详解】解：∵对于选项A，较小两边为3和6，最大边为8，，∴能围成三角形，符合题意． ∵对于选项B，较小两边为2和3，最大边为5，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项C，较小两边为1和1，最大边为2，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项D，较小两边为3和4，最大边为8，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作______个不同的三角形． 【答案】3 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可获得答案． 【详解】解：（1）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （2）当取、、三条线段时，∵，故不能构成三角形； （3）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （4）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形． 综上所述，可作3个不同的三角形． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系解题的关键． 6．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在一个四边形各边上任意取一点，并顺次连接它们．想一想，你得到的图形周长与原四边形周长哪一个大？为什么？如果是一个五边形呢？六边形呢？ 【答案】得到的图形周长小于原四边形的周长，见解析；如果是一个五边形或是个六边形，结论仍然成立 【分析】任意两边上的点和两点间的顶点恰好构成一个三角形，利用三角形的三边关系可以得出结论． 【详解】解：得到的图形周长小于原四边形的周长． 理由：如图， ，， ， 四边形的周长＜四边形的周长． 如果是一个五边形或是个六边形，结论仍然成立． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边是解题的关键． 【易错必刷三 画三角形的高】 7．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的高；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选：B． 8．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示：在Rt△ABC中，∠A＝90°，边AB上的高是___． 【答案】AC 【分析】根据三角形的高的定义（从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称为三角形这条边上的高）即可得． 【详解】， 由三角形的高的定义可知，线段为中边上的高 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的高，熟记定义是解题关键． 9．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，在中，，，，． (1)画出中边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)如图所示： (2) 【分析】根据三角形的高求三角形面积是解决本题关键． （1）根据三角形的高定义作图即可． （2）因为，所以是直角三角形，根据等面积法即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． 【易错必刷四 确定第三边的取值范围】 10．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知某三角形的三边长分别为2，5，m，则m的值可以是（     ） A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出m的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：∵三角形三边长为2，5，m，根据三角形三边关系可得： ， ∴ 观察选项，只有6满足，故B正确． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）三角形的三边长分别为2，7，a，则奇数a的值是___________． 【答案】7 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，求出a的取值范围，再结合a是奇数的条件进行判断． 【详解】由三角形的三边关系，得： ，即； ，即； ，恒成立． 所以． 又因为a是奇数， 所以， 故答案为：7． 12．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再由是最短边长，可得； （2）根据（1）所求可得，则的最大值为14，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，即， 是最短边长， ， 的取值范围是； （2）解：由（1）可知，， 为整数， 的最大值为14， 三角形周长的最大值为． 【易错必刷五 重心的概念】 13．（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连的直线上． 【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点与物体最下端所连接的直线上， 薄板状物体的重心位置在直线上． 故选：C． 14．（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）如图，点是的三条中线的交点，则___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是明确三角形三条中线的交点（重心）与中线的关系，即过重心的线段为的中线． 先根据“点O是的三条中线的交点”，可知线段是的一条中线；再依据三角形中线的定义——连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可判断点D是边的中点；最后根据中点的性质，得出与的数量关系． 【详解】解：∵点O是的三条中线的交点，且A、O、D在同一条直线上，D在边上， ∴是的中线． 又∵三角形中线的定义为连接三角形一个顶点和它对边中点的线段， ∴点D是的中点． ∵中点将线段分为两条相等的线段， ∴． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【答案】如下图O是的重心． 【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键． 根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明． 【详解】解：理由如下： ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴． 【易错必刷六 三角形角平分线的定义】 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 17．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，      （1）的高线是___________； （2）是三角形_________的角平分线． 【答案】 【分析】根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，分别判断即可． 【详解】解：∵于点H， ∴的高线是； ∵， ∴是三角形的角平分线， 故答案为：，． 【点睛】本题考查三角形的角平分线、高线，关键是掌握相应的定义． 18．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知，． (1)作图：在图1中，延长和，相交于点M； (2)在图1中，求证： (3)如图2，连，若同时平分和，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了平行线的性质，角的等量代换，角平分线的定义，正确作出符合题意的辅助线是解题的关键． （1）直接根据题意作图，即可作答． （2）根据平行线的性质，得同旁内角互补，因为，所以进行角的等量代换，即可作答． （3）因为同时平分和，得，根据四边形内角和360°列式计算，再进行角的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如上图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：如图： ∵同时平分和， ∴， 在四边形中，， 在四边形中，， ∵，， ∴． 【易错必刷七 根据三角形中线求长度与面积】 19．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据三角形中线的性质得，则两个三角形的周长之差就是和长度的差． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 20．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（　  　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中线等分三角形面积，熟记三角形中线等分三角形面积，数形结合表示三角形面积关系是解决问题的关键． 由是的中线，得到，由是的中线，得到，即可得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， 故选：D． 21．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【答案】(1)20；60 (2)24 【分析】本题考查了三角形的中线以及面积公式的应用，解题的关键是利用中线的性质确定底边长度，结合面积公式进行计算． （1）利用中线性质求的长，再用三角形面积公式求面积； （2）通过三角形面积的两种表示方法求的长． 【详解】（1）解：是的中线， ， 则， 的面积为； （2）解：， ． 【易错必刷八 判断命题真假】 22．（25-26七年级下·北京西城·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．相等的角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】根据对顶角定义，垂线的性质，平行线的相关概念，逐一判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，原命题是真命题，该选项符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，该选项不符合题意； C、只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题是假命题，该选项不符合题意； D、同一平面内，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，该选项不符合题意． 23．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，如果________，那么（请添加一个适当的条件，使该命题为真命题）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要查了平行线的判定．根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：如果，那么，是真命题． 故答案为：（答案不唯一） 24．（25-26七年级下·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)一个锐角与一个钝角的和是； (2)若，则或； (3)若，则； (4)有公共顶点且相等的角是对顶角； (5)倒数等于它本身的数是1． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题 (3)假命题，理由见解析 (4)假命题，理由见解析 (5)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据锐角和钝角的概念判断； （2）根据有理数的乘法法则判断； （3）根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可； （4）根据对顶角的概念判断； （5）根据倒数的概念判断． 【详解】（1）一个锐角与一个钝角的和是，是假命题，例如：的角是锐角，的角是钝角，，不是； （2）若，则或，是真命题； （3）若，则则是假命题，例如：，而； （4）有公共顶点且相等的角是对顶角，是假命题，90°的角和它的邻补角有公共顶点且相等，但不是对顶角； （5）倒数等于它本身的数是1，是假命题，例如的倒数等于它本身的数是﹣1． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【易错必刷九 举反例】 25．（25-26八年级上·浙江·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题而所举的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查证明命题，逐项验证是解决问题的关键． 要证明命题“若，则”为假，需找到反例，即满足，但的选项，逐一验证各选项，只有B选项满足，且即可得到答案． 【详解】解：命题“若，则”为假命题的反例，需满足，但，则 A：当，时，，不满足，不符合题意； B：当，时，，满足，故为反例，符合题意； C：当，时，，不满足，不符合题意； D：当，时，，不满足，不符合题意； 故选：B． 26．（24-25八年级上·浙江金华·期中）判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是______．（填写一个符合条件的的值）． 【答案】－2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：当时，， 说明命题“对于任何实数，”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 27．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）请判断命题“若三条线段、、满足，则这三条线段、、能够组成三角形”的真假性．若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例说明． 【答案】 解：若三条线段a，b，c满足，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题， 例如：三条线段，，满足，但这三条线段不能够组成三角形． 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，然后举出满足条件但不满足结论的例子即可． 【详解】略 【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【易错必刷十 逻辑推理与论证】 28．（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）有红、白、黄、蓝、黑5种颜色的花，将其中两种花色插一瓶，共有（　　）种不同的选法． A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据题意表示出所有的情况即可． 【详解】解：红、白、黄、蓝、黑5种颜色的花，取其中两个颜色，则有以下情况： 红，白；红，黄；红，篮；红，黑；白，黄；白，篮；白，黑；黄，篮；黄，黑；篮，黑； ∴共有10种方案， 故选：C． 【点睛】本题考查了推理与论证，根据所给条件，将满足条件的所有情况分别列出来是解题的关键． 29．（25-26七年级下·北京西城·期中）刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是：______． ①只有两个数字正确且位置正确； ②只有两个数字正确但位置都不正确； ③四个数字都不正确； ④只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知推断求解即可． 【详解】解：由③可知，3、5、2、9四个数字都不正确， 即密码中没有3、5、2、9四个数字； 由④可知，1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有1、8、0三个数字，且位置都不正确； 由①可知，6、4、3、8只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字8在第四位，另一个正确的数字为6在第一位或4在第二位； 若6在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字0不在第二位和第三位，即在第一位。 则数字1在第三位， 即正确的密码是， 故答案为：． 30．（25-26八年级上·全国·单元测试）[逻辑推理]如图是某汽车维修公司的维修点在环形公路上的分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次为多少？说明理由．(注：n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n) 【答案】 最少调动16件次，理由如下： ∵互不相邻的两点B，D，B处至少调整5件次，D处至少调整11件次， ∴两处之和至少为16件次， ∴四个维修点的调动件次至少为16． 又∵A，B的配件减少，C，D的配件增加， ∴从A调11件到D，从B调1件到A，调4件到C， ∴共调动了11+1+4=16(件次)． 综上，最少调动16件次．(调动方案不唯一) 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，根据题意可知互不相邻的两点B，D，B处至少调整5件次，D处至少调整11件次，则两处之和至少为16件次，再根据题意写出对应的调动方案即可． 【详解】解：略． 【易错必刷十一 三角形的外角的定义及性质】 31．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的一个外角， ∴． 32．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，分别平分和，，则的度数是________        【答案】/30度 【分析】本题考查了角的平分线运用，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由三角形的外角可知：，，结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：由三角形的外角可知：，， ∵分别平分和， ∴，， ∴． 故答案为：． 33．（25-26八年级上·西藏林芝·期中）如图，在中，，，求的外角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵在中，是外角， ∴， ∵，， ∴． 【易错必刷十二 图形的全等】  34．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）与图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此可得答案． 【详解】解：由全等图形的定义可知，四个选项中只有A选项中的图形与所给图形全等， 故选：A． 35．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期中）请观察图中的5组图案，其中是全等形的是________（填序号）；    【答案】（5） 【分析】根据全等形的定义：形状、大小相同，能够完全重合的两个图形进行判断即可． 【详解】解：（1）形状、大小不相等，不是全等形； （2）大小不同，不是全等形； （3）形状，大小都不相同，不是全等形； （4）形状，大小都不相同，不是全等形； （5）形状，大小都相同，是全等形； 故答案为：（5）． 【点睛】本题考查全等形的识别．熟练掌握形状、大小相同，能够完全重合的两个图形是全等形是解题的关键． 36．（25-26七年级下·全国·课后作业）找出下列图形中的全等图形． 【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形 【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等形即可判断出答案． 【详解】解：由题意得：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形． 【点睛】本题考查了全等形的定义，属于基础题，注意掌握全等形的定义． 【易错必刷十三 全等三角形的概念】   37．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【答案】B 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A．不是全等形，故此选项不合题意； B．是全等形，故此选项符合题意； C．不是全等形，故此选项不合题意； D．不是全等形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形． 38．（2026八年级·全国·模拟预测）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③． 39．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【答案】 解：∵， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是， 的对应角是，的对应角是，的对应角是． 【分析】根据全等三角形的概念，正确的确定对应边和对应角即可． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的概念．熟练掌握全等三角形对应边和对应角的概念，是解题的关键． 【易错必刷十四 全等三角形的性质】 40．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，已知，其中．在下列结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可判断①③和得到，根据平角的定义和三角形内角和定理可判断④；根据现有条件无法证明，则可判断②． 【详解】解：∵， ∴，故①③正确； ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②不正确． 41．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，，，则_______． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，根据全等三角形的性质得到，进而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 42．（25-26八年级上·河南许昌·阶段检测）如图，，，． (1)求的长； (2)若A、B、C在一条直线上，则与垂直吗？为什么？ 【答案】(1) (2) 解：与垂直，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的性质， （1）首先根据全等三角形的性质得到，，然后利用线段的和差求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到，然后根据题意得到，进而可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）略 【易错必刷十五 用SAS证明三角形全等（SAS）】 43．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点，在上，且，，，则，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得出，进而即可证明． 【详解】证明：∵ ∴ 在中， ∴． 故选：A. 44．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件：___________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法： ． 由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要证明，还需要添加一个条件：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 45．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图，点，，，在同一直线上，并且．若，． (1)证明：； (2)探索线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 解：且，理由， ∵， ∴， ∴， ∴线段与的关系是且． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后通过“”证明即可； （）由，则，根据平行线判定得，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 【易错必刷十六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 46．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，则需带①④两块玻璃，因为可根据“”判定三角形全等； 故选D． 47．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由A走到B的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，垂足为D．已知米．根据上述信息，可知标语的长度为______米． 【答案】40 【分析】本题考查了全等三角形的判定与形状，证即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵相邻两平行线间的距离相等，，三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴米， 故答案为：40． 48．（25-26八年级上·海南儋州·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行线的性质是解题的关键； （1）由平行线的性质可得，然后根据“”可判定三角形全等； （2）由可得，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷十七 用SSS证明三角形全等（SSS）】 49．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，四边形（四边都在一平面内）框架是一个作角平分线的简易工具，其中，，将点A移至某角的顶点处，再使和张大到与这个角的两边分别重合时，连接，射线即是该角的角平分线．它的原理是利用，得到，从而证明是角平分线，那么判定三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，利用证明，可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴． ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，用三角形全等的判定“SSS”可证明___________或___________．    【答案】 【分析】由、、可证出；由、、可证出．综上即可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 51．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明即可． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷十八 添加条件使三角形全等】 52．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，要证明，还需补充的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：已知，， A．，无法证明； B．，可根据证明； C．，为已知条件，不能证明； D．，不能证明； 故选：B． 53．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_________．(写出一个即可) 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 首先根据已知条件，再结合全等三角形的判定方法来添加合适的条件，使得两个三角形全等即可． 【详解】解：∵点B，E，C，F在同一条直线上，，，即已知一组等边和一组等角， ∴若添加，即可满足， 故答案为：(答案不唯一)． 54．（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，，是边上的一点，，，垂足分别为，添加一个条件，使，并说明理由． 解：需添加条件是______． 【答案】 解：需添加的条件是：或或， （）添加， 理由：如图，∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， （）添加， 理由：如图，∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （）添加， 理由：如图，∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，根据等边对等角，全等三角形的判定与性质进行求解即可，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】略 【易错必刷十九 线段垂直平分线的性质】 55．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长为（   ） A．11 B．8 C．13 D．12 【答案】D 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质得到，进而推出的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵是中边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为12； 故选：D． 56．（25-26八年级上·吉林辽源·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的长为________． 【答案】9 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∵的周长为 13 ， ， ， ， ， 故答案为：9． 57．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】 证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】略 【易错必刷二十 作垂线(尺规作图)】 58．（24-25八年级上·福建泉州·期末）观察图中尺规作图的痕迹，可知线段一定是（   ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高线 D．边的中垂线 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选：C． 59．（2026·四川成都·二模）如图，在中，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，连接，若的面积为4，则的面积为___________． 【答案】8 【分析】根据作图方法可知点D为的中点，再根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可知，是线段的垂直平分线， ∴点D即为的中点， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 60．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，钝角中，点在射线上． (1)画直线，垂足为； (2)画直线． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) 如图所示： 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，解题关键在于熟练掌握其作图方法是解题关键. 【详解】（1）略 （2）略 【易错必刷二十一 角平分线的性质定理】 61．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分于点，的面积是，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于点F，则由角平分线的性质得到，根据得到，据此计算求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点F， ∵平分，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 62．（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质，过点作于点．根据平分，，．得出．然后利用三角形面积即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 平分，，，， ， 又， ． 故答案为：． 63．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中， (1)过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明） (2)若，求的面积． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2)16 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，熟知角平分线的性质及其尺规作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）过点D作于H，则，再根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点D作于H， ∵平分，，， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $